重難點02規律型問題探究（數式或圖形規律、旋轉問題、

平移或翻滾型、漸變型）

題型解篌?模型構建.?真題強化制練?模擬通關試練

、金時婪解讀

規律性問題的結論不是直接給出，而是給出一組具有某種特定關系的數、式、圖形，或是給出圖形有

關的操作變化過程，或某一具體的問題情境等，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊含的規律，進而歸納

或猜想出一般性的結論。這類題的解題策略是：由特例觀察、分析、歸納一般規律，然后利用規律解決問

題。具體思維過程是“特殊—一般--特殊”。這類問題體現了“特殊與一般”的數學思想方法，解答時往往

體現“探索、歸納、猜想”等思維特點，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求。

o模翅的建

模型01數式或圖形規律

考?而i預T測

數與式、圖形的規律問題該題型主要以選擇、填空形式出現，難度系數不大，需要學生學會分析各式

或圖形中的“變”與“不變”的規律一一重點分析“怎樣變”，應結合各式或圖形的序號進行前后對比

分析。主要考查學生閱讀理解、觀察圖形的變化規律的能力，關鍵是通過歸納與總結，得到其中的規

律，利用規律解決問題.

答?題?技?巧

i.讀懂題意，標序號;

2.根據已有規律模仿或歸納推導隱藏規律，析各式或圖形中的“變”與“不變”的規律一一重點分析“怎

樣變”；

3.猜想規律與“序號”之間的對應關系，并用關于“序號”的式子表示出來；

4.驗證所歸納的結論，利用所學數學知識解答；

|題型三停I

1.（2024?山東）觀察下列等式：7。=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,...

根據其中的規律可得7。+7】+72+…+72。24的結果的個位數字是

＞衣式

1.按一定規律排列的一組數據：3-5，2，....則按此規律排列的第10個數是（）

ZbZ1/N63/

A“.---1-9Bc.—21C-.---1-9D.c——21

1011018282

2.按一定規律排列的單項式：5a,8a2,Ha3,14a4,....則按此規律排列的第。個單項式為.（用

含有”的代數式表示）

3.正偶數2,4,6,8,10,…，按如下規律排列,

2

46

81012

14161820

則第27行的第21個數是.

4.1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數表，人們將這個數表

稱為“楊輝三角

1（a+by=a+b

1121]（a+by=a2+2ab+b2

1331（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641

（。+6）4="+4"6+6〃〃+4加+〃

觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規律，（a+b）7展開的多項式中各項系數之和為—.

5.根據圖中數字的規律，若第九個圖中的q=143,則p的值為（）

6.下列各正方形中的四個數之間都有相同的規律，根據此規律，尤的值為（）

26

1438

2

9320435

A.135B.153C.170D.189

7.如圖，在2x2的網格內各有4個數字，各網格內數字都有相同的規律，。為（）

122436匚

11310527□ZJ

A.990B.9900C.985D.9850

模型02旋轉型問題

函請而ST..................................

該題型也主要以選擇、填空的形式出現，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規律得到

一般的規律（如點變的循環規律或點運動的循環規律，點的橫、縱坐標的變化規律等）。主要考查對點

的坐標變化規律，一般我們需要結合所給圖形，找到點或圖形的變化規律或者周期性，最后利用正確

運用數的運算。

答?題?技?巧

1.觀察點或圖形的變化規律，根據圖形的變化規律求出已知關鍵點的坐標；

2.分析變化規律得到一般的規律看是否具有周期性（如點變的循環規律或點運動的循環規律，點的橫、縱

坐標的變化規律等）；

3.周期性的求最小周期看余數，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發現規律，根據最后的變化次數或者

運動時間登，確定要求的點與哪個點重合或在同一象限，或與哪個關鍵點的橫縱坐標相等；

4.利用有理數的運算解題；

［題筌不停T

1.（2023?四川）如圖所示，矩形ABOC的頂點0為坐標原點，BC=2,對角線在第二象限的

角平分線上.若矩形從圖示位置開始繞點0以每秒45。的速度順時針旋轉，則第2025秒時，點A的對應坐

標為（）

A.(2,0)B.(O,2)C.出吟D.(-72,-72)

