專題04高級應用函數的周期性、單調性、奇偶性及對稱性特

性以解析函數性質問題

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

04真題研析?精準預測............................................................7

05核心精講?題型突破............................................................8

題型一：函數單調性的綜合應用8

題型二：函數奇偶性的綜合應用10

題型三：已知人》）=奇函數+M11

題型四：利用軸對稱解決函數問題12

題型五：利用中心對稱解決函數問題13

題型六：奇偶性對稱偏移15

題型七：抽象函數的單調性、奇偶性'周期性'對稱性16

題型八：雙對稱與周期性18

題型九：雙函數與對稱性19

題型十：類周期與倍增函數21

重難點突破：函數性質與導數23

差情;奏汨?日標旦祐

從近五年的高考情況來看，本節是高考的一個重點，函數的單調性、奇偶性、周期性是高考的必考內

容，重點關注單調性、奇偶性結合在一起，與函數圖像、函數零點和不等式相結合進行考查，解題時要充

分運用轉化思想和數形結合思想.

考點要求目標要求考題統計考情分析

預計2025年高考中，題目

將更傾向于以小題（如選擇題

或填空題）的形式來考察學生，

這些小題將可能融合在解答題

2024年新高考I卷第8題，5分

的解答過程中，作為一個相對

2024年新高考II卷第11題，6分

獨立的考察點。具體來說，可

2023年新高考II卷第4題，5分

掌握函數性質，熟2023年新高考I卷第4題，5分以預見的是：

函數的性質

練解題應用2022年乙卷第12題，5分（1）題目將采用選擇題或填空

2022年新高考II卷第8題，5分題的形式，旨在檢驗學生的綜

2021年甲卷第12題，5分

合邏輯推理和解析能力。

2021年新高考II卷第8題，5分

（2）考試的熱點將聚焦于函數

的單調性、奇偶性以及對稱性

這三個特性的綜合應用和分

析。

般地,設函數/(.v)的定義域為■1,區間。SU：

如果對于Z)內的任意兩個1rl變量的值MAv

當XRM都有/(xJv/CJ，則/C汪區間0上是增函數.

般地,設函數/(.v)的定義域為％區間DG：

如果對于D內的任意兩個自變量的值

當巧〈三時，都有/(.vj,則/(.?在區間0上是減函數.

單調性

卜”里潤區門的相如果函數產/W在區間/上單調遞增或單調遞減,

>產騎區㈣的足乂JI則函如-=/(.v)在這一區間具有單調性，區間/ml做＞?=/(")的單調區間

復合函數的單調性遵從"同增異減”，即在對應的取值區間上，外層函數是增(減)函

《復合函數的單調性數,內層函數是熠(減)函數,復合函數是增函數；外層函數是增(減)函數,內層函

數是減(增)函數,復合函數是減函數.

"圖像關門軸對稱

奇偶性

圖像關丁?原點對東:

對于函數/(2的定義域內任意一個M都有/(-.V)=-/(A)

對于函數『=/“),如果存在一個非零常數T,

使得與V取定義域內的任何值時，都有/(、?+r)=f(x),

那么就稱函數r=/(、)為周期函數

高級應用函數的周期

性、單調性、奇偶性及f(x)=f(x+a)=^T=\a\

對稱性特性以解析函數/(工)=./口+〃)=7=2|倒)

周期性

性質問題

/(?*很萬

人懺五兩S同

常用周期結論

人"")=逢=7=2間

叱小踹5■?同

/(.v+a)=l--=>T=3|

【(/(.v)=/(.v+a)+/(w〃)=T=6|a|J

若函即=/(K+Q)為偶函數,則函數尸/(.V)關『x=a對稱

若函數尸/(.v+a)為奇函數，則函數*/(*)而癡a,0)對稱

對稱性

若/")=/(2℃),則函數/(x)關于x=a對稱

若/(2/(2az)=2①則函數/(x)關于點(a,b)對稱

1、單調性技巧

(1)證明函數單調性的步驟

①取值：設X1,z是/'(尤)定義域內一個區間上的任意兩個量，且占＜尤2；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號：判斷差的正負或商與1的大小關系；

④得出結論.

