第07講分式方程［2大考點10大題型】

【題型1分式方程的概念及其解】

1.（2024?上海?中考真題）下列說法正確的是（）

A.分式方程一定有解

B.分式方程就是含有分母的方程

C.分式方程中，分母中一定含有未知數

D.分母中含有字母的方程叫做分式方程

2.（2024?廣東?中考真題）下列各式中，是分式方程的是（）

3.（2024?山東德州?中考真題）下列說法正確的是（）

A.罷=：是分式方程

B.尤=1或工=—1是分式方程^^=0的解

X—1

C.若分式上的值為0,貝Ik的值2或者-2

x+2

D.解分式方程時一定會出現增根

4.（2024?河南安陽?中考真題）請寫出一個解為4的分式方程：.

5.（2024?河南鄭州?中考真題）請寫出一個未知數是X的分式方程，并且當久=1時沒有意義

6.（2024?湖南衡陽,中考真題）一列方程如下排列：

*+言=1的解是“2；

*+三=1的解是久=3；

N受=1的解是“4；

根據觀察得到的規律，寫出其中解是X=2024的方程：.

【題型2解分式方程】

1

7.（2024?山東棗莊?中考真題）對于實數a、b,定義一種新運算"⑤"為：。藝匕=",這里等式右邊是實

a—b'

數運算.例如：10則方程％*（-2）=￡-1的解是（）

A.x=7B.x=6C.x=5D.x=4

8.（2024?貴州畢節?中考真題）小明解分式方程擊=急-1的過程下.

解：去分母，得3=2%-（3%+3）.①

去括號，得3=2x-3x+3.②

移項、合并同類項，得—x=6.③

化系數為1,得％=-6.④

以上步驟中，開始出錯的一步是（）

A.①B.②C.③D.@

9.（2024?四川廣元?中考真題）按照如圖所示的流程，若輸出的M=-6,則輸入的111為（）

A.3B.1C.0D.-1

10.（2024?江蘇徐州?中考真題）分式方程搐的解為.

11.（2024?浙江杭州?中考真題）一個僅裝有球的不透明布袋里只有6個紅球和n個白球（僅有顏色不

同）.若從中任意摸出一個球是紅球的概率為|,貝加=.

11

12.（2024?四川內江?中考真題）對于非零實數a,6,規定。十若（2x-1）十2=1,則x的值為

13.（2024?山東威海?中考真題）按照如圖所示的程序計算，若輸出>的值是2,則輸入x的值是一

14.（2024?四川瀘州?中考真題）若方程三|+1=白的解使關于X的不等式（2-a）%—3＞。成立，則實數a的

取值范圍是.

【題型3分式方程的無解問題】

15.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）若關于x的方程安=3無解，則加的值為（）

X—1

A.1B.1或3C.1或2D.2或3

16.（2024?廣西賀州?中考真題）若關于X的分式方程晉=益+2有增根，則TH的值為（）

A.2B.3C.4D.5

17.（2024?山東濰坊?中考真題）當m=時，解分式方程三|=已會出現增根.

18.（2024?山東濟寧?中考真題）人教版教科書對分式方程驗根的歸納如下："解分式方程時，去分母后所

得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母為0,因此應如下檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，如

果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解."

請你根據對這段話的理解，解決下面問題：已知關于x的方程白-若=0無解，方程*2+入+6=0的一

個根是m.

（1）求m和k的值；

（2）求方程x?+kx+6=0的另一個根.

