反比例函數與一次函數綜合探究-2025年中考數學之

解答代數重難題突破

解答代照查睢您突破一雙比例屬毅易一次房數除合糠究

目錄

題型一交點問題.............................................................................1

題型二取值范圍問題........................................................................8

題型三面積問題...........................................................................16

題型四幾何綜合問題.......................................................................32

題型一交點問題

1.(2024.四川?中考真題)如圖，在平面直角坐標系以2/中，已知A(2,3),B(m,—2)兩點在反比例函數少

⑴求k與7n的值；

(2)連接BO,并延長交反比例函數夕=&的圖象于點C.若一次函數的圖象經過兩點,求這個

X

一次函數的解析式.

2.(2024?江西中考真題)如圖，是等腰直角三角形，NABO=90°,雙曲線0=旦(k>0,x>0)經

X

過點過點4(4,0)作①軸的垂線交雙曲線于點C,連接BC.?M

（1）點口的坐標為;

（2）求所在直線的解析式.

3.（2024.山東濟南.中考真題）已知反比例函數夕=良（力>0）的圖象與正比例函數0=3①（①>0）的圖象

X

交于點/（2,a）,點B是線段OA上（不與點A重合）的一點.

⑴求反比例函數的表達式；

（2）如圖1,過點8作夕軸的垂線與0=8（*>0）的圖象交于點。，當線段&?=3時，求點口的坐

X

標；

（3）如圖2,將點A繞點B順時針旋轉90°得到點瓦當點E恰好落在y=2Q>0）的圖象上時，求點

X

石的坐標.

4.（2024.四川資陽?中考真題）如圖，已知平面直角坐標系中，O為坐標原點，一次函數g=far+b（kW0）

(1)求一次函數的解析式；

(2)若點。(力,力)在一次函數的圖象上，直線8與反比例函數的圖象在第三象限內交于點。，求點。

的坐標，并寫出直線CD在圖中的一個特征.

5.(2024.內蒙古赤峰.中考真題)在平面直角坐標系中，對于點河(g,%),給出如下定義：當點N(如紡),

滿足X1+x2=yi+統時，稱點N是點M的等和點.

(1)已知點M(l,3),在M(4,2),M(3,—1),M(0,-2)中，是點河等和點的有；

(2)若點M(3,-2)的等和點N在直線y=4+b上，求b的值；

(3)已知，雙曲線依="和直線紡=H—2,滿足協<紡的c取值范圍是c>4或一2Vc<0.若點P

X

在雙曲線%=&上，點P的等和點Q在直線2上，求點P的坐標.

X

6.(2024.甘肅臨夏.中考真題)如圖，直線V=如與雙曲線夕=—里交于A,B兩點，已知A點坐標為

X

(a,2).

力

⑴求a,R的值;

（2）將直線y=kx向上平移m（m>0）個單位長度，與雙曲線V=-*在第二象限的圖象交于點。，與

X軸交于點E,與“軸交于點P,若PE=P。，求m的值.

7.（2023?遼寧盤錦?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，4（1,0）,8（0,3）,反比例函數夕=5（3力0）在

第一象限的圖象經過點C,BC=AC,乙4cB=90°,過點。作直線CE〃，軸，交夕軸于點E.

⑴求反比例函數的解析式.

（2）若點。是立軸上一點（不與點A重合），ADAC的平分線交直線CE于點尸，請直接寫出點尸的坐

標.

8.（2023?遼寧鞍山?中考真題）如圖，直線與反比例函數夕=53<0）的圖象交于點4（—2,小），

口⑺,2）,過點A作AC〃"軸交力軸于點。，在c軸正半軸上取一點。，使OC=20。,連接BC,AD.

若△AC?的面積是6.

⑴求反比例函數的解析式.

（2）點P為第一象限內直線上一點，且△上4。的面積等于△BAC面積的2倍，求點P的坐標.

9.（2023?四川眉山?中考真題）如圖，在平面直角坐標系cOy中，直線"=4①+b與工軸交于點人（4,0）,與

m

“軸交于點口(0,2),與反比例函數0在第四象限內的圖象交于點C(6,a).

