第24講隨機事件和樣本空間目標導航目標導航課程標準課標解讀結合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系。了解隨機事伴的并、交與互斥的含義，能結合實例進行隨機事件的并、交運算。1.理解隨機試驗、樣本點與樣本空間，會寫試驗的樣本空間；了解隨機事件的有關概念，掌握隨機事件的表示方法及含義。2.理解事件的關系與運算；通過事件之間的運算，理解互斥事件和對立事件的概念。知識精講知識精講知識點01隨機事件和樣本空間1.確定性現象和隨機現象(1)在一定條件下，事先就能斷定發生或不發生某種結果，這種現象就是確定性現象。(2)在一定條件下，某種結果可能發生，也可能不發生，事先不能斷定出現哪種結果，這種現象就是隨機現象。2.隨機試驗對某隨機現象進行的實驗、觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗。在相同條件下，試驗可以重復進行，試驗的結果有多個，全部可能結果在試驗前是明確的，但不能確定會出現哪一個結果。3.樣本點與樣本空間我們把隨機試驗的每一個可能結果稱為樣本點，用ω表示，所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，記為Ω。如果樣本空間Ω是一個有限集合，則稱樣本空間Ω為有限樣本空間。4.隨機事件樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件。事件一般用A，B，C等大寫英文字母表示。當一個事件僅包含單一樣本點時，稱該事件為基本事件。顯然，Ω(全集)是必然事件，空集是不可能事件。【即學即練1】下列事件中不可能發生的是（

）A．打開電視機，中央一臺正在播放新聞B．我們班的同學將來會有人當選為勞動模范C．在空氣中，光的傳播速度比聲音的傳播速度快D．太陽從西邊升起【答案】D【詳解】對于A、B，屬于隨機事件，有可能發生；對于C，屬于必然事件，一定會發生；對于D，“太陽從西邊升起”這個事件一定不會發生，所以它是一個不可能事件．故選：D．知識點02事件的關系1.包含關系一般地，若事件B發生必導致事件A發生，我們就稱事件A包含事件B(或事件B包含于事件A)，記作A?B(或B?A)。例如；擲一枚骰子，{出現3點}?{出現奇數點}。2.兩個事件的并(或和)“事件A與B至少有一個發生即為事件C發生”。這時，我們稱C是A與B的并，也稱C是A與B的和，并記作C=A+B。例如，擲一枚骰子，{出現2點}∪{出現6點}={出現2點或6點}。注意并(和)事件包含三種情況：①事件A發生，事件B不發生；②事件A不發生，事件B發生；③事件A，B都發生.即事件A+B表示事件A，B至少有一個發生。3.兩個事件的交(或積)“事件A與B同時發生即為事件C發生”。這時，我們稱C是A與B的交，也稱C是A與B的積，并記作C=AB。例如，擲一枚骰子，{出現的點數大于2}∩{出現的點數小于4}={出現3點}。【即學即練2】已知事件A、B、C滿足A?B，B?C，則下列說法不正確的是（

）A．事件A發生一定導致事件C發生B．事件B發生一定導致事件C發生C．事件發生不一定導致事件發生D．事件發生不一定導致事件發生【答案】D【詳解】解：由已知可得A?C，又因為A?B，B?C，如圖事件A，B，C用集合表示：則選項A，B正確，事件，則C正確，D錯誤故選：D．能力拓展能力拓展考法01判斷是否是隨機事件【典例1】已知集合A是集合B的真子集，則下列關于非空集合A，B的四個命題：①若任取，則是必然事件；②若任取，則是不可能事件；③若任取，則是隨機事件；④若任取，則是必然事件．其中正確的命題有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】因為集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韋恩圖如圖：對于①：集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，任取，則是必然事件，故①正確；對于②：任取，則是隨機事件，故②不正確；對于③：因為集合A是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取，則是隨機事件，故③正確；對于④：因為集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，任取，則是必然事件，故④正確；所以①③④正確，正確的命題有3個．故選：C．考法02事件的關系和運算【典例2】對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設“兩次都擊中飛機”，“兩次都沒擊中飛機”，“恰有一次擊中飛機”，“至少有一次擊中飛機”，下列關系不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】A：事件A包含于事件D，正確．B：由事件B，D不能同時發生，所以，正確．C：事件指至少有一次擊中飛機，即事件D，正確．D：由至少有一次擊中飛機，不是必然事件；而為必然事件，所以，不正確．故選：D．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．從某地參加計算機水平測試的5000名學生的成績中抽取200名學生的成績進行統計分析，在這個問題中，200名學生的成績是（

