第04講：平面向量與解三角形高頻考點突破

【考點梳理】

考點一.向量的有關概念

名稱定義備注

既有大小,又有方向的量;向量的

向量平面向量是自由向量

大小叫做向量的長度(或稱模)

零向量長度為Q的向量；其方向是任意的記作0

單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為端

平行向量方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做。與任一向量平行或共線

共線向量

共線向量

相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等,不能比較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

考點二.向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律

(1)交換律：

a~\~b=b~\~a；

a

加法求兩個向量和的運算三角形法則(2)結合律：

(a+b)+c

a

平行四邊形法則=Q+S+C)

求a與b的相反向量

減法a—>=a+(—b)

—5的和的運算三角毒法則

(1)1加=1川⑷；

⑵當A>0時,2a的方

(1—(〃z)a；

求實數力與向量。的向與a的方向相同;

數乘(2)(%+〃)〃=義。+〃〃；

積的運算當/<0時，2a的方向

(3)A(a+b)=Aa+Xb

與a的方向相反;當

%=0時，71a=0

考點四：.共線向量定理

向量。(“W0)與分共線，當且僅當有唯一一個實數九使6=瓶.

1.平面向量基本定理

如果ei、刃是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任意向量°,有且只有一對實數平、彳2,使

=/Uei+/2.

其中，不共線的向量ei、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底」

考點五.平面向量的坐標運算

(1)向量加法、減法、數乘及向量的模

設a=(xi,")，b—(xi,/)，則a+/=(無i+尤2,yi+y2),a-/=(H一yi—丫2)，(Axi，/yi)>\a\=y]xi+yi.

(2)向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設A(xi,巾)，B(X2,>2),則42=(愈一xi,丫2一y。，|48|=勺(&—制)2+&2一州廣

3.平面向量共線的坐標表示

設a=(xi，ji),b=(X2,yi),其中BWO.a、b共線0不丫2一X2yi=0.

考點六.向量的夾角

己知兩個非零向量”和方，作應=a，而=瓦則就是向量。與"的夾角,向量夾角的范圍是：[0,n].

考點七：.平面向量的數量積

設兩個非零向量a,b的夾角為仇則數量|a||四,cos0叫做a與b的數

定義

量積，記作a必

lalcos6叫做向量a在b方向上的投影，

投影

向cos0叫做向量8在a方向上的投影

幾何意義數量積ab等于a的長度⑷與b在a的方向上的投影151cos6的乘積

考點八：.平面向量數量積的性質

設a,B都是非零向量，e是單位向量，6為a與儀或e)的夾角.貝|

(l)ea=a-e=|a|cosC(2)a_L，<=>a?6=0.⑶當a與b同向時，a-b=\a\\b\；

當〃與力反向時,〃?方=一]〃|瓦特別地，aa=|a|2^\a\=y[a^a.

a，b

(4)cose=j^.(5)1“創W|a||b|.

4.平面向量數量積滿足的運算律

(l)a-Z>=*-a；(2)(弱)2=44切=0(肪)(2為實數)；(3)(a+b)-c=a-c+b-c.

5.平面向量數量積有關性質的坐標表示

設向量a=(xi，巾)，6=(X2，J2)，則a仍=xiX2+yiV2,由此得到

⑴若a=(x,y),則㈤2=4+y2或㈤=、/1+y.

y2)，22+2—%)2.

(2)設AQi,")，B(X2,則A,B兩點間的距離48=|贏|=』(尤一刀)。

（3）設兩個非零向量a,b,a=（x1,%）,）=（、2，/），貝Ua_L8=也必土時也三^

ab為%2+>1>2

（4）若a,萬都是非零向量，。是。與方的夾角，則cos8=

⑷步I<4+y討

考點九.正弦定理、余弦定理

在△A3。中，若角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,R為AABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

(2)/=/+/一2bccosA；

內容(l)sinsinsinC^R力2=。2+/-2c〃cosB；

。2=42+卜2-2/反05C

(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

Z72+c2-6Z2

abc⑺cosA—2bc；

(4)sinA=礪，sinB=赤,sinC=示;

c2+a2-b2

變形

⑸a:b:c=sinA：sin5：sinC；c°s2—2ac；

(6)asinB=bsinA,fesinC=csinB,asmCcP+b^—c2

cosC~2ab

—csinA

考點十：角形常用面積公式

⑴S=，也（及表示邊〃上的高）；（2）S=，加inC=^acsinB=^bcsinA；（3）S=5（4+Z7+c）（r為三角形內切圓半徑）.