(2)函數單調性的判斷方法

①定義法：根據增函數、減函數的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結論”進行判斷.

②圖象法：就是畫出函數的圖象，根據圖象的上升或下降趨勢，判斷函數的單調性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數，如一次函數、二次函數、反比例函數等，直接寫出它們的單調

區間.

(3)記住幾條常用的結論：

①若/⑺是增函數，則-/⑺為減函數；若/⑺是減函數，則-/(X)為增函數；

②若/⑺和g(x)均為增(或減)函數，則在八＞)和g(x)的公共定義域上/'(Xl+g(尤)為增(或減)函

數；

③若〃幻＞0且/(x)為增函數，則函數77函為增函數，」一為減函數；

f(x)

④若/(x)＞0且/(X)為減函數，則函數向6為減函數，,為增函數.

于(x)

2、奇偶性技巧

(1)函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.

(2)奇偶函數的圖象特征.

函數/(x)是偶函數o函數/(%)的圖象關于y軸對稱；

函數是奇函數。函數/(%)的圖象關于原點中心對稱.

(3)若奇函數＞=/(尤)在彳=0處有意義，則有/(0)=0；

偶函數y=f(x)必滿足/(x)=/(|.x|).

(4)偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱

的兩個區間上單調性相同.

(5)若函數/(x)的定義域關于原點對稱，則函數/(%)能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形

式?記g(x)=："(尤)+/(-X)］，h(x)=g"(尤)-/(-X)］，則/(x)=g(x)+h(x).

(6)運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個(或多個)函數式通過加、減、乘、除四則運算所得

的函數，in/(X)+g(x),/(x)-g(x),f(x)Xg(x),/(x)-g(x).

對于運算函數有如下結論：奇土奇=奇；偶士偶=偶；奇土偶=非奇非偶；

奇*(十)奇=偶；奇、(十)偶=奇；偶x(十)偶=偶.

(7)復合函數y=f［g(x)］的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數模型

奇函數：①函數/(x)=m("+1)(無力0)或函數f(x)=m("I.

a-1a+1

②函數/(尤)=±(爐一尸).

③函數f{x}=log"=log"(1+或函數/(x)=log"=loga(l--^-)

x—mx—mx+mx+m

④函數f(X)=lOga(J%2+1+X)或函數f(X)=lOga(J%2+1-.

注意：關于①式，可以寫成函數/(x)=m+2l(無/0)或函數/(x)=?7-2L(meR).

ax-1ax+1

偶函數：①函數f(x)=±(ax+a~x).

②函數/(xhlogKaE+l)-修?

③函數/(|x|)類型的一切函數.

④常數函數

3、周期性技巧

函數式滿足關系(xeR)周期

f(x+T)=f(x)T

/(x+T)=-/(x)2T

/U+r)=-l-；/(x+T)=--l-

2T

/(無)于(x)

f(x+T)=fm2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

(f(a+x)=f(a-x)

2(。-a)

\f(b+x)=f(b-x)

\于(a+x)=f(a-x)

[/(尤)為偶函數2a

f(a+無)=-/(a-x)

23—a)

1f{b+x)=-f{b-x)

f(a+尤)=-f{a-x)

2a

!/'(x)為奇函數

f(a+x)=f(a-x)

4(。一〃)

If(b+x)=-f(Jj-x)

\f{a+x)=f{a-x)

[/(x)為奇函數4。

f(a+無)=-/(fl-x)

4〃

為偶函數

4、函數的的對稱性與周期性的關系

(1)若函數y=/(%)有兩條對稱軸％="，x=b(a<b),則函數/(%)是周期函數，且7=23-〃)；

(2)若函數y=/(%)的圖象有兩個對稱中心3c),("c)(av。)，則函數y=/(兀)是周期函數，且

T=2(b-a)；

(3)若函數y=/(x)有一條對稱軸x=〃和一個對稱中心S,O)(a<b),則函數y=/(%)是周期函數，且

T=4(b-a).

