第二章比例知識歸納與題型突破

01思維導圖

02知識速記

一、比例的意義和基本性質(zhì)

1.判斷兩個比能否組成比例，關鍵是看這兩個比的比值是否相等。

2.判斷四個數(shù)能否組成比例時，先把最大數(shù)與最小數(shù)相乘，再把另外兩個數(shù)相乘，如果兩

個積相等，就能組成比例。

二、解比例的方法

1.求比例中的未知項的過程叫做解比例。

2.解比例的方法：根據(jù)比例中兩個內(nèi)項的積等于兩個外項的積，先把比例轉化成外項的積

與內(nèi)項的積相等的形式（即方程），再根據(jù)等式的性質(zhì)解方程，求出未知項的值。

三、比例尺的意義、分類及應用

1.騁瞿=比例尺實際距離=盟粵圖上距離=實際距離X比例尺

實際距禺比例尺

2.比例尺分為數(shù)值比例尺和線段比例尺。

3.比例尺是圖上距離與實際距離的比，而圖上面積與實際面積的比是比例尺的平方。

四、在方格紙上按一定比將圖形放大或縮小

1.把一個圖形放大或縮小后所得圖形與原圖形相比，形狀相同，大小相同。

2.在方格紙上按比將圖形放大或縮小的步驟：一看，看原圖每邊各占幾格；二算，計算按

給定的比將圖形的各邊放大或縮小后得到的新圖形每邊各占幾格；三畫，按計算出的結果畫出

原圖形的放大圖或縮小圖。

03題型歸納

題型一比例的意義和基本性質(zhì)

例1.(2024?雅安)莉莉用水和蜂蜜為一家人調(diào)制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情況如表。

第一杯第二杯第三杯第四杯

蜂蜜/mL12111014

水/mL60446070

(1)其中最甜的一杯給弟弟，弟弟喝的是第杯蜂蜜水。

(2)同樣甜的兩杯給爸爸和媽媽，請你根據(jù)這兩杯蜂蜜水的配比情況把它們組成一個比例

是。

【分析】(1)分別寫出四杯蜂蜜的配比，求出比值，比值越大的越甜，就是弟弟喝的蜂蜜水;

(2)兩杯蜂蜜水同樣甜，則這兩杯蜂蜜水中蜂蜜與水的比值相等，找出這樣的兩杯蜂蜜水，

然后寫出比例(答案不唯一)。

【解答】解：⑴第一杯：12：60=12+60=5；

D

第二杯：11：44=11-r44=-y;

4

第三杯：10：60=10~r60=-；

6

第四杯：14：70=14+70=《；

5

其中”最大，所以第二杯最甜，因此其中最甜的一杯給弟弟，弟弟喝的是第二杯蜂蜜水；

4

(2)由第(1)問的解答可知，第一杯和第四杯的比值都是古，所以同樣甜的兩杯給爸爸和媽

D

媽，根據(jù)這兩杯蜂蜜水的配比情況把它們組成一個比例是12：60=14：70o（答案不唯一）

故答案為：二；12：60=14：70（答案不唯一）。

【點評】此題需要學生熟練掌握比例的意義，以及求比值的方法。

鞏固訓練

1.（2024?大冶市）根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果3x=4y（x,y均不為0）,那么工——）、

y（）

【分析】比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。如果3x=4y,則3

和x要么都是外項，要么都是內(nèi)項；同理，4和y要么都是外項，要么都是內(nèi)項。據(jù)此解答。

【解答】解：通過分析可得：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果3x=4y（x,y均不為0）,那么工=

y

4,工=3：4。

3x

故答案為：y;3；4O

【點評】此題主要考查了學生根據(jù)比例的基本性質(zhì)構成比例的能力。

2.（2024春?通州區(qū)期中）如果年［（x和y都不等于0）,那么工——當x=>|時，

y=°

【分析】首先根據(jù)手=4（X和y都不等于O）,可得3x=4y,所以工=?1，然后用X的值乘務

43x44

求出y的值即可。

【解答】解：因為（x和y都不等于0）,

所以3x=4y,所以工=日。

x4

故答案為：？，得。

410

【點評】此題主要考查了比例的意義和基本性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：在

比例中，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積，這叫作比例的基本性質(zhì)。

3.（2023?港南區(qū)）芳芳用水和蜂蜜為一家人調(diào)制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情況如表。