【題型4由分式方程的解求字母的取值范圍】

19.（2024?四川甘孜?中考真題）已知關于x的分式方程筌=3的解是x=3,則m的值為（）

A.3B.-3C.-1D.1

20.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）若關于x的分式方程言=?有正整數解，則整數冽的值是（）

A.3B.5C.3或5D.3或4

（?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如果關于的分式方程二矛=的解是負數，那么實數小的取值范圍

21.2024Xx+11

是（）

A.m<—1B.zn>—1且znWOC.m>—1D.mV—1且mW—2

22.（2024,湖北荊門,中考真題）已知關于x的分式方程狩訴+2的解滿足一4<%<—1，且左為

整數，則符合條件的所有左值的乘積為（）

A.正數B.負數C.零D.無法確定

23.（2024?重慶?中考真題）若關于x的一元一次不等式組產7我六%之）的解集為x26,且關于y的分

式方程箸+蓍=2的解是正整數，則所有滿足條件的整數。的值之和是（）

A.5B.8C.12D.15

24.（2024?四川眉山?中考真題）己知關于無的分式方程展-2=占有一個正數解，則上的取值范圍為.

考點二分式方程的應用

【題型5列方程方程】

25.（2024?甘肅白銀?中考真題）某工廠現在平均每天比原計劃多生產50臺機器，現在生產600臺機器所

需時間與原計劃生產450臺機器所需時間相同，若設現在平均每天生產機器x臺，根據題意可列分式方程

為（）

△-4-5--0=--6--0-0--R--4-5-0--=--6-0-0-

?x久+50'x+50x

_450600—450600

C.—%—5~0=—xD.—x=—%—5—0

26.（2024?甘肅臨夏?中考真題）端午節期間，某商家推出"優惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷售.細

心的小夏發現，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元？設每袋粽子的

原價是x元，所得方程正確的是（）

A.--^=10B.把-筆=10

xx+2xx—2

C.x—2x=10D.x+2x=10

27.（2024?四川,中考真題）近年來，我市大力發展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條

路線可選擇，路線。為全程10千米的普通道路，路線6包含快速通道，全程7千米，走路線6比路線。平

均速度提高40%,時間節省10分鐘，求走路線a和路線b的平均速度分別是多少？設走路線a的平均速度

為x千米/小時，依題意，可列方程為（）

A——------------=—B------------=10

X(1+40%)%60%(1+40%)%7

71010~710

J(1+40%)久x60(l+40%)xx

28.(2024?山東淄博?中考真題)為扎實推進“五育"并舉工作，加強勞動教育，某校投入2萬元購進了一批

勞動工具.開展課后服務后，學生的勞動實踐需求明顯增強，需再次采購一批相同的勞動工具，已知采購

數量與第一次相同，但采購單價比第一次降低10元，總費用降低了15%.設第二次采購單價為x元，則下

列方程中正確的是()

20000_20000x(1-15%)

*x%—10

20000_20000x(1-15%)

B，x-10-%

20000_20000x(1-15%)

-x——%+10

20000_20000x(1-15%)

x+10-x

29.(2024,黑龍江綏化?中考真題)甲、乙兩輛汽車同時從4地出發，開往相距200km的8地，甲、乙兩車的

速度之比是4:5,結果乙車比甲車早30分鐘到達B地，則甲車的速度為km/h.

30.(2024?江西?中考真題)斑馬線前"車讓人"，不僅體現著一座城市對生命的尊重，也直接反映著城市的

文明程度.如圖，某路口的斑馬線路段4-B-C橫穿雙向行駛車道，其中48=BC=6米，在綠燈亮時，小明

共用11秒通過力C,其中通過BC的速度是通過ZB速度的1.2倍，求小明通過4B時的速度.設小明通過4B時

的速度是x米/秒，根據題意列方程得：.

1

CBA

31.(2024?山東青島?中考真題)為落實青島市中小學生"十個一"行動計劃，學校舉辦以"強體質，煉意志"

為主題的體育節，小亮報名參加3000米比賽項目，經過一段時間訓練后，比賽時小亮的平均速度比訓練前

提高了25%,少用3分鐘跑完全程.設小亮訓練前的平均速度為x米/分，那么x滿足的分式方程為.