5、對稱性技巧

(1)若函數y=/(%)關于直線尤=丁對稱,則/(〃+%)=/(〃-%).

(2)若函數)=/(%)關于點(〃,6)對稱，JUOf(a+x)+f(a-x)=2b.

(3)函數y=/(〃+%)與y=/(a-x)關于y軸對稱，函數y=/(〃+%)與y=-/(々一%)關于原點對稱.

0

//真題研析?精準頸測N

1.(2024年新課標全國I卷數學真題)已知函數/(x)的定義域為R,7(x)>/(x-l)+/(x-2),且當x<3時

/(x)=x,則下列結論中一定正確的是()

A./(10)>100B.”20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

2.(多選題)(2024年新課標全國II卷數學真題)設函數/(x)=2尤3-3加+1,則()

A.當。>1時，/(x)有三個零點

B.當“<0時，》=0是/(尤)的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點為曲線y=/(x)的對稱中心

3.(2023年高考全國乙卷數學(理)真題)已知/(x)=&-是偶函數，則。=()

e^-l

A.-2B.-1C.1D.2

4.(多選題)(2023年新課標全國I卷數學真題)已知函數〃x)的定義域為R,/3)=y2〃x)+x2〃y),

則(),

A.f(0)=0B./(1)=0

C.“X)是偶函數D.x=0為的極小值點

5.(2023年高考全國甲卷數學(理)真題)若，(無)=("l)2+ax+sin]x+3為偶函數，貝匹=.

6.(2022年新高考全國II卷數學真題)已知函數的定義域為R,且

22

f(x+y)+f(x-y)^/(I)=1,則￡/(幻=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

7.(2022年高考全國乙卷數學(理)真題)已知函數〃x),g(x)的定義域均為R,且

22

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱，g⑵=4,則住卜()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

8.(多選題)(2022年新高考全國I卷數學真題)已知函數/Xx)及其導函數r(x)的定義域均為R,記

g（x）=f'（x）,若/1-2尤），g（2+x）均為偶函數，則（）

A./(0)=0B.gf-|j=OC./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

9.（2022年高考全國乙卷數學（文）真題）若/（x）=lna+丁匚+b是奇函數，則。=_,b=____

I-X

10.（2021年全國高考甲卷數學（理）試題）設函數/（X）的定義域為R,/（X+1）為奇函數，/'（x+2）為偶

2

函數，當xe[l,2]時，f（x）=ax+b.若/（0）+〃3）=6,貝廳（|1=（）

5_

AD.

-42

11.（2021年全國新高考n卷數學試題）已知函數〃%）的定義域為R,〃％+2）為偶函數，〃2%+1）為奇

函數，則（）

A.=0B./(-1)=0C."2)=0D."4)=0

1

12.（2021年全國高考甲卷數學（文）試題）設是定義域為R的奇函數，且/'（l+x）=〃-x）.若/

則/)

5115

A.B.C.D.

3333

㈤5

H核心精講?題型突破\\

題型一：函數單調性的綜合應用

【典例1-1]若函數/（x）=V-2國在區間（"2㈤內不單調，則實數上的取值范圍為（）

A.（-1,3）B.[-1,3]C.[-1,3）D.[2,3]

【典例1-2】已知函數V=/（X+2）是R上的偶函數，對任意再,々e[2,+8）,且占RN都有＞。成

立.若々=/（log318）,b=f\Inc，則。，仇。的大小關系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