X

(1)求反比例函數的表達式:

(2)當癡+b>地時,直接寫出x的取值范圍；

X

(3)在雙曲線夕=拳上是否存在點P,使△ABP是以點人為直角頂點的直角三角形？若存在，求出

點P的坐標;若不存在,請說明理由.

10.（2023?四川遂寧?中考真題）如圖，一次函數v=%"+b的圖像與反比例函數的圖像交于

X

，（—4,1）,口（小,4）兩點.為常數）

（1）求一次函數和反比例函數的解析式；

（2）根據圖像直接寫出不等式及劣+b>&的解集；

X

（3）P為"軸上一點，若△248的面積為3,求P點的坐標.

題型二取值范圍問題

11.（2024.四川德陽?中考真題）如圖，一次函數0=—2/+2與反比例函數0="（①<0）的圖象交于點

X

-的解析式；

X

（2）將直線y=—2x+2向下平移h個單位長度仇>0）后得直線y=ax+b,若直線y=ax-\-b與反比

例函數夕=應（力V0）的圖象的交點為B（n,2）,求九的值,并結合圖象求不等式—<ax+b的解集.

XX

12.（2024?青海?中考真題）如圖，在同一直角坐標系中，一次函數4=—尤+b和反比例函數,=-的圖象

X

（1）求點點B的坐標及一次函數的解析式；

⑵根據圖象，直接寫出不等式—c+b>”的解集.

13.（2024.西藏.中考真題）如圖，一次函數夕=皿+〃k片0）的圖象與反比例函數y=2（a￥0）的圖象相

X

交于4—3,1）,8（—1,九）兩點.

（1）求一次函數和反比例函數的解析式；

（2）請直接寫出滿足如+b>2的2取值范圍.

x

（?山東淄博?中考真題）如圖，一次函數逆+的圖象與反比例函數夕=也

14.2024y=k2的圖象相交于

X

A（m,4）,B兩點，與劣，g軸分別相交于點C,D.且tan/47O=2.

（1）分別求這兩個函數的表達式；

（2）以點。為圓心，線段的長為半徑作弧與二軸正半軸相交于點E,連接求△ABE的面

積；

（3）根據函數的圖象直接寫出關于比的不等式自t+2＞場的解集.

X

15.（2024?湖北?中考真題）如圖，一次函數夕=t+巾的圖象與立軸交于點人（一3,0）,與反比例函數

優為常數，R#0）的圖象在第一象限的部分交于點8（九,4）.

（2）若。是反比例函數夕=在的圖象在第一象限部分上的點，且△AOC的面積小于的面積,

X

直接寫出點。的橫坐標a的取值范圍.

16.(2024.四川內江?中考真題)如圖，一次函數y=aa;+b的圖象與反比例函數4=-的圖象相交于4、

X

B兩點,其中點4的坐標為(-2,3)，點B的坐標為(3,n)

(1)求這兩個函數的表達式；

(2)根據圖象，直接寫出關于/的不等式ac+b<&的解集

X

???

17.（2023?山東淄博?中考真題）如圖，直線y=癡+b與雙曲線夕=也相交于點A（2,3）,B（n,l）.

X

（1）求雙曲線及直線對應的函數表達式；

（2）將直線向下平移至CD處，其中點。（一2,0）,點。在g軸上.連接AD,ED,求△48。的面

積；

（3）請直接寫出關于T的不等式kx+b＞也的解集.

X

18.（2023?山東濱州?中考真題）如圖，直線0=癡+為常數）與雙曲線夕=也（山為常數）相交于

X

A（2,Q）,B（—1,2）兩點.

（1）求直線y=kx+b的解析式；

⑵在雙曲線g=￡上任取兩點和N3叫2），若gVg,試確定yi和y?的大小關系，并寫出

判斷過程；

（3）請直接寫出關于力的不等式kx+b>^的解集.

x

19.（2023?內蒙古呼和浩特?中考真題）如圖,在平面直角坐標系中，正六邊形ABCDEF的對稱中心P在反

比例函數%=4（卜>0,力>0）的圖象上，邊在c軸上，點F在夕軸上，已知48=2代.

X

（1）判斷點E是否在該反比例函數的圖象上,請說明理由；

（2）求出直線EP：U2=ac+b（a￥0）的解析式，并根據圖象直接寫出當c>0時，不等式或c+6>f

的解集.