）A．總體 B．個體C．從總體中所取的一個樣本 D．總體的容量【答案】C【詳解】由題知，總體是5000名學生的成績，個體是每一名學生的成績，200名學生的成績是從總體中所取的一個樣本,總體的容量為5000.故選：C2．擲一個質地均勻且六個面上分別刻有1到6的點數的正方體骰子（如圖），觀察向上的?面的點數，下列屬必然事件的是（

）A．出現的點數是7 B．出現的點數不會是0C．出現的點數是2 D．出現的點數為奇數【答案】B【詳解】擲一個質地均勻且六個面上分別刻有1到6的點數的正方體骰子，是不可能出現0的，所以事件出現的點數不會是0為必然事件，B正確；擲一個質地均勻且六個面上分別刻有1到6的點數的正方體骰子，是不可能出現7的，所以事件出現的點數是7為不可能事件，A錯誤；擲一個質地均勻且六個面上分別刻有1到6的點數的正方體骰子，可能出現2點，也可能不出現3點，所以事件出現的點數是2和事件出現的點數為奇數都為隨機事件，C，D錯誤，故選：B.3．下列事件中是隨機事件的是（

）A．在數軸上向區間(0，1)內投點，點落在區間(0，1)內B．在數軸上向區間(0，1)內投點，點落在區間(0，2)內C．在數軸上向區間(0，2)內投點，點落在區間(0，1)內D．在數軸上向區間(0，2)內投點，點落在區間(－1，0)內【答案】C【詳解】利用隨機事件的概念，結合題意寫出所有的樣本點即可得解．當x∈(0，1)時，必有x∈(0，1)，x∈(0，2)，所以A和B都是必然事件；當x∈(0，2)時，有x∈(0，1)或x?(0，1)，所以C是隨機事件；當∈(0，2)時，必有x?(－1，0)，所以D是不可能事件．故選：C．4．下列變化中是周期現象的是（

）A．月球到太陽的距離與時間的函數關系B．某同學每天上學的時間C．某交通路口每次綠燈通過的車輛數D．某同學每天打電話的時間【答案】A【詳解】球到太陽的距離與時間的函數關系是周期現象，某同學每天上學的時間是隨機現象，某交通路口每次綠燈通過的車輛數是隨機現象，某同學每天打電話的時間也是隨機現象，故選：A.5．一質點從平面直角坐標系的原點開始，等可能地向上、下，左、右四個方向移動，每次移動一個單位長度，觀察該點移動3次后的位置，則事件“該點位于第一象限”是（

）A．必然事件 B．不可能事件C．隨機事件 D．以上選項均不正確【答案】C【詳解】一質點從平面直角坐標系的原點開始，等可能地向上、下，左、右四個方向移動是隨機的等可能，每次移動一個單位長度，觀察該點移動3次后的位置，則事件“該點位于第一象限”是隨機事件.故選：C.6．先后擲一枚質地均勻的骰子兩次，落在水平桌面后，記朝上的面的點數分別為x，y，則事件A:x，y都為偶數，事件B:x≠y的交事件包含的樣本點的個數為___.【答案】6【詳解】由題意知，事件A與B的交事件包含的樣本點為（2，4），（2，6），（4，2），（4，6），（6，2），（6，4），共6個.故答案為：67．下列事件：①隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是奇數；②測得某天的最高氣溫是100℃；③擲一次骰子，向上一面的數字是2；④測量四邊形的內角和，結果是360°．其中不是確定事件的是________(填序號)．【答案】①③【詳解】對于①，書的頁碼可能是奇數，也有可能是偶數，所以事件①不是確定事件；對于②，氣溫人不可能達到100℃，所以事件②是不可能事件，屬于確定事件；對于③，骰子六個面的數字分別是1、2、3、4、5、6，因此事件③不是確定事件；對于④，四邊形內角和總是360°，所以事件④是必然事件，屬于確定事件；故答案為：①③．8．某市為了調研全市10800名高一學生期中考試的答題習慣，共軸取25袋答題卡，每袋都裝有30份答題卡，則本次抽樣的樣本量是________________.【答案】750【詳解】樣本量指樣本中包含的個體數，所以本次抽樣的樣本量是.故答案為：.9．（1）隨機現象的發生能夠人為控制其發生或不發生；（2）隨機現象的結果是可以預知的；（3）不可能事件反映的是確定性現象；（4）已經發生的事件一定是必然事件.以上說法正確的有__________.【答案】（3）【詳解】隨機現象不能人為控制，結果無法預知，所以（1）（2）錯誤；不可能事件反映的是確定性現象，所以（3）正確；已經發生的事件以后不一定發生，所以（4）錯誤.故答案為：（3）.10．連續擲3枚硬幣：(1)寫出這一試驗的樣本空間；(2)求這個試驗的基本事件的個數；(3)“恰有兩枚正面向上”這一事件包含哪幾個基本事件？【答案】(1)答案見解析(2)8(3)｛正，反，正｝，｛正，正，反｝，｛反，正，正｝【詳解】（1）Ω＝｛正，正，正｝，｛正，反，正｝，｛正，正，反｝，｛正，反，反｝，｛反，正，正｝，｛反，反，正｝，｛反，正，反｝，｛反，反，反｝；（2）基本事件的個數是8；（3）“恰有兩枚正面向上”包含以下三個基本事件：｛正，反，正｝，｛正，正，反｝，｛反，正，正｝．題組B能力提升練1．一個不透明的袋子中裝有5個黑球和3個白球，這些球的大小、質地完全相同，隨機從袋子中摸出4個球，則下列事件是必然事件的是（