四杯蜂蜜水的配比情況統(tǒng)計表

第一杯第二杯第三杯第四杯

蜂蜜/mL12111014

水/mL60446070

（1）其中最甜的一杯給弟弟，弟弟喝的是第杯蜂蜜水，你判斷的理由是

__________________________________________________________________________________________O

（2）同樣甜的兩杯給爸爸和媽媽，請你根據(jù)這兩杯蜂蜜水的配比情況把它們組成一個比例

_________________________________________________O

【分析】（1）分別寫出四杯蜂蜜的配比，求出比值，比值越大的越甜，就是弟弟喝的蜂蜜水；

（2）找出比值兩杯蜂蜜比值一樣的蜂蜜水，然后寫出比例。

【解答】解：（1）第一杯：12：60=124-60=1；

0

第二杯：11：44=114-44=—；

4

第三杯：10：60=104-60=；

6

第四杯：14：70=144-70=4-;

5

其中”最大，所以第二杯最甜，因此其中最甜的一杯給弟弟，弟弟喝的是第二杯蜂蜜水，我判

斷的理由是蜂蜜和水的配比比值最大；

（2）由第（1）問的解答可知，第一杯和第二杯的比值都是看，所以同樣甜的兩杯給爸爸和媽

D

媽，根據(jù)這兩杯蜂蜜水的配比情況把它們組成一個比例是12：60=14：70。

故答案為：（1）蜂蜜和水的配比比值最大；（2）12：60=14：70o

【點評】此題需要學生熟練掌握比例的意義，以及求比值的方法。

題型二解比例和比例的應用

例2.（2024秋?南海區(qū)校級月考）《中華人民共和國國旗法》中對國旗的構造有著明確的規(guī)

定：旗面為紅色、長方形：長與寬之比為3：2,也就是寬是長的晟。中國國旗尺寸不是統(tǒng)

一的，在必要時，可按比例放大或縮小。一面國旗長192cm,這面國旗周長是多少米？面積

是多少平方米？

【分析】用192乘日，求出長方形的寬，再根據(jù)長方形周長=（長+寬）X2,再根據(jù)長方形面

積=長又寬，即可解答。

【解答】解：192厘米=1.92米

1.92X-1=1.28（米）

周長：

（1.92+1.28）X2

=3,2X2

=6.4（米）

面積：

1.92X1.28=2.4576（平方米）

答：這面國旗周長是6.4米，面積是2.4576平方米。

【點評】本題考查的是比例的應用和長方形周長、面積的計算，理解和應用比例的意義、熟記

公式是解答關鍵。

鞏固訓練

1.（2024?叢臺區(qū)）車隊向災區(qū)運送救災物資，去時每小時行60千米，4.5小時到達，返回

時每小時多行15千米，返回出發(fā)地點用了多長時間？（用比例解）

【分析】因為路程是不變的，速度X時間=路程，由此可見，速度與時間成反比例，因此即可

列出反比例式求解.

【解答】解：設返回出發(fā)地點用了x小時，由題意得：

（15+60）Xx=60X4.5,

75x=270,

x=3.6.

答：返回出發(fā)地點用了3.6小時.

【點評】上面題目要求用比例解答，這時應注意，找出題中哪個量是固定不變的，再看與它相

關聯(lián)的量是成正比例，還是成反比例，然后列比例式求解.

2.（2024?高密市）求未知數(shù)的值

x_5

百一石

31）

—：x=--：4

48

x：0.5=g.

4

【分析】（1）先根據(jù)比例基本性質(zhì)：兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，化簡方程，再依據(jù)等式的性

質(zhì)，方程兩邊同時除以8求解；

(2)先根據(jù)比例基本性質(zhì)：兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，化簡方程，再依據(jù)等式的性質(zhì)，方

程兩邊同時除以4■解；

O

(3)先根據(jù)比例基本性質(zhì)：兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，化簡方程，再依據(jù)等式的性質(zhì)，方

程兩邊同時除以4求解.

