重難點專題16玩轉古典概型

【題型歸納目錄】

題型一：“放回”與“不放回響題

題型二：概率模型的多角度構建

題型三：“正難則反”思想，利用對立事件求概率

題型四：古典概型的綜合應用

【方法技巧與總結】

古典概型求概率問題在考試中經常出現，在解決這類問題時，首先要審題，正確理解樣本點與事件的

關系，求某個事件包含的樣本點的常用方法是列舉法（畫樹狀圖、列表）.注意做到不重不漏，對于用直

接方法難以解決的問題，可以先求其對立事件的概率，再求所求概率.

【典型例題】

題型一：“放回”與“不放回響題

【典例1-1】（2024?高二?上海青浦?階段練習）一個盒子中裝有4張卡片，卡片上分別寫有數字1、2、3、

4,現從盒子中隨機抽取卡片，若第一次抽取一張卡片，放回后再抽取1張卡片，則兩次抽取的卡片數字

之和大于6的概率是.

3

【答案】—/0.1875

16

【解析】兩次抽取的試驗的樣本空間。={11/2/3,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44},共16個，

兩次抽取的卡片數字之和大于6的事件A={34,43,44},共3個，

3

所以兩次抽取的卡片數字之和大于6的概率是尸（④二二.

16

3

故答案為：--

16

【典例1-2］（2024.高一.湖南邵陽.競賽）一個不透明口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標號為

1,2,3,4,現隨機取一個小球然后放回，再隨機取出一個小球，則第一次取出的小球標號大于第二次取

出的小球標號的概率為.

【答案】I

O

【解析】畫出樹狀圖:

3336

由樹狀圖可知：基本事件的總數共有16種,

其中第一次取出的小球標號大于第二次取出的小球標號有6種,

所以第一次取出的小球標號大于第二次取出的小球標號的概率為。

r=——6=—3.

168

故答案為：!.

O

【變式1-1］（2024?高一?福建寧德?期末）一個袋子中有大小和質地相同的4個球，標號分別為1,2,3,

4,從袋中不放回地隨機抽取兩次，每次取一球.記事件人第一次取出的是2號球；事件2：兩次取出的

球號碼之和為5.

（1）寫出這個試驗的樣本空間；

（2）判斷事件A與事件B是否相互獨立，請說明理由；

（3）兩次取出的號碼之和最可能是多少？請說明理由.

【解析】（1）用數組（國,%）表示可能的結果，4表示第一次抽到球的標號，巧表示第二次抽到球的標號，

則試驗樣本空間為。=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）（4,3）｝.

（2）A=｛（2,1）,（2,3）,（2,4）｝,B=｛（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）｝,AB=｛（2,3）｝.

所以尸⑷H，尸（2）=》*（上）

因為P（A5）=P（A）尸（3）,所以事件A與事件2是相互獨立.

（3）兩次取出的號碼之和的有：3,4,5,6,7.分別記作事件：C,D,E,F,G.

則C=｛（1,2）,（2,1）｝,D=｛（1,3）,（3,1）｝,E=｛（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）｝,

F=｛（2,4）,（4,2）｝,G=｛（3,4）,（4,3）｝.

P（C）=—=-,P（￡>）=—=-,P（￡）=—=-,P（F）=—=-,P（G）=—=-.

v7126v7126v7123v7126v7126

因P（E）>P（C）=P（0=P（F）=P（G）.

所以兩次取出號碼之和最有可能是5.

【變式1-2］（2024?高一?全國?課后作業）在試驗線“袋中有白球3個（編號為1,2,3）、黑球2個（編號

為1,2）,這5個球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個，每次摸1個，觀察摸出球的情況”

中，摸到白球的結果分別記為”,叫，明，摸到黑球的結果分別記為仇，b2.求：

（1）取到的兩個球都是白球的概率；

（2）取到的兩個球顏色相同的概率；

（3）取到的兩個球至少有一個是白球的概率.

【解析】（1）由前面的分析可知試驗線的樣本空間

O.=｛wlw2,wlw3,wfy,wtb2,w2Wj,w2w3,w2b2,w3wx,w3w2,w3bx,w3b2,乙叱,偽暝,白嗯,bp2,偽叫,偽暝,打嗎，24｝,

共有20個樣本點，且每個樣本點出現的可能性相同，可用古典概型來計算概率.

