重難點專題14利用傳統方法解決二面角問題

【題型歸納目錄】

題型一：定義法

題型二：三垂線法

題型三：垂面法

題型四：射影面積法

題型五：補棱法

【方法技巧與總結】

二面角的求法

法一：定義法

在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如

圖在二面角。-/-力的棱上任取一點O,以。為垂足，分別在半平面。和戶內作垂直于棱的射線和OB,

則射線Q4和OB所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就相當于

求兩條異面直線的夾角即可）.

法二：三垂線法

在面a或面刀內找一合適的點A,作AO_L分于O,過A作AB_Lc于3,則30為斜線在面￡內的

射影，為二面角a-c-"的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點做面的垂線；即過點A,作A0_L/于O；

②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過A作ABLc于3,連接30；

③計算：NA5O為二面角a-c-尸的平面角，在也中解三角形.

圖1圖2圖3

法三：射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面

qc

積公式（cosO=』=±幺"如圖2）求出二面角的大小;

s斜sABC

法四：補棱法

當構成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補

棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題.當二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面積法

解題.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二

面角的平面角.

【典型例題】

題型一：定義法

【典例1-1】（2024.高一.浙江金華?期中）如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB^AC,。為BC的中點，PO1

平面A5C,垂足。落在線段AD上.

⑴證明：AP1BC；

⑵已知BC=8,AO=3,OD=2,且直線尸3與平面PAD所成角的正弦值為石.

①求此三棱錐尸-ABC的體積；

②求二面角3-AP-C的大小.

【解析】（1）因為AB=AC,。為8C的中點，所以AD人3C,

又尸01平面A3C,則

又AD尸0=0,4）,POu平面PAD,所以3C1平面上4D,

又APu平面尸AD,所以AP_L3C；

（2）①由平面尸AD,則直線尸8與平面PAD所成角為NBPD,

2

則sinZBPD=—,由BC=8,AO=3,OD=2,D為BC的中點，

所以BD=4,則PS=6,所以PD=26，

由尸01平面ABC,所以PO=4,所以匕??c=gx4xgx8x5=,；

p

②在平面ABC內作BAfLAP于/,連接CM,由8clpA,

又BMBC=B,BM,BCu平面BCM,所以API平面3cM,

所以APJ_MC,則—BMC為二面角3-AP-C的平面角,

在直角三角形AZ汨中，AB=JAD。+DB。=而，

在直角三角形POD中，PD2=PO2+OD2,

在直角三角形中，PB2=PD2+BD2=36,所以PB=6,

在直角三角形PQ4中，PA1=AO2+OP2=25,所以PA=5,

所以在三角形加中，。必依"藍；廣"

所以sin/APB=^^,則BM=P3sin/AP3=4后,同理CM=4近，

1^BC2^BM2+CM2,所以NBMC=90,

即二面角3-AP—C的大小為90.

【典例1-2】(2024?高二?全國.專題練習)四邊形ABCD是正方形，以，平面ABCD,且叢=AB.求:

(1)二面角A-PD-C的平面角的度數；

(2)二面角B-R4-D的平面角的度數；

⑶二面角8-R4-C的平面角的度數.

【解析】(1)

B4_L平面A3CD,CDu平面A3CD,

：.PA1CD,又四邊形A3CD為正方形，，CD，AZ),

PAcAD=A，上4,ADu平面PAD,\CD人平面PAD,

又CDu平面尸CD,二平面上M>_L平面尸CD,

???二面角A-PD-C的平面角的度數為90。；

(2)X4_L平面ABC￡>,ABu平面ABCD,AT>u平面ABCD,

:.AB±PA,AD±PA.

.:/54。為二面角8-1-。的平面角.

又由題意可得ZBAD=90°,

二面角3-厚-￡>的平面角的度數為90。；

(3)7^4_1_平面ABC。，ABu平面ABCZ),ACu平面ABCZ),

:.AB±PA,ACA.PA.

.?./區4。為二面角3-24-。的平面角.

又四邊形ABC。為正方形，.45。，

即二面角3-R4-C的平面角的度數為45。.

【變式1-1](2024.高三?甘肅?階段練習)如圖，已知四棱錐尸-ABCD的底面為直角梯形，AD//BC,

/BCD=90°,PA=PB,PC=PD.