函數單調性常與奇偶性、對稱性結合，用于求解最值、解不等式、證明數列單調性等。通過導數法或

定義法判斷單調性，結合圖像直觀分析，可簡化復雜問題，提高解題效率。

【變式1-1]定義域為R的函數/(x)滿足條件：①對任意的%，%>0,恒有]〃占)-〃%)](占-々)>。；

②“力―〃—力=0；0/(-3)=0,則不等式獷(x)<。的解集是()

A.(^o,-3)0(0,3)B.(-3,0)u(0,3)

C.(-3,0)IJ(3,+oo)D.(F,-3)“3,+CO)

【變式1-2】已知函數〃x+l)是偶函數，當時，[〃孑)-"Z)](網-々)>°恒成立，設。=/I

b=f（2）,c"⑶,則。，b,c的大小關系為（）

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

\命題預測1

、--------------------------

1.已知函數/■(尤)=ln|x-l|,若占<%<1，且玉+鼻>2,則()

A./(W)</(占)</(當)B./(x,)</(x,)<f(^)

C./(%)</(%)</(玉)D./(^2)</(^)</(%3)

2.設函數/(元)=111|工-4|在區間(2,3)上單調遞減，則a的取值范圍是()

A.(-℃,3]B.(-℃,2]C.[2,+00)D.[3,+oo)

3.已知/(x),g(x)是定義域為R的函數，且〃尤)是奇函數，g(x)是偶函數，滿足/⑺+g(x)=ax2+x+2,

若對任意的1<占<%<2,都有g(-%)-g(")>_3成立,則實數。的取值范圍是()

石-x2

A.［。,+8）B.

33

—,+<x>一,+%

44

題型二：函數奇偶性的綜合應用

【典例2-1】（2024?河南?模擬預測）已知"x）=x31n—,則〃*+2）>〃3彳-2）的解集為（）

3-x

【典例2-2】（2024?陜西商洛?一模）已知函數7?（尤）=-2尤3-3x+2,若不等式f+>4成立,

則。的取值范圍是（）

A.(ro,—2)u(3,+oo)B.(-2,3)C.y,-3)U(2,+<?)D.(-3,2)

函數的奇偶性是一個強大的工具，它能幫助我們簡化計算，快速求解問題。通過驗證函數是否滿足奇

函數或偶函數的定義，我們可以利用這一性質來預測函數在對稱區間上的行為，從而簡化求解過程。此外，

奇偶性還可以用于求解參數、判斷函數圖像的對稱性、輔助求解最值問題。掌握函數的奇偶性，不僅能使

我們的解題過程更加高效，還能培養我們的數學直覺和邏輯推理能力。

【變式2-1]（2024?河北石家莊?模擬預測）已知函數/（》）為定義在R上的奇函數，且在[0,y）上單調遞減，

滿足/（bg2”）一7Q°gja）42/（3）,則實數q的取值范圍為（）

2

A.B.于8C.（0,8]D.[8,+co）

【變式2-2]（2024.海南?？?模擬預測）已知定義在卜3,3]上的函數/（力=3-1-2%+1,若

/（覆）+"〃7—2）42,則機的取值范圍是（）

A.[—2,1]B.[―1,2]

C.[-1,73]D.[-1,1]

命題預測D

1.已知函數〃x)=ln(x+GT)+x3_2,若/(1嗚。)+/(1。8丁)"4,則實數”的取值范圍為()

A.[§,3]B.(0,—][3,+co)

C.[1,DU(1,3]D.(0,+?)

/、tan。一tan(%+6)「兀兀

2.已知函數/尤=?是一石7,而f上的奇函數，則tan，=()

l-2?tan(xJ+6>〃)?20242024J

A.2B.-2C.gD.—

22

3.已知〃x)=dg(x)為定義在R上的偶函數，則函數g(x)的解析式可以為()

A.g(x)=ln1^B.g(x)=l-

C.g(x)=]；+：；j：D.g(x)=|x-2|-|x+2|

題型三：已知/(%)=奇函數+M

【典例3-1］［新考法］已知函數/■(尤)=|尤2+H+2W，當x4_2,2］時，記函數”X)的最大值為兇⑷，則/(4)

的最小值為.