設事件A表示“取到的兩個球都是白球"，則A=｛叱暝，叱叱，叫叱，暝叱，嗎”，嗎嗎｝,

共含有6個樣本點，所以P(A)=A=],即取到的兩個球都是白球的概率為哈；

(2)設事件2表示“取到的兩個球顏色相同"，則3={%暝，“嗎，”叱，嗎嗎，嗎嗎，嗎暝,仿打也偽},

o9o

共含有8個樣本點，所以尸(8)=笳=m，即取到的兩個球顏色相同的概率為二；

(3)設事件C表示“取到的兩個球至少有一個是白球”，

貝ljC={wxw2,wxw3,wxbi,w]b2,w2wi,w2w3,w2bi,w2b2,w3wx,w3w2,w3bi,w3b2,bxwi,biw2,biw3,b2wi,b2w2,b2w3},

共含有18個樣本點，所以P(C)=方18=92，即取到的兩個球至少有一個是白球的概率為9

4UA\J1.\J

【方法技巧與總結】

抽取問題是古典概型的常見問題，解決此類問題需要注意兩點：一是所給問題是否需要將被抽取的個

體進行區分才能滿足古典概型的條件，二是看抽取的方式是有放回還是不放回，兩種抽取方式對樣本點的

總數有影響.另外，不放回抽樣看作無序或有序抽取均可，有放回抽樣要看作有序抽取.

題型二：概率模型的多角度構建

【典例2-1】口袋里裝有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，4個人按順序依次從中摸出一

個球.試計算第二個人摸到白球的概率.

【解析】方法一：需要找出4個人按順序依次摸球的所有可能結果數和第二個人摸到白球的可能結果數.

解題過程如下：用A表示事件“第二個人摸到白球”，把2個白球編上序號1,2；2個黑球也編上序號1,2.于

是，4個人按順序依次從袋中摸出一個球的所有可能結果，可用樹狀圖直觀地表示出來，如圖所示：

由上圖可知，試驗的所有可能結果數是24,由于口袋內的4個球除顏色外完全相同，所以，這24種結果

出現的可能性相同，其中，第二個人摸到白球的結果有12種，

121

故第二個人摸到白球的概率尸(A)

242

方法二：把2個白球編上序號1,2,兩個黑球也編上序號1,2,4個人按順序依次從袋中摸出一球，前兩人摸

出的球的所有可能的結果如圖所示：

由圖可知，試驗的所有結果數是12,由于口袋內的4個球除顏色外完全相同，所以這12種結果出現的可

能性相同，其中，第二個人摸到白球的結果有6種，

故第二個人摸到白球的概率P（A）=^=1.

【典例2-2】（2024.高一.遼寧丹東?期末）在2022年北京冬奧會志愿服務開始前，北京市團委調查了北京師

范大學某院50名志愿者參加志愿服務禮儀培訓和賽會應急救援培訓的情況，數據（單位：人）如下表：

參加志愿服務禮儀培訓未參加志愿服務禮儀培訓

參加賽會應急救援培訓610

未參加賽會應急救援培訓628

（1）從50名志愿者中隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個培訓的概率；

（2）在既參加志愿服務禮儀培訓又參加賽會應急救援培訓的6名同學中，有4名男同學04,4，4,2名女同

學耳，昆，現從這4名男同學和2名女同學中各隨機選1人，求A未被選中且與被選中的概率.

【解析】（1）由調查數據可知，既未參加志愿服務禮儀培訓又未參加賽會應急救援培訓的有28人，

故至少參加上述一個培訓的共有50-28=22（人）.

因此從50名志愿者中隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個培訓的概率為尸=耒22=共11；

（2）從這4名男同學和2名女同學中各隨機選1人，

其一切可能的結果組成的基本事件有{A，4}，{Ae},{4,4},{4，5},{4,4},{怎不},{4,4},{4，員},共

8個，

根據題意，這些基本事件的出現是等可能的，

事件“A未被選中且見被選中”所包含的基本事件有{&,4},{&,4},{4，4},共3個，

所以可得A未被選中且Bl被選中的概率為P=9.

O

【變式2-1］（2024?高一?全國.專題練習）天氣預報說，在接下來的一個星期里，每天漲潮的概率為20%,

設計一個符合要求的模擬試驗：利用計算機產生0~9之間取整數值的隨機數，用1,2表示漲潮，用其他

數字表示不漲潮，這樣體現了漲潮的概率是20%,因為時間是一周，所以每7個隨機數作為一組，假設產

生20組隨機數是：

7032563256458631424865677851

7782684612256952414788971568

3215687642445863258746894331

5789614568943215478633569841

2589634125869765478232274168

則下個星期恰有2天漲潮的概率為.