P

(1)證明：CO與平面PAD不垂直；

(2)證明：平面PAS_L平面ABCD；

(3)如果。0=">+3。，二面角P—3C-A等于60。，求二面角尸―CD—A的大小.

【解析】(1)

若CD_L平面PAD,

則CDLPD,

由已知PC=PD,

得ZPCD=ZPDC<90°,

這與CD_LPD矛盾，所以。>與平面上4￡)不垂直.

(2)取AB、CD的中點E、F,連接尸￡\PF、EF,

由上4=尸5,PC=PD,得PE_LAfi,

PFVCD,

.?.￡F為直角梯形的中位線，

EF，CD,又PFEF=F,

\CD八平面P跖，

由PEu平面PEF,得C"PE,又AB_LPE且梯形兩腰A3、8必交,

.?.PE_L平面ABCZX

又PEu平面RIB,

???平面PAB_L平面ABCD.

(3)由(2)及二面角的定義知NPEE為二面角尸-CD-A的平面角,

作EG_L3C于G,連PG,

由于PE_L平面ABCD,BCu平面A3CD,故PELBC,

EGLBC,EGCPE=E,EG,PEu平面尸EG,故3C1平面PEG

PGu平面尸EG,所以PGLBC

故/PGE為二面角尸—3C—A的平面角，

即ZPGE=60°,

由已知，得EF=g(AD+BC)=；C￡>,

又EG=CF=；CD.

：.EF=EG,

.-.Rt..PEF=Rt,PEG.APEF=ZPGE=60°,

故二面角P-CD-A的大小為60。.

題型二：三垂線法

【典例2-1】(2024?高二?浙江金華?期末)如圖，已知四棱錐P-ABC。的底面是菱形，AB=2,ZBAD=60°,

對角線AC,8。交于點O,POJ?平面ABCD,平面a是過直線AB的一個平面，與棱PC,PD交于點E,尸，且

(1)求證：EF//CD-,

(2)若平面a交PO于點T,求=的值;

(3)若二面角E-AB-C的大小為45。，求尸O的長.

【解析】(1)

四棱錐P-A3CD的底面是菱形，AB//CD,又Mu平面a,儀)儀平面。，則CD〃平面。，

而平面a、平面PCD=￡F,COu平面尸CD,

所以EF//CD.

(2)由E,Ac平面a,E,Ae平面PAC,得平面'平面PAC=AE,

而TePO,POu平面PAC,于是Te平面PAC,又Te平面a,

則TeAE,即AT,E三點共線，由PO,平面ABC。,ACu平面ABC。，則PO_LAC,

如圖，在△上4c中，過點E作尸O的垂線，垂足為G,于是GE//AC,

113GEGE1GTGEI

設尸O=t,由PE=—PC,得PG=—t,GO=—t,

444AO-CO-4TO~AO~4

1133132PT2

從而GT=—GO=—?—t=—t,所以尸T=PG+GT=—r+—/=—t,即一=-.

554204205PO5

過點。作四，48于點"，連接力V,

由尸01平面ABCD,ABu平面ABCD,則TO_LAB,而7。ON=O,TO,ONu平面TON,

則平面TON,而刃Vu平面TON,于是

則有N77VO為二面角E-AB-C的平面角，即N77VO=45。，

在菱形A3CD中，由A8=2,/BA￡)=60。，得NO=叵,則TO=立,

22

由(2)^TO=-PO=—,所以尸。=任

526

【典例2-2】(2024.高二.上海普陀?期末)如圖，在三棱錐O-ABC中，平面ACD_L平面4BC,

ADLAC,AB1BC,E、尸分別為棱3C、8的中點.

I)

(1)求證：直線所〃平面ABD;

(2)若直線8與平面ABC所成的角為45。，直線8與平面所成角為30。，求二面角3-AD-C的大

小.

【解析】(1)?:E,尸分別是棱3C、CD的中點，，在△BCD中，EFUBD,

平面ABD,BDu平面ABD,；.直線EF〃平面板)；

(2):平面ACD_L平面ABC,平面ACD1平面ABC=AC,

ADu平面ACD,AD±AC,A￡>_L平面ABC,

ZDCA是直線CD與平面ABC所成角，

?.?直線8與平面ABC所成角為45。，

Z.ZDG4=45°,AD=AC,：AD_L平面ABC,AB,BCu平面ABC,

/.AD±BC,ADJ.AB,VABIBC,ABr>AD=A,AB,ADuABD平面，

/.3cl平面ABD,NBDC是直線CD與平面ABD所成角，

直線。與平面AB￡)所成角為30°,ZBDC=30°,

:.BC=：CD,BD=yj3BC,設BC=1,

則CD=2,BD=y/3,AD=AC=近,AB=1,

....ABC為等腰直角三角形，/R4c=45。，

VADJ.AB,ADLAC,/BAC是二面角的平面角，

二面角3-AD-C的大小為45。.