32.(2024?遼寧鞍山?中考真題)習近平總書記指出，中華優秀傳統文化是中華民族的“根"和"魂為了大

力弘揚中華優秀傳統文化，某校決定開展名著閱讀活動.用3600元購買"四大名著"若干套后，發現這批圖

書滿足不了學生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用2400元購

買的套數只比第一批少4套.設第一批購買的"四大名著"每套的價格為x元，則符合題意的方程

是.

【題型6分式方程的行程問題】

33.（2024?山東?中考真題）某校組織學生去郭永懷紀念館進行研學活動.紀念館距學校72千米，部分學

生乘坐大型客車先行，出發12分鐘后，另一部分學生乘坐小型客車前往，結果同時到達.已知小型客車的

速度是大型客車速度的1.2倍，求大型客車的速度.

34.（2024?四川自貢?中考真題）學校師生去距學校45千米的吳玉章故居開展研學活動，騎行愛好者張老

師騎自行車先行2小時后，其余師生乘汽車出發，結果同時到達；已知汽車速度是自行車速度的3倍，求

張老師騎車的速度.

35.（2024?四川樂山?中考真題）第十四屆四川省運動會定于2022年8月8日在樂山市舉辦，為保證省運

會期間各場館用電設施的正常運行，市供電局為此進行了電力搶修演練.現抽調區縣電力維修工人到20千

米遠的市體育館進行電力搶修.維修工人騎摩托車先行出發，10分鐘后，搶修車裝載完所需材料再出發，

結果他們同時到達體育館，已知搶修車是摩托車速度的1.5倍，求摩托車的速度.

36.（2024?重慶?中考真題）在全民健身運動中，騎行運動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從力地

沿相同路線騎行去距力地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍.

（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從2地出發，則甲出發半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；

（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從力地出發，則甲、乙恰好同時到達B地，求甲騎行的速度.

【題型7分式方程的工程問題】

37.（2024?廣西玉林?中考真題）南寧至玉林高速鐵路已于去年開工建設，玉林輛隧道是全線控制性隧道，

首期打通共有土石方總量600千立方米，總需要時間y天，且完成首期工程限定時間不超過600天.設每

天打通土石方x千立方米.

（1）求y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍；

（2）由于工程進度的需要，實際平均每天挖掘土石方比原計劃多0.2千立方米，工期比原計劃提前了100

天完成，求實際挖掘了多少天才能完成首期工程？

38.（2024?山東泰安?中考真題）一項工程，甲，乙兩公司合做，12天可以完成，共需付施工費102000元;

如果甲，乙兩公司單獨完成此項工程，乙公司所用時間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費比甲公司每

天的施工費少1500元.

（1）甲，乙兩公司單獨完成此項工程，各需多少天？

（2）若讓一個公司單獨完成這項工程，哪個公司的施工費較少？

39.（2024?貴州黔東南?中考真題）某校為了在九月份迎接高一年級的新生，決定將學生公寓樓重新裝修，

現學校招用了甲、乙兩個工程隊.若兩隊合作，8天就可以完成該項工程；若由甲隊先單獨做3天后，剩余

部分由乙隊單獨做需要18天才能完成.

（1）求甲、乙兩隊工作效率分別是多少？

（2）甲隊每天工資3000元，乙隊每天工資1400元，學校要求在12天內將學生公寓樓裝修完成，若完成

該工程甲隊工作加天，乙隊工作“天，求學校需支付的總工資w（元）與甲隊工作天數機（天）的函數關

系式，并求出加的取值范圍及校的最小值.

40.（2024?遼寧丹東?中考真題）進入防汛期后，某地對河堤進行了加固.該地駐軍在河堤加固的工程中出

色完成了任務.這是記者與駐軍工程指揮官的一段對話：

、你們是用9天完成4圓0米煲們加固頌米后,采用新的加固膜

1座附大壩加固任務的?，,式這棒每天加固長度是原來的2倍.

通過這段對話，請你求出該地駐軍原來每天加固的米數.

