第06講：統計和概率高頻考點突破

【考點梳理】

考點一.隨機抽樣

⑴簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體含有“個個體，從中逐個不放回地抽取〃個個體作為樣本(〃wa,

如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相笠，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.

(2)系統抽樣：當總體中的個體數目較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照事先定出的規則，從

每一部分抽取一個個體得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統抽樣.

(3)分層抽樣：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例,從各層獨立地抽取一

定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.

考點二.用樣本的頻率分布估計總體分布

⑴在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率/組距,數據落在各小組內的頻率用各小長方形的面積表示.各小

長方形的面積總和等于L

(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線

①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的生虎，就得到頻率分布折線圖.

②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越

接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.

⑶莖葉圖

莖是指中間的一列數，葉是從莖的旁邊生長出來的數.

考點三.用樣本的數字特征估計總體的數字特征

⑴眾數：一組數據中出現次數最多的數.

(2)中位數：將數據從小到大排列，若有奇數個數，則最中間的數是中位數；若有偶數個數，則中間兩數的

平均數是中位數.

(3)平均數："7=>+益+?“+電,反映了一組數據的平均水平.

n

⑷標準差：是樣本數據到平均數的一種平均距離，S=

XLXXLX----1-XLX.

⑸方差：/='[(XL：)』(劉一二)2+…+(%—三)2]區是樣本數據，〃是樣本容量，—是樣本平均數).

n

考點四.概率和頻率

⑴在相同的條件S下重復〃次試驗，觀察某一事件/是否出現，稱〃次試驗中事件/出現的次數必為事件

A出現的頻數，稱事件A出現的比例￡04)=生為事件4出現的頻率.

n

(2)對于給定的隨機事件A,由于事件A發生的頻率￡(4)隨著試驗次數的增加穩定于概率P⑷,因此可以

用頻率￡(用來估計概率戶(用.

考點五.事件的關系與運算

符號表

定義

示

應A

若事件月發生，事件8一定發生，則稱事件6

包含關系(或

包含事件/(或稱事件A包含于事件B)

傕而

相等關系若應/且Q8,則稱事件A與事件B相等A=B

若某事件發生當且僅當事件A發生或事件6發A^B

并事件

生，則稱此事件為事件A與事件占的并事件(或(或什

(和事件)

和事件)B)

若某事件發生當且僅當事件A發生且事件8發

交事件A^B

生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或

(積事件)(或AS)

積事件)

互斥事件AC6為不可能事件，則稱事件4與事件方互斥AnB=0

/A8=0

且

P(AU劭

若/C8為不可能事件，/U8為必然事件，則

對立事件

稱事件A與事件8互為對立事件

P(/)+

P(B)

=1

考點六.概率的幾個基本性質

(1)概率的取值范圍：OWR/QWl.

(2)必然事件的概率戶(近=1.

(3)不可能事件的概率P3=0.

(4)概率的加法公式

如果事件/與事件8互斥，則果C4U6)=-a)+P(8).

(5)對立事件的概率

若事件A與事件8互為對立事件，則尸(4)=1—尸(8).

【題型梳理】

題型一：隨機抽樣

1.（2023秋?遼寧丹東?高一丹東市第四中學校考期末）總體編號為01,02,29,30的30個個體組成.利

用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第3列和第4列數字開始由左到右依次

選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為（）

78161572080263150216431997140198

32049234493682003623486969387181

A.02B.15C.16D.19

【答案】D

【分析】根據個體編號規則，隨機表法依次取出5個個體編號，即可確定第5個個體的編號.

【詳解】由題意，依次取到的編號為16、15、08、02、19,

所以第5個個體的編號為19.

故選：D

2.（2023秋?安徽蚌埠?高一統考期末）為慶祝黨的二十大勝利召開，某校舉辦"學習黨的歷史，爭做新時代

好少年”主題教育活動.為評估本次教育活動的效果，擬抽取150名同學進行黨史測試.已知該校高一學生

360人，高二學生300人，高三學生340人，采用分層抽樣的方法，應抽取高一學生人數為（）

A.60B.54C.51D.45

【答案】B

【分析】先求出抽樣比，乘以總人數即可求出抽取高一學生的人數.

所以應抽取高一學生人數為54人,

故選：B.

