高一下冊數學復數期末真題精選（易錯40題16個考點專練）

題型一：復數的基本概念

1.（2022秋?上海徐匯?高二上海市徐匯中學校考期末）下列命題中，正確的是（）

A.任意兩個復數都能比較大小B.任意兩個復數都不能比較大小

C.設a,6eC,如果。＞8，那么a-b＞0D.設如果a-Z?＞0,那么

【答案】C

【分析】利用復數的概念與性質判斷選項的正誤，即可得到結果.

【詳解】當兩個復數有虛數時，不可以比較大小，所以A錯誤；

當兩個復數都是實數時，可以比較大小，所以B錯誤；

因為且。＞＞，所以是實數，故。-少＞0,所以C正確；

因為a,6eC,^a=l-i,b=-i,則但是此時。與6不能比較大小，所以D錯誤.

故選:C.

2.（2022春?青海西寧?高二統考期末）復數的知識結構圖如圖所示，其中1,2,3,4四個方格中的內容分別為

（）

A.實數.純虛數、無理數、有理數

B.實數、虛數、負實數、正實數

C.實數、虛數、無理數、有理數

D.實數、虛數、有理數、無理數

【答案】C

【分析】由復數與實數、有理數、無理數的包含關系即可求解.

【詳解】由復數與實數、有理數、無理數的包含關系知C正確.

故選：C.

題型二：復數的實部與虛部

3.（2023秋?陜西西安?高二長安一中校考期末）若復數z滿足（2+1/2-i）=5i,則復數z的虛部是（）

A.-2B.-2iC.2D.2i

【答案】C

【分析】計算Z=9-」2+2i,得到復數的.

/一、5i5i（2+i）

【詳解】（z+l）（2-i）=5i,則2==1=（21）（2（）-1=-2+21

故復數z的虛部是2.

故選：C

4.(2。23秋?山東荷澤?高三統考期末)若復數—百的實部與虛部相等，則實數0的值為()

A.0B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】利用復數的除法，然后利用復數的實部與虛部相等即得.

【詳解】Q""

l+i+222

由于復數z的實部與虛部相等,

?,+11—6Z

2=2

解得々=0.

故選：A.

5.(2022秋?江蘇南京?高三期末)若復數z滿足|z-N|=2,z2=3,則z2的實部為O

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】設復數z=x+yi,(x,ywR),則三=工一力,故根據|2-泊=2,22=3可求得尤2=2尸2=1,

結合復數的乘方運算，可求得答案.

【詳解】設復數z=》+yi,ayeR),則建x-yi,

則由|2-彳|=2*-彳=3可得|2網=2且彳2+,2=3,

解得V=2,y2=i,

故z2=(x+yi)2=x2-y2+2^i,其實部為/一9=2一1=1.

故選：C.

題型三：復數的相等

6.(2023秋?山東威海?高二統考期末)已知實數無，y滿足(2+i)x=4+ji,則上+利=()

A.2B.4C.2夜D.8

【答案】C

【分析】先通過條件求出蒼兒再代入k+到求模即可.

【詳解】由(2+i)x=4+yi得2尤-4+(尤-y)i=0,

f2x-4=0[x=2

---n，解得、，

[x—y=U(y=2

.-.|x+yi|=|2+2i|=V22+22=242.

故選：c.

7.(2021春?陜西渭南?高二統考期末)若復數(根-3)+m(m-3)i=0,則實數機=()

A.2B.3C.0D.1

【答案】B

【分析】根據復數相等可得出關于實數機的等式組，即可解得實數機的值.

f—3=0

【詳解】因為(〃?-3)+祖(租一3)i=0,則1"租-3)=0'解得m=3?

故選：B.

題型四：復數的分類

8.(2023秋?遼寧?高三校聯考期末)已知z是純虛數，2”+2是實數，那么z=()

1-1

A.2iB.iC.-iD.-2i

【答案】A

【分析】根據z是純虛數，設z=biSwO),求出言，根據言是實數，求出匕后可得z=2i.