【題型梳理】

題型一：平面向量的基本概念

1.（2023春?上海浦東新?高一統考期末）下列說法正確的是（）

A.若同=忖，貝。與石的長度相等且方向相同或相反；

B.若同=忖，且z與萬的方向相同，則2=石

C.平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上；

D.若Z//B，則Z與各方向相同或相反

2.（2023春?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考期末）下列說法中正確的是（）

A.若W=W，貝匕=石或2=4

B.若allb，bile，則a//c

c.已知點A（l,3）,B（4,-l）,則與向量額平行的單位向量是（I，-

D.已知向量￡與B的夾角為，=2,帆=0，則B在Z方向上的投影向量是-

3.（2022春,上海浦東新?高一上海中學東校校考期末）下列結論中，正確的是（）

A.零向量只有大小沒有方向B.\AB\=\BA\

C.對任一向量2,|a|>0總是成立的D.|荏|與線段54的長度不相等

題型二：平面向量的線性運算

4.（2023春?江蘇無錫?高一輔仁高中校考期末）如圖，在AABC中，點。為2C邊的中點，0為線段AD的中點，連

接CO并延長交A3于點E,設旗其，AC=b，則箕=（）

1-

B.—a—br

4

1-3—

D.-a--b

34

5.（2021春?浙江?高一期末）八卦是中國文化的基本哲學概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八

邊形ABCDEFGH,其中網=1,給出下列結論：

①西與西的夾角為三；

②而一反卜率由卜

@OD+OF=OE^

④房在歷上的投影向量為42工（其中2為與兩同向的單位向量）.

一2

其中正確結論為（）

FE

6.（2022春?重慶沙坪壩?高一重慶一中校考期末）如圖，在AABC中，BC=6DC，則布=（）

C.|AB+|ACD,^AB+^AC

6666

題型三：平面向量的基本定理

7.（2023春?江蘇蘇州?高一統考期末）如圖，在AABC中，點。，E分別在邊2C和邊A8上，D,E分別為BC和54

的三等分點，點。靠近點B,點E靠近點A,AD交CE于點尸，設竟=Z，BA=b，則麗=（）

B.—aH—b

7777

N一仔「

C.—1a-+—3?bD.—a+—b

7777

、.___.1-?

8.（2023秋?遼寧一大連二十四中校聯考期末）如圖，在△ABC中，BM=—BC,NC=AAC，直線411交BN于

...5—>

點。，若BQ”BN,貝微=（）

7T

9.（2022春?福建福州?高一校聯考期末）如圖，在AABC中，ZBAC=-,A5=2DB>P為C￡>上一點，且滿足

AP=mAC+^AB（meR）,若AC=3,AB=4,則*?①的值為（）.

題型四：平行向量的垂直和平行問題

10.（2023秋?遼寧錦州?高一統考期末）已知向量々=（2,0）,5=（1,2）,且（13⑷〃（23+筋）（左eR）,則悔+研為

（）

A.2歷B.4歷C.2府D.4761

11.（2023春?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考期末）已知非零向量6,石滿足B=（也,1）,口,可=4，若

R叫，鼠貝I］向量￡在向量后方向上的投影向量為（）

1y1r_

A.—bB.—bC.—bD.b

422

12.（2021秋?湖南長沙?高一長沙一中校考期末）已知“IBC是腰長為2的等腰直角三角形，。點是斜邊A區的中點，

點P在CD上，且CP=2P￡>，則可.麗=（）

3210

A.-----B.-----

99

16

C.一丁D.4

題型五：平行向量數量積

7T

13.（2023春?江蘇南京?高一南京市中華中學校考期末）如圖，在AABC中，ZBAC=~,AD=2DB，P為CD上一

___?___?1___?uum

點，MAP=mAC+-AB,若|AC|=3，1釧1=4,則而.①的值為（）

c

14.（2023春?江蘇常州?高一常州市第一中學校考期末）已知向量一與后的夾角為30。，且|Z卜百，忖=1,設正=%+B，

n=a-b，則向量而在3方向上的投影向量為（）

A.2nB.nC.石”D.^-n

3

15.（2022春?陜西商洛高一統考期末）已知向量益，b,不滿足同=同=2,同=3,alb，則（商-3可?（方-34的

最大值為（）

A.40-6舊B.40+6舊C.36-6713D.36+6日

題型六：平面向量的綜合問題

16.（2023春?四川成都?高一成都外國語學校校考期末）如圖，在AOAB中，尸為線段AB上的一個動點（不含端點）,

（1）若2=；,用向量況，礪表示歷；

___.ULU

⑵在（1）的條件下，若|。*=6,|。8|=2，且408=120。，求而.通的值

17.（2022秋?遼寧沈陽?高一沈陽市回民中學校考期末）平面內給定三個向量2=（3,2）,U（-l,2）,c=（4,l）.