【變式2-1](2024?高三?全國?專題練習)如圖，正方體ABCD-ABCQ的棱長為1.在棱AB上是否存在

一點使得二面角A-知4-C等于120。？若存在，求出空■的值；若不存在，說明理由.

【解析】假設存在滿足條件的點M,連結加為，過B作8//，與為垂足,

并延長與441相交于N,連結S.

因為C3_L平面\ABB},BXMu平面\ABBX,

所以CBL印0,

因為BNBC=B,BN,BCu平面BCN,

所以耳M_L平面3CN,

因為CHu平面BCN,

所以CH，4”.

所以NB/7C為二面角A-MB^C的平面角的補角，即有ZBHC=60°.

T^BM=X,則件M=Jl+f.

%

在Rt5M片中,BHB{M=BMBB1,從而BH=〒^

Vl+x2

在中，NBHC=60。,tan/BHC=空='*=百,解得了=變.

BHx2

AM1-ri-

因此，存在符合題設條件的加,且滿足黑=—=忘-1.

MBx

題型三：垂面法

【典例3-1】（2024.高二?四川成都?階段練習）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為矩形，平面

PAD，底面A3CD,右^4￡）為正三角形，E是A8的中點，AD=2,AB=4.

⑴求點C到平面尸￡史的距離.

（2）求二面角。-PE-C的余弦值.

【解析】（1）由題設AB_LAD,面PAD_L面ABCD,ABu面ABCD,面面ABCD=AD,

所以AB工面PAD,PAu面PAD,故即

所以尸E=JPA2+AE2=q2。+2?=20，W￡)￡=^AD2+AE2=272>PD=2,

△PDE中PD上的高V7,故S的=gx2xV7=77,

令點C到平面尸。E的距離為d,又Vp_cDE=VJPDE,且SC?E=；x2x4=4,尸到面CDE的距離為正三角形

PAD的高，

所以伍=2X4XTL可得1=生&1,故點C到平面燈汨的距離為WH.

3377

（2）由C￡）J_AD,面八山,面用?。。，CDu面ABCO,面上4。_1_面ABCD=AD,

所以CD,面尸AD,尸￡>u面尸A￡>,故CDLPD,則尸C=J?我=2右，

又EC=>J^T￥=2e=PE，故,7CE為等腰三角形，則PC上的高為百，

令C到PE的距離為人典\gxhxPE=；x6XPCn2同=2亞nh=粵~,

由（1）知：點C到平面尸叫；的距離為勺包，

7

若銳二面角。一尸E—C為。，貝ljsin6=生旦x-^=刊羽，故cos9=?l,

7V303535

所以二面角。-PE-C的余弦值為曬.

35

【典例3-2】（2024?高一?江蘇蘇州?階段練習）在三棱臺ABC-A瓦G中，

AB±AC,AB=2AlBl=2,AC=2A/2,CQ=2,ZAlAC=AAiCA,且平面ACAG_L平面ABC.

B

(1)求證：平面A^C_L平面ABC1；

(2)求二面角A-AC-8的正弦值.

【解析】(1)平面A41GC平面43。，平面A41cC平面ABC=AC,ABAC,

ABu平面ABC,故AB/平面441GC,ACu平面A41GC,故AB_LA]C,AC中點為￡),連接A。,

Z^AC=Z^CA,則AO_LAC,AD=CD=>ji，

AB=2A.B},則AG=gAC=&AQ=CD,^Q//CD,

故四邊形AOCG為矩形,

tanNCAC]=2a=，tanZ/^CCj=~^~>^CACpZ/^CCje^O,—

故NG4G=/ACC],即4C_LAC1,

ABcAG=A,A民ACu平面48C1,故A。，平面，

又ACu平面ABC,故平面ABC，平面43G.