1-1l-i

【詳解】因為z是純虛數，故可設z=ZriSwO),

z+2_2-M(2-fa)(l+i)2+6+(2-b)i

"以l-il-i"(l-i)(l+i)=2，

7+2

因為；一是實數，所以2-b=0,即6=2,

l-i

所以z=2i.

故選：A

9.(2023春河南周口?高一校考期末)已知i是虛數單位，復數z="-5瓶+6)+(療-2租)i,meR.

⑴當復數z為實數時，求加的值；

(2)當復數z為純虛數時，求加的值；

【詳解】(1)...2為實數，「.〃-2租=0,解得：m=。或加=2.

⑵,.?2為純虛數，；.[根2丁+：=°，解得：m=3.

[m一2mw0

題型五：復數的坐標表示

10.(2023秋?廣東?高三統考期末)如圖，在復平面內，復數4/2對應的向量分別是雙，礪，且復數

Z3=3+-,若復數Z3，Z4在復平面內的對應點關于虛軸對稱，則Z,=()

歹八

2A

-2

A.3—iB.3+iC.—3—iD.—3+i

【答案】D

【分析】先從圖象得到Z=1+2i,z?=2-i,再利用乘除運算得到Z3=3+i,根據Z3,z,在復平面內的對應點關

于虛軸對稱即可求解

【詳解】?.?Z|=l+2i,Zz=2-i,

z

.行物73+i-1+方R+(l+2i)(2+i)5i

32

z22-i4-i5

所以Z3在復平面內的對應點的坐標為(3,1),

又Z3,Z4在復平面內的對應點關于虛軸對稱，

所以Z4在復平面內的對應點的坐標為(-3,1)，:.Z4=-3+i,

故選：D.

1L(2022秋?福建寧德?高三校考期末)已知復數4，%在復平面內對應的點分別為Z"0,5),Z2(l,2),則

五二()

Z2

3

A.-B.Jr5C.2D.5

2

【答案】B

【分析】由復平面對應的點寫出復數的代數形式，然后求出五，進而可求模.

z?

【詳解】由已知復數Z],Z?的代數形式為Z]=5i,Z2=l+2i,

.五一旦―5i(l-2i)_2+i

■,z2l+2i(l+2i)(l-2i)，

五=74+1=75

Z2

故選：B.

題型六：實軸、虛軸上的點對應的復數

12.(2021秋?山西運城?高三統考期末)復數z在復平面內對應的點是(0,1),則復數[匚=()

1-Z

1+z1+z\-i1-i

A.---B.-----C.-----D.---

2222

【答案】A

【解析】先求出z,再進行的計算.

1-z

【詳解】?.?復數Z在復平面內對應的點是(0,1),二z=i

..111+Z

,…二一口―一

故選：A.

【點睛】⑴復數的代數形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根；

⑵復數除法實際上是分母實數化的過程.

題型七：判斷復數所在的象限

13.（2022春?江蘇無錫?高一輔仁高中校考期末）已知I（l+i）=2-i,則在復平面內復數z對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】由復數的除法運算，和共輾復數的概念求得z,由復數的幾何意義可得結論.

-2-i(2-i)(l-i)2—2i—i+i?l-3i13.

【詳解】由題意z=------------=---------1

1+i(l+i)(l-i)2222

13I3

z=-+-i，對應點坐標為（彳q），在第一象限,

故選：A.

14.（2021春?安徽宿州?高一校考期末）復數z滿足（T+i）z=（l+i）2,其中i為虛數單位，則在復平面上復

數z對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根據復數的運算律求出復數z,再求出對應的點即可.

(l+i『_l+i?+2i__2j__2i(-l-j)_2i(-l-i)__.

【詳解】1

-1+i--1+i--1+i-(-l+i)(-l-i)—2—一一—

故z在復平面內對應的點的坐標為（1,-1）位于第四象限.

故選:D.