3.（2023春?江蘇蘇州?高一統考期末）從某班57名同學中選出4人參加戶外活動，利用隨機數表法抽取樣

本時，先將57名同學按01、02、L、57進行編號，然后從隨機數表第1行的第3列和第4列數字開始往右

依次選取兩個數字，則選出的第4個同學的編號為（）

03474373863696473661469863716297

74246292428114572042533237321676

（注：表中的數據為隨機數表第1行和第2行）

A.36B.42C.46D.47

【答案】C

【分析】利用隨機數表可列舉出樣本前4個同學的編號，即可得解.

【詳解】由隨機數表法可知，樣本前4個同學的編號依次為47、43、36、46,

故選出的第4個同學的編號為46.

故選：C.

題型二：用樣本估計總體

4.（2023春?江蘇連云港?高一校考期末）某高校為傳承中華文化，舉辦了"論語吟唱”的比賽在比賽中，由A,

B兩個評委小組（各9人）給參賽選手打分.根據兩個評委小組對同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖,

B.8組打分的中位數為75

C.A組的意見相對一致

D.B組打分的均值小于A組打分的均值

【答案】C

【分析】由折線圖中的數據，結合眾數、中位數、平均數的定義對四個選項逐一分析判斷即可.

【詳解】對于A,由折線圖可知，小組A打分的分值為：42,47,45,46,50,47,50,47,

則小組A打分的分值的眾數為47,故選項A錯誤；

對于B,小組B打分的分值為：55,36,70,66,75,68,68,62,58,

按照從小到大排列為：36,55,58,62,66,68,68,70,75,

中間數為66,故中位數為66,故選項B錯誤；

對于C；小組A的打分成績比較均勻，波動更小，故A小組意見相對一致，故選項C正確；

42+47+45+46+50+47+50+47

對于D,小組A的打分分值的均值=46.7,而小組5的打分分值的均值

9

55+36+70+66+75+68+68+62+58C

------------------------------------------------=62,

9

所以小組8打分的分值的均值大于小組A打分的分值的均值，故選項D錯誤.

故選：C.

5.（2023春?浙江麗水?高一統考期末）某中學組織三個年級的學生進行黨史知識競賽.經統計，得到前200名

學生分布的扇形圖（如圖）和前200名中高一學生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列命題錯誤的是（）

A.成績前200名的學生中，高一人數比高二人數多30人

B.成績前100名的學生中，高一人數不超過50人

C.成績前50名的學生中，高三人數不超過32人

D.成績第51名到第100名的學生中，高二人數比高一人數多

【答案】D

【分析】根據餅狀圖和條形圖提供的數據判斷.

【詳解】由餅狀圖，成績前200名的200人中，高一人數比高二人數多200x（45%-30%）=30,A正確；

由條形圖知高一學生在前200名中，前100和后100人數相等，因此高一人數為200X45%*:=45<5（）,B

正確；

成績前50名的50人中，高一人數為200*45%x0.2=18,因此高三最多有32人，C正確；

第51到100名的50人中，高一人數為200x45%x0.3=27,故高二最多有23人，因此高二人數比高一少，

D錯誤.

故選：D.

6.（2023秋?北京?高一校考期末）最早發現于2019年7月的某種流行疾病給世界各國人民的生命財產帶來

了巨大的損失.近期某市由于人員流動出現了這種疾病，市政府積極應對，通過3天的全民核酸檢測，有效

控制了疫情的發展，決定后面7天只針對41類重點人群進行核酸檢測，下面是某部門統計的甲、乙兩個檢

測點7天的檢測人數統計圖，則下列結論不正確的是（）

個人數

2000-?---------------------------------------------

1800----------▲--------------------------------------

1600--A--?--A-----------------

1200--------------------■----?-------------?--.甲

800：---------------------------------------------------▲乙

___?____?____?__?_____?__?____?____

o1234567天數

A.甲檢測點的平均檢測人數多于乙檢測點的平均檢測人數

B.甲檢測點的數據極差大于乙檢測點的數據極差

C.甲檢測點數據的中位數大于乙檢測點數據的中位數

D.甲檢測點數據的方差大于乙檢測點數據的方差

【答案】C

【分析】根據題意分別求甲乙監測點的平均人數，極差，中位數及方差判斷即可.