(2)設4CcAG=。，連接20，AC_L平面ABC-03u面ABC】，故AC_LOB,

又因為ACLAG，所以二面角A-AC-B的平面角為/A08,

AC1=A/8+4=2V3,AO=|AG=孚，

AB1平面A41GC,AOu平面A41GC,所以AB_LAO,

A52J2]

在RtOAB中，OB2=OA2+AB2,解得03=2^,仄而,""8-蔬--〒,故二面角

3石飛

4一40-2的正弦值為正1.

7

題型四：射影面積法

【典例4-1】(2024?四川宜賓?一模)如圖所示，ABC是正三角形，平面ABC,AE//CD,

AE=AB^2,CD=l,且尸為BE的中點.

⑴求證：Z)/〃平面ABC；

(2)求平面與平面ABC所成二面角的正弦值.

【解析】(1)

E

證明：取AB中點連接M尸、MC,則MF〃4E,5.MF=-AE=l=CD.

2

又因為AE〃CD,所以MF7/CD,即四邊形MF￡）C為平行四邊形，所以。尸〃MC；

又有平面ABC,MCu平面ABC,所以。尸〃平面ABC.

(2)

延長即、AC相交于點N,連接BN,則BN為平面3DE與平面ABC的交線.

AE//CD,AE=2CD,

則。C為aABC的中位線，所以AN=2AC=4,

即AC=QV=3C,所以AB_LBN.

BN=y]AN2-AB2=2A/3

EN=ylAE2+AN2=2A/5>BE=dAE?+AB。=20，

:.BE2+BN2=EN2,即BELBN.

所以ZEBA即為平面與平面ABC所成二面角的平面角.

..—鉆一2_A/2

..sin/EBA-----——------,

BE2A/22

故平面3■與平面ABC所成二面角的正弦值為變.

2

【典例4-2】（2024?高二?廣東廣州?期中）如圖，已知A3是圓柱下底面圓的直徑，點C是下底面圓周上異

于A,8的動點，CD,8E是圓柱的兩條母線.

(1)求證：ACD_L平面BCZJf；

(2)若AB=6,BC=3,圓柱的母線長為2百，求平面ADE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

【解析】(1)因為A3是底面的一條直徑，C是下底面圓周上異于48的動點,

所以ACJ.3C,

又因為8是圓柱的一條母線，所以CD_L底面ACB,

而ACu底面ACB,所以CDJ_AC,

因為CDu平面BCDE,BCu平面BCDE,且CDcBC=C,

所以AC_L平面3CZJE,

又因為ACuACD,所以平面ACD_L平面BCDE；

(2)如圖所示，

過A作圓柱的母線AAf,連接。M,EM

因為底面ABC//上底面所以即求平面ADE與平面所成銳二面角的大小,

因為在底面的射影為且為下底面的直徑，所以為上底面的直徑,

因為40是圓柱的母線，所以AAf1平面

又因為W為上底面的直徑，所以ME>_L￡>E,而平面ADEDME=DE,

所以NMZM為平面ADE與平面DWE1所成的二面角的平面角，

又因為。在底面射影為C,所以DE=3C=3,ME=AB=6,

所以DM=個6=30,又因為母線長為2VL所以AM=2百，

又因為平面。WE,DMu平面所以

所以AO=J(26『+(3百『=739,

匚匚I、I?MD3>/33[TT

所以cosNMDA=-----=.——=—J13

AD犧13

即平面與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為尚如.

【變式4-1］如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，24,平面

ABCD,PA^AB=a,求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小.

【解析】因為R4,平面ABCD,ADu平面ABCD,

所以

又ADLAB,且Q4cAB=A,PA,ABu平面E4B,

所以ADJ_平面上48,

同理平面

所以APCD在平面PBA上的射影為APAB.

故平面PB4與平面尸CD所成二面角的大小為45.

題型五：補棱法

【典例5-1】(2024?山東淄博.高一統考期末)如圖，已知正方體ABCQ-AgGA的棱長為2,M、N分別

為棱8瓦、3C的中點.

(1)證明：直線DN〃平面AMR；

(2)設平面AMD,與平面ABCD的交線為/,求點M到直線/的距離及二面角A々-C的余弦值.