丫3

【典例3-2】已知函數=+3在區間［-2023,2023］上的最大值為M,最小值為機，則加+相=.

已知/(x)=奇函數+A/,a,a］,則

⑴f(-x)+f(x)^2M

⑵fMimx+f(x)min=2M

【變式3-1］［新考法］函數〃尤)=卜2-6%卜印%-3)+*+。卜€［0,6］)的最大值為加，最小值為加，若

M+/"=8,貝.

【變式3-2］已知函數〃X)=加+6sinx-2(a6w。)，若/(〃。=2,貝.

命題預測

1.設函數小)=2°23(尤1I)]+「必㈠<xv3)的最大值為M,最小值為m，則M+m=

2枕2+Sin[%￡卜x

2.若關于x的函數，(、/八、的最大值和最小值之和為4,則t=

〃力=c0)

2x2+cosx

3.函數/(x)=(X?-6@sin(x-3)+x+。(xe[0,6])的最大值為M,最小值為加，若A/+機=10,則。=

題型四：利用軸對稱解決函數問題

【典例4-1】已知偶函數“X)的定義域為R,對任意的x滿足〃T)=〃X+2),且〃x)在區間(TO)上單

調遞減，若。=1叫3,6=l°g3變，c=；log應2應，則/⑷，f(b),/(c)的大小關系為()

814

A./(c)>/(a)>/(/?)B./(c)>/(&)>/(a)

C./(fl)>/(&)>/(c)D./(a)>/(c)>/(&)

【典例4-2】(2024?遼寧.一模)已知函數/(尤+2)為偶函數，且當xN2時，“耳=1。8』(/一4》+7),若

7

f(a)>f(b),則()

A.(〃+。一4)(〃一份<0B.(〃+〃一4)(〃一。)>0

C.(a+Z?+4)(a—Z7)<0D.(Q+6+4)(Q—Z?)>0

軸對稱的特性表現為：等式兩側的外部符號保持相同；其求解方法是：通過計算兩側的平均值

來找出對稱軸。

⑴已知函數“X)滿足/(-x)=/(x),則/(%)的對稱軸為直線x=0.

⑵已知函數/(%)滿足/(a-x)=/(a+x),則/(x)的對稱軸為直線x=a.

⑶已知函數外力滿足了(a-x)=/0+x),則〃力的對稱軸為直線x=i.

【變式4-1］(2024?全國?模擬預測)已知函數/(彳)=2023口“加(-0)的圖象關于直線尤=2對稱,且函數/(x)

的最小值為1,則不等式f(x)>2023的解集為()

A.{x|0<x<4}B.{x\xN4或％vO}

C.{x|0<x<4}D.{x|%N4或％40}

【變式4-2】函數"x)=(f+2x)(尤2+辦+“滿足：對VxeR,都有〃l+x)=x),則a+b為()

A.0B.1C.2D.3

命題預測

1.已知函數/(X)=3M+2,且滿足〃5+X)=〃3—X),則〃6)=().

A.29B.HC.3D.5

2.已知函數/(x)=ln%+ln(a-%)的圖象關于直線1=1對稱，則函數/(無)的單調遞增區間為

A.(0,2)B.[0,1)C.(-00,1]D.(0,1]

3.已知A是方程loga%+x=2018(a>0,〃wl)的根，x2是方程《'+%=2018。1)的根，則須+%的

值為()

A.2016B.2017C.2018D.1009

題型五：利用中心對稱解決函數問題

(,1\2016(女、

【典例5-。⑵24.廣東廣州一模)已知函數—R-〒，則“赤的值為()

A.2016B.1008C.504D.0

【典例5?21［新考法］已知：定義在R上的可導函數/(%)的圖象關于點(。"(。))對稱的充要條件是導函數

/'(%)的圖象關于直線犬=〃對稱.任給實數加，〃滿足根3_3m2+5根—1=0,〃3_3/+5〃_5=0,貝11加+〃=

()

A.1B.2C.3D.4

點對稱的特性是：等式兩邊外部的符號不相同；其求解方法是：通過計算等式兩邊的中點(即

平均值)來確定對稱中心的位置。

(1)已知函數/⑺滿足〃-%)=-/(%),則〃％)的對稱點為點(0,0).