2000+1600+1200+1200+800+1600+1200

【詳解】對于A:甲檢測點的平均檢測人數為?1371.43

7

丁工人、m上vtf4?人、n?(JULsr1600+1800+1600+800+1200+800+1600._,

乙檢測點1的平均檢測人數為-------------------------------------?1342.86

故甲檢測點的平均檢測人數多于乙檢測點的平均檢測人數，故A正確;

對于B：甲檢測點的數據極差2000-800=1200

乙檢測點的數據極差1800-800=1000,故B正確；

對于C:甲檢測點數據為800,1200,1200,1200,1600,1600,2000,中位數為1200,

乙檢測點數據為800,800,1200,1600,1600,1600,1800,中位數為1600,故C錯誤;

對于D:通過觀察平均數附近數據個數,極差等或計算甲乙數據的方差，

都可以判斷乙檢測點數據比甲檢測點數據穩定性強,

故甲檢測點數據的方差大于乙檢測點數據的方差，故D正確.

故選：C.

題型三：平均數方差和百分位數

7.（2023秋?北京?高一校考期末）經過簡單隨機抽樣獲得的樣本數據為再，尤2,…,當，且數據不，聲，…,馬的平

均數為亍，方差為則下列說法正確的是（）

A.若數據占,々,方差$2=0,則所有的數據w（f=1,2,…㈤都為o

B.若數據外,々，…，%，的平均數為于=3,則％=2升+1[=1,2「../)的平均數為6

C.若數據不,孫…,天,的方差為1=3,則y=2可+1。=1,2,…的方差為12

D.若數據玉,乙,的25%分位數為90,則可以估計總體中有至少有75%的數據不大于90

【答案】C

【分析】根據數據的平均數，方差，百分位數的性質逐項進行檢驗即可判斷.

【詳解】對于A,數據外,馬,…,％的方差S2=0時，說明所有的數據玉,馬，…，%都相等，但不一定為0,故

選項A錯誤；

對于B,數據占,々,…,當，的平均數為元=3,數據％=2%+1?=1,2,…的平均數為2x3+l=7,故選項B

錯誤；

對于C,數據國,尤2,…，尤,，的方差為S2=3,數據y=2%+l?=l,2,…的方差為22x3=12,故選項C正確；

對于D,數據冷無2,…,當，的25%分位數為90,則可以估計總體中有至少有75%的數據大于或等于90,故

選項D錯誤，

故選：C.

8.(2023秋?北京石景山?高一統考期末)甲、乙兩人進行飛鏢游戲，甲的10次成績分別為8,6,7,7,8,

10,10,9,7,8,乙的10次成績的平均數為8,方差為0.4,則下列說法不正確的是()

A.甲的10次成績的極差為4B.甲的10次成績的75%分位數為8

C.甲和乙的20次成績的平均數為8D.乙比甲的成績更穩定

【答案】B

【分析】根據題意，計算極差、75%分位數、平均數和方差，再逐一判斷即可.

【詳解】解：對于A,甲的10次成績分別為8,6,7,7,8,10,10,9,7,8,極差為10-6=4,故A

正確；

對于B,甲的10次成績從小到大依次為6,7,7,7,8,8,8,9,10,10,

?.7=10x75%=7.5,.?.甲的10次成績的75%分位數為第8個數是9,故B錯誤；

對于C,?.?甲的10次成績的平均數為，(6+7+7+7+8+8+8+9+10+10)=8,乙的10次成績的平均數為8,

二甲和乙的20次成績的平均數為或GxlO+gxlOI,故C正確；

對于D,甲的方差為J；[(6-8)2+3X(7-8)2+3X(8-8)2+(9-8)2+2X(10-8)2]=1.6,乙的方差為0.4,。.4<1.6,

，乙比甲的成績更穩定，故D正確.

故選：B.

9.（2023春?四川宜賓?高一校考期末）PM2.5是空氣質量的一個重要指標，我國PM2.5標準采用世衛組織

設定的最寬限值，即RW2.5日均值在35ng/m3以下空氣質量為一級，在35^/11?~75%/m3之間空氣質量為

二級，在75pg/m3以上空氣質量為超標.如圖是某地11月1日到10日PM2.5日均值（單位：pg/n?）的統計數

2

A.從這10天的日均R02.5監測數據中隨機抽出一天的數據，空氣質量為一級的概率是不

B.從5日到9日，PM2.5日均值逐漸降低

C.這10天中PM2.5日均值的平均數是49.3

D.這10天的尸M2.5日均值的中位數是45

【答案】D

【分析】借助于圖表數據，對A、B、C、D一一驗證即可.