【解析】(1)證明：取CG的中點E,連接DE、NE、ME，

在正方體ABCD-44Goi中，BBJ/CC,且BB}=CQ,

M、E分別為8月、CG的中點，貝!］創"/CE■且BM=CE,

故四邊形BCEAf為平行四邊形，則3c且ME=3C,

又因為AD〃3C且AD=3C,則ME7/AD且腔=AD,

故四邊形ADEM為平行四邊形，則DE//AM,

DEa平面AMD,,AMu平面AMDJ,DEH平面AMD,,

因為AB//GR且AB=G2,故四邊形ABCR為平行四邊形，則BCJIAD,,

QN、E分別為BC、CG的中點，則NE//BG，則NE//AR,

平面AMR,A￡>|u平面AMR,NE〃平面AMR,

DENE=E,DE、NEu平面DEN,所以，平面。硒〃平面

ZWu平面DEZV,二￡W〃平面AMR.

(2)延長DB交與點、P,連接轉，則直線AP即為直線/,

PMPBBM1

因為四〃DR且因=E>2,取為B片的中點，貝I而■二石廠后廠不，

故點B為尸。的中點，M為尸2的中點，

在4AB尸中，AB=2,BP=BD=2垃,ZABP=135,

由余弦定理可得A/3?=20,貝|4尸=2括，

cosNBAP=4-2+"0?一'02=垣，則復門幺人尸=?一cos2NBAP=—,

2ABAP55

過點￡>在平面ABCD內作。尸上直線?IP,垂足為點尸，連接。尸，

sinZDAF=sin(90-ZBAP)=cosNBAP=當，所以，DF=ADsinZDAF=竽，

QDR_L平面/u平面A3CQ,

DF±l,DFDD{=D,DF、DRu平面OR尸，.?./_L平面OR尸，

2歹u平面DDL，，。尸U,故二面角A-JC的平面角為

且R/=Jr>n；+r>尸2=空,故點用到直線/的距離為手，

DF2O

008/0^=-=-,因此，二面角烏-/-。的平面角的余弦值為

【典例5-2】(2024.湖南常德.高一臨澧縣第一中學校考期末)《九章算術》是中國古代的一部數學專著，是

《算經十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有

效的應用數學，它的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系.《九章算術》中將由四個直角三角形組成

的四面體稱為“鱉腌”，己知在三棱錐尸-ABC中，PAL平面ABC.

(1)從三棱錐尸-ABC中選擇合適的兩條棱填空：1,則三棱錐P-ABC為“鱉ST'；

(2)如圖，已知垂足為O,AE1PC,垂足為E,ZABC=90°.

(i)證明：平面ADE_L平面PAC；

(ii)設平面ADE與平面ABC交線為/,若尸4=26，AC=2,求二面角E-/-。的大小.

【解析】(1)因為“鱉IT'是由四個直角三角形組成的四面體，又PAL平面9C,所以尸A_LAB,

PALAC,PA1BC；即a/MB,△上4c為直角三角形；

若3c_LAB,由ABPA=A,AB,PAu平面上4S,可得：i5cl平面上4B；

所以BCLPB,即ABC,PBC為直角三角形；滿足四個面都是直角三角形；

同理，可得BC，AC或3CLPB或3CLPC,都能滿足四個面都是直角三角形；

故可填：3。，"或30,4。或3(7_1尸8或3。，尸。；

(2)(i)證明：

：R1_L平面ABC,3Cu平面A3C,

PA1BC,

又BCLAB,PAAB=A,PA,ABu平面上鉆，

BC/平面上4B,

又ADu平面上4B,

?.BC1AD,

又ADLPB,PBcBC=B,PB,BCu平面PBC,

：.4)_1平面尸3(7,

又尸Cu平面PBC,

PCLAD,

又AELPC,AEr\AD=A,AD,AEu平面仞石，

PC_L平面陋E,

又尸Cu平面PAC,

平面M>E_L平面PAC.

(ii)由題意知，在平面PBC中，直線。E與直線3C相交.

如圖所示，設DEcBC=F,連結AF,則■即為/.

：PC_L平面AEE),/u平面AED,

?.PCLI,

:R1_L平面ABC,/u平面ABC,

?.PALI,

又PA,PC=P,PA,PCu平面PAC,

/I平面PAC,

又4及ACu平面PAC,

：.AELI,ACLI.

ZEAC即為二面角E—7—C的一個平面角.

在△PAC中，PALAC,PA=2s/3,AC=2,

：.PC=4,

又AELPC,

..r_APxAC_2y/3x2_r-

PC4

,AE>/3

??cosZEAC==——,

AC2

：.ZEAC=30°f

???二面角￡-/-C的大小為30。.