???

題型三

20.（2024.江蘇連云港.中考真題）如圖1,在平面直角坐標系疣＞“中，一次函數"=標+￥0）的圖像與

反比例函數y=-的圖像交于點A、B,與g軸交于點C,點4的橫坐標為2.

X

⑴求％的值；

（2）利用圖像直接寫出癡+1V6時2的取值范圍；

X

（3）如圖2,將直線4B沿y軸向下平移4個單位，與函數,=色儂＞0）的圖像交于點。，與沙軸交于

X

點E,再將函數夕=。Q＞0）的圖像沿入口平移，使點人、D分別平移到點C、尸處，求圖中陰影部分

X

的面積.

???

21.(2024.四川瀘州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=far+b與rr軸相交于點

4(—2,0)，與反比例函數夕=色的圖象相交于點8(2,3).

X

⑴求一次函數和反比例函數的解析式；

⑵直線力=山(館>2)與反比例函數g=*(%>0)和g=—■!■(%>())的圖象分別交于點C,D且

S^OBC=2s△OCD，求點。的坐標?

???

22.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，一次函數4=m+b（a,b為常數，a￥0）的圖象與反比例函數夕=國

X

（fe為常數，%#0）的圖象交于42,4）,B（n,-2）兩點.

（1）求一次函數和反比例函數的解析式.

（2）直線AB與①軸交于點C,點P（m,0）是①軸上的點，若△RAC的面積大于12,請直接寫出山的取

值范圍.

23.（2024.四川涼山.中考真題）如圖,正比例函數%=/工與反比例函數"=會）〉。）的圖象交于點

A（m,2）.

⑴求反比例函數的解析式；

（2）把直線%=4c向上平移3個單位長度與紡=旦（①>0）的圖象交于點B,連接08,求

2x

△AO8的面積.

24.（2024.江蘇鎮江.中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，一次函數9=22+成的圖像

與‘軸、"軸交于4—3,0）、B兩點’與反比例函數"=￡依’0）的圖像交于點0（1,總

（1）求7n和k的值；

（2）已知四邊形OBOE是正方形，連接8E,點P在反比例函數y=/（A;￥O）的圖像上.當△OBP的

面積與4OBE的面積相等時，直接寫出點P的坐標.

25.（2024?山東東營?中考真題）如圖，一次函數夕=mx+0）的圖象與反比例函數g=旦（k￥0）的

X

圖象交于點4—3,a）,B（l,3）,且一次函數與田軸，9軸分別交于點C,D

（1）求反比例函數和一次函數的表達式；

（2）根據圖象直接寫出不等式小c+良的解集;

X

（3）在第三象限的反比例函數圖象上有一點P,使得SA℃P=4SAOBD，求點P的坐標?

26.(2024.江蘇常州.中考真題)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b的圖像與反比例函

⑴求一次函數、反比例函數的表達式;

⑵連接04、,求的面積.

27.(2024.甘肅蘭州.中考真題)如圖，反比例函數夕="(①>0)與一次函數9=7/^+1的圖象交于點

X

4(2,3),點B是反比例函數圖象上一點，力軸于點。，交一次函數的圖象于點。，連接AR

(1)求反比例函數與一次函數沙=7?2力+1的表達式;

X

⑵當OC=4時，求/XABD的面積.

28.(2024.甘肅.中考真題)如圖,在平面直角坐標系中，將函數4=0力的圖象向上平移3個單位長度，得到

一次函數9=。力+匕的圖象，與反比例函數沙=~|~(化＞0)的圖象交于點4(2,4).過點8(0,2)作名

軸的平行線分別交g=Q6+b與(2＞0)的圖象于。兩點.

x

(1)求一次函數9=arc+b和反比例函數的表達式;

X

(2)連接AD,求△ACD的面積.

29.(2024?山東泰安?中考真題)直線外=右+6(狂。)與反比例函數九一亳的圖象相交于點

?A(—2,m)，B(n,—1),與夕軸交于點C.

⑴求直線%的表達式；

(2)若%＞紡，請直接寫出滿足條件的力的取值范圍；

(3)過。點作工軸的平行線交反比例函數的圖象于點。，求△ACD的面積.