【答案】1/0.2

【解析】產生20組隨機數相當于做了20次試驗，在這組數中，如果恰有兩個是1或2,就表示恰有兩天

漲潮，它們分別是3142486,5241478,3215687,1258697,共有4組數，于是一周內恰有兩天漲潮的概率

近似值為④4三1，

故答案為：

【變式2-2］（2024.高二?湖北荊州.期末）第三屆“一帶一路”國際高峰論壇于2023年10月在北京召開.某

記者與參會的3名代表起合影留念（四人站成排），則記者與代表甲相鄰的概率為

【答案】1/0.5

【解析】設記者為A,另兩位代表記作1,2.四個人站成一排，共有24種情況，

記者與甲相鄰的情況有12種：A甲12,A甲21,甲加2,甲A21,L4甲2,24甲1,

1甲42,2甲Al,12A甲，12甲A,21A甲，21甲A

121

所以所求概率為之=彳，

242

故答案為：—.

【方法技巧與總結】

當事件個數沒有很明顯的規律，并且涉及的樣本點又不是太多時，我們可借助樹狀圖直觀地將其表示

出來，這是進行列舉的常用方法.樹狀圖可以清晰準確地列出所有的樣本點，并且畫出一個樹枝之后可猜

想其余的情況.另外，如果試驗結果具有對稱性，可簡化結果以便于模型的建立與解答.

題型三：“正難則反”思想，利用對立事件求概率

【典例3-1】（2024?高一?福建福州?期末）將一枚質地均勻的正方體骰子（六個面的點數分別為1,2,3,

4,5,6）先后拋擲兩次，記下骰子朝上的點數.若用x表示第一次拋擲出現的點數，用》表示第二次拋擲

出的點數，用（蒼，）表示這個試驗的一個樣本點.

（1）記4="兩次點數之和大于9"，8=“至少出現一次點數為3”，求事件A,B的概率；

（2）甲、乙兩人玩游戲，雙方約定：若孫為偶數，則甲勝；否則，乙獲勝.這種游戲規則公平嗎？請說明

理由.

【解析】（1）依題意，拋擲一枚質地均勻的正方體骰子，共有36個樣本點，

其中事件A={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)},即事件A包含6個樣本點，

所以事件A的概率為P(A)=￡=4.

366

又由事件B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6)},

即事件B中包含11個樣本點，所以事件3的概率為尸(8)=3.

36

(2)設事件C="孫為偶數”,事件。={(羽刈xe{l,3,5},ye{2,4,6}},

事件E={(x,y)|xe{2,4,6},ye{l,2,3,4,5,6}},

918

可得尸。)=葭，尸(E)=葭，

3636

因為事件。與事件E互斥，且C=OuE,

Q1o97a

所以尸(。=尸(。)+尸(為=5+甚=”=7.

3636364

331

因此甲獲勝的概率為乙獲勝的概率為1-

444

所以=3＞：1，故這種游戲規則不公平.

44

【典例3-2】(2024?高一?全國?課后作業)某學校成立了數學、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分

別有39,32,33名成員，一些成員參加了不止1個小組，具體情況如圖所示.隨機選取一名成員.

(1)他參加至少2個小組的概率是多少？

(2)他參加不超過2個小組的概率是多少？

【解析】(1)從圖中可以看出，3個課外興趣小組總人數為60.用A表示事件“選取的成員只參加1個小

組”，

則彳就表示“選取的成員參加至少2個小組”，于是尸(X)=1-P(A)=1_6+8+10=3

605

3

因此，隨機選取的一名成員參加至少2個小組的概率是1.

(2)用8表示事件“選取的成員參加3個小組”，則月就表示“選取的成員參加不超過2個小組”，于是

_Q1O]3

P(B)=1-P(B)=1--=—,所以隨機選取一名成員屬于不超過2個小組的概率是.

6015715T

【變式3-1](2024?高一?全國?課后作業)某商場有獎銷售中，購滿100元商品得一張獎券，多購多得，每

1000張獎券為一個開獎單位.設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設1張獎券中特等獎、一等獎、

二等獎的事件分別為A,B,C,求：

⑴尸(A),尸(3),尸(C)；

(2)抽取1張獎券中獎概率；

⑶抽取1張獎券不中特等獎或一等獎的概率.

【解析】(1)因為每1000張獎券中設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，

所以尸(A)=—,P(B)=旦=—,P?501

100010001001000-20

(2)設“抽取1張獎券中獎，，為事件Q,

11161

則P(D)=尸(A)+P(B)+P(C)=-----1----1--------

1000100201000

(3)設“抽取1張獎券不中特等獎或一等獎”為事件E,

11989

則P(E)=1-P(A)-尸(2)=1----------------=——.