【變式5-1］（2024?黑龍江牡丹江?高一牡丹江一中校考期末）如圖，是圓。的直徑，點C是圓。上異

于A,2的點，直線PC,平面ABC,E,尸分別是R4,PC的中點.

（1）記平面BEF與平面ABC的交線為/,試判斷直線/與平面P4C的位置關系，并加以證明;

（2）設PC=2AB=4,求二面角ET-C大小的取值范圍.

【解析】（1）EF//AC,ACu平面ABC,EFcZ平面ABC,EF〃平面ABC,

又EFu平面BEF,平面8EF與平面ABC的交線為/,所以EF〃/,

而/U平面PAC,石尸（=平面尸4。，所以/〃平面PAC；

（2）設直線/與圓。的另一個交點為。，連接。E,FB,如圖：

由（1）知，BD//AC,而AC13C,所以8￡>_LBC,

所以尸C,平面ABC,所以尸C_LBr>,

而PCc3C=C,所以平面P8C,

又尸8u平面PBC,所以m_L3產，

所以/EBC就是二面角E-/-C的平面角，

因為PC=2AS=4,點尸是PC的中點，所以FC=；PC=A2=2,

FCAB1

故tan/FBC=—

BCBC~cosZABC

jr

注意至1」0<NABC<K，所以0<COS/ABC<1,所以tan/FBC>l,

TT

因為0<NF3C<5，所以NMCe

所以二面角E-7-C大小的取值范圍為

【過關測試】

1.（2024?高一?遼寧丹東.期末）如圖(1)所示，ZABC=ZACD=90°,AB=BC=娓,ZCAD=3Q°,如

圖（2）所示，把二ABC沿AC折起,使平面ABC人平面ACD,E為AD的中點，連接BD,BE,EC.

圖⑴圖⑵

（1）求證：平面平面BCD；

（2）求二面角E-BC-O的正弦值.

【解析】（1）因為平面A5C1平面ACD,平面ABCc平面ACD=AC,CDLAC,CDu平面ACD,

所以COJ_平面ABC,又4?u平面ABC,所以AB_LCD,

又AB13C且Bcnco=c,BCu平面BCD,CDu平面BCD,

所以ABI平面BCD,

又ABu平面板），

所以平面ABDJL平面BCD；

（2）分別取30,BC的中點/，G,連接石尸，FG,EG,

因為E為AD的中點，所以EF〃AB,

因為AB2平面3CD,所以EF1平面BCD,BCu平面BCD,所以EF23C,

因為FGHCD,CD,平面ABC,所以FG,平面ABC,

又3Cu平面ABC,

所以FGLBC,

又EFcFG=F,EF,FGu平面EFG,所以平面EFG,EGu平面EFG,所以5CLEG,

所以/EGF是二面角E-3C-D的平面角，

又ZABC=ZACD=90°,AB=BC=娓,ZG4D=30°,所以AC=JAB?十叱二：2出,

tanZCAD=—=—,所以CD=2,

AC3

在直角EFG中，EF=-AB=J^~,FG=-DC=1,EGNEF+FG，=?,

2222

所以sinNEGF=?=姮,即二面角E-3C-。的正弦值為姮.

EG55

2.（2024.高一?福建三明?期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAL平面ABC。,AD//BC,ADLCD,

S.AD=CD=2,BC=4,PA=41.

⑴求證：AB1PC；

(2)在線段PD上是否存在一點M,使得BM與平面ABCD所成角的正切值為叵

,若存在，求二面角

26

V-AC-D的大小，若不存在，請說明理由.

【解析】(1)

證明：因為AD〃3C,ADLCD,AD=CD=2,BC=4,

所以四邊形ABC。是直角梯形，且AC=2&，AB=^BC-AD'f+CD2=2A/2,

AB2+AC2=16=BC2,即AB人AC.

又PA_L平面ABCD,ABu平面ABC。，所以

又PAAC=A,且B4,ACu平面融C,所以AB工平面朋C,

又尸Cu平面RIC,所以A5_LPC

(2)存在符合條件的點M,且M為PO的中點，

證明如下，過點M作于點N,連接2N,

p

M

BC

因為PA_L平面ABCD,ADu平面ABCD,所以R4_LAD,

因為MMPAu平面必￡）,所以MN〃叢，

因為所以MN1AB,

因為ABcAD=A,4氏4。<=平面45。￡）,所以MN_L平面ABCD,

則/MBN為與平面ABC。所成的角.