30.(2024.四川遂寧.中考真題)如圖，一次函數％=fcr+b(A;￥0)的圖象與反比例函數改=地(小片。)的

X

圖象相交于4(1,3)，B(n,-1)兩點.

(1)求一次函數和反比例函數的表達式；

(2)根據圖象直接寫出納＞統時，4的取值范圍；

(3)過點B作直線OB,交反比例函數圖象于點。，連結/C,求/\ABC的面積.

31.(2024?四川自貢?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數4=

—的圖象交于/(—6,1),8(1,n)兩點.

X

(1)求反比例函數和一次函數的解析式；

(2)P是直線多=—2上的一個動點，△上4B的面積為21,求點P坐標；

(3)點Q在反比例函數,=%位于第四象限的圖象上，4QAB的面積為21,請直接寫出Q點坐標.

X

32.(2024.四川廣元.中考真題)如圖，已知反比例函數％=在和一次函數u，=mc+"的圖象相交于點

X

>1(—3,a),—2)兩點，O為坐標原點,連接04OB.

(1)求幼=旦與仍=rnx+n的解析式；

x

⑵當小〉紡時,請結合圖象直接寫出自變量力的取值范圍;

⑶求△AOB的面積.

33.（2024.山東濰坊.中考真題）如圖，正比例函數0=—卓立的圖象與反比例函數夕=良的圖象的一個交

3x

點是人（山,，^）.點F（2V3,7i）在直線y=-^-x上，過點P作"軸的平行線，交"="的圖象于點

3x

（1）求這個反比例函數的表達式;

（2）求△OPQ的面積.

34.（2023?黑龍江大慶?中考真題）一次函數夕=—t+m與反比例函數夕=2的圖象交于A,口兩點，點A

X

的坐標為（1,2）.

⑴求一次函數和反比例函數的表達式；

⑵求的面積；

（3）過動點T（t,0）作①軸的垂線Z,，與一次函數0=—rr+m和反比例函數夕=?的圖象分別交于

雙，N兩點，當雙在N的上方時，請直接寫出t的取值范圍.

35.(2023?山東聊城?中考真題)如圖，一次函數y=M+b的圖像與反比例函數“=地的圖像相交于

X

4(—1,4),B{a,—1)兩點.

(1)求反比例函數和一次函數的表達式;

(2)點P(n,0)在力軸負半軸上，連接/P,過點8作〃/P,交y=￡的圖像于點Q,連接PQ.當

BQ=AP時，若四邊形APQB的面積為36,求八的值.

36.(2023?四川?中考真題)如圖，已知一次函數"=far+6的圖象與反比例函數夕=管(巾＞0)的圖象交

于4(3,4),B兩點，與立軸交于點C,將直線沿v軸向上平移3個單位長度后與反比例函數圖象

交于點_D,E.

(1)求k,7n的值及。點坐標；

⑵連接4D,CD,求△ACD的面積.

37.（2023?湖北黃岡?中考真題）如圖，一次函數%=岫+匕依片0）與函數為92=坐3>0）的圖象交于人

X

（4,l）,B4,a）兩點.

（1）求這兩個函數的解析式；

⑵根據圖象，直接寫出滿足少一切>0時,的取值范圍；

（3）點P在線段43上，過點P作紀軸的垂線，垂足為河,交函數例的圖象于點Q,若△POQ面積為3,

求點P的坐標.

38,（2023?湖南?中考真題）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC為正方形,其中點4、C分

別在立軸負半軸，夕軸負半軸上，點口在第三象限內，點A（t,0），點P（1⑵在函數9=?色＞0，立＞0）

的圖像上

⑴求k的值；

（2）連接BP、CP,記△BCP的面積為S,設T=2S—2#,求T的最大值.

題型四幾何綜合問題

39.(2024.四川宜賓.中考真題)如圖，一次函數.y=ax+b(a^的圖象與反比例函數夕=的

圖象交于點4(1,4)、B(n,-1).

(1)求反比例函數和一次函數的表達式；

(2)利用圖象，直接寫出不等式姐+bV&的解集；

X

(3)已知點。在力軸上，點。在反比例函數圖象上.若以力、5、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形,

求點C的坐標.