15.（2023秋?貴州貴陽?高三統考期末）歐拉公式e，=cosx+isin尤是由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式

將指數函數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論里面占有非常重要

的地位，被譽為數學中的天橋.依據歐拉公式，下列選項中不正確的是（）

A.e等對應的點位于第二象限B.油為純虛數

C.與二的模長等于JD./的共軟復數為J■一ei

V3+12e22

【答案】D

【分析】根據歐拉公式結合復數在復平面內對應的點的特征、純虛數的概念、復數的模長公式、以及共輾

復數的概念逐項分析即可得出結論.

【詳解】對于A：=cos—+isin—=--+^i,.°爭對應的點位于第二象限，故A正確；

3322--e

對于B：e2'=cos—+isin—=i,飛泉為純虛數，故B正確;

22-e

故c正確;

2

對于D：/=*+國吟￥+手，所以藍，的共軌復數為*三，故D錯誤.

故選：D.

題型八：根據復數坐標寫出相應的復數

16.（2023秋?河南鄭州?高三校聯考期末）已知在復平面內，復數4/2所對應的點分別為（2,5）,（-3,-7）,

Z「Z2

則()

i

A.-29-29iB.29-29i

C.29+29iD.-29+29i

【答案】A

【分析】由復數的幾何意義表示出復數4/2,再代入所求式子，利用復數的運算法則化簡即可得到所求結

果.

(2+5i)-(-3-7i)_614i—15i+35_29-29i

【詳解】依題意，幺工=-29-29i.

iiii

故選：A.

。.⑵23秋?新疆喀什?高三統考期末）在復平面內，復數z對應的點為（-3,4）,設i是虛數單位，則占二

)

11.B.2

A.------i

2222

D.1-li

C.-l+5i

22

【答案】B

【分析】根據復數對應點寫出復數的代數形式,再求其共輾復數和模，并應用復數的除法化簡即可.

【詳解】由題設，z=—3+4i,所以z=—3—4i,H=J(_3y+(_4『=5,

故縣二55(1-i)5-5i55.

---------1.

1+i1+i(l+i)(l-i)222

故選：B

題型九：根據復數對應坐標的特點求參數

18.（2022春?河南新鄉?高二封丘一中校考期末）若復數z=M-i（aeR）在復平面內對應的點位于實軸上,

貝！J4=()

A.4B.2C.-3D.-4

【答案】C

【分析】由復數z的對應的點位于實軸上，可得其虛部為0,結合條件列方程可求。.

(a-i)(l-i)a—1a+3.

【詳解】因為z==—i=--------------------1——--------------1,

1+i222

由題意可得z為實數，

所以a+3=0,所以。=—3.

故選：C.

19.（2023秋?北京昌平?高三統考期末）在復平面內，復數z對應的點的坐標是（a,1）,且滿足。-i>z=2,

則a=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】根據復數的除法運算求得z=l+i,結合復數的幾何意義可得z=a+i,由此求得答案.

【詳解】由（1一i）z=2得2=含=彗2=1+1，

又復數z對應的點的坐標是gpz=a+i=l+i,.-.<7=1,

故選：A

題型十：求復數的模

20.（2021春?陜西渭南?高二統考期末）若復數z=：N，則忖=__________.

1—1

【答案】75

【分析】先根據復數的除法運算求出復數Z,再根據復數的模的計算公式即可得解.

3-i+

【詳解】

所以忖=J4+1=A/5.

故答案為：x/5.

21.（2021春?陜西渭南?高二統考期末）已知復數2=858+1$皿夕（i為虛數單位），則|z-Z的最大值為

【答案】3

【分析】根據復數模長公式以及三角函數的有界性即可求解.

