熱點02方程與不等式

明考情.知方向

天津中考數學中“方程與不等式”部分主要考向分為三類：

一、解二元一次方程組（每年1道，3分）

二、解一元二次方程（每年1道，3分）

三、解一元一次不等式組（每年1道，8分）

在天津中考中，“方程與不等式”部分主要考察“根據實際問題列二元一次方程組”“解二元一次方

程組”“根與系數的關系”“因式分解法解一元二次方程”“解一元一次不等式組”“在數軸上表示不等

式的解集”，這些考點對應試題難度不大，題目以選擇題、解答題的形式出現。在復習時，需要考生需要

熟練掌握相關知識點，快速識別問題考點，拿下這部分基礎分。

熱點題型解讀

考向一：解二元一次方程組

【題型1由實際問題列二元一次方程組】

（1）根據實際問題列方程組是把“未知”轉化為“已知”的重要方法，關鍵在于把已知量和未知量聯系

起來，找出題目中的等量關系。

（2）一般來說，有幾個未知量就列出幾個方程，所列方程必須滿足：

①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統一；③方程兩邊的數值要相符。

1.（2024?天津中考）《孫子算經》是我國古代著名的數學典籍，其中有一道題：“今有木，不知長短.引

繩度之，余繩四尺五寸；屈繩度之，不足一尺.木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子

還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？設木長x尺，繩子長y尺，則

可以列出的方程組為（）

A口一比=4.5Cy-x=4.5

,{x—0.5y=1{x+0.5y=1

pr+y=4.5（x+y=4.5

[x-y=lly-x=l

解：??,用繩子去量長木，繩子還剩余4.5尺，

-尤=4.5；

??,將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，

Ax-0.5y=l.

根據題意可列方程組?一：；43

答案:A.

2.（2024?河西區模擬）我國古代數學著作《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有

三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何”.如果設雞x只，兔y只，那么根據題意列出的方程組正確

的是（）

（%+y=35（2x+y=35

A，（2x+4y=94（2%+4y=94

[2%+y=35/+y=94

（4%+2y=94（2x+4y=35

解：根據題意，可列方程組為

（zx+4y=94

答案：A.

3.（2024?河東區模擬）《九章算術》是我國古代一部著名的算書，它的出現標志著中國古代數學形成了

完整的體系.其中卷八方程[七]中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問牛、

羊直金幾何？”譯文：“假設有5頭牛、2只羊共值金10兩；2頭牛、5只羊共值金8兩.問每頭牛、

每只羊各值金多少兩？”設每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，那么下面列出的方程組中正確的是（）

（5x+2y=10（5x+2y=8

A，\2x+5y=8B'（2x+5y=10

（x+y=10Df5x+2y=8

,（2x+5y=8[%+y=10

解：設1頭牛值金x兩，1只羊值金y兩，

由題意可得,鹿髯常

答案：A.

4.（2024?南開區模擬）在一次知識競賽中，學校為獲得一等獎和二等獎共30名學生購買獎品，共花費528

元，其中一等獎獎品每件20元，二等獎獎品每件16元，求獲得一等獎和二等獎的學生各有多少名？設

獲得一等獎的學生有無名，二等獎的學生有y名，根據題意可列方程組為()

(%+y=528口(x+y=30

A，(20%+16y=30(20x+16y=528

任+y=30x+y=528

C除+備=528

D..赤+忐=3。

解：由題意得：［20x+16y=528

答案：B.

5.(2024?和平區模擬)《九章算術》中記載：“今有甲乙二人持錢不知其數甲得乙半面錢五十，乙得甲

太半面亦錢五十.問甲乙持錢各幾何？”其大意是：今有甲、乙兩人各帶了若干錢如果甲得到乙所有錢

的一半，那么甲共有錢50：如果乙得到甲所有錢的三分之二，那么乙也共有錢50.問甲、乙兩人各帶了

多少錢？設甲帶錢為無，乙帶錢為》根據題意，可列方程組為()

y%Zyzy

++o+5o+

X---yUX--lX--

A250B2=5-c22

M250+D.l2

2X3+y-X+2735oVy+-Qly-5O+-

5033

解：設甲需帶錢X,乙帶錢y,

%+1=50

根據題意，得《2丫2，

竽+y=50

答案：A.