?M

40.(2024?四川雅安?中考真題)如圖,在平面直角坐標系中，一次函數的圖象Z與反比例函數4=區的圖象

X

交于河(],4),N(n,l)兩點.

(1)求反比例函數及一次函數的表達式；

(2)求△OAW的面積；

(3)若點P是4軸上一動點，連接PM,PN.當PM+PN的值最小時,求點P的坐標.

41.（2024?四川巴中.中考真題）如圖,在平面直角坐標系中,直線“=2+2與反比例函數"=4（卜’0）的

圖象交于4、口兩點，點A的橫坐標為1.

（1）求R的值及點B的坐標.

（2）點P是線段AB上一點，點“在直線OB上運動，當S&BPO=時,求JW的最小值.

42.（2024?四川樂山?中考真題）如圖，已知點4（1,小）、8（小1）在反比例函數夕=*0>0）的圖象上，過點

A的一次函數y=A;c+b的圖象與0軸交于點C（0,l）.

（1）求m、n的值和一次函數的表達式；

⑵連接入及求點。到線段48的距離.

43.(2024.四川眉山?中考真題)如圖，在平面直角坐標系①中，一次函數夕=祈+6與反比例函數,=

—(T>0)的圖象交于點A(l,6),8(小2),與7軸，y軸分別交于C,。兩點.

X

(1)求一次函數和反比例函數的表達式；

(2)若點P在“軸上，當AB4B的周長最小時，請直接寫出點P的坐標；

(3)將直線AB向下平移a個單位長度后與c軸，4軸分別交于E,斤兩點，當EF=。時，求a的

值.

44.(2024?江蘇蘇州?中考真題)如圖，△ABC中，AC=BC,乙4cB=90°,A(—2,0),。(6,0),反比例函數

yJ(k^0,x>0)的圖象與交于點D(m,4),與BC交于點E.

X

⑴求k的值；

(2)點P為反比例函數y*(狂0,2>0)圖象上一動點(點P在D,E之間運動，不與D,E重合)，過

點P作〃/B,交,軸于點M,過點P作PN〃①軸，交BC于點N,連接,求AmN面積的最

大值,并求出此時點P的坐標.

45.（2024.黑龍江大慶.中考真題）如圖1,在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點4在宓軸的正半軸上，

點B,。在第一象限，四邊形O4BC是平行四邊形，點。在反比例函數"=?的圖象上，點。的橫坐

標為2,點8的縱坐標為3.

提示:在平面直角坐標系中，若兩點分別為國g,%）,%）,則Eg中點坐標為（苦包，色手）.

⑴求反比例函數的表達式；

⑵如圖2,點。是邊的中點,且在反比例函數“="圖象上,求平行四邊形048c的面積；

X

⑶如圖3,將直線h：y=—向上平移6個單位得到直線，2，直線22與函數夕=良3>0）圖象交于

4X

Mi,M2兩點，點P為M[M?的中點，過點Mi作M[N_L"于點N.請直接寫出P點坐標和票2的值?

46.（2024.山東青島.中考真題）如圖，點4,4,4…，4,4+1為反比例函數4=*（k>0）圖象上的點，其

橫坐標依次為1,2,3,?■?,n,n+l.過點4,4,4,…，4作立軸的垂線，垂足分別為點乂出,風，…，

Hn；過點A2作42±4Hl于點81，過點4作A3B2±4氏于點星，…，過點4+1作An+1Bn±AnHn

于點Bn.記△45^2的面積為Sj.AAaBaA的面積為S2,-,AAnBnAn+i的面積為Sn.

,Si+S2+S3H—

+sn=（用含"的代數式表示）;

（2）當k=3時，S1+S2+S3+---+S?=（用含"的代數式表示）.

38

47.(2024.廣東.中考真題)【問題背景】

如圖1,在平面直角坐標系中，點。是直線y=ai(a>0)上第一象限內的兩個動點(OD>OB),以

線段為對角線作矩形ABCD,AD//x^.反比例函數夕=殳的圖象經過點A.

X

【構建聯系】

(1)求證：函數"=K的圖象必經過點C.

