專題10對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.對(duì)數(shù)式的運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果/=N(a>0且“W1),那么數(shù)X叫做以。為底N的對(duì)數(shù),

記作x=log〃N,讀作以。為底N的對(duì)數(shù)，其中?叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)常見對(duì)數(shù)：

①一般對(duì)數(shù)：以以々>。且a/1)為底，記為log3讀作以。為底N的對(duì)數(shù)；

②常用對(duì)數(shù)：以10為底，記為IgN；

③自然對(duì)數(shù)：以e為底，記為InN；

(3)對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：

①log：=0;log：=1;其中4>。且"1;

②qSg，=N(其中a>0且，N>0)；

③對(duì)數(shù)換底公式：log/=粵"；

logca

④log“(AW)=logaM+logaA^；

⑤loga--=log”M-logaN；

⑥bg/，F(xiàn)w（，…的

⑦戶*=6和log/=6；

logfco

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)〉=1。8/(。>0且。片1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).

過定點(diǎn)（1,0）,即X=1時(shí)，y=0

在（0,+00）上增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

當(dāng)Ovxvl時(shí)，j<0,當(dāng)xNl時(shí)，當(dāng)Ovxvl時(shí)，>>0,當(dāng)％之1時(shí)，y?0

y>0

【方法技巧與總結(jié)】

1.對(duì)數(shù)函數(shù)常用技巧

在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)”>1時(shí)，隨a的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近x軸；當(dāng)0<a<l時(shí),

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨。的增大而遠(yuǎn)離x軸.（見下圖）

。增大

。增大

【題型歸納目錄】

題型一：對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式

題型二：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像

題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））

題型四：對(duì)數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問題

【典例例題】

題型一：對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式

例1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（1）計(jì)算3啕2+27%+lg50+lg2；

（2）已知現(xiàn)2口%（坨切=1,求實(shí)數(shù)x的值；

（3）若18"=5,log189=b,用0,b,表示log3645.

例2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）⑴求1唯上,1嗎8」嗎27的直

25?

(2)已知log95=。，3"=7,試用4，6表示logzi35

212

例3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（1）已知a,b,c均為正數(shù),且3a=4b=6c求證:—I—=一

9abc

（2）若60a=3,60b=5,求已景出的值

例4.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）若e，=4,e"=25,貝!j()

A.a+b=100B.b-a=e

C.ab<8\n22D.b-a>]n6

例5.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)X,y滿足x>0,y>0,XH1,y^l,xy=yx,

x

logx+-=4,則x+y=()

y

A.2B.4C.6D.8

例6.（2022.北京昌平?二模）已知函數(shù)/（x）=ax2-4依+2（〃<0）,則關(guān)于X的不等式

/(%)>log2)的解集是(

A.(-oo,4)B.(0,1)C.(0,4)D.(4,+oo)

log1X,X>1,

例7.（2022?全國?江西師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)〃尤）=<5則不等式

l-x2,x<1,

/(x)</(x-l)的解集為

例8.（2022?遼寧?東北育才學(xué)校二模）若函數(shù)f（x）滿足：（1）馬式。，”）且玉片々，

都有"“）一"為）<0；（2）f=/（西）-/（尤2），貝!l/(x)=,（寫出滿足這

x2—xl

些條件的一個(gè)函數(shù)即可）

例9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（x）=log,“x（根>0且加Wl）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（3,1）.

（1）解關(guān)于x的方程尸（x）+（加一1）〃X）+1—/=0；

（2）不等式［l+/（x）］｛a-/（x）］〉0的解集是試求實(shí)數(shù)a的值.

【方法技巧與總結(jié)】

對(duì)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對(duì)數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題

是要將其化為同底，利用對(duì)數(shù)單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù)的問題，但這里必須注

意對(duì)數(shù)的真數(shù)為正.

題型二：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像

例10.（2022?山東濰坊?二模）已知函數(shù)/（x）=log“（x-b）（a>0且awl）的圖像如圖所示，

則以下說法正確的是（）

A.a+b<0B.ab<-lC.0<a*<1D.loga\b\>0

例11.（2022.江蘇省高郵中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)y=log”（x+3）-l（a>0且awl）的圖象恒

過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線〃tr+〃y+l=0上，其中〃加>0,則'+'的最小值為（）

mn

A.3-2V2B.1+V?C.3+2后D.2+2V2

（多選題）例12.（2022?福建?莆田二中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)g（x）=log〃（x+%）（a>0且"1）

的圖象如下所示.函數(shù)/（"=（01）"-武的圖象上有兩個(gè)不同的點(diǎn)4（%,%）,磯%,%），

則（）

A.a>l,k>2B.在R上是奇函數(shù)

C.在R上是單調(diào)遞增函數(shù)D.當(dāng)x20時(shí)，2/（^）</（2x）

-2x?+3x,-2Wx<0

例13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知/（幻={1,若g（x）=|/（x）|-ox—a

In——,0<x<211

X+1

的圖象與X軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【方法技巧與總結(jié)】

研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題

是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.