＞變式

1.數學家高斯推動了數學科學的發展,被數學界譽為"數學王子"，據傳，他在計算1+2+3+4+-+100時,

用到了一種方法，將首尾兩個數相加，進而得到1+2+3+4+…+100=1。*+】。。）.人們借助于這樣的

方法，得到1+2+3+4+--+n=兇尸（。是正整數）.有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系

列格點4（孫兒）,其中i=1,2,3,…,小…,且孫力是整數.記冊=0+%，如41（0,0）,即的=042（1，。），

即。2=1,4（1，-1），即%=0,…，以此類推.則下列結論正確的是（）

A.。2023=40B.61.2024=43C.a（2?l-1）2——6D.。（2九—1）2—2TL—4

2.如圖是從原點開始的通道寬度為1的回形圖，。4=1,反比例函數y=（與該回形圖的交點依次記為Bi、

殳、&3、……，則B2024的坐標為.

3.在直角坐標系中，點4從原點出發，沿如圖所示的方向運動，到達位置的坐標依次為：(1,0),4

(1,1),A4<-1,1),As(-1,-1),As(2,-1),A7(2,2),....若到達終點An(506,-505),則

”的值為

10

3.如圖，四邊形CMBCi是正方形，曲線GC2c3c4c5…叫作"正方形的漸開線”，其中丑2,C企3,Cm4,C理5,…

的圓心依次按。，A,B,的循環.當。4=1時，點C2023的坐標是（）

A.(-1,-2022)B.(-2023,1)C.(-1,—2023)D.(2022,0)

4.在平面直角坐標系中，AAOB為等邊三角形，點A的坐標為(1,0).把AAOB按如圖所示的方式放置，并

將440B進行變換：第一次變換將△40B繞著原點。順時針旋轉60。，同時邊長擴大為42。8邊長的2倍,

得到AAOBi；第二次旋轉將AAiOBi繞著原點。順時針旋轉60。，同時邊長擴大為△4OB1，邊長的2倍,

得到△/。殳，….依次類推，得到△力2033OB2033，貝以4o23°B2O33的邊長為，點4()23的坐標

為.

模型03平移或翻滾型

畫市j加......................

該題型主要以選擇、填空的形式出現，一般較為靠后，有一定難度，該題型需要分析變化規律得到一

般的規律(如點變的循環規律或點運動的循環規律，點的橫、縱坐標的變化規律等)。主要考查對點的坐標變

化規律，一般我們需要結合所給圖形，找到點或圖形的變化規律或者周期性，最后利用正確運用數的運算

求解。這類問題體現了“特殊與一般”的數學思想方法，解答時往往體現“探索、歸納、猜想”等思維特

點，對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求。

答|題|技|巧

1.觀察點或圖形的變化規律，根據圖形的變化規律得出具體數量的變化規律；

2.分析變化規律得到一般的規律看是否具有周期性(如點變的循環規律或點運動的循環規律，點的橫、縱

坐標的變化規律等)；

3.周期性的求最小周期看余數，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發現規律，根據最后的變化次數或者

運動時間登，確定要求的點與哪個點重合或在同一象限，或與哪個關鍵點的橫縱坐標相等；

|題型學.

如圖，ZAOB=60°，點A在射線Q4上,且。［=1,過點耳作1OA交射線于,

在射線OA上截取44,使《￡=《&；過點鳥作OA交射線08于(，在射線Q4上截取8鳥,

使P2P3=P2K2.按照此規律，線段Eo23K2023的長為

1.如圖，在平面直角坐標系中，將正方形。ABC繞點。逆時針旋轉45。后得到正方形依此方式,

繞點。連續旋轉2020次得到正方形OA2020B2020C2020,如果點A的坐標為(1,0),那么點B2O2o的坐標為()

A.(-1,1)B.(一應，0)C.(-1,-1)D.(0,0)