X

(2)如圖2,把矩形ABCD沿BD折疊,點C的對應點為E.當點E落在y軸上，且點B的坐標為(1,2)

時，求％的值.

【深入探究】

(3)如圖3,把矩形ABCD沿BD折疊，點。的對應點為E.當點E,4重合時，連接AC交BD于點

P.以點。為圓心，人。長為半徑作。O.若OP=3打，當。。與△ABC的邊有交點時，求k的取值

范圍.

48.(2023?四川綿陽?中考真題)如圖，過原點。的直線與反比例函數％=5(300)的圖象交于/(I,2),

B兩點，一次函數42=?71t+6(巾#0)的圖象過點A與反比例函數交于另一點(7(2,n).

(1)求反比例函數的解析式；當g＞紡時,根據圖象直接寫出①的取值范圍；

(2)在沙軸上是否存在點河，使得△COM為等腰三角形？若存在，求出點河的坐標;若不存在,請說明

理由.

49.（2023?四川廣安?中考真題）如圖，一次函數9=皿+,%為常數，梃0）的圖象與反比例函數沙=管

（?71為常數，mWO）的圖象在第一象限交于點4（1,ri）,與7軸交于點8（—3,0）.

⑴求一次函數和反比例函數的解析式.

（2）點尸在力軸上，是以為腰的等腰三角形,請直接寫出點P的坐標.

?M

50.（2023?四川瀘州?中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中,直線l:y=kx+2^x,y軸分別相交于

點與反比例函數0=%（劣＞0）的圖象相交于點。，已知04=1,點。的橫坐標為2.

x

⑴求R,m的值；

⑵平行于“軸的動直線與，和反比例函數的圖象分別交于點DE,若以。，E,O為頂點的四邊形

為平行四邊形，求點。的坐標.

51.（2023?江蘇泰州?中考真題）在平面直角坐標系①中，點4（小，0）,B（m-a,0）（a>m>0）的位置

和函數夕1=皿（/>0）、加=衛匕色（/<0）的圖像如圖所示.以為邊在①軸上方作正方形

xx

ABC?,人。邊與函數力的圖像相交于點E,CD邊與函數依、統的圖像分別相交于點G、H,一次函

數明的圖像經過點E、G,與0軸相交于點P,連接尸H.

（l）m=2,a=4,求函數窩的表達式及AFGH的面積；

（2）當a、小在滿足a>巾>0的條件下任意變化時，△PGH的面積是否變化？請說明理由;

（3）試判斷直線與邊的交點是否在函數3的圖像上？并說明理由.

簫春代裁，幸叔突被一女亦到鼻敝鳥一次看薇罐含裸究

目錄

題型一交點問題.........................................................................1

題型二取值皰國問慝...................................................................16

題型三面積問題........................................................................26

題型四幾何綜合問題...................................................................52

題型一交點問題

L(2024.四川?中考真題)如圖，在平面直角坐標系①Oy中，已知人(2,3),B(m,—2)兩點在反比例函數"

⑴求R與巾的值；

(2)連接BO,并延長交反比例函數夕="的圖象于點C.若一次函數的圖象經過A,C兩點,求這個

X

一次函數的解析式.

【答案】(l)k=6,m=—3

(2)y=-?+5

【分析】題目主要考查一次函數與反比例函數綜合問題，確定反比例函數及一次函數解析式,反比例函數的

性質，熟練掌握兩個函數的基本性質是解題關鍵.

⑴根據題意將點4(2,3),B(nz,—2)代入反比例函數即可求解；

(2)根據題意及反比例函數的性質得出。(3,2),設直線AC所在直線的解析式為沙=for+b,利用待定系數

法即可求解.

【詳解】(1)解：A(2,3),B(m,-2)兩點在反比例函數沙=總的圖象上.

X

fc=2X3=6,???

將點B(m,—2)代入得：—2=—，解得：m=—3;

(2)連接BO,并延長交反比例函數沙=總的圖象于點C,5(-3,-2)

x

?.2(2,3),

J3=2k+b

設直線AC所在直線的解析式為沙=for+b,代入得：

[2=3fc+b

解得

[b=5

y——x+5.