題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））

例14.（2022?陜西?榆林市第十中學(xué)高二期中（文））函數(shù)、=1。82（4+3彳-/）的一個(gè)單調(diào)增

區(qū)間是（）

A.0B.CD.[|』

-21

ox—x—XV]

例15.（2022?天津.南開中學(xué)二模）已知函數(shù)"尤）=.‘4”一是R上的單調(diào)函數(shù)，則

logax-l,x>l

實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

r1nrir

A.二,二B.y,—

|_42）142j

c-H]D.t，”

例16.（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）己知實(shí)數(shù)。￡（1,口），且log3a+log。3=log3b+log。4,則（）

A.y/a<b<aB.b<yfa<aC.y[a<a<bD.a<b<y/a

例17.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））函數(shù)段）=logQx（0VaVl）在上的最大值是（）

A.0B.1

C.2D.a

例18.（2022?重慶?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)f（x）=log“（-3d+4"-l）有最小值，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是（）

【方法技巧與總結(jié)】

研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題

是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.

題型四：對(duì)數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

例19.（2022?北京?高三專題練習(xí)）若不等式V-log.xvO在（0,；）內(nèi)恒成立，則。的取值范

圍是（）

A.—?a<1B.—<Q<1C.0<aV—D.0<a<—

16161616

例20.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)了二[；[12、”的值域?yàn)椋?,',若不等式

1。8.9?4'）<108“（2，7）在工目1,2]上恒成立，則f的取值范圍是（）

A.HB.,+°°^C.（—co,2）D.（0,2）

例21.（2022?浙江?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)"X）='手，g（x）=log2x+a,若存在百目3,4],

任意9e[4,8],使得了（xj2g（%）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

例22.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x-Inx,已知實(shí)數(shù)a>0,若

/1（了）+g2*+111。20在（0,+8）上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例23.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=a*+logaX（a>0,"l）在[1,2]上的最大值

與最小值之和為6+log。2.

（1）求實(shí)數(shù)。的值；

（2）對(duì)于任意的xe[2,+8）,不等式V（x）-120恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

例24.（2022?陜西安康?高三期末（文））已知函數(shù)〃x）=（logaX）2+21ogaX+3（a>0,qNl）.

（1）若/（3）=2,求a的值；

⑵若對(duì)任意的xe[8/2],/（x）>6恒成立，求。的取值范圍.

例25.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知"x)=3-21og2X,g(x)=log2x.

(1)當(dāng)xe[L4]時(shí),求函數(shù)y=[/(x)+l]-g(x)的值域;

(2)對(duì)任意xe[2",2"+[,其中常數(shù)“eN,不等式/(d)./(?)＞依(x)恒成立，求實(shí)數(shù)左

的取值范圍.

【方法技巧與總結(jié)】

(1)利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像求解；

(2)分離自變量與參變量，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(3)涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用

導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.

題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問題

例26.(2022.河北?張家口市第一中學(xué)高三階段練習(xí))已知定義域?yàn)?。,+8)的單調(diào)遞增函數(shù)

滿足：Vxe(0,+oo)，有〃〃x)-lnx)=l,則方程/(%)=—x2+4x—2的解的個(gè)數(shù)為(

A.3B.2C.1D.0

例27.(2022?四川雅安?三模(文))設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意xeR,都有

〃x+4)=〃x),且當(dāng)xe[-2,0]時(shí)，/(X)=QJ-6.若在區(qū)間(一2,6]內(nèi)關(guān)于尤的方程

”力-抽“(％+2)=0(。＞1)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是().