10001001000

【變式3-2](2024?高二?四川成都?期中)拋擲一枚均勻的骰子2次，將第1次擲出的點數記為第2次擲

出的點數記為6.

⑴求的概率；

⑵記事件A為“4=2”，事件8為“。+6=機"，若尸(B)WO且事件A和事件B為相互獨立事件，求加的值.

【解析】(1)將2次擲出的點數記為(。力)，則所有的樣本點為：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

共36個，且每個樣本點出現的可能性相同，

使得。+6<6的樣本點有(U),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)共10個,

因止匕尸(。+8<6)=瞿=二，顯然。+6<6與a+6N6為對立事件，

3618

513

所以尸(。+〃26)=1—尸(。+/?<6)=1——=—.

1818

(2)由(1)知，P(A)=-,由A和8相互獨立，即尸(河)=尸(4)2(3)>0知〃?[3,4,5,6,7,8},

6

此時AcB等價于事件“。=2且6=%-2"，因此AcB中僅有(2,%-2)一個樣本點，即尸(&2)=上，則

36

尸⑹=:,

O

而P(a+6=3)=[,PQ+b=4)=:P(a+fe=5)=^,PQ+b=6)=PQ+6=8)=￡,PQ+b=7)=(,

因此當且僅當根=7時，P(8)>0且尸(鉆)=P(4)2(3),所以所求冽的值為7.

【方法技巧與總結】

在求解較復雜事件的概率時，可將其分解為幾個互斥的簡單事件的和事件，由公式

p（A■45..UA）=P（A）+P（&）+...+P（A）求得或采用正難則反的原則，轉化為其對立事件，再用公

式尸（A）=l-尸（力求得.

題型四：古典概型的綜合應用

【典例4-1】（2024.高一.重慶?期末）骰子G6"zi）,中國傳統民間娛樂用來投擲的博具.早在戰國時期就有.

通常作為桌上游戲的小道具，最常見的骰子是六面骰，它是一顆正立方體，上面分別有一到六個孔（或數

字）,其相對兩面之數字和必為七.中國的骰子習慣在一點和四點漆上紅色.骰子是容易制作和取得的亂數產

生器.骰經常會被錯誤念成舫歷.現甲、乙兩人玩擲骰子（質地均勻）游戲，每人擲同一枚骰子各一次，若兩

人擲出的點數和為偶數算甲贏，否則算乙贏.

（1）記A="甲、乙兩人擲出的點數和為6”，寫出事件A包含的樣本點；

（2）現連玩三次，記3="甲至少贏一次"，C="乙至少贏兩次”，試問：3與C是否為互斥事件？為什么？

（3）這種游戲規則公平嗎？試說明理由.

【解析】（1）用X。表示甲、乙兩人投出的點數，貝4x,y）表示這個實驗的一個樣本點，

所以該實驗的樣本空間為S=｛（x,y）|xeN*,yeN*/4xW6,1WyW6｝,共有36個樣本點,

事件A包含的樣本點共5個,即4=｛。,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）｝；

（2）8與C不是互斥事件，由于連玩三次，

則事件8與C可以同時發生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合題意，

所以事件3與C不是互斥事件；

（3）這種游戲規則公平，

由題可知甲、乙兩人投出的點數和為偶數的樣本點有

（1,1）,（1,3）,（1,5）,（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（4,4）,（4,6）,（5,5）,

（6,6）,（5,1）,（3,1）,（6,2）,（4,2）,（5,3）,（6,4）,共18個.

1Q11Q1

所以甲贏的概率為*=彳，所以乙贏的概率為乙=彳，所以這種游戲規則公平.

362362

【典例4-2】（2024.高一.遼寧?期末）某學校為了解本校歷史、物理方向學生的學業水平模擬測試數學成績情

況，分別從物理方向的學生中隨機抽取60人的成績得到樣本甲，從歷史方向的學生中隨機抽取〃人的成績

得到樣本乙，根據兩個樣本數據分別得到如下直方圖：

頻率/組距頻率/組距

0.0450.040

0.020

0.020

0.016

0.0100.006

0.0051

O506070809010吟數O506070809010吩數

甲樣本數據直方圖乙樣本數據直方圖

已知乙樣本中數據在［70,80)的有10個.

(1)求〃和乙樣本直方圖中”的值；

(2)試估計該校物理方向的學生本次模擬測試數學成績的平均值和歷史方向的學生本次模擬測試數學成績的

中位數(同一組中的數據用該組區間中點值為代表).