2.如圖，已知菱形OA8C的頂點。(0,0),8(2,2),菱形的對角線的交于點。；若將菱形OA8C繞點。逆時

針旋轉，每秒旋轉45。，從如圖所示位置起，經過60秒時，菱形的對角線的交點。的坐標為()

A.(1,1)B.(-1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)

3.如圖，直線y=x+i與x軸、y軸分別相交于點A、B,過點8作使3C=2朋.將AABC繞

點。順時針旋轉,每次旋轉90。.則第2022次旋轉結束時，點C的對應點。落在反比例函數y=（的圖象上,

X

則上的值為（）

A.-4B.4C.-6D.6

4.如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形04A2的直角邊在y軸的正半軸上，且04=44=1,

以為直角邊作第二個等腰直角三角形OA2A3,以為直角邊作第三個等限直角三角…，依此

規律，得到等腰直角三角形。4202M2021,則點42021的坐標為.

5.如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標系中，邊A8在x軸正半軸上，頂點廠在y軸

正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標原點。順時針旋轉，每次旋轉60。，那么經過第2022次旋轉后，頂

點。的坐標為.

模型04漸變型

滲而向Si................................................

漸變型變化規律題是指在一定條件下，探索發現有關圖形所具有的規律性或不變性的問題，它往往給出了

一組變化了的圖形或條件，要求學生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規律，它體現了“特殊到一般”

的數學思想方法，考查了學生分析、解決問題的能力，觀察、聯想、歸納的能力，以及探究能力和創新能

力，題型可涉及填空、選擇或解答。

答I題I技I巧

觀察幾何圖形、根據題中的變化規律進行分析，猜想下面所沒有給出的圖形變化情況、探究圖形的變

化和所求的結果、歸納總結發現規律。

題筌不例

:|14.如圖，在矩形ABCD中，AB=bBC=2,連接AC,過點D作DCiJ_AC于點Ci,以CiA,

CiD為鄰邊作矩形AA1DC1,連接A1C1,交AD于點Oi,過點D作DCzLAiCi于點C2,交AC于點Mi,

以C2A1,C?D為鄰邊作矩形A1A2DC2,連接A2c2,交AiD于點O2,過點D作DC3，A2c2于點C3,交AiCi

于點M2；以C3A2,C3D為鄰邊作矩形A2A3DC3,連接A3c3,交A2D于點O3,過點D作DC4，A3c3于點

C4,交A2c2于點M3…若四邊形AOiC2Ml的面積為Si,四邊形AQ2c3M2的面積為S2,四邊形A2O3C4M3

的面積為S3…四邊形An.QnCn+lMn的面積為Sn,則Sn=.（結果用含正整數n的式子表示）

）支式

i.如圖，△。44，△4與4，△Ada，…，△A-紇A”，都是一邊在x軸上的等邊三角形，點與，

、后

B2,灰，…，紇都在反比例函數y=12（x>0）的圖象上，點A，A,A3,A“，都在X軸上，則4

X

的坐標為________

2.如圖，點Bi在直線1：y=gx上，點Bi的橫坐標為2,過點Bi作BiA」l,交x軸于點Ai,以AIBI為

邊,向右作正方形A1B1B2C1,延長B2cl交X軸于點A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3c2,延長B3c2

交X軸于點A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4c3,延長B4c3交X軸于點A4；…；照這個規律進行下

去，則第n個正方形AnBnBn+iG的邊長為（結果用含正整數n的代數式表示）.

3.如圖，直線/：）=走x+e與無軸相交于點A,與y軸相交于點B,過點8作5G交x軸于點C-

-3

過點G作用G，X軸交/于點耳，過點與作用。2，/交X軸于點C2，過點。2作生。2，X軸交/于點鳥…,

按照如此規律操作下去，則點為022的縱坐標是

4.如圖，一次函數y=x與反比例函數y=2（x>0）的圖象交于點A,過點A作AB_LOA,交x軸于點B；

x

作BAi〃OA,交反比例函數圖象于點Ai；過點Ai作AiBiLAiB交x軸于點B；再作BIA2〃BAI,交反比

例函數圖象于點A2,依次進行下去，…，則點A2021的橫坐標為.