對于A：用古典概型的計算公式進行計算；

對于B：從折線圖直接看出；

對于C：直接計算平均值即可；

對于D：直接求出中位數；

42

【詳解】對于A：從圖表可以看出，"空氣質量為一級”的有：3日、8日、9日、10日，故概率P=^=w，

故A正確；

對于B：從5日到9日，折線圖逐日下降，故PM2.5日均值逐漸降低，故B正確；

-1

對于C：這10天中PM2.5日均值的平均數是x=^（45+57+32+49+82+73+58+34+30+33）=49.3,故C

正確；

45+49

對于D：這10天的數據從小到大依次為：30、32、33、34、45、49、57、58、73、82,故中位數為------=47,

2

故D錯誤；

故選：D

題型四：互斥事件和對立事件

10.（2023秋?山東濰坊?高一統考期末）“韋神"數學興趣小組有4名男生和2名女生，從中任選2名同學參

加數學公式推導比賽，下列各對事件中互斥而不對立的是（）

A.至少有1名男生與全是男生；

B.至少有1名男生與全是女生；

C.恰有1名男生與恰有2名男生；

D.至少有1名男生與至少有1名女生.

【答案】C

【分析】寫出各個事件包含的情況，根據互斥事件以及對立事件的概念，即可得出答案.

【詳解】對于A項，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生兩種情況，故A項錯誤；

對于B項，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生兩種情況，與事件全是女生是互斥對立事件，

故B項錯誤；

對于C項，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，與事件恰有2名男生是互斥事件，但不是對立

事件，故C項正確；

對于D項，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生兩種情況，事件至少有1名女生包括恰有1

名女生和全是女生兩種情況，兩個事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D項錯誤.

故選：C.

11.（2020春?甘肅定西?高一校考期末）袋中裝有3個白球，4個黑球，從中任取3個球，則

①恰有1個白球和全是白球；

②至少有1個白球和全是黑球；

③至少有1個白球和至少有2個白球；

④至少有1個白球和至少有1個黑球.

在上述事件中，是互斥事件但不是對立事件的為（）

A.②B.①C.③D.④

【答案】B

【分析】根據互斥事件和對立事件的定義進行判斷即可.

【詳解】記a表示白球，6表示黑球，從袋中任取3個球，共包括4個基本事件

分別為{a,,{a,a,4,{a,46},{b,b,b}

對①，事件"恰有1個白球”包含的基本事件為：{a,b,b},事件"全是白球"包含是基本事件為：{a,a,a},由

互斥事件和對立事件的定義可知，事件"恰有1個白球"和"全是白球”互為對立事件，但不是對立事件；

對②，事件"至少有1個白球"包含的基本事件為：{a,a,a},{a,a,b\,{a,b,b],事件"全是黑球”包含的基本事

件為：{b,b,b},由互斥事件和對立事件的定義可知，事件“至少有1個白球"和"全是黑球”互為對立事件，

也是對立事件；

對③，事件"至少有1個白球"包含的基本事件為：{a,a,a},{a,a,b},{a,b,b],事件“至少有2個白球"包含的

基本事件為：{a,a,a},{a,a,b\,由互斥事件和對立事件的定義可知，事件"至少有1個白球"和"至少有2個

白球"，既不是互斥事件也不是對立事件；

對④，事件"至少有1個白球"包含的基本事件為：{a,a,a},{a,a,6},{a,6,6},事件"至少有1個黑球"包含的

基本事件為：{a,a,耳,{a,仇耳，物,6,耳，由互斥事件和對立事件的定義可知，事件"至少有1個白球"和"至少

有1個黑球”，既不是互斥事件也不是對立事件；

故選：B

【點睛】本題主要考查了對立事件和互斥事件的判斷，屬于基礎題.