(3)采用分層抽樣的方法從甲樣本數據中分數在［60,70)和［70,80)的學生中抽取6人，并從這6人中任取2

人，求這兩人分數都在［70,80)中的概率.

【解析】(1)由直方圖可知，乙樣本中數據在［70,80)的頻率為0.020x10=0.20,

則里=0.20,解得〃=50；

n

由乙樣本數據直方圖可知，(0.006+0.016+0.020+0.040+a)xl0=l,

解得。=0.018；

(2)甲樣本數據的平均值估計值為

(55x0.005+65x0.010+75x0.020+85x0.045+95x0.020)xl0=81.5,

乙樣本數據直方圖中前3組的頻率之和為(0.006+0.016+0.02)xl0=0.42<0.5,

前4組的頻率之和為(0.006+0.016+0.02+0.04)xl0=0.82>0.5,

所以乙樣本數據的中位數在第4組，設中位數為x,

(x-80)x0.04+0.42=0.5,

解得x=82,所以乙樣本數據的中位數為82.

(3)由頻率分布直方圖可知從分數在［60,70)和［70,80)的學生中分別抽取2人和4人，

將從分數在［60,70)中抽取的2名學生分別記為％,%，從分數在［70,80)中抽取的4名學生分別記為

々也也，°4，

則從這6人中隨機抽取2人的基本事件有

(o1,rz2),(ol,&1),(a1,Z?2),(a1,Z?3),(al,Z>4),(a2,Z?1),(fl2,Z>2),(a2,Z?3),(a2,Z?4),

3也),(4也),(4也)，僅2,4)，色也)，您也)，共15個,

所抽取的兩人分數都在［70,80)中的基本事件有6個，所以所求概率為2=|.

【變式4-1］（2024.高一.山東濰坊.期末）某芯片代工廠生產甲、乙兩種型號的芯片，為了解芯片的某項指

標，從這兩種芯片中各抽取100件進行檢測，獲得該項指標的頻率分布直方圖，如圖所示：

32頻率/組距

頻率/組距o..030

250.026

o..O230.

os..O20

.O

0.010……———H

0.005-…….—

0.002|專1~~IIIIII,0.002|至1~~1111r

O405060708090100指標0203040506070指標

甲型芯片乙型芯片

假設數據在組內均勻分布，以樣本估計總體，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.

（1）估計乙型芯片該項指標的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；

（2）現分別采用分層抽樣的方式，從甲型芯片指標在［70,90）內取2件，乙型芯片指標在［50,70］內取4件,

再從這6件中任取2件，求指標在［50,60）和［70,80）內各1件的概率；

（3）根據檢測結果確定該指標的一個臨界值c,且ce［50,60］,某科技公司準備用甲、乙兩種型號的芯片生

產A型手機、8型手機各1萬部，有以下兩種方案可供選擇：

方案一：將甲型芯片應用于A型手機，其中該指標小于等于臨界值c的芯片會導致每部手機損失700元；

將乙型芯片應用于8型手機，其中該指標大于臨界值c的芯片會導致每部手機損失300元；

方案二：重新檢測所用的全部芯片，會避免方案一的損失費用，但檢測費用共需要101萬元；請從科技公

司的角度考慮，選擇合理的方案，并說明理由，

【解析】（1）由頻率分布直方圖得乙型芯片該項指標的平均值為：

x=（25x0.002+35x0.026+45x0.032+55x0.030+65x0.010）x10=47.

（2）根據分層抽樣得,來自甲型芯片指標在［70,80）和［80,90）的各1件,分別記為A和8,來自乙型芯片

指標在［50,60）和［60,70］分別為3件和1件，分別記為GCC和D,

從中任取兩件，樣本空間可記為八=｛（4,8）,（46）,（4。2）,（4。3），（4,0,

（5，G）,（3，G）,（3C）,（3,D）,（G，C）,（G，G），（G，0，（C，G），（C，D），（a，D）｝

共包含15個樣本點，

記事件E：指標在［50,60）和［70,80）各1件，則E=｛（AG），（AG）,（AC）｝共包含3個樣本點,

31

所以尸（石）=記=歹

（3）設將甲、乙兩種型號芯片應用于A型、3型手機時，該科技公司損失為y（萬元），

y=700x［0.002x10+0.005x（c-50）］+300x［0.01xl0+0.03x（60-c）］

=409-5.5c,cw［50,60］,

所以當50Wc<56時，y>101；

當c=56時，y=101；

當56<cV60時，y<101,

綜上，當臨界值ce［50,56)時，選擇方案二;

當臨界值c=56時，選擇方案一和方案二均可;

當臨界值ce(56,60］時，選擇方案一.