）A．摸出的4個球中至少有一個是白球B．摸出的4個球中至少有一個是黑球C．摸出的4個球中至少有兩個是黑球D．摸出的4個球中至少有兩個是白球【答案】B【詳解】因為袋中有大小、質地完全相同的5個黑球和3個白球，所以從中任取4個球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四種情況.故事件“摸出的4個球中至少有一個是白球”是隨機事件，故A錯誤；事件“摸出的4個球中至少有一個是黑球”是必然事件，故B正確；事件“摸出的4個球中至少有兩個是黑球”是隨機事件，故C錯誤；事件“摸出的4個球中至少有兩個是白球”是隨機事件，故D錯誤.故選：B.2．為了分析高三年級的8個班400名學生第一次高考模擬考試的數學成績，決定在8個班中每班隨機抽取12份試卷進行分析，這個問題中樣本量是（

）A．8 B．400C．96 D．96名學生的數學成績【答案】C【詳解】400名學生第一次高考模擬考試的數學成績是總體，從8個班中每班抽取的12名學生的數學成績是樣本，400是總體個數，96是樣本量.故選：C3．對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設事件A表示隨機事件“兩枚炮彈都擊中飛機”，事件B表示隨機事件“兩枚炮彈都未擊中飛機”，事件C表示隨機事件“恰有一枚炮彈擊中飛機”，事件D表示隨機事件“至少有一枚炮彈擊中飛機”，則下列關系不正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】“至少有一枚炮彈擊中飛機”包含兩種情況:一種是恰有一枚炮彈擊中飛機，另一種是兩枚炮彈都擊中飛機.所以，，“恰有一枚炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒擊中或第一枚沒擊中第二枚擊中，所以，又包含該試驗的所有樣本點，為必然事件，而事件表示“兩個炮彈都擊中飛機或者都沒擊中飛機”，所以.故選：D4．對滿足的非空集合、，有下列四個命題：①“若任取，則”是必然事件；

②“若，則”是不可能事件；③“若任取，則”是隨機事件；

④“若，則”是必然事件.其中正確命題的個數為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】①：因為，，所以，因此“若任取，則”是必然事件，故本命題是真命題；②：當集合是集合的真子集時，顯然存在一個元素在集合中，不在集合中，因此“若，則”是隨機事件，故本命題是假命題；③：任取，當集合是集合的真子集時，有可能成立，也可能不成立，因此“若任取，則”是隨機事件,故本命題是真命題；④：因為，所以一定有，顯然“若，則”是必然事件，故本命題是真命題．因此①③④為真命題.故選：B5．拋擲一枚骰子，“向上的面的點數是1或2”為事件，“向上的面的點數是2或3”為事件，則（