12.(2020秋?山西長治?高一山西省長治市第二中學校校考期末)將一個骰子拋擲一次，設事件4表示向上

的一面出現的點數不超過2,事件B表示向上的一面出現的點數不小于3,事件C表示向上的一面出現奇數

點，貝I()

A.A與B是對立事件B.A與B是互斥而非對立事件

C.B與C是互斥而非對立事件D.B與C是對立事件

【答案】A

【解析】由互斥事件與對立事件的定義判斷即可得出正確答案.

【詳解】事件A包含的基本事件為向上的點數為L2；

事件B包含的基本事件為向上的點數為34,5,6；

事件C包含的基本事件為向上的點數為1,3,5；

由于事件A,B不可能發生，且事件A,8的和事件為必然事件，A與8是對立事件

當向上一面的點數為3時，事件B,C同時發生，則8與C不互斥也不對立

故選：A

【點睛】本題主要考查了互斥事件與對立事件的判斷，對立事件與互斥事件關系的辨析，屬于中等題.

題型五：隨機事件的概率

13.（2023春?河南?高一校聯考期末）連續拋擲一枚均勻的骰子兩次，向上的點數分別記為a,b,^=a+b,

貝U（）

A.事件"是偶數"與"a為奇數，6為偶數”互為對立事件

B.事件"=2”發生的概率為2

C.事件"=2"與互為互斥事件

D.事件">8且必<32”的概率為工

4

【答案】D

【分析】。為偶數,b為奇數時，兩個事件均不包含,A錯誤,確定。=6=1,計算概率得到B錯誤，事件”=2"

與竺/5”可以同時發生，C錯誤，列舉得到D概率正確，得到答案.

【詳解】對選項A：。為偶數，。為奇數時，兩個事件均不包含，錯誤；

對選項B：自=2,則a=>=l,發生的概率為錯誤；

6636

對選項C：事件"=2"與5"可以同時發生，錯誤；

對選項D：J=a+人>8,ab<32,

則36）分別為（6,5）,（6,4）,（6,3）,（5,6）,（5,5）,（5,4）,（4,6）,（4,5）,（3,6）共9種情況，

91

概率為p=1=7,正確；

6x64

故選：D.

14.（2023春?江蘇南通?高一校考期末）圍棋起源于中國，據先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之"，

圍棋至今已有四千多年歷史，蘊含者中華文化的豐富內涵.在某次國際比賽中，中國派出包含甲、乙在內的

5位棋手參加比賽，他們分成兩個小組，其中一個小組有3位，另外一個小組有2位，則甲和乙不在同一個

小組的概率為（）

【答案】C

【分析】利用列舉法求得基本事件的總數，以及所求事件包含的基本事件的個數，結合古典擷型的概率計

算公式，即可求解.

【詳解】由題意，另3位棋手分別記為丙、丁、戊，

則這5位棋手的分組情況有（甲乙丙，丁戊），（甲乙丁，丙戊），（甲乙戊，丙丁），（甲丙丁，乙戊），

（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），（丙丁戊，甲

乙），共10種，

其中甲和乙不在同一個小組的情況分別為（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，

甲戊），

（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），共有6種，

所以甲和乙不在同一個小組的概率P=*=g.

故選：C.

15.（2021春?陜西西安?高一統考期末）從一箱產品中隨機地抽取一件，設事件A="抽到一等品"，事件3=

“抽到二等品"，事件C="抽到三等品”，且已知P（A）=O65,P（B）=0.2,P（C）=0.1,則事件“抽到的不是

一等品"的概率為（）.

A.0.65B.0.35C.0.3D.0.05

【答案】B

【分析】利用對立事件的概率計算公式即可計算作答.

【詳解】"抽到的產品不是一等品"的事件的對立事件是"抽到一等品"的事件，而事件A="抽到一等品"，且

P（A）=0.65,

所以l-P（A）=l-0.65=0.35,

所以事件"抽到的產品不是一等品"的概率為0.35.

故選：B.

題型六：事件的相互獨立性

16.（2023春?江蘇蘇州?高一統考期末）已知事件A,B,且P（A）=0.6,P（B）=0.15,如果A與8互斥，

那么尸（AB）=Pi，如果A與8相互獨立，那么尸（麗）=「2,則0，0分別為（）

A.P1=0,P2=051B.A=0.75,p2=0.51

C.Pi=。，，2=。.45D.Pi=0.75,p2=0.45

【答案】A

【分析】根據互斥事件的定義可求Pl，根據獨立事件的概率公式求P2，由此可判斷結論.