1.（2023?湖南）觀察下列等式：7°=1，71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,，根據其中的

規律可得7°+71+7?++72°"的結果的個位數字是（）

A.0B.1C.7D.8

2.（2022.河南）我們將如圖所示的兩種排列形式的點的個數分別稱作“三角形數”（如1,3,6,10...）和“正

方形數”（如1,4,9,16...）,在小于200的數中，設最大的“三角形數”為m,最大的“正方形數”為n,則

m+n的值為（）

???

???.??

........................

三角形數

A.33B.301C.386D.571

3.（2019?甘肅）觀察下列圖中所示的一系列圖形,它們是按一定規律排列的，依照此規律，第2019個圖

形中共有個O.

O

O

OOO

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

OOOO

第1個第2個第3個要個

4.（2024?遼寧）如圖，在4Go中，4G=A0=2,NAOC]=30。，過點A作4。2上℃1,垂足

為點02,過點G作94交04于點4,得到-小弓；過點4作垂足為點C3,過

點G作GA交。A于點4,得到.46。2；過點4作4CJOG,垂足為點。口過點04作

GA交。于點4,得到A4c4c3；……按照上面的作法進行下去，則A"+C"+C”的面積為

.（用含正整數n的代數式表示）

5.（2024?四川）如圖，在平面直角坐標系中，點4的坐標為（1,0）,以。4為直角邊作7?公。4B2,并

使/4。42=60。，再以。42為直角邊作R3OAM3,并使/4。43=60。，再以Ob為直角邊作MA044,

并使/43。44=60。...按此規律進行下去，則點A2019的坐標為.

⑥模核至用

1.規律探究題：如圖是由一些火柴棒擺成的圖案：按照這種方式擺下去，擺第2023個圖案用幾根火柴棒

A.8093B.

2.漢字文化正在走進人們的日常消費生活.如圖所示圖形都是由同樣大小的圓點和線段按照一定的規律排

列組成的篆書簡化"漢''字，其中，圖①中共有12個圓點，圖②中共有18個圓點，圖③中共有25個圓點，

圖④中共有33個圓點…依此規律則圖⑩中共有圓點的個數是（）

3.已知點A(T，3),記A關于直線機(直線機上各點的橫坐標都為0)的對稱點為Ai,4關于直線〃(直

線n上各點的縱坐標都為1)的對稱點為4,4關于直線p(直線p上各點的橫坐標都為-2)的對稱點為4,

人關于直線q(直線g上各點的縱坐標都為3)的對稱點為為，人關于直線相的對稱點為&5,4關于直線

力的對稱點為4,.......依此規律4。23的坐標是()

A(2021,-2021)B(-2025,-2021)c(-2021,-2017)D(-2025,2027)

4.如圖，。尸=1,過點尸作此1°尸且小T,得以=也；再過點P,作相1℃,且片尸2=1,得°￡=色

又過點2作鳥月1。^且W,得"2…依此法繼續作下去，得/=()

A,42023B,J2022c,V2021口V2020

5.請看楊輝三角，并觀察下列等式：

1

11

121

1331

14641

(Q+Z?)i=a+b

(Q+b)?=Q?+2ab+/

2

(a+4=/+3ab+3加+護

(a+b)4=a4+4。%+6a2b2+4ab3+b4

根據前面各式的規律，則(a+?6=.

6.如圖，李明從A點出發沿直線前進5米到達B點后向左旋轉的角度為a,再沿直線前進5米，到達點C

后，又向左旋轉a角度，照這樣走下去，第一次回到出發地點時，他共走了45米，則每次旋轉的角度a

7.我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表（圖①），即楊輝三角.現

在將所有的奇數記“1”，所有的偶數記為“0”，則前4行如圖②，前8行如圖③，求前32行“1”的個數

為_________