【題型2解二元一次方程組】

0O國4

用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟

(1)方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數既不相等又不互為相反數，就用適當的數去乘方程

的兩邊，使某一個未知數的系數相等或互為相反數；

(2)把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；

(3)解這個一元一次方程，求得x(或y)的值；

(4)將求得未知數的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數的值。

6.(2024?和平區模擬)方程組：的解是()

(3%+y=4

A](%y=02B.1(x=1C.|(yx==_22-D1-%|y==-3

解」:+y=2幺

(3%+y=4②

由②-①，得：2x=2,

??x—1,

把冗=1代入①式，得：l+y=2,

解得：y=l,

所以，原方程組的解為

（y=1

答案：B.

7.（2024?濱海新區模擬）方程組+的解是（）

—y=3

A0=3R0=1fX=5x=7

CD.

（y=0ly=4J[y=2y=-4

解:產+”用

\x-y=3②

①+②得:3尤=9,

解得：x=3,

把尤=3代入②得：3-y=3,

解得：y=0,

原方程組的解為;，故A正確.

答案：A.

8.（2024?河西區模擬）方程組二?的解是（）

A.尸；1B.尸\C.\X=7

（y=1ky=-5（y=2

解??2”港

\x-2y=11②

①+②得，4x=16,

解得x=4,

把x=4代入①得，12+2y=5,

解得y=

%=4

{7.

答案：D.

9.（2024?紅橋區三模）方程組r=2的解是（）

（4%+3y=15

：.口x=1

-e3BC.g-D.

.y=2

解尸+5y=25%

（4%+3y=15（2）

①X2-②得：7y=35,

解得：y=5,

把y=5代入①得：2x+25=25,

解得：x=0,

則方程組的解為

答案：B.

10.(2024?南開區模擬)方程組工久+：，=；1的解是()

X=2

=UB.尸C.『=3

D.

(y=5(y=2(y=-1

伊+2y=7①，

(6%—2y=11②

①+②得，x=2,

把x=2代入①得，6+2y=7,解得y=

(x=2

故原方程組的解為：=1.

答案：D.

考向二：解一元二次方程

【題型3根與系數的關系】

(1)一元二次方程如2+"+c=o(aW0)的根與根的判別式(△=廬-4碇)有如下關系：

①當時，方程有兩個不相等的實數根；反過來，當方程有兩個不相等的實數根時，△XL

②當△=()時，方程有兩個相等的實數根；反過來，當方程有兩個相等的實數根時，△:。。

③當時，方程無實數根；反過來，當方程無實數根時，△VO。

(2)根與系數的關系

一be

如果XI，X2是一元二次方程〃，+公+。=0(〃#0)的兩根，那么Xl+X2=——，X1X2=—

aa

Tb~~(2024?天津中考)若xi,垃是方程/-6%-7=0的兩個根，則(5~

A.XI+X2=6B.xi+x2=-6C.xix2=TD.XIX2=7

解：X2是方程/-6%-7=0的兩個根，

.?.Xl+%2=6,X1X2=-7,

答案：A.

12.(2024?河北區二模)若xi,尤2是方程/-5x+4=0的兩根，則xrx2=()

A.4B.5C.-4D.-5

解：X2是方程/-5x+4=0的兩根，

??XI*X2^4,

答案：A.

11

13.（2024?紅橋區二模）若一元二次方程W+x-2=0的兩個根分別為xi,xi,則一+一的值為（）

第1汽2

11

A.—□B.-C.-2D.2

22

解：根據題意得Xl+X2=-LX1X2=-2,

一一，11+x-11

所以一+——=-----7=—=一.

%1%2%1%2-22

答案：B.

C-X-1

14.（2024?河東區二模）若xi,x2是方程W-8x+7=0的兩個根，則（）

%1+%2

7788

A.-B.一』C.-D.一9

8877

解：?.”1,X2是方程/-8%+7=0的兩個根，

??XI+X2~~8,X1X2~~7,

?巧％2_7

答案：A.

