專題16二次函數

、二次函數的圖象特征及性質

【高頻考點精講】

關系式一般式>=q%2+b%+c(QWO)頂點式y=a(x-h￥+k(QWO)

開口方向當a>0時，拋物線開口向上；當.<0時，拋物線開口向下。

b4ac-b23

頂點坐標(，)(h,k)

2a4a

直線x=—2

對稱軸直線x=h

2a

x<-2時，y隨x增大而減?。?/p>

x<h時，y隨x增大而減??；

2a

a>0

x>-2時，y隨x增大而增大。x>h時，y隨x增大而增大。

2a

增減性

x<-2時，y隨x增大而增大；

xVh時，y隨x增大而增大；

2a

a<0

x>-2時，y隨x增大而增大。x>h時，y隨x增大而減小。

2a

*—BH4_4ac-Z?2

a>0當X時，V最小值一。當％=h時，y最小值=左。

2a4a

最值

%BH-+4ac-b-

a<0ax—時，y最大值二o當x=h時，y最大值=左。

2a最大值4a

【熱點題型精練】

1.（2022?株洲中考）已知二次函數y=ax2+6x-c（aWO）,其中b>0、c>0,則該函數的圖象可能為（

2.(2022?哈爾濱中考)拋物線y=2(x+9)2-3的頂點坐標是()

A.(9,-3)B.(-9,-3)C.(9,3)D.(-9,3)

3.（2022?廣州中考）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（aNO）的對稱軸為x=-2,下列結論正確的是（）

A.6z<0

B.c>0

C.當x<-2時，y隨X的增大而減小

D.當x>-2時，/隨x的增大而減小

4.（2022?陜西中考）已知二次函數-2x-3的自變量xi,m，油對應的函數值分別為yi,當-1<用

<0,l<X2<2,X3>3時，yi,yi,”三者之間的大小關系是（）

A.yi<y2<y3B.y2<y3<y\C.y3<y\<yiD.y2<yi<yi

5.（2022?郴州中考）關于二次函數y=（x-1）2+5,下列說法正確的是（）

A.函數圖象的開口向下

B.函數圖象的頂點坐標是（-1,5）

C.該函數有最大值，最大值是5

D.當x>l時，>隨x的增大而增大

6.（2022?衢州中考）已知二次函數y=a（x-1產-aQWO）,當-時，y的最小值為-4,則a的值為（）

A.5或4B.1或一號C.—4或4D.或4

7.（2022?岳陽中考）已知二次函數>=如？-4%2》-3（加為常數，第W0）,點P（xp,處）是該函數圖象上一點，

當0Wx?W4時，切W-3,則m的取值范圍是（）

A,機21或加<0B.mNlC.-1D.-1

8.（2022?鹽城中考）若點P（w,n）在二次函數y=x2+2x+2的圖象上，且點尸到了軸的距離小于2,則〃的取值

范圍是.

9.（2022?長春中考）已知二次函數/=-，-2x+3,當aWxW*時，函數值y的最小值為1,則。的值為.

10.（2022?北京中考）在平面直角坐標系xQy中，點（1,m）,（3,n）在拋物線歹=4%2+6%+。（q>0）上，設拋物

線的對稱軸為直線％=人

（1）當。=2,加=〃時，求拋物線與y軸交點的坐標及，的值;

(2)點Go,m)(xoWl)在拋物線上.若求f的取值范圍及xo的取值范圍.

二、二次函數圖象與系數的關系

【高頻考點精講】

1.。決定拋物線的開口方向及大小

(1)a>0,拋物線開口向上；a<0,拋物線開口向下。

(2)|a|越大，拋物線的開口越?。粅a|越小，拋物線的開口越大。

2.6共同決定拋物線對稱軸的位置

(1)當6=0時，對稱軸無=----=0,對稱軸為y軸。

2a

(2)當°、6同號時，對稱軸％=-2<0,對稱軸在y軸左側。

2a

(3)當°、6異號時，對稱軸》=-上->0,對稱軸在y軸右側。

2a

3.c決定拋物線與y軸的交點位置

(1)當c=0時，拋物線過原點。

(2)當c>0時，拋物線與y軸交于正半軸。

(3)當c<0時，拋物線與y軸交于負半軸。

4.4*決定拋物線與x軸的交點位置

(1)當4ac=0時,拋物線與x軸有唯一交點。

(2)當4ac>0時,拋物線與x軸有兩個交點。

(1)當x=l時，y=a+b+c；當x=-1時，y=a-b+c；當x=2時，y=4a+2b+c；當x=-2時，y=4a-2b+c。

(2)當對稱軸為直線x=l時，2a+b=0；當對稱軸為直線x=-1時，2a-b=0o

【熱點題型精練】

11.(2022?黔東南州中考)若二次函數y=a/+6x+c(aWO)的圖象如圖所示，則t?次函數〉="+6與反比例函數

在同一坐標系內的大致圖象為()