【變式4-2］(2024?高一?陜西漢中?期末)從某學校的800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學生身高

全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組［155,160),第二組

［160,165),....第八組［190,195］,下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與

第八組人數相同，第六組的人數為4人(同一組的數據用該組區間的中點值為代表).

(1)求第七組的頻率;

(2)估計該校800名男生身高的平均數和50%分位數;

(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為羽V,事件

E=(|x-y|<5},求尸(E).

4

【解析】(1)第六組的頻率為方=。08,

.?.第七組的頻率為1—0.08—5*(0.008*2+0.016+0.04x2+0.06)=0.06.

(2)由直方圖得，身高在第一組［155,160)的頻率為。008、5=0.04,

身高在第二組［160,165)的頻率為0.016x5=0.08,

身高在第三組［165,170)的頻率為0.04x5=0.2，

身高在第四組［170,175)的頻率為0.04x5=0.2，

由于0.(M+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5,

設這所學校的800名男生的身高50%分位數為機，則170＜加＜175,

由0.04+0.08+0.2+(:〃-170)x0.04=0.5得m=174.5,

所以這所學校的800名男生的身高的50%分位數為174.5cm,

平均數為:

157.5x0.04+162.5x0.08+167.5x0.2+172.5x0.2+177.5x0.06x5+182.5x0.08+187.5x0.06+

192.5x0.008x5=174.1.

(3)第六組［180,185)的抽取人數為4,設所抽取的人為a/,Gd,

第八組［190,195］的抽取人數為0.008x5x50=2,設所抽取的人為A,8,

則從中隨機抽取兩名男生有ab,ac,ad,be,bd9cd,aA,aB,bA,bB,

cA,cB,dA,dB,A3共15種情況，

因事件E={|x-y|45}發生當且僅當隨機抽取的兩名男生在同一組，

所以事件E包含的基本事件為〃ac,ad,be,bd,cd,A3共7種情況.

7

所以尸(均=行

【變式4-3］(2024?高二?四川瀘州?期末)書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許

多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機構為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨

機抽樣調查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間(單位：分鐘)進行統計，得到樣本的頻率分布直

方圖，如圖所示.

(1)根據頻率分布直方圖，估計這100位年輕人每天閱讀時間的第85百分位數；

(2)為進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構采用分層隨機抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組

［50,60),［60,70)和［80,90)的年輕人中抽取5人，再從中任選2人進行調查，求其中至少有1人每天閱讀

時間位于［80,90)的概率.

【解析】(1)由題意可知，(0.010+2。+0.045+0.005)*10=1,得。=0.020,

前3組的頻率和為(0.010+0020+0.045)x10=0.75,前4組的頻率和為

(0.010+0.020+0.045+0.020)x10=0.95,

所以第85百分位數在第4組，設為x,

則0.75+(x—80)x0.020=0.85,解得：x=85,

所以這100位年輕人每天閱讀時間的第85百分位數為85；

(2)由于［50,60),［60,70)和［80,90)的頻率之比為1:2:2,

故抽取的5人中［50,60),［60,70)和［80,90)分別為1人，2人,2人,

記［50,60）的1人為。，［60,70）的2人為偽也，［80,90）的2人為q,c?，

故隨機抽取2人的所有樣本點為｛（a，4）,（a也）,（a,Ci）,（a,C2）,（4，Z?2）,（A，Ci）,（4，C2），

（%,Ci）Q,C2）,（q,q）｝，共包含10個樣本點，

其中至少有1人每天閱讀時間位于［80,90）的樣本點為｛（a,cJ,（a,q）0,cJ,（4，C2）,

他，9）,02，。2），（。1，。2）｝，共包含7個樣本點，

7

故至少有1人每天閱讀時間位于［80,90）概率尸=歷.

【變式4-4］（2024.高一.河北邯鄲?期末）某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構想的認知程度，針對本市

不同年齡和不同職業的人舉辦了一次“一帶一路，，知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結

果認知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：［20,25）,第二組：［25,30）,第三組：［30,35）,

第四組：［35,40）,第五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

頻率

（1）根據頻率分布直方圖，估計這些人的平均年齡和第80百分位數；

（2）現從各年齡分組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任本市的“中國夢”宣傳使者，若有甲（年齡

38）,乙（年齡40）兩人已確定入選宣傳使者，現計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2

名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

（3）若第四組的年齡的平均數與方差分別為37和第五組的年齡的平均數與方差分別為43和1,據此估

計這機人中35-45歲所有人的年齡的方差.