【詳解】由題意可得z-2=（cos。—2）+isin。，所以|z—2|=J（cos夕一2）。+sin。。=J'5—4cos0,

由于cos。。-1』,所以5—4cos6e[l,9],因此lM|z—2區3,

故|一Z的最大值為3,

故答案為：3

題型十一：由復數的模求參數

21.（2023秋?浙江?高三期末）已知復數4=2+歷3￡2*2=彳（其中i為虛數單位），若|z「2?卜巫，則

b=（）

A.1B.-5C.1或-5D.一1或5

【答案】C

【分析】根據復數的除法求得4=-2i,再根據復數的模的計算公式，求得答案.

【詳解】由題意得%=*2=—2i,則z「Z2=2+（0+2）i,

1

所以|z]_zz|="22+3+2）2=屈,解得6=—5或6=1,

故選：C

22.（2022春?北京延慶?高二統考期末）若復數z=的模等于值，則實數。=.

1

【答案】±2

【分析】利用復數的除法運算化簡復數z,結合復數模的公式可求解。的值.

【詳解】解：因為復數2=三望=3+山，所以行壽=而，解得“2=4,a=±2.

故答案為：±2.

題型十二：與復數的模相關的軌跡

23.（2023秋?江蘇?高三統考期末）若復數z滿足|z-l|W2,則復數z在復平面內對應點組成圖形的面積為

（）

A.兀B.2冗C.3兀D.4兀

【答案】D

【分析】根據復數的幾何意義判斷z在復平面對應的點是半徑為2的圓及圓內所有點，進而求出其面積.

【詳解】z在復平面對應的點是半徑為2的圓及圓內所有點，S=4兀，

故選：D.

24.（2023?全國?期末）若zeC,且|z|=l,則|z-l-2i|的最大值是.

【答案】75+1/1+75

【分析】由復數模的幾何意義求解.

【詳解】慟=1,則復平面上表示復數2的點2在以原點為圓心,1為半徑的圓上，2-1-型表示2到點41,2）

的距離，

???\OA\=y/5,所以|z-冽的最大值為6+1.

故答案為：A/5+I.

題型十一：共輾復數

25.（2021春?陜西渭南?高二統考期末）在復平面內，與復數z=3-4i的共軌復數對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】得到共朝復數及對應的點的坐標，求出所在象限.

【詳解】復數z=3-4i的共輒復數為1=3+4i,故對應的點的坐標為（3,4）,位于第一象限.

故選：A

26.（2021春?陜西渭南?高二統考期末）若復數z=U，則同=（）

1-111

A.72B.2C.1D.3

【答案】C

【分析】計算得到2=口再計算模長得到答案.

故選:C

27.（2023秋?廣東深圳?高二校考期末）設復數z滿足z-（l+2i）T-3+4i|,貝匹的虛部為（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

【答案】D

【分析】根據復數的除法運算求得復數z,繼而得〉從而求得答案.

【詳解】由z?+2i）T-3+4i|可得z=0叫=工=也二四=1-2i,

1+2il+2i5

故z=l+2i，則z的虛部為2,

故選：D

題型十二：復數的加減

28.（2022春?上海浦東新?高一校考期末）在復平面內，向量通對應的復數是2+i,向量誣對應的復數是

-l-3i,則向量直對應的復數為（）

A.l-2iB.-l+2iC.3+4iD.-3-4i

【答案】D

【分析】結合向量、復數運算求得正確答案.

［詳解】^^CA=CB+BA=CB-AB=-l-3i-（2+i）=-3-4i.

故選：D

29.（2023秋?河北保定?高三統考期末）若z=（2+i）（l-i）,貝上+W等于（）

A.2B.6C.-2D.-6

【答案】B

【分析】根據復數的乘法公式可得z=3-i,再根據共輾復數的概念及復數的加法運算即可求解.

【詳解】z=（2+i）（l-i）=2-2i+i-i2-3-i,

所以z+z=3-i+3+i=6.

故選：B

30.（2022秋?北京?高二人大附中校考期末）如圖，在復平面內，復數4，的對應的向量分別是礪，OB,

貝1J|zi+Z21=?

2

【答案】非

【分析】首先表示出4，z2,再根據復數代數形式的加法運算求出4+Z2,從而求出其模.