41.（2024?江蘇淮安?中考真題）玉樹地震后，有一段公路急需搶修.此項工程原計劃由甲工程隊獨立完成,

需要20天.在甲工程隊施工4天后，為了加快工程進度，又調來乙工程隊與甲工程隊共同施工，結果比原

計劃提前10天，為抗震救災贏得了寶貴時間.求乙工程隊獨立完成這項工程需要多少天.

42.（2024?遼寧阜新?中考真題）為落實"數字中國”的建設工作，市政府計劃對全市中小學多媒體教室進行

安裝改造，現安排兩個安裝公司共同完成.已知甲公司安裝工效是乙公司安裝工效的1.5倍，乙公司安裝

36間教室比甲公司安裝同樣數量的教室多用3天.

（1）求甲、乙兩個公司每天各安裝多少間教室？

（2）已知甲公司安裝費每天1000元，乙公司安裝費每天500元，現需安裝教室120間，若想盡快完成安

裝工作且安裝總費用不超過18000元，則最多安排甲公司工作多少天？

【題型8分式方程的經濟問題】

43.（2024?江蘇宿遷,中考真題）某商店購進/、8兩種紀念品，已知紀念品/的單價比紀念品8的單價高

10元.用600元購進紀念品A的數量和用400元購進紀念品B的數量相同.

（1）求紀念品/、5的單價分別是多少元？

⑵商店計劃購買紀念品N、8共400件，且紀念品/的數量不少于紀念品8數量的2倍，若總費用不超過

11000元，如何購買這兩種紀念品使總費用最少？

44.（2024?遼寧阜新?中考真題）為了進一步豐富校園文體活動，某中學準備一次性購買若干個足球和排球,

用480元購買足球的數量和用390元購買排球的數量相同，已知足球的單價比排球的單價多15元.

（1）求：足球和排球的單價各是多少元？

⑵根據學校實際情況，需一次性購買足球和排球共100個，但要求其總費用不超過7550元，那么學校最多

可以購買多少個足球？

45.（2024?黑龍江?中考真題）2023年5月30日上午9點31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發射中心發射

升空，某中學組織畢業班的同學到當地電視臺演播大廳觀看現場直播，學校準備為同學們購進/,8兩款文

化衫，每件4款文化衫比每件3款文化衫多10元，用500元購進/款和用400元購進2款的文化衫的數

量相同.

（1）求/款文化衫和B款文化衫每件各多少元？

（2）已知畢業班的同學一共有300人，學校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種

購買方案？

⑶在實際購買時，由于數量較多，商家讓利銷售，/款七折優惠，3款每件讓利加元，采購人員發現（2）

中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求加值.

46.（2024?遼寧錦州，中考真題）2023年5月15日，遼寧男籃取得第三次CA4總冠軍，遼籃運動員的拼搏

精神感染了眾多球迷.某校籃球社團人數迅增，急需購進4,5兩種品牌籃球，已知/品牌籃球單價比2

品牌籃球單價的2倍少48元，采購相同數量的8兩種品牌籃球，分別需要花費9600元和7200元.求

A,3兩種品牌籃球的單價分別是多少元？

47.（2024?山東濟南?中考真題）某校開設智能機器人編程的校本課程，購買了4,2兩種型號的機器人模

型.A型機器人模型單價比8型機器人模型單價多200元，用2000元購買/型機器人模型和用1200元購

買3型機器人模型的數量相同.

（1）求/型，3型機器人模型的單價分別是多少元？

⑵學校準備再次購買/型和B型機器人模型共40臺，購買8型機器人模型不超過N型機器人模型的3倍,

且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優惠.問購買/型和3型機器人模型各多少臺時花費最少?最

少花費是多少元？

48.（2024?黑龍江牡丹江,中考真題）某商場欲購進/和8兩種家電，已知8種家電的進價比/種家電的

進價每件多100元，經計算，用1萬元購進/種家電的件數與用1.2萬元購進2種家電的件數相同.請解

答下列問題：

（1）這兩種家電每件的進價分別是多少元？

（2）若該商場欲購進兩種家電共100件，總金額不超過53500元，且/種家電不超過67件，則該商場有哪幾

種購買方案？

⑶在（2）的條件下，若/和8兩種家電的售價分別是每件600元和750元，該商場從這100件中拿出兩種

家電共10件獎勵優秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5050元，請直接寫出這10件家電中8種家電的件

數.