【詳解】因為事件A與B互斥，所以「（Afi）=0,所以4=0.

因為A與8相互獨立，P（A）=0.6,P（3）=0.15,

所以尸（=P（A）（l-P（B））=0.6x0.85=0.51,

即「2=0.51.

故選：A.

17.（2023春?浙江溫州?高一統考期末）在一個盒子中有紅球和黃球共5個球，從中不放回的依次摸出兩個

球，事件4="第二次摸出的球是紅球"，事件3="兩次摸出的球顏色相同"，事件C="第二次摸出的球是

黃球”，若尸（4）=：,則下列結論中錯誤的是（

（）

A.PB=|B.P（C）=1-P（A）

4

C.P（AuB）=-D.P（AnB）=—

【答案】C

【分析】由對立事件的性質判斷B；由P（A）=：結合乘法公式得出根=2,進而判斷ACD.

【詳解】依題意，事件AC對立，P（A）+P（C）=1,故B正確；

,門人人，▼心〃人升心~八mm-l5-mm4m2小

設盒子中有加個紅球，5-m個黃球，P（A）=-----------+------------=—=—=＞機=2

5454205

711713??

P（AnB）=--=—,-+故AD正確；

'7541054545

7

尸（AUB）=P（A）+P（B）-P（Ar）S）=—,故C錯誤；

故選：C

18.（2023秋?遼寧沈陽?高一沈陽鐵路實驗中學校考期末）某商場推出抽獎活動，在甲抽獎箱中有四張有獎

獎票.六張無獎獎票；乙抽獎箱中有三張有獎獎票，七張無獎獎票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示

在甲抽獎箱中中獎的事件，8表示在乙抽獎箱中中獎的事件，C表示兩次抽獎均末中獎的事件.下列結論中不

正確的是（）

91

A.P（C）=—B.事件A與事件8相互獨立

C.尸（AB）與尸（c）和為54%D.事件A與事件8互斥

【答案】D

【分析】分別求出P（A）,P⑻,進一步求出網。）與P（AB）,從而判斷AC選項，在甲抽獎箱抽獎和在乙

抽獎箱抽獎互不影響，故事件A和事件2相互獨立，判斷BD選項.

4?3

【詳解】P（A）=-=-,P（B）=-

在甲抽獎箱抽獎和在乙抽獎箱抽獎互不影響，故事件A和事件B相互獨立，B項正確

7391

P（C）=（l--）（l--）=—,故A正確

3

P（AB）=P（A）P（B）=-

尸（AB）+P（C）==54%,故C正確

事件A與事件8相互獨立而非互斥，故D錯誤.

故選：D.

題型七：頻率和概率

19.（2021春?陜西咸陽?高一統考期末）某種心臟手術成功率為0.9,現采用隨機模擬方法估計"3例心臟手

術全部成功”的概率.先利用計算器或計算機產生0?9之間取整數值的隨機數，由于成功率是0.9,故我們用

0表示手術不成功，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示手術成功，再以每3個隨機數為一組，作為3例手術

的結果.經隨機模擬產生如下10組隨機數：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,由此估計"3例心臟手

術全部成功”的概率為（）

A.0.9B.0.8C.0.7D.0.6

【答案】B

【分析】由題可知10組隨機數中表示"3例心臟手術全部成功”的有8組，即求.

【詳解】由題意，10組隨機數:812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,表示“3例心臟手術全部成功”的

有：812,832,569,683,271,989,537,925,故8個，

Q

故估計"3例心臟手術全部成功”的概率為歷=0.8.

故選：B.

20.（2020秋?遼寧大連?高一統考期末）關于頻率和概率，下列說法正確的是（）

①某同學在罰球線投籃三次，命中兩次，則該同學每次投籃的命中率為g;

②數學家皮爾遜曾經做過兩次試驗，拋擲12000次硬幣，得到正面向上的頻率為0.5016；拋擲24000次硬

幣，得到正面向上的頻率為0.5005.如果他拋擲36000次硬幣，正面向上的頻率可能大于0.5005；

③某類種子發芽的概率為0.903,當我們抽取2000粒種子試種，一定會有1806粒種子發芽；

④將一個均勻的骰子拋擲6000次，則出現點數大于2的次數大約為4000次.