2.(2024.江西?中考真題)如圖，A4OB是等腰直角三角形，NABO=90°,雙曲線?="(k>0,2>0)經

X

過點過點4(4,0)作立軸的垂線交雙曲線于點C,連接BC.

(1)點B的坐標為；

(2)求所在直線的解析式.

【答案】(1)(2,2)

(2切=一十2+3

【分析】題目主要考查一次函數與反比例函數綜合問題，等腰三角形的性質，熟練掌握一次函數與反比例函

數的相應性質是解題關鍵.

(1)過點口作ED_L/軸，根據等腰直角三角形的性質得出BD=OD=2,即可確定點B的坐標；

(2)根據點5(2,2)確定反比例函數解析式，然后即可得出C(4,l),再由待定系數法確定一次函數解析式即

可.

【詳解】⑴解:過點B作BO_L，軸于。，如圖所示：

是等腰直角三角形，/ABO=90°,4(4,0),

.,.OA-4,

:.BD=OD=AD=2,

故答案為：(2,2)；

(2)由(1)得B(2,2),代入y=總(k>0,2>0),

X

得k=4,

.y=±

?/過點力(4,o)作①軸的垂線交雙曲線于點c,

當力=4時，g=1,

???C(4,1),

設直線BC的解析式為g=k何+b,將點B、C代入得:

12=2自+6

(l=4k+b，解得

直線BC的解析式為y=-ys+3.

3.(2024.山東濟南.中考真題)已知反比例函數夕=，(2>0)的圖象與正比例函數夕=32(2>0)的圖象

交于點A⑵a),點8是線段04上(不與點A重合)的一點.

⑴求反比例函數的表達式；

⑵如圖1,過點8作,軸的垂線3與夕=&(1>0)的圖象交于點。，當線段50=3時，求點8的坐

X

標；

(3)如圖2,將點4繞點B順時針旋轉90°得到點E,當點E恰好落在夕=&Q>0)的圖象上時，求點

X

E的坐標.

【答案】⑴沙="

X

⑵8(1,3)

(3)點石(3,4)

【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，交點坐標滿足兩個函數關系式是關鍵.

⑴待定系數法求出反比例函數解析式即可；

(2)設點B(m,3m),那么點￡>(m+3,3m)，利用反比例函數圖象上點的坐標特征解出點B的坐標即可；

(3)過點B作〃g軸，過點E作EH_L于點H,過點A作AF_LFH于點F,AEHB=ABFA=90°,可

得4EHB篤ABFA(AAS)，則設點B(n,3n),EH=BF=6—3n,BH=AF=2—n,得到點

E(6-2n,4n-2),根據反比例函數圖象上點的坐標特征求出外值，繼而得到點E坐標.

【詳解】(1)解:將4(2?)代入沙=30；得￡1=3*2=6,

.?.42,6),

將42,6)代入沙=：得6=與,解得卜=12,

反比例函數表達式為y=—,

x

⑵解：如圖，設點B(m,3m),那么點Z?(m+3,3m),

所以3?n(7n+3)=12,

解得rrii=1,7712=—4(舍),

???8(1,3);

(3)解:如圖，過點8作方軸，過點石作E/1-LF"于點過點4作于點F,/EHB=

ZBFA=90°f

??,點A繞點B順時針旋轉90°,

???/ABE=90°,BE=BA,

??.ZEBH+ZABF=90°,

???ZBEH=AABF,

???△EHB烏/\BFA,

設點B(n,3n),EH=BF=6—3n,BH—AF—2—n,

?,?點E(6—2TL,4Tl—2),

???(4n-2)(6-2n)=12,

解得n1=■，電=2,

.?.點E(3,4)或(2,6)(舍),此時點￡(3,4).

4.(2024?四川資陽?中考真題)如圖，已知平面直角坐標系中，O為坐標原點，一次函數沙=皿+b(k￥0)

的圖象與反比例函數O=?的圖象相交于A(m,4),B(4,n)兩點.

(1)求一次函數的解析式；

(2)若點CCM)在一次函數的圖象上，直線CO與反比例函數的圖象在第三象限內交于點O,求點。

的坐標，并寫出直線CD在圖中的一個特征.