^AN=x（O<x<2）,則A?=2—x,MN=^（2-x）,BN=｛（2+x）2+4,

由tan/MBN=—得叵="^-尤）,

BN26J（2+_+4

解得尤=1或x=g（舍去）

所以M為P。的中點，

過點N作NGLAC于點G,連接MG,

因為肱V_L平面ABC。，ACu平面ABCD,所以MN_LAC,

又MNNG=N,MN,NGu平面MGN,故AC_L平面MGN,

因為MGu平面MGN,所以AC_LMG,所以/MGN為二面角M-AC-O的平面角,

；RtMNG中，NG=ANsin—==MN,所以4MGN=—,

424

7T

即當點M為尸。的中點時，符合題意，且二面角M-AC-。的大小為了.

4

3.（2024.高一.貴州安順.期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是直角梯形，平面

ABCD,M是邊AD上一點，且滿足ABCM是正方形，AB=1,PA=2.

p

(1)求證：平面PBM_L平面PAC；

(2)已知：MD=2(O</1<2),二面角尸-CD-A的平面角為。.是否存在4,使得tan。=收?若存在,

求出X；若不存在，說明理由.

【解析】(1)證明：因為R4_L平面"CD,BMu平面45cD,所以上4_LBM

因為正方形AB。1,所以AC,3M

又尸4門47=4,乃4,4(7<=平面尸4(7,所以上平面PAC

因為平面所以平平面尸8MJL平面PAC；

(2)過P隹尸N_LCD于N,連接4V

因為PA_L平面ABC。，CDu平面A3CD,所以E4JLCD

因為PN_LCD,PNcPA=P,PN,PAu平面PAN,所以CD_L平面尸/W

又ANu平面PAN,所以CD_LAN,則NZW為二面角P-CD-A的平面角6

pA2r-

所以tan8=tan/PNA=---=——=V2,則AN=6

ANAN

又因為正方形ABCM中，有AC=?AB=4i,又PNLCD,所以此時N與。重合

JTJT

因為NDAC=NACB=T，所以NADC=：=NDAC,則AC=CO=后，所以

44

AD=y/2AC=2=AM+MD，t^A=MD=2-AM=1

故存在％=1使得tan。=&-

4.（2024?高一.河南商丘?期末）如圖，在四棱錐尸-ASCD中，底面ABCD是菱形.

(1)若點片是PD的中點，證明：PB〃平面ACE；

(2)若上4=PD=">,ZBAD=120,且平面E4T>_L平面ABCD,求二面角尸-AC-O的正弦值.

【解析】(1)連接30交AC于M,連接EN,

因為底面ABCZ)是菱形，所以V為BD的中點，

又點E是PD的中點，故"正為_￡>~8的中位線，

敬EM〃PB,而EWu平面ACE,PBu平面ACE,

故尸3〃平面ACE；

(2)設。為AD的中點，連接尸O,因為m=尸￡>=4),故POLAD,

因為平面PAD_L平面ABC。，且平面E4Dc平面ABCD=AD,

POu平面PAD,所以P01平面ABC。，而ACu平面ABC。，

故POUC,

底面ABCD是菱形，故,ACLBD,作ON〃9交A"于N,

則ON_LAC,且N為411的中點，

連接PN,因為P。ON=O,PO,ONu平面PON,

故ACJ_平面尸ON,PNu平面PON,

故ACLPN,

則NPNO即為二面角尸—AC-O的平面角，

設上4=PD=AD=2,則尸。=百，

ZBAD=120,貝U/ZMC=60,貝IDM=2xsin60=百，

由于。為AD的中點，N為AM的中點，t^ON=-DM=—,貝！1，

而尸01平面ABC。，ONu平面A3CD,故尸OJLON,

則—而B當

2

即二面角P-AC-。的正弦值為半.

5.(2024.高一?云南玉溪?期末)如圖，三棱錐尸-MC的底面MC是等腰直角三角形，其中

AB=AC=PA=PB=2,平面平面ABC,點￡,N分別是AB,8C的中點.

(1)證明：EN1平面B4B；

(2)求二面角C-依-A的余弦值.