A.②④B,①④C.①②D.②③

【答案】A

【分析】根據頻率和概率的定義對各個選項進行判斷即可.

【詳解】①某同學投籃三次，命中兩次，只能說明在這次投籃中命中的頻率為不能說概率，故錯誤；

②進行大量的實驗，硬幣正面向上的頻率在0.5附近擺動，可能大于0.5,也可能小于0.5,故正確；

③只能說明可能有1806粒種子發芽，具有隨機性，并不是一定有1806粒種子發芽，故錯誤；

④出現點數大于2的次數大約為4000次，正確.

故選：A

【點睛】本題考查頻率與概率的區別，屬于基礎題.

21.（2020春?甘肅武威?高一校考期末）一個容量為20的樣本數據，分組后組距為10,區間與頻數分布如

下：（10,20],2；（20,30],3；（30,40],4；（40,50],5；（50,60],4；（60,70],2.則樣本在（10,50]

上的頻率為（）

1117

A.—B.-C.-D.—

204210

【答案】D

【分析】根據頻率等于頻數比樣本容量求解.

【詳解】因為樣本在（10,50]上的頻數為14,樣本容量為20,

147

所以樣本在（10,50]上的頻率為。=方=歷

故選：D

【點睛】本題主要考查統計中頻率的求法，屬于基礎題.

題型八：統計和概率的綜合

22.（2023春?河南周口?高一校聯考期末）居民小區物業服務聯系著千家萬戶，關系著居民的“幸福指數某

物業公司為了調查小區業主對物業服務的滿意程度，以便更好地為業主服務，隨機調查了100名業主，根

據這100名業主對物業服務的滿意程度給出評分，分成[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]

⑴在這100名業主中，求評分在區間［70,80）的人數與評分在區間［50,60）的人數之差;

⑵估計業主對物業服務的滿意程度給出評分的眾數和90%分位數;

⑶若小區物業服務滿意度（滿意度=滿意彳;均分）低于0.8,則物業公司需要對物業服務人員進行再培

訓.請根據你所學的統計知識，結合滿意度，判斷物業公司是否需要對物業服務人員進行再培訓，并說明

理由.（同一組中的數據用該區間的中點值作代表）

【答案】⑴24人;

（2）眾數：75分，90%分位數：84分;

⑶物業公司需要對物業服務人員進行再培訓，理由見解析.

【分析】（1）本題考查頻率分布直方圖每個矩形的意義，即頻率，則每個區間人數即可求解；

（2）本問考查頻率分布直方圖的眾數與百分位數的求法，即最高矩形的組中值為眾數，左右兩邊頻率之和

為0.9與0.1的為90%分位數；

（3）本問考查頻率分布直方圖平均數的求法，即組中值與頻率乘積之和，最后套入公式即可.

【詳解】（1）評分在區間［70,80）的人數為100*0.04x10=40（人），

評分在區間［50,60）的人數為100x0.016x10=16（人），

故評分在區間［70,80）的人數與評分在區間［50,60）的人數之差為40-16=24（人）；

（2）業主對物業服務的滿意程度給出評分的眾數為75分，

由10x（0.016+0.03+0.04）=0.86<0.9,10x（0.016+0.03+0.04+0.01）=0.96>0.9,

設業主對物業服務的滿意程度給出評分的90%分位數為x,

有（x—80）x0.01=0.9—0.86,解得尤=84,

故業主對物業服務的滿意程度給出評分的眾數和90%分位數分別為75分和84分;

(3)業主對物業服務的滿意程度給出評分的平均分為

55x0.016x10+65x0.03x10+75x0.04x10+85x0.01x10+95x0.004x10=70.6,

由a=0.706<0.8,

100

故物業公司需要對物業服務人員進行再培訓.

23.(2023春?河南?高一校聯考期末)大學畢業生小張和小李通過了某單位的招聘筆試考試，正在積極準備

結構化面試，每天相互進行多輪測試，每輪由小張和小李各回答一個問題，已知小張每輪答對的概率為:，

4

小李每輪答對的概率為在每輪活動中，小張和小李答對與否互不影響，各輪結果也互不影響.