(2)已知函數滿足〃a-x)=-/(a+力,則/(尤)的對稱點為點(a,0).

(3)已知函數滿足〃a-x)+/(a+x)=2Z?,則/(X)的對稱點為點(a,b).

(4)已知函數/(%)滿足/(a-X)+/3+X)=2C,則/(%)的對稱點為點1寸,C)

【變式5-1](2024.四川宜賓.一模)已知函數〃》”口€夫)滿足〃力=〃4一”，若函數了=52+4%一3|與

y=f(x)圖象的交點為(%,%)(與力)-，(%，%)，則￡玉=

i=]

A.加B.2mC.3mD.4m

【變式5-2](2024.高三.山西.期中)已知函數〃x)=(x+L+：in龍,其中/'⑺為函數〃尤)的導數，貝I]

/(2020)+f(-2020)+f(2019)-f(-2019)=()

A.0B.2C.2019D.2020

【變式5-3](2024?寧夏石嘴山?一模)設函數＞=/(無)的定義域為D,若對任意的Ax?e。，且占+x?=2a,

恒有)(占)+/(々)=2%,則稱函數/(x)具有對稱性，其中點(。*)為函數y=/(尤)的對稱中心，研究函數

/(x)=x+l+^—+tan(x-l)的對稱中心，求了1354043

+/)

x-l2022202220222022

A.2022B.4043C.4044D.8086

命題預測

1.設函數'句的定義域為。，若對于任意為、x^D,當國+%=2a時，恒有〃占)+/(9)=?，則

稱點(。力)為函數y=/(%)圖象的對稱中心.研究函數，(％)=x+sinG-3的某一個對稱中心，并利用對稱

12340304031

中心的上述定義，可得到了+于+/+/的值為()

20162016201620162016

A.-4031B.4031C.-8062D.8062

1240244025

2.已矢口函數—一sin〃x,貝!+/+/)

2013201320132013

A.4025B.-4025C.8050D.-8050

3.若函數/Q)=sinx{lg(2'+l)+g[的圖象關于原點對稱，則實數機的值為()

A.-1g2B.-lgV2C.-4D.-2

題型六：奇偶性對稱偏移

【典例6-1】(2024?高三?浙江?期中)已知函數的定義域為R,且/[gx+lj是偶函數，是奇函

數，貝U()

A.f(0)=0B.佃=。C./(1)=0D.八3)=0

【典例6-2】已知函數〃x)的定義域為R,若/(1-力為奇函數，/(xT)為偶函數.設"-2)=1,則〃2)=

()

A.-1B.0C.1D.2

(1)若/(尤)為奇函數，則=

(2)若/(x+a)為奇函數，貝U/(x+a)=-/(-x+a).

(3)若/(%)為偶函數，則/(x+a)=f(-x-a).

(4)若/(x+a)為偶函數，則/(x+a)=/(—x+a).

【變式6-1]已知〃尤-1)是定義域為R的奇函數，g(x)=〃2x+3)是定義域為R的偶函數，貝。()

A.g⑵=0B.g⑶=0C.43)=0D.45)=0

【變式6-2]已知/(x)是定義在R上的奇函數，/(x+2)為偶函數，且當0<xW2時，/?=log22%,則

“2022)=()

A.2B.-2C.-1D.1

【變式6-3](多選題)已知〃x)是定義在R上的奇函數，/(x+2)為偶函數，且/(2)=10,則()