【解析】（1）這些人的平均年齡為7=22.5x0.05+27.5x0.35+32.5x0.3+37.5x0.2+42.5x0.1=32.25

（歲）.

由頻率分布直方圖知，年齡在［20,35）的頻率為0.05+0.35+0.3=0.7,

在［20,40）的頻率為0.05+0.35+0.3+0.2=0.9,貝U第80百分位數為ae（35,40）,

由0.7+（a—35）x0.04=0.8,解得。=37.5,

所以這些人的平均年齡為32.25（歲），第80百分位數為37.5.

（2）依題意，第四組應抽取0.2x20=4人，記為a,6,J甲，第五組抽取0.1x20=2人，記為d,乙，

對應的樣本空間Q=｛（a,6）,（a,c）,（a,甲）,（a,乙）,（a⑷,3,c）,（"甲）,（6,乙）,（6,①,（c,甲）,（c,乙）,（c,①,（甲,

乙）,（甲⑷，（乙,切,共15個樣本點.

設事件"甲、乙兩人至少一人被選上”，

則M={3,甲）,3,乙）0甲）,（仇乙）,（G甲）,（c,乙）,（甲，乙）,（甲,砌,（乙⑷},共有9個樣本點，

所以甲、乙兩人至少有一人被選上的概率

（3）設第四組、第五組的年齡的平均數分別為入，5,方差分別為S：，U，

則/=37,抬=43篇=1，s；=l,由第一組有10人，得第四組有40人，第五組有20人，

設第四組和第五組所有人的年齡平均數為W，方差為s2,

則I=4°必+2羽=39,$2=J_{40x[*+（37-39f]+20x[1+（43_39）2]}=i0,

60602

因此第四組和第五組所有人的年齡方差為10,

據此，可估計這機人中年齡在3545歲的所有人的年齡方差約為10.

【方法技巧與總結】

游戲公平性的標準及判斷方法

（1）游戲規則是否公平，要看對游戲的雙方來說獲勝的可能性或概率是否相同.若相同，則規則公

平，否則就是不公平.

（2）具體判斷時，可以求出按所給規則雙方的獲勝概率，再進行比較.

【過關測試】

1.（2024.全國?模擬預測）“142857”這一串數字被稱為走馬燈數，是世界上著名的幾個數之一，當142857

與1至6中任意一個數字相乘，乘積中仍然是1,4,2,8,5,7這6個數字輪流出現.若從1,4,2,

8,5,7這6個數字中任選2個數字組成無重復數字的兩位數，從這些兩位數中隨機選取1個，這個兩位

數大于72的概率為（）

3341

A.—B.—C.—D.一

105153

【答案】C

【解析】從1,4,2,8,5,7這6個數字中任選2個，

所有不同的情況為:（L4）,（1,2）,（1,8）,（1,5）,（1,7）,（4,2）,（4,8）,（4,5）,（4,7）,

（2,8）,（2,5）,（2,7）,（8,5）,（8,7）,（5,7）,共15種，

則組成無重復數字的兩位數的個數為15x2=30.

若選取的兩位數大于72,

則十位數字只能是7或8,

符合要求的所有的兩位數為74,75,78,81,82,84,85,87,共8個，

84

故所求概率尸=4=話.

故選：C.

2.（2024.上海長寧.二模）某運動員8次射擊比賽的成績為：9.6、9.7、9.5、9.9、9.4、9.8、9.3、

10.0；已知這組數據的第X百分位為若從這組數據中任取一個數，這個數比大的概率為0.25,則X

的取值不可能是（）

A.65B.70C.75D.80

【答案】D

【解析】將該運動員8次射擊比賽的成績從小到大排列：

9.3、9.4、9.5、9.6、9.7、9.8、9.9、10.0,

因為從這組數據中任取一個數，這個數比加大的概率為0.25,

一共有8個數，所以比加大的數有兩個，則9.8（機＜9.9,

對于A,因為8x0.65=5.2,所以第65百分位為第6個數，即9.8,滿足題意；

對于B,因為8x0.7=5.6,所以第70百分位為第6個數，即9.8,滿足題意；

對于C,因為8x0.75=6,

98+99

所以第75百分位為第6,7個數的平均數，即?°?=9.85,滿足題意；

對于D,因為8x0.8=64,所以第80百分位為第7個數，即9.9,不滿足題意.

故選：D.