⑴求兩人在兩輪活動中都答對的概率；

(2)求兩人在兩輪活動中至少答對3道題的概率；

⑶求兩人在三輪活動中，小張和小李各自答對題目的個數相等且至少為2的概率.

【答案】⑴!

4

(2)-

3

⑶』

16

【分析】(1)根據相互獨立事件的概率公式計算即可；

(2)兩人分別答兩次，總共四次中至少答對3道題，分五種情況計算可得答案；

(3)分小張和小李均答對兩個題目、均答對三個題目兩種情況計算即可.

【詳解】(1)依題意，設事件"小張兩輪都答對問題"，N="小李兩輪都答對問題”，

339224

所以尸P=-X-=-.因為事件相互獨立，

4416W339

941

所以兩人在兩輪活動中都答對的概率為P(MN)=P(M)P(^)=—x-=-.

1694

(2)設事A="甲第一輪答對"，B="乙第一輪答對"，C="甲第二輪答對"，D="乙第二輪答對”,

E="兩人在兩輪活動中至少答對3道題”，

則E=ABCDuABCDuABCDuABCDuABCD，

由事件的獨立性與互斥性，可得尸(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABC￡>)+P(ABCD)+P(ABCD)

=P(A)P(B)P(C)P(r>)+P(A)P(B)P(C)P(r>)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)

+P(A)P(B)P(C)P(5)

323212323132321232312

=—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—H--X—X—X—H——X—X—X—=—,

434343434343434343433

故兩人在兩輪活動中至少答對3道題的概率為。.

（3）設事件A3分別表示甲三輪答對2個，3個題目，鳥，員分別表示乙三輪答對2個，3個題目,

設事件〃兩人在三輪活動中，小張和小李各自答對題目的個數相等且至少為2〃,

則。=4與1_]4&，且4，A3,鳥，鳥分別相互獨立,

97497R5

所以尸(Q)=尸(4與)+尸(短3)=尸(4)尸闖+尸⑷尸闖=言3+總＞言=卷.

U?yvj?4/LU

所以兩人在三輪活動中，小張和小李各自答對題目的個數相等且至少為2的概率為之.

24.（2023春?江蘇鹽城?高一江蘇省響水中學校考期末）4月23日是世界讀書日，樹人中學為了解本校學生

課外閱讀情況，按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從全校學生中抽出一個容量為100的樣本，其中

男生40名，女生60名經調查統計，分別得到40名男生一周課外閱讀時間（單位，小時）的頻數分布表和

60名女生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻率分布直方圖：（以各組的區間中點值代表該組的各個值）

女生一周自讀時間頻率分布直方圖

男生一周閱讀時間頻數分布表

小時頻數

[。，2）9

[2,4)25

[4,6)3

[6,8)3

⑴從一周課外閱讀時間為［4,6)的學生中按比例分配抽取6人，則男生，女

生各抽出多少人？

⑵分別估計男生和女生一周課外閱讀時間的平均數月兀

⑶估計總樣本的平均數N和方差/.

參考數據和公式;男生和女生一周課外閱讀時間方差的估計值分別為或=2.4和晨=3.

-s2=-Z(%-x)+Z(x-z)+Z(%->)+2(y-z),乙(04,440)和%(0工，<60)分別表示男生和女

生一周閱讀時間的樣本，其中MZ.

【答案】(D男生1人，女生5人

⑵x=3，y=4

(3)z=3.6，s2=3

【分析】(1)首先求出［4,6)中女生的人數，再利用分層抽樣計算規則計算可得；

(2)根據平均數公式計算可得；

(3)首先求出總體的平均數，再根據所給公式及數據求出總體的方差.

【詳解】(1)一周課外閱讀時間為［4,6)的學生中男生有3人，女生有Jx2x60=15人,

8

若從中按比例分配抽取6人，則男生有6'h3三=1人，女生有15人

3+153+15

_lQ_|_Qv75-1-5x3-1-7x3

(2)估計男生一周課外閱讀時間平均數x=x"U=3；

40

1111

估計女生一周課外閱讀時間的平均數y=—x2xl+—x2x3+—x2x5+—x2x7=4.

244812

/、人、?上心-r*?八壟入-3x40+4x60c,

(3)估計總樣本的平均數z=---———=3.6,

4U_26U__、2

=4-40=