⑴若僅+砌〃（2石-同，求實數左;

⑵若z滿足（2-丹〃3+4,且口-4=逐，求才的坐標.

18.（2022春?上海普陀?高一曹楊二中校考期末）如圖，在AOAB中，|旅|=4.|瓦|=2,P為A3邊上一點，且麗=2方.

（1）設歷=尤次+y麗，求實數x、y的值；

⑵若〈國，麗〉=],求麗.麗的值；

⑶設點Q滿足詼=：兩，求證：|可|=2|苑I.

題型七：正余弦定理的基本計算

19.（2023春?寧夏吳忠?高一吳忠中學校考期末）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別是，a,b,c,a=2,b=底,

B=2A,貝!JcosA=（）

A.BB.BC.巫D.邁

3243

20.（2022春,吉林長春?高一長春市實驗中學校考期末）已知在中，3=30。，AB=2-j3,AC=2,且ACwBC,

則AABC的面積為（）

A.上B.3C.26D.4A/3

21.（2022春?四川南充?高一統考期末）在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,^b2+c2-a2^bc,

則sin（B+C）=（）

1212125

A.——B.——C.±-D.——

13131313

題型八：邊角互化問題

22.（2023春?江蘇常州?高一常州市第一中學校考期末）若（a+b+c）S+c-a）=30c,且sinA=2sin8cosC,那么

△ABC是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

23.（2022春?四川綿陽?高一統考期末）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin（C-S）=2sinBcosC,

_&2sinA+Z?sinB=csinC,則（）

A.2B.4C.6D.8

24.（2022春?內蒙古包頭?高一統考期末）已知△ABC的內角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,則下列說法中錯誤

的是（）

cosAcosBcosC?.、口號?、,一

A.若——=^—=——，則一定是等邊二角形

abc

B.若Z?cosB=acosA,則AABC一定是等腰三角形

C.若acos_B+Z?cosA=a,則AABC一定是等腰三角形

D.若/+°2</,則“IBC一定是鈍角三角形

題型九:三角形的面積公式問題

25.（2022春?湖南長沙?高一長沙一中校考期末）在AABC中，內角4瓦。的對邊分別為“力,。，若"LBC的面積為S,

且a=l,4y/3S=b2+c2-l,則ULBC外接圓的面積為（）

71八,

A.—B.兀C.2兀D.4兀

2

26.（2022春?河南安陽?高一統考期末）在AABC中，內角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c,a2+b2=c2-ab,

且AB邊上的中線CD=1,貝面積的最大值為（）

A.6B.后C.3D.2石

27.（2022春?吉林白山?高一統考期末）記AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若的面積為而'，

且b=2y/^,cosB=i，則AABC的周長為（）

A.10小B.8A/5C.40+26D.2回+2小

題型十：解三角形的綜合問題

28.（2023春?江蘇蘇州?高一統考期末）在AABC中，內角A,B,C的對邊分別為。，b,C,且

ba—cc

-----------------=----------1-------------------.

sinA+sinCsin3sinA+sinC

①求角A的大小；

⑵若a=26cos3,a=3,求8c邊上中線的長.

29.（2023春?江蘇鹽城?高一江蘇省響水中學校考期末）在A/RC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

Z?sin2￡+csin2^=3bc

222(Z?+c+〃)，

⑴求角A的大小;

(2)若c>",求根=0或的取值范圍.

C

30.(2023春?河南焦作?高一統考期末)已知在44BC中，a,b,c分別是內角A,B,C所對的邊，且:^一=--

2b—acosA

(1)求C；

(2)若。=Lb=3,CD為/ACS的平分線，求8的長；

(3)若acos3+bcosA=2,且44BC為銳角三角形，求“LBC面積的取值范圍.