15.（2024?濱海新區模擬）若xi,X2是方程-—2x-1=0的兩個根，貝!J2XI+2%2-的值為（）

A.5B.-5C.3D.-3

解：因為XI,尤2是方程/-2x-1=0的兩個根，

—2—i

所以11+%2=r=2,%1%2=二-1，

所以2x1+2x2-尤1X2=2（xi+x2）-XIX2=2X2-（-1）=5.

答案：A.

【題型4因式分解法解一元二次方程】

用“因式分解法”解一元二次方程步驟：

（1）移項，使方程的右邊化為零；

（2）將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；

（3）令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；

（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。

16.（2024?紅橋區模擬）一元二次方程4尤-12=0的兩個根是（）

A.Xi=-2,X2=6B.xi=-6,X2=-2

C.xi=-3,X2=4D.XI=-4,%2=3

解：(x-6)(x+2)=0,

x-6=0或X+2=09

所以xi=6,X2=-2.

答案：A.

17.(2024?河北區模擬)方程/+7x+12=0的兩個根為()

A.xi=-3,X2=-4B.xi=-3,X2=4

C.xi=3,X2=-4D.xi=3,X2=4

解：X2+7X+12=0,

(x+3)(x+4)=0,

x+3=0或x+4=0,

所以xi=-3,X2=-4.

答案：A.

18.(2024?河東區二模)方程/-4x-5=0的根是()

A.xi=-1,X2=5B.XI=1,X2=5

C.xi=l,X2=-5D.xi=-1,%2=-5

解：x2-4x-5=0,

(x-5)(x+1)=0,

x-5=0或x+l=0,

所以Xl=5,X2=-1.

答案：A.

19.(2024?濱海新區二模)方程/+10x+9=0的兩個根是()

A.xi=l,X2=9B.XI=-1,X2=9

C.xi=l,X2=-9D.xi=-1,X2=-9

解：X2+10X+9=0

,?(x+1)(x+9)=0,

/.x+l=0或x+9=0,

解得XI=-1,X2=-9,

答案：D.

20.(2024?武清區模擬)解一元二次方程f-2x-15=0,結果正確的是()

A.%1=-5,及=3B.xi=5,X2=3

C.xi~-5,X2=-3D.xi=5,X2~~3

解：X2-2x-15=0,

分解因式得：(x-5)(九+3)=0

x-5=0,x+3=0,

解得：xi=5,X2=-3,

答案：D.

考向三：解一元一次不等式組

【題型5解一元一次不等式組】

0O混

(1)不等式的基本性質

①不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數或含有字母的式子，不等號的方向不變。

②不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向不變。

③不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向改變。

(2)不等式的變形

①兩邊都加、減同一個數，具體體現為“移項”，此時不等號方向不變，但移項要變號。

②兩邊都乘、除同一個數，只有乘、除負數時，不等號方向才改變。

(3)解一元一次不等式步驟

①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數化為lo以上步驟中，只有“去分母”和“系數

化為1”可能改變不等號方向，其他都不會改變不等號方向。

21.(2024?天津中考)解不等式組+3,①

13%-1>%-7.(2)

請結合題意填空，完成本題的解答.

(I)解不等式①，得xWl；

(II)解不等式②，得x2-3；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

-4-3-2-1012

(IV)原不等式組的解集為-34W1.

解：解不等式①得，

xW1.

解不等式②得，

-3.

將不等式①和②的解集在數軸上表示出來，如圖所示，

-4-3-2-1012

所以原不等式組的解集為：-3WxWl.

答案：-3,-3WxWl.

22.(2024?和平區二模)解不等式組卜—3(“—2)*乎.

請結合題意填空，完成本題的解答.

(I)解不等式①，得；

(II)解不等式②，得xW3；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

???????

-101234

(IV)原不等式組的解集為1W尤W3.

解：(I)解不等式①：去括號得x-3x+6W4,

移項、合并同類項得-2xW-2,

解得龍21.