49.（2024?湖北荊州?中考真題）荊州古城旁"荊街"某商鋪打算購進4B兩種文創飾品對游客銷售.已知1400

元采購4種的件數是630元采購B種件數的2倍，2種的進價比B種的進價每件多1元，兩種飾品的售價均為

每件15元；計劃采購這兩種飾品共600件，采購B種的件數不低于390件，不超過4種件數的4倍.

（1）求4B飾品每件的進價分別為多少元？

（2）若采購這兩種飾品只有一種情況可優惠，即一次性采購力種超過150件時，4種超過的部分按進價打6

折.設購進4種飾品x件，

①求x的取值范圍；

②設計能讓這次采購的飾品獲利最大的方案，并求出最大利潤.

【題型9分式方程的和差倍分問題】

50.（2024?重慶?中考真題）"垃圾可變寶，分類更環保我校為積極響應有關垃圾分類的號召，從新世紀

百貨購進了a8兩種品牌的垃圾桶作為"可回收垃圾桶"和"其他垃圾桶已知每個2品牌垃圾桶比每個/

品牌垃圾桶貴25%,用4000元購買/品牌垃圾桶的數量比用3200元購買3品牌垃圾桶多36個.

（1）求購買一個/品牌、一個3品牌的垃圾桶各需多少元？

⑵若我校購進的B品牌垃圾桶的數量比/品牌垃圾桶的數量的9還多10個，且總費用不超過4465元，那么

我校最多可購買多少個/品牌垃圾桶？

51.（2024?吉林長春?中考真題）為建國70周年獻禮，某燈具廠計劃加工9000套彩燈，為盡快完成任務，

實際每天加工彩燈的數量是原計劃的1.2倍，結果提前5天完成任務.求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈

的數量.

52.（2024?四川自貢?中考真題）為傳承我國傳統節日文化，端午節前夕，某校組織了包粽子活動.已知七

（3）班甲組同學平均每小時比乙組多包20個粽子，甲組包150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所

用的時間相同.求甲，乙兩組同學平均每小時各包多少個粽子.

53.（2024?河南?中考真題）近日，教育部印發《義務教育課程方案》和課程標準（2022年版），將勞動從

原來的綜合實踐活動課程中獨立出來.某中學為了讓學生體驗農耕勞動，開辟了一處耕種園，需要采購一

批菜苗開展種植活動.據了解，市場上每捆/種菜苗的價格是菜苗基地的3倍，用300元在市場上購買的/

種菜苗比在菜苗基地購買的少3捆.

⑴求菜苗基地每捆/種菜苗的價格.

（2）菜苗基地每捆8種菜苗的價格是30元.學校決定在菜苗基地購買48兩種菜苗共100捆，且/種菜苗

的捆數不超過2種菜苗的捆數.菜苗基地為支持該校活動，對/,8兩種菜苗均提供九折優惠.求本次購買

最少花費多少錢.

54.（2024?山西?中考真題）太原武宿國際機場簡稱“太原機場”，是山西省開通的首條定期國際客運航線.游

客從太原某景區乘車到太原機場，有兩條路線可供選擇，路線一：走迎賓路經太輸路全程是25千米，但交

通比較擁堵；路線二：走太原環城高速全程是30千米，平均速度是路線一的,倍，因此到達太原機場的時間

比走路線一少用7分鐘，求走路線一到達太原機場需要多長時間.

55.（2024?廣東?中考真題）甲、乙兩個工程隊均參與某筑路工程，先由甲隊筑路6