【詳解】解：依題意可得況=（2,1）,OB=（-1,1）,所以z=2+i,z2=-l+i,

所以4+Z2=（2+i）+（-l+i）=l+2i,

所以[Z]+z?|=A/12+22=A/5.

故答案為：下

題型十三：復數的乘除

31.（2023秋?陜西西安?高二長安一中校考期末）若復數z滿足（z+l）（2-i）=5i,則復數z的虛部是（

A.-2B.-2iC.2D.2i

【答案】C

【分析】計算z=p-l=-2+2i,得到復數的虛部.

2-1

/X/5i5i（2+i）

【詳解】（z+l）（2-i）=5i,則2=17rl=（2」）（2；i）T7+2i.

故復數z的虛部是2.

故選：C

32.（2022秋?安徽亳州?高二校聯考期末）若i（z+i）=-（2+i）,貝!lzi=（）

A.y/2B.V10C.2D.10

【答案】C

【分析】計算z=KD-i=-i+i,再計算z。得到答案.

i

【詳解】i（z+i）=—（2+i）,則z=g^_i=i（2+i）-i=-l+i,

則z-z=（-l+i）（-l-i）=2,

故選:C

8-i

33.（2023秋?甘肅天水?高二統考期末）設z==，則在復平面內z對應的點位于（）

2+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡復數z,再根據復數的幾何意義判斷即可.

8-i（8T）（2_i）16-8i-2i+i2

【詳解】z=----=3-2i,

2+i（2+i）（2-i）-2^

所以在復平面內z對應的點為（3,-2）,位于第四象限.

故選：D

1+1

34.（2021春?陜西渭南?高二統考期末）已知優為實數，并且二十萬的實部與虛部相等，則3-----------.

【答案】一7/1：1

66

【分析】利用復數的四則運算化簡所求復數，利用復數的概念可得出關于加的等式，解之即可.

【詳解】因為丁+:=1（2-m）+（2m+l）i1_9-2m2m+l.

+—=5+2~10+51

2-12（2-i）（2+i）2

9—2m2m+17

由題意可得解得血=7

5o

7

故答案為：7.

o

題型十四：復數的乘方

35.（2022秋?江西宜春?高三校聯考期末）已知（i是虛數單位），貝ijz=（）

A.-1B.1C.0D.i

【答案】B

【分析】根據復數的乘方運算結合虛數單位i的性質，即可求得答案.

故選：B

36.（2021春?陜西渭南?高二統考期末）已知i為虛數單位，計算：1f/3予=.

【答案】-1

【分析】利用復數的運算化簡可得結果.

【詳解】原式=尸+3+4=F=任）5=（_]）5=_].

故答案為：-1.

題型十五：復數的平方根和立方根

37.（2022春,河南開封?高一統考期末）已知2i-3是關于x的方程無2+px+q=0的一個根，其中°qwR,

貝Up+q=?

【答案】19

【分析】由題意可得方程V+px+4=0的另一個根為2i+3,然后利用根與系數的關系可求出P，4的值，

從而可求出p+q

【詳解】因為2i-3是關于X的方程V+px+q=0的一個根,

所以—2i—3是方程f+px+g=。的另一個根,

⑵-3)+(-2「3)=”p=6

所以

⑵-3)(-2i-3)=q4=13,

所以2+4=19,

故答案為：19

38.(多選)(2021春?浙江?高一期末)下列關于復數z的四個命題，真命題的為()

A.若則zeRB.若z?eR，則zeR

Z

C.若|z-7[=l,則忖的最大值為2D.若z3-l=0,貝Uz=l

【答案】AC

【分析】利用復數的運算可判斷AB選項的正誤，利用復數模長的三角不等式可判斷C選項的正誤，解方

程z3-l=0,可判斷D選項的正誤.

【詳解】對于A選項，設z=a+初(a,beR),則"+k>。，

1_1_a-bi_ab\

1=a