答案：

(H)解不等式②：移項得4x-xW8+l,

合并同類項得3xW9,

解得尤W3.

答案：xW3.

(Ill)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來如圖所示.

_1--------1-----------------1-----------------1—

-101234

(IV)原不等式組的解集為1WXW3.

答案：l〈xW3.

23.(2024?河北區二模)解不等式組E久+42久已.

[2-4%>-2②

請結合題意填空，完成本題的解答.

(I)解不等式①，得"2；

(II)解不等式②，得xWl;

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：

IIIIIIIIIII

-5-4-3-2-1012345

(IV)原不等式組的解集為-2WxW1.

解：(I)解不等式①，得x，-2；

(II)解不等式②，得xWl；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來:

IIIQ)11(}IIII?

-5-4-3-2-1012345

(IV)原不等式組的解集為-2WxWl.

答案：-2；xWl；-2WxWl.

24.(2024?南開區三模)解不等式組『—3(%—2)2金,請結合題意填空，完成本題的解答.

(3x+6>2x+2(2)

(I)解不等式①，得xW2；

(II)解不等式②，得G-4；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

-5-4-3-2-1012345

(IV)原不等式組的解集為4WxW2.

解：(/)解不等式①，得尤W2,

(〃)解不等式②，得x2-4,

(/〃)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：

IIII,111A

-5-4-3-2-1012345；

(IV)原不等式組的解集為-4WxW2,

答案：尤W2,-4,-4WxW2.

'2%+1>%+2①

25.(2024?和平區三模)解不等式組3》_5-

(^―<x-l(2)

請結合題意填空，完成本題的解答.

(I)解不等式①，得x>l；

(II)解不等式②，得xW3；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

????????>

-3-2-101234

(IV)原不等式組的解集為W.

解：(I)解不等式①，得彳>1；

(II)解不等式②，得尤W3；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來;

-3-2-101234

(IV)原不等式組的解集為1<XW3；

答案：x>l,xW3,1<XW3.

【題型6在數軸上表示不等式的解集】

用數軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：

(1)定界點，一般在數軸上只標出原點和界點即可。定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點

含于解集為實心點，不含于解集為空心點。

(2)定方向，原則：“小于向左，大于向右“。

26.(2024?天津中考)解不等式組+12"-10,請結合題意填空，完成本題的解答.

(1)解不等式①，得x22；

(2)解不等式②，得xWl；

(3)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

IIIIII??

-4-3-2-1012

(4)原不等式組的解集為2WxWl.

解：(1)解不等式①，得x2-2；

(2)解不等式②，得xWl；

(3)把不等式①和②的解集在數軸上表示如圖所示：

?___?????

-4-3-2-1012

(4)原不等式組的解集為-2W尤W1；

答案：(1)龍2-2；(2)xWl；(4)-2WxWl.

27.(2024?南開區二模)解不等式組久+1)〉久①…，請按下列步驟完成解答.

13-2(2x-1)>%+10@

(I)解不等式①，得x>-2；

(II)解不等式②，得xW-1；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

-5-4-3-2-1012345

(IV)原不等式組的解集為-2<xW-1.

解：(I)解不等式①，得x>-2,

答案：x>-2；

(II)解不等式②，得-1,

答案：-1；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來;

-5-4-3-2-1012345

(IV)原不等式組的解集為：-2<xW-1,

答案：-2<xW-l.

28.(2024?濱海新區二模)解不等式組+2-

12%-1<1(2)

請結合題意填空，完成本題的解答.

(I)解不等式①，得x引-2；

(II)解不等式②，得后1；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

__________[[111_________I_________I?

-3-2-10123

(IV)原不等式組的解集為.

解：(I)解不等式①，得了》-2；

(II)解不等式②，得xWl；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來，如下:

-^3^2012^

(IV)原不等式組的解集為-2W尤W1.

答案：X2-2,

29.(2024?河東區二模)解不等式組一33.

U-x>-3②

請結合題意填空，完成本題的解答.