【專題突破】

一、單選題

31.(2023秋?云南昆明?高一云南民族大學附屬中學校考期末)已知非零向量Z,瓦黑則"72=加""是"2=y的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

32.(2023春?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考期末)在"RC中，角4BC的對邊分別為a,b,c,已知

c=2A/5,且2asinCcos3=asinA-bsin3+或6sinC,點。滿足函+礪+兀=0，cosZCAO=-,則AABC的面

28

積為

A.rB.3A/5C.50D.底

33.(2023秋?遼寧沈陽?高一沈陽鐵路實驗中學校考期末)我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖"

給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖"，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方

形，如圖所示.在“趙爽弦圖"中，已知理=3前，肉=%而=3,則族=()

D

129一B,+上方c.3+酎34f

A.——a+——bD.-a+-b

252525255555

34.（2023春?江蘇無錫?高一輔仁高中校考期末）兩個粒子A,3從同一發射源發射出來，在某一時刻，它們的位移

分別為以=（4,3）,^=（-2,6）,則或在以上的投影向量的長度為（）

35.（2023秋?遼寧沈陽?高一沈陽市第十中學校考期末）已知向量￡=（6/），B=（O,-l）,c=（k^）,若￡一2萬與Z

共線，貝1］左=（）

A.4B.3C.2D.1

36.（2023秋?江蘇無錫?高一無錫市第一中學校考期末）已知外接圓圓心為。，半徑為1,2AO=AB+AC，

且四詞=|祠，則向量荏在向量就上的投影向量為（）

3uumAi_.3_

A.-BCB.^-BCC.-BCD.——BCk

4444

37.（2023春?浙江麗水?高一統考期末）如圖，A、B、C三點在半徑為1的圓。上運動，且AC13C,M是圓。外

一點，OM=2,則|涼+礪+2國的最大值是（）

38.（2023春?江蘇南通?高一校考期末）已知M點在AABC所在的平面內，滿足

OM=OA+A（^^--+—）（2eR）,則動點M的軌跡一定通過“的。的（）

|AB|sinB|AC\sinC

A.內心B.垂心C.外心D.重心

39.（2023春?四川成都?高一成都外國語學校校考期末）記AA6C的內角A,8,C的對邊分別為a,6,c,ZABC=—

0

。是AC邊上一點，且滿足8￡>_LBC,BD=\.則ac的最小值為（）

A.4A/3B.8A/3C.4D.8

40.（2023春?江蘇鎮江?高一揚中市第二高級中學校考期末）已知回A3C的內角A,B,C所對的邊分別為a,6,c,滿足

AL「「

a1+c2+ac-b2=0,則—tan3cos2工―2石sinBsinkcos彳的取值范圍為（）

222

B.

D.（烏更）

44

二、多選題

41.（2023春?江蘇南通?高一期末）下列命題為真命題的有（）

A.已知非零向量石，c,若值〃5,bIIc,貝！〃乙

B.若四邊形A3CQ中有福=配，則四邊形A8CD為平行四邊形

C.已知弓=（2,-3）,e2=（4,-6）,6,々可以作為平面向量的一組基底

D.已知向量苕=（2,4）,5=（-1,2）,則向量G在向量3上的投影向量為（-g,g）

42.（2023春?浙江溫州?高一統考期末）平面向量￡,b,"滿足同=1,忖=2,￡與后夾角為且口-4=忸-"|,

則下列結論正確的是（）

A.H的最小值為孝B.歸-0+吊的最小值為22

C.1-中忸-4的最大值為右D.入際工）的最大值為1

43.（2023春?浙江衢州?高一統考期末）窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，圖1是一個正

八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形A3CDEFGH的邊長為2,P是正八邊形

ABCDEFGH邊上任意一點、,則下列說法正確的是（）

圖1圖2

A.若函數〃尤）=|礪-無希J,則函數的最小值為2+&

B.西.而的最大值為12+80

C.而在市方向上的投影向量為-絲

2

D.OA+OC=^OB

44.（2023春?江蘇蘇州?高一統考期末）在AABC中，。，b,c分別為角A,B,C的對邊，下列敘述正確的是（）

/7h

A.若則"LBC為等腰三角形

cosBcosA

B.已知a=2,A=60。，則一絲劣一=迪

sinB+2sinC3

C.若A>B,則sinA>sinB

D.若sinA:sin5:sinC=2:3:4,則^ABC為銳角三角形

45.（2023春,福建南平?高一期末）在AABC中，。，6,C分別為角A,B,C的對邊，已知=也,

cosC2a-cwe4

且人=若，貝lj（）

A.cosB=—B.cosB--

2