）A． B．C．表示向上的面的點數是1或2或3 D．表示向上的面的點數是1或2或3【答案】C【詳解】解：由題意可知，，，，，所以，，2，，則表示向上的面的點數是1或2或3，故ABD錯誤，C正確．故選：C．6．我國古代數學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米3285石，驗得米內有夾谷，抽樣取米一把，數得261粒米內有夾谷29粒，則這批米內夾谷約為______石.【答案】365【詳解】設這批米內夾谷約為粒，則，解得，則這批米內夾谷約為．故答案為：．7．為了豐富高一學生的課外生活，某校高一年級要組建數學?計算機?辯論三個興趣小組，小明要隨機選報其中的2個，不考慮選報的先后順序，則該試驗的樣本點的個數為___________.【答案】3【詳解】解：該試驗包含的樣本點的情況有：{數學,計算機}、{數學,辯論}、{計算機,辯論}，共計3個樣本點.故答案為：3．8．從含有件次品的件產品中任取件，觀察其中次品數，其樣本空間為______．【答案】【詳解】由分析可知取出的件產品的次品個數為，，，，，所以樣本空間為，故答案為：.9．試驗E:箱子里有3雙不同的手套，隨機拿出2只，記隨機事件A為“拿出的手套配不成對”;隨機事件B為“拿出的是同一只手上的手套”;隨機事件C為“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成對”.(1)寫出試驗E的樣本空間Ω，并指出樣本點的個數;(2)分別用樣本點表示隨機事件A、隨機事件B、隨機事件C，并指出每個隨機事件的樣本點的個數;(3)寫出，，，.【詳解】（1）分別設3雙手套為，其中分別代表左手的3只手套，分別代表右手的3只手套.試驗E的樣本空間，樣本點的個數為15.（2）隨機事件，樣本點的個數為12.隨機事件，樣本點的個數為6.隨機事件，樣本點的個數為6.（3），，，.10．試驗：連續拋擲一枚骰子2次，觀察每次出現的點數.①事件A表示隨機事件“2次擲出的點數之和為5”；②事件B表示隨機事件“2次擲出的點數之差的絕對值為2”；③事件C表示隨機事件“2次擲出的點數之差的絕對值不超過1”；④事件D表示隨機事件“2次擲出的點數之和為偶數”.試用樣本點表示下列事件，并指出樣本點的個數.(1)(2)(3).【詳解】（1）用（i，j）表示拋擲的結果，其中i表示第一次拋擲的點數，j表示第二次拋擲的點數，則該試驗的樣本空間Ω=.因為表示“2次擲出的點數之和為5且點數之差的絕對值不超過1”，所以={（2，3），（3，2）}，樣本點的個數為2.（2）因為表示“2次擲出的點數之差的絕對值為2且點數之和為偶數”，所以={（1，3），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（4，6），（5，3），（6，4）}，樣本點的個數為8.（3）因為表示“2次擲出的點數之差的絕對值為2或2次擲出的點數之差的絕對值不超過1”，所以={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5），（1，3），（2，4），（3，5），（4，6），（6，4），（5，3），（4，2），（3，1）}，樣本點的個數為24.題組C培優拔尖練1．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關系不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】至少有1名男生包含2名全是男生?1名男生1名女生，故，，故A，C正確；事件B與D是互斥事件，故，故B正確，表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，故，D錯誤，故選：D.2．2021年起，我省將實行“3+1+2”高考模式，某中學為了解本校學生的選考情況，隨機調查了100位學生，其中選考化學或生物的學生共有70位，選考化學的學生共有40位，選考化學且選考生物的學生共有20位．若該校共有1500位學生，則該校選考生物的學生人數的估計值為（

）A．300 B．450 C．600 D．750【答案】D【詳解】因為選考化學或生物的學生共有70位，選考化學的學生共有40位，所以選考生物沒有選考化學的學生共有位，又選考化學且選考生物的學生共有20位，所以選考生物的學生有位所以在100位學生中選考生物的占比為，該校共有1500位學生，則該校選考生物的學生人數的估計值為人故選：D3．（多選）袋中裝有標號分別為1，3，5，7的四個相同的小球，從中取出兩個，下列事件是樣本點的是（

）A．取出的兩球標號為3和7B．取出的兩球標號的和為4C．取出的兩球標號都大于3D．取出的兩球標號的和為8【答案】ABC【詳解】對于A：取出的兩球標號為3和7是樣本點，故選項A正確；對于B：取出的兩球標號的和為4，指取出的兩球標號為1和3，是樣本點，故選項B正確；對于C：取出的兩球標號都大于3，指取出的兩球標號為5和7，是樣本點，故選項C正確；對于D：取出的兩球標號的和為8包括取出的兩球標號為1和7、3和5，是兩個樣本點，故選項D不正確；故選：ABC.4．(多選)給出關于滿足的非空集合A，B的四個命題，其中正確的命題是（

）A．若任取，則是必然事件B．若任取，則是不可能事件C．若任取，則是隨機事件D．若任取，則是必然事件【答案】ACD【詳解】對于A，由知是的子集，集合中的元素全在集合中，但集合中的元素不一定在集合中，故A正確；對于B，若，則是有可能的，所以是可能事件，故B錯誤；對于C，任取，則x不一定是A中的元素，所以是隨機事件，故C正確；對于D，若，則x一定不是A中的元素，所以是必然事件，故D正確；故選：ACD5．從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，那么“這2個數的和大于4”包含的樣本點有______個．【答案】4【詳解】解：從1