A.(1,2)B.(2,+8)C.(1,而)D.(返,2)

例28.(2022.廣西柳州.高一期中)己知a>b>0,且a+b=l,則()

A.sina>sinbB.—>^C.2a+2b>272D.lga+lgZ?=0

ab

例29.(2022?河北保定?二模)已知函數(shù)y=3》-2歲在(O,+e)上先增后減，函數(shù)y=43,-3#在

(。,+8)上先增后減.若log2(log3%)=log3(log2%)=a>0,log2(log4)=log4(log2%)=%，

log3(log4x,)=log4(log3x,)=c>0,則()

A.a<cB.b<aC.c<aD.a<b

例30.(2022.廣東.三模)已知a,6eR,e是自然對(duì)數(shù)的底，若b+e〃=o+lna,則/的取值

b

可以是()

A.1B.2C.3D.4

例31.(2022?全國?高三專題練習(xí))己知不是函數(shù)/(力=/廣2+3-2的零點(diǎn)，則62-'。+1叫=

【過關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.(2022?遼寧遼陽?二模)區(qū)塊鏈作為一種新型的技術(shù)，被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.在區(qū)塊鏈技術(shù)中，

某個(gè)密碼的長度設(shè)定為512B,則密碼一共有25n種可能，為了破解該密碼，在最壞的情況

下，需要進(jìn)行2512次運(yùn)算.現(xiàn)在有一臺(tái)計(jì)算機(jī)，每秒能進(jìn)行2.5x1014次運(yùn)算，那么在最壞的情

況下，這臺(tái)計(jì)算機(jī)破譯該密碼所需的時(shí)間大約為(參考數(shù)據(jù)lg22Q3,V10?1.58)()

A.3.16x10139sB.1.58x10139s

C.1.58X10140SD.3.16X10140S

1

2.(2022?山東?肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè))已知^~~=P,=n,其中相>0且〃?力1,

log”,3

〃>0且〃彳1,若2%一九=0,貝!JP的值為()

A.log32B.log23C.2D.3

3.(2022.河南安陽.模擬預(yù)測(cè)(文))已知正實(shí)數(shù)x,y,z滿足3、=4)'=(2道『，貝U()

111111112112

A.—+—=—B.—+-=-C.—+—=—D.—+—=一

xyzyzxxyzxzy

4.(2022?河南?南陽中學(xué)高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)/(x)=ln(2+2x)+ln(3—3x),則〃x)

()

A.是奇函數(shù)，且在(0,1)上單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在(0,1)上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(0,1)上單調(diào)遞增

D.是偶函數(shù)，且在(0,1)上單調(diào)遞減

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=log〃(x-l)+2的圖象恒過定點(diǎn)

A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(2,0)

6.(2022?安徽六安?一模(文))設(shè)函數(shù)〃x)=2-&+4,g(x)=ln(ax2-4x+l),若對(duì)任

意的％wR,都存在實(shí)數(shù)巧，使得/a)=g(/)成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(F,4]B.(0,4]C.[0,4]D.(0,2]

7.(2022?湖北?荊門市龍泉中學(xué)二模)設(shè)。>0且。力1,若gk)g“x>sinx+cosx對(duì)xe(0,￡)

恒成立，則a的取值范圍是()

TTTTTTJTTT

A.(0,-)B.(0,-]C.(-,l)u(l,-)D.[-,1)

44424

8.(2022?浙江?模擬預(yù)測(cè))己知實(shí)數(shù)。/￡(l,+oo),>log3a+logb3=log3b+loga4,則()

A.y[a<b<aB.b<y/a<aC.y/a<a<bD.a<b<y[a

二、多選題

9.（2022.重慶市天星橋中學(xué)一模）已知。>0力>0,且a+b=l,則下列結(jié)論正確的是（）

A.工+工的最小值是4

ab

B.浦+二的最小值是2

ab

C.2"+2"的最小值是2形

D.Iog2<2+log2b的最小值是-2

10.（2022.廣東汕頭?二模）設(shè)a,6,c都是正數(shù)，且4。=6〃=9。，則下列結(jié)論正確的是（）

121

A.ab+bc-2acB.ab+bc-acC.4*-9b-4a-9CD.-=------

cba

H.（2022.河北.高三階段練習(xí)）下列函數(shù)中，存在實(shí)數(shù)。，使函數(shù)”同為奇函數(shù)的是（）

A./⑴=lg（x++〃）B./（x）=x2+ax

2

C./（%）=■：]-2D./（%）=幻11（蜻+〃）一5

12.（2022.江蘇?南京師大附中高三開學(xué)考試）當(dāng)時(shí)，4'<log〃無，則”的值可以為

（）

A.正B.正C.逅D.72

223

三、填空題

13.（2022?天津?二模）已知Iog4（x+4y）=l+log27^,貝！Jx+2y的最小值為.

14.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知》2]-3+1nx=3,貝!je3-*+lnx=.

4'-1r<l

15.（2022.河南?模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)〃X）=,'若l</（a）V2,則實(shí)數(shù)。的

log2%,尤>1