12.（2022?青島中考）已知二次函數y=Q/+bx+c的圖象開口向下，對稱軸為直線x=

則下列結論正確的是（）

A.b>0B.c<0C.a+b+c>0D.3Q+C=0

13.（2022?煙臺中考）二次函數產辦（aWO）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x—義，且與x軸的

一個交點坐標為（-2,0）.下列結論：①a6c>0；②a=6；③2a+c=0；④關于x的一元二次方程a^+bx+c

-1=0有兩個相等的實數根.其中正確結論的序號是（）

A.①③B.②④C.③④D.②③

14.（2022?巴中中考）函數y=|ax2+bx+c|（a>0,b1-4ac>0）的圖象是由函數y=ax2+bx+c（a>0,b1-4ac>0）

的圖象X軸上方部分不變，下方部分沿X軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結論正確的是（）

（J）2a+6=0；

②c=3；

③a6c>0；

④將圖象向上平移1個單位后與直線>=5有3個交點.

C.②③④D.①③④

15.（2022?濟南中考）拋物線y=-，+2〃叱-m2+2與夕軸交于點c,過點C作直線/垂直于y軸，將拋物線在y軸

右側的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變，組成圖形G,點“（"-1,yi）,N（m+1,y2）為圖形G上兩點,

若歹1<?2,則m的取值范圍是（)

A.僅<-1或加>0B.-1<m<|C.0^m<V2D.-\<m<\

16.（2022?遂寧中考）拋物線y=ax2+6x+c（a,b,c為常數）的部分圖象如圖所示，設加=a-6+c,則加的取值

范圍是?

17.（2022?錦州中考）如圖，拋物線y=ax2+6x+c（aWO）與x軸交于點（-1,0）和點（2,0）,以下結論：①"c

<0；②4a-26+c<0；③。+6=0；④當時一隨x的增大而減小.其中正確的結論有.（填寫代

表正確結論的序號）

18.（2022?呼和浩特中考）在平面直角坐標系中，點C和點。的坐標分別為（-1,-1）和（4,-1）,拋物線y

-2mx+2（/WO）與線段CD只有一個公共點，則優的取值范圍是.

三、二次函數圖象上點的坐標特征

【高頻考點精講】

二次函數）=Q/+bx+c（QWO）的圖象是拋物線，頂點坐標是（-匚，———）o

2a4a

i.拋物線關于直線x=-2對稱，所以拋物線上的點關于直線x=-2對稱。

2a2a

2.拋物線與y軸交點的縱坐標是解析式中的c。

3.拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（苞，0）,（x2,0）,則對稱軸為x==2。

【熱點題型精練】

19.（2022?寧波中考）點4（m-1,yi）,B（機，y2）都在二次函數歹=（x-1）?+〃的圖象上.若/〈”，則冽的

取值范圍為（）

33

A.m>2B.m>fC.1D.一<m<2

22

20.（2022?溫州中考）已知點/（a,2）,B（6,2）,C（c,7）都在拋物線y=（x-1）2-2上，點/在點2左側,

下列選項正確的是（）

A.若c<0,則a<c<6B.若c<0,則a<6<c

C.若c>0,則a<c<6D.若c>0,則a<6<c

21.（2022?西安模擬）已知拋物線y=x2+mx-1經過（-1,〃）和（2,〃）兩點，則加+〃的值為（）

A.-2B.0C.1D.2

22.（2022?淄博中考）若二次函數>=/+2的圖象經過尸（1,3）,Q（m,H）兩點，則代數式后一4根2-加+9的

最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

23.（2022?廈門模擬）已知拋物線y=ax2+6x+c經過點尸（2,yo）,且對于拋物線上任意一點（xi，yi）都有

若點A（-2,m+2）與點B（t,〃）均在該拋物線上，且m-n<-2,則t的值可以是（）

A.7B.4C.1D.-1

24.（2022?徐州中考）若二次函數》=/-2x-3的圖象上有且只有三個點到x軸的距離等于加，則加的值為.