(I)解不等式①，得x2-3；

(II)解不等式②，得后4；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上分別表示出來;

-3-2-1012345

(IV)原不等式組的解集為-30W4.

解：(I)解不等式①，得：X2-3；

答案：x\-3；

(II)解不等式②，得：xW4；

答案：xW4；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上分別表示出來:

-3-2-1

(IV)原不等式組的解集為：-3WxW4.

答案：-3WxW4.

30.(2024?紅橋區三模)解不等式組卜+3-2X?

{2x<3%+1(2)

請結合題意填空，完成本題的解答.

(I)解不等式①，得在3；

(II)解不等式②，得G-1；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

IIIIIII?

-2-101234

(IV)原不等式組的解集為-.

解：(I)解不等式①，得x<3；

(II)解不等式②，得X2-1；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

-2-1

(IV)原不等式組的解集為-1W尤W3.

答案：xW3,X2-1,-1?3.

限時提升練

31.(2024?河西區模擬)《孫子算經》是中國傳統數學的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，

不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一

根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設木

頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是()

(y—x=4.5(y=x+4.5

A'[o.5y=x-1B'[y=2x-l

(y-x=4.5Cy=x-4.5

(0.5y=x+1(y=2x—1

解：設木頭長為x尺，繩子長為y尺,

由題意可得股"=45

答案:A.

32.（2024?河東區模擬）《九章算術》是中國古代的一本重要數學著作，其中有一道方程的應用題：“五

只雀、六只燕，共重16兩，雀重燕輕.互換其中一只，恰好一樣重.問每只雀、燕的重量各為多少？”

解：設雀每只x兩，燕每只y兩，則可列出方程組為（）

(5x+6y=16B(5x+6y=16

*(5x+y=6y+%.(4%+y=5y+久

C(6x+5y=16D(6x+5y=16

?16x+y=5y+%?(5%+y=4y+%

解：設雀每只x兩，燕每只y兩，則可列出方程組為：

Gx+6y=16

（4x+y=5y+x'

答案：B.

33.（2024?濱海新區模擬）方程組憑+匕=3的解是（）

（%—y=—1

X=1

A.尸；B.f?C尸2D尸。

(y=2(y=-2?(y=ily=-i

解：卜+y=3①，

[x-y=-1@

①+②得：2%=2,

解得：x=l,

把％=1代入①得：y=2,

則方程組的解為片=北=:

（y=2（y=1

答案：A.

34.（2024?武清區模擬）方程組儼+y=?的解是（）

（.%-y=3

A{(xy=23B--{y==23C[(yx=41D.{(xy=41

解：[”+y=5?(

[x-y=3(2)

①+②得：2x=8,

解得：尤=4,

①-②得：2y=2,

解得：y=l,

則方程組的解為：

（y=1

答案：c.

35.（2024?河東區模擬）設方程2/+4x-1=0的兩實數根為xi,X2,則xi+x2的值為（）

A.-1B.1C.-2D.2

解：?.?方程2/+4x-1=0的兩實數根為xi,X2,

??%1+%2~~5=-2.

答案：C.

36.（2024?和平區三模）若xi,X2是方程2x+4=/的兩個根，則（xi+1）（X2+1）的值是（

A.-1B.0C.1D.2

解：原方程整理得了-2尤-4=0,

Vxi,%2是方程2x+4=/的兩個根，

??Xl+%2^2,XIX2^14,

（X1+1）（X2+1）

=X1X2+（X1+X2）+1

=-4+2+1

=-1.

答案：A.

37.（2024?河北區模擬）方程W+4x+3=0的兩個根為（）

A.xi=l,%2=3B.xi=-1,%2=3

C.xi=1,X2=-3D.xi=-1,X2=-3

解：^+4^+3=0,

(x+3)(x+1)=0,

x+3=0或x+l=0,

Xl=13,X2=~1>

答案：D.

38.(2024?紅橋區二模)方程/+3%-18=0的兩個根為()

A.xi=-6,%2=3B.xi=-3,X2=6

C.xi=-2,X2=9D.xi=-9,X2=2

解：方程分解得：(x-3)(x+6)=0,

可得％-