【答案】(l)g=—力+5

(2)。(一2,—2),直線CD上0隨R的增大而增大

【分析】本題考查了一次函數和反比例函數綜合,解題的關鍵是掌握用待定系數法求解函數解析式的方法

和步驟.

(1)先求出點A和點B的坐標，再將點A和點B的坐標代入g=fcc+b,求出k和b的值，即可得出一次函

數解析式；

(2)先求出直線O。的函數解析式為。=力，進而得出0(—2,—2),結合圖象可得直線CD的特征.

【詳解】⑴解:把A(m,4)代入g=生得：4=—,

解得:m=l,

???4(1,4),

把B(4,n)代入g=&得：幾=3=1，

x4

???8(4,1),

把4(1,4),JB(4,1)代入g=+b:

J4=k+b

[l=4k+"

解得二1,

[b=5

：.一次函數的解析式為g=—5;

⑵解:設直線OC的函數解析式為y=mx,

把C代入y=mx得：力=mt,

解得:m=1,

?,?直線OC的函數解析式為y=x,

{y—x

聯立得："=2，

I"-X

解得弋仁(舍去)，憶二

**--D(—2,—2),

由圖可知：直線CD上g隨力的增大而增大.

5.(2024?內蒙古赤峰?中考真題)在平面直角坐標系中，對于點河(如仇)，給出如下定義：當點N(g,仍)，

滿足?+電=%+幼時，稱點N是點M的等和點.

(1)已知點M(l,3),在M(4,2),M(3,—1),M(0,-2)中，是點河等和點的有；

(2)若點M(3,-2)的等和點N在直線g=3+b上，求b的值；

(3)已知，雙曲線依="和直線y2=x—2,滿足幼V紡的力取值范圍是力>4或一2VcV0.若點P

x

在雙曲線依=&上，點P的等和點Q在直線的=c—2上，求點P的坐標.

X

【答案】⑴。(4⑵和利(0,—2)

⑵b=5

(3)(—4,—2)或(2,4)

【分析】(1)根據等和點的定義判斷即可求解；

(2)設點N的橫坐標為a,根據等和點的定義得點N的縱坐標為3+a-(—2)=a+5,即可得點N的坐標

為(a,a+5),把點N的坐標代入:y=c+b即可求解；

(3)由題意可得，k>0,雙曲線分布在一、三象限內，設直線與雙曲線的交點分別為點A、如圖，由陰〈例

時x的取值范圍是c>4或一2VrrV0,可得點人的橫坐標為4,點B的橫坐標為一2,即得4(4,2),得到反

比例函數解析式為yi=—，設P(m,旦)，點Q的橫坐標為n,根據等和點的定義得Q(n,m+n—貴)，代

x'm7'm'

入納=a;—2得m———+2=0,解方程得=—4,mi=2,據此即可求解；

m

本題考查了點的坐標新定義運算，一次函數點的坐標特征，一次函數與反比例函數的交點問題，理解等和

點的定義是解題的關鍵.

【詳解】⑴解：由"(1,3),N(4,2)得，21+電=%+y2=5,

.?.點N(4,2)是點Af的等和點;

由河(1,3),明(3,-1)得，為+加2=4,%+紡=2,

x1+x2^=y1+y2,

：.N2(3,-1)不是點河的等和點；

由M(l,3),Ns(0,-2)得，的+電=%+%=1,

：.N3(0,-2)是點”的等和點；

故答案為:M(4,2)和政(0,-2);

(2)解：設點N的橫坐標為a,

1?點N是點M(3,—2)的等和點,

:.點、N的縱坐標為3+a—(—2)=a+5,

.?.點N的坐標為(a,a+5),

:點N在直線y=x+b-h,

a+5=Q+b,

，b=5;

（3）解：由題意可得，k>0,雙曲線分布在一、三象限內，設直線與雙曲線的交點分別為點A、B,如圖，由的

〈隊時加的取值范圍是2>4或一2<cV0,可得點A的橫坐標為4,點B的橫坐標為一2,

寸巴劣=4代入2/=c一2得，3=4-2=2,

.?.44,2),

把4(4,2)代入％=總得，2=與,

x4

.\k=8,

反比例函數解析式為m=旦，

X

設P（m