【解析】(1)證明：因為三棱錐尸-ABC的底面是等腰直角三角形，且AB=AC=2,所以AB/AC,

又點E,N分別是AB,BC的中點，故EN〃AC,故

又平面PAB_L平面ABC,平面PABc平面ABC=AB,￡7Vu平面ABC,

故EN_L平面PAB.

(2)如圖，取尸8的中點為凡連接AF,CF,

因為上4=PB=AB=2,所以酢_LPB,AF=6

又平面PA5_L平面ABC,平面PABc平面ABC=AB,AB±AC,

ACu平面ABC,故AC_L平面A8P,PBu平面ABP,故AC_LPB,

ACnAF=A,AC,AF^^ACF,故尸3_L平面AC/,

CFu平面ACF,故PB_LCF,

則NCE4即為所求的角，于是tanNCE4=￡=],cosZCFA=—,

AFV37

所以二面角0-依-4的余弦值為亨.

6.（2024.高一.安徽蕪湖.期末）如圖，在三棱臺ABC-的中，NACB=90,BF±AD,BC=2,

BE=EF=FC=1.

(1)求證：平面3CEE_L平面ABC；

jr

(2)若直線AE與平面BCFE所成角為求平面DEC和平面ABC所成角的正切值.

【解析】(1)取BC中點為。，連接產O,

VBE=EF=FC=1,BC=2,所以BO=OC=FC=1,故NBFV=NOBF,NCFO=/COF=NFCO,由三角

形內角和可得ZBFO+ZCFO=90,

故■，尸C,

又：BF_LAD,AD,FCu平面ADFC,A。,改為相交直線，

.?.族_L平面ADRC,〃^匚平面仞八^二臺尸］？!。

又：ZAC3=90,BPBC±AC.BFCBC=B,平面BCTE,

AC_L平面3CFE,AC在平面ABC內，平面BCFEl.平面ABC

(2)由(1)知直線AE與平面3CFE所成角為NAEC,

,?6>由于AE=AF=\lBC2—FC2=y/3,?"AC=3

JDC

設平面DEC和平面ABC的交線為I,

由于AB〃平面DEC,ABu平面ABC,所以/〃AB,

過點E作EGJ_3c于G,

又(1)知平面3CFE_L平面ABC,且兩平面的交線為3C,EGu平面3cFE.

EG_L平面ABC,/e平面ABC,所以EG_U,

皿m

再過點G作6長_1/于長，連接EK,

GKcEG=G,GK,EGu平面EGK,所以/工平面EGK,

EKu平面EGK,故/，EK,

???NEKG即為所求角，

13

BG=-,GC=~.

22

33339

GK=GC,sinZBCK=-sin/BCK=-sin/5=-x-==—=

222V132V13

??,"“EG_62713_V39

?EKG=-----=—x-------=-------

EK299

7.（2024.高一.江西萍鄉.期末）在如圖所示的空間幾何體中，兩等邊三角形ACD與，ASC互相垂直,

AC=BE=2,DE〃平面ABC,且點E在平面ABC內的射影落在/ABC的平分線上.

⑴求證：平面AC。；

（2）求二面角。-AC—E的正切值.

【解析】（1）如圖，取AC中點。，連接2。，DO,EO,

：為等邊三角形，二夕。為NA2C的平分線，設點廠是點E在平面ABC上的射影,

由題知，點尸在2。上，連接ER則EAL平面ABC,

?.?平面ACD_L平面ABC,平面ACD平面ABC=AC,OOu平面ACD,

DOLAC,貝lJr>O_L平面ABC,

DO//EF,則DEBO為平面四邊形，

：Z）E//平面ABC,￡>Eu平面。E8O,平面DEBOc平面ABC=30,

BOUDE,?.?平面ACD_L平面ABC,平面ACD］平面ABC=AC,

30u平面ABC,BOIAC,301平面AC。，DEI平面ACD

(2)BO±AC,DOLAC,DOcBO=O,DO,3Ou平面8。。，

ABOD,：EOu平面B。。，ACYEO,

.?./OOE為二面角O—AC—E的平面角，

「EF/平面ABC,DO_L平面ABC,EF//DO,

VDEUFO,DEI.DO,

四邊形。EFO為矩形，:.DO=EF=6：.BF=1,OF=DE=y/3-l,

貝IJtan/DOE=Y1l=l-且，故二面角。—AC—E的正切值為1一走.

A/33