3.（多選題）（2024.高二.黑龍江哈爾濱.開學考試）一個袋子中有大小和質地均相同的3個小球，分別標有

數字1,2,3,現分別用三種方案進行摸球游戲.方案一：任意摸出一個球并選擇該球；方案二：先后有

放回的摸出兩個球，若第二次摸出的球號碼比第一次大，則選擇第二次摸出的球，否則選擇第一次摸出的

球；方案三：同時摸出兩個球，選擇其中號碼較大的球.記三種方案選到2號球的概率分別為P2,

△，則（）

A.Pi＞P.B.

C.P2=P3D.片=心

【答案】CD

【解析】方案一：易得“選到2號球”的概率＜=g；

方案二：先后有放回的摸出兩個球的基本事件有{1,1},{L2},{1,3},{2,1},{2,2},{2,3},{3,1},{3,2},{3,3},共9

件，

其中“選到2號球”的基本事件有{1,2},{2,1},{2,2},共3件,

31

所以“選到2號球”的概率為￡=§=§；

方案三：同時摸出兩個球的基本事件有{1,2},{1,3},{2,3},共3件，

其中“選到2號球”的基本事件有",2},共1件，

所以“選到2號球”的概率為月=；■

所以《=鳥=鳥，故AB錯誤，CD正確.

故選：CD.

4.（多選題）（2024?高一.江蘇?期中）某展會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能的

隨機順序前往酒店接嘉賓，某嘉賓突發奇想，設計了兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車

的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車.記方案一

與方案二坐到“3號”車的概率分別為6則（）

A.B.A=E=：

o2

c.4+8=3D.Pt>p2

o

【答案】ACD

【解析】按照發車的序號，列舉基本事件如下：

123,132,213,231,312,321,共6種，

方案一坐到“3號”車，包含的基本事件有：132,213,231,共3種，

31

所以方案一坐到“3號”車的概率P,=y=~.

62

方案二坐到“3號”車，包含的基本事件有：312,321,共2種，

所以方案二坐到“3號”車的概率上=72=<1

63

所以4>2,ACD選項正確，B選項錯誤.

06

故選：ACD

5.（2024.高二.全國.課后作業）從一個放有兩個白球、兩個黑球的罐子中任意摸兩個球，則至少摸到一個

黑球的概率是.

【答案】|

【解析】設兩個白球為對。2,兩個黑球為4也，則

從6個球中任取2個球的基本事件有:（01,02）,（01,4）,（弓也），（。2,61），（4也），（乙也），6種等可能結果,

其中至少摸到一個黑球的的事件是：（apbJIq,4）」的,4）」外,年），。”4），5種等可能結果，

故至少摸到一個黑球的概率為：P=J

6

故答案為：

6

6.（2024.陜西漢中.二模）繼淄博燒烤、哈爾濱凍梨后，最近天水麻辣燙又火了.據了解天水麻辣燙店內

菜品一般由竹簽串起成捆擺放，人們按照自己的喜好選好后遞給老板，進行調制.某麻辣燙店內有西蘭

花、香菇、豆皮、海帶、白菜等菜品，一游客打算從以上5種蔬菜中隨機選擇不同的3種，則西蘭花和海

帶被選中的概率為.

3

【答案】—/0.3

【解析】由題意，設五種食材分別為4c/,e,則基本事件空間為

｛（a,b,c）,（a,b,d）,（a,b,e）,（a,c,d\（a,c,e）,（a,d,e）,（b,c,d）,（b,c,e）,（b,d,e）,（c,d,e）｝,

,3

共10個基本事件，其中含有西蘭花和海帶的有（。/,〃），（a,c,d）,（a,d,e）,3個基本事件，所以尸=本

3

故答案為：—

7.（2024?高二?上海?階段練習）甲乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中想一個數字，記為。，再由乙猜甲剛

才所想的數字，把乙猜的數字記為6,其中｛1,2,3,4,5,6｝,若a=6或°=就稱甲乙“心有靈

犀”.現在任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為.

【答案】空

36

【解析】甲、乙的所有可能情況用二維有序數組（。涉）表示：

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,

總共有36種，

符合條件的有（1,1）,（L2）,（2,2）,（2,3）,（3,3）,（3,4）,（4,4）,（4,5）,（5,5）,（5,6）,（6,6）,共11種,

所以他們“心有靈犀”的概率為工.

36

故答案為：空.

36

8.（2024.高一.山西大同.期末）某校高二年級共有800名學生參加2021年全國高中數學聯賽初賽，為了解

學生成績，現隨機抽取40名學生的成績（單位:分），并列出頻數分布表如下：

分組[0,30)[30,60)[60,90)[90,120)[120,150)

頻數5713105

（1）試估計該年級成績不低于90分的學生人數;

⑵成績在區間［120,150］上