四、二次函數圖象與幾何變換

【高頻考點精講】

1.拋物線平移后形狀不變，所以系數a不變，平移后拋物線的解析式有兩種求法

（1）求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式。

（2）求出平移后的頂點坐標，求出解析式。

2.平移規律：左加右減，上加下減。

【熱點題型精練】

25.（2022?通遼中考）在平面直角坐標系中，將二次函數y=（x-1）2+1的圖象向左平移1個單位長度，再向下平

移2個單位長度，所得函數的解析式為（）

A.y=（x-2）2-1B.y=（x-2）2+3C.y=x2+lD.y=x2-1

26.（2022?玉林中考）小嘉說：將二次函數的圖象平移或翻折后經過點（2,0）有4種方法：

①向右平移2個單位長度

②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度

③向下平移4個單位長度

④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度

你認為小嘉說的方法中正確的個數有（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

27.（2022?瀘州中考）拋物線j，=-32+x+i經平移后，不可能得到的拋物線是（）

11

A.y=—2X9B.y=-9-4

I

C.y——2-x2+2021.r-2022D.y—-x2+x+l

28.（2022?黔東南州中考）在平面直角坐標系中，將拋物線y=f+2x-1先繞原點旋轉180°,再向下平移5個單

位，所得到的拋物線的頂點坐標是.

29.（2022?荊州中考）規定：兩個函數/，”的圖象關于y軸對稱，則稱這兩個函數互為函數”.例如：函數

g=2x+2與”=-2x+2的圖象關于y軸對稱，則這兩個函數互為“丫函數”.若函數＞=扇+2"-1）x+03（k

為常數）的函數”圖象與x軸只有一個交點，則其函數”的解析式為.

30.（2022?湘西州中考）已知二次函數y=-/+4x+5及一次函數y=-x+b,將該二次函數在x軸上方的圖象沿x

軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象（如圖所示），當直線y=-x+6與新圖象有4個交點

時，b的取值范圍是.

31.（2022?河北中考）如圖，點P（a,3）在拋物線C：＞=4-（6-%）2±,且在C的對稱軸右側.

（1）寫出C的對稱軸和〉的最大值，并求。的值；

（2）坐標平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點P及C的一段，分別記為P,C'.平移該膠片，使

C所在拋物線對應的函數恰為y=-/+6x-9.求點P移動的最短路程.

五、二次函數的最值

【高頻考點精講】

1、當。＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減??；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低

點，所以函數有最小值，當x=-2b時，4ac—h

2a4a

2、當a<0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高

h4ac—h^

點，所以函數有最大值，當x=—2時，y=aC

2a4a

3、確定二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標;

當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值的大小，從而獲得最值。

【熱點題型精練】

32.（2022?賀州中考）已知二次函數y=2f-4x-1在OWxWa時，y取得的最大值為15,則a的值為（）

A.1B.2C.3D.4

33.（2022?包頭中考）已知實數a,b滿足6-a=l,則代數式片+26-6a+7的最小值等于（）

A.5B.4C.3D.2

34.（2022?嘉興中考）已知點/（a,b）,B（4,c）在直線y=fcc+3"為常數，30）上，若仍的最大值為9,

則c的值為（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

35.（2022?六盤水中考）如圖是二次函數的圖象，該函數的最小值是.

36.（2022?涼山州中考）已知實數a、6滿足°-廬=4,則代數式/-3戶+。一14的最小值是.

37.（2022?紹興中考）已知函數y=-X2+6X+C（b,c為常數）的圖象經過點（0,-3）,（-6,-3）.

（1）求b,c的值.

（2）當-4WxW0時，求y的最大值.

（3）當根WxWO時，若y的最大值與最小值之和為2,求加的值.

六、二次函數的應用

【高頻考點精講】

1、利用二次函數解決利潤問題

在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤、最大銷量等問題，解決此類題目的關鍵是通過題意，確定二次函數的

解析式，然后確定其最大值。實際問題中自變量X的取值要使實際問題有意義，因此，在求二次函數的最值時，一

定要注意自變量X的取值范圍。

2、幾何圖形中的最值問題

①幾何圖形中面積的最值；②用料最佳方案；③動態幾何中的最值討論。

3、構建二次函數模型解決實際問題

利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地將這些實際問題中的數據落實到平面直角

坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式解決問題。

【熱點題型精練】

38.（2022?自貢中考）九年級2班計劃在勞動實踐基地內種植蔬菜，班長買回來8米長的圍欄，準備圍成一邊靠墻

（墻足夠長）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學們提出了圍成矩形、等腰三角形（底邊靠墻）、半圓形這

三種方案，最佳方案是（）

方案I方案2方案3

A.方案1B.方案2

C.方案3