【解答】解：

8x=2,4X5

8x=12

8x4-8=124-8

x=1.5

⑵Tx=i:4

ix=lX4

ix=3

ix4=3H

x=24

(3)X：0.5=-

4

x：0.5=3：4

4x=0,5X3

4x=1.5

4X=4

2

4x-F4=-2-F4

x4

【點評】本題考查知識點：依據(jù)等式的性質(zhì)，以及比例基本性質(zhì)解方程，解方程時注意對齊等

號

3.(2024?新蔡縣)王奶奶家裝修房子，用面積是9平方分米的方磚鋪地要用160塊，如果改

用邊長為4分米的方磚鋪地，要用多少塊？(用比例解)

【分析】設用邊長為4分米的方磚鋪地要用x塊，根據(jù)房子的面積一定，可以列出比例（4X4）

Xx=160X9,解比例即可求解.

【解答】解：設用邊長為4分米的方磚鋪地要用x塊，貝卜

（4X4）Xx=160X9,

16X=1440,

x=14404-16,

x=90.

答：要用90塊.

【點評】考查了反比例的應用，本題注意是每塊方磚的面積X方磚的塊數(shù)的乘積一定.題型三

比例尺的意義及應用

例3.（2024?在平區(qū)）在標有。4y8012y「米的地圖上，量得南京到上海的距離為8厘

米.暑假期間家住南京的李磊同學全家開車前往上海野生動物園，早上6：00出發(fā)，到達

第一個收費站時已經(jīng)行了160千米，李磊的爸爸看了看手表，此時剛好是8：00,照這樣的

速度，他們9：30能到達上海嗎？

【分析】根據(jù)線段比例尺可知圖上1厘米表示實際距離40千米，所以用40X8可求出南京到

上海的實際距離，又知2小時行了160千米，所以可求出汽車的速度，用南京到上海的實際距

離除以汽車的速度就是行完全程所需的時間，再與計劃時間比較得解.

【解答】解:40X8=320（千米）

1604-（8-6）

=1604-2

=80（千米）

3204-80=4（小時）

6時+4時=10時

答：不能,行完全程要4小時，得10：00到達.

【點評】此題主要考查圖上距離、實際距離和比例尺的關系，以及行程問題中的基本數(shù)量關系

“路程+速度=時間”.

鞏固訓練

1.（2024?鶴壁）超市在書城的正西方200米處，學校在超市的南偏東60。方向250米處。

先確定合適的比例尺，再在平面圖中標出超市和學校的位置，你確定的比例尺

是

1

卜

f東

?書城

【分析】超市在書城的正西方約200m處，學校在超市的南偏東60°約250m處，200和250

的最大公約數(shù)為50,則比例尺可以確定為1：5000o然后根據(jù)方位和距離利用量角器和直尺作

圖即可。

【解答】解：200和350的最大公約數(shù)為50,則比例尺可以確定為1：5000o

200x^r=004（米）

5000

0.04米=4厘米

250X鼻r=°05（米）

0.05米=5厘米

作圖如下：

北

超市

1bli?一i東

,書城

X

]50m]

故答案為：1：5000o

【點評】本題考查根據(jù)方向和距離確定物體的位置和比例尺的相關知識。

2.（2024?任丘市）在比例尺是1：5000000的地圖上，量得A,B兩地的公路長是6cm.甲，

乙兩車同時從A,B兩地相對開出，2小時后相遇.已知甲，乙兩車速度的比是2：3,則甲車

的速度是多少？

【分析】先根據(jù)實際距離=圖上距離+比例尺，求出兩地的實際距離，再根據(jù)速度和=路程+

相遇時間，求出甲、乙的速度和，再由“甲，乙兩車速度的比是2：3"利用按比例分配的方

法列式解答即可.

【解答】解：6^--J—-=30000000（厘米）

bUUUUUU

30000000厘米=300千米

9

3004-2X-^-

2+3

2

=150X^

t>

=60（千米/時）

答：甲車的速度是60千米/時.

【點評】本題主要應用的知識點是：實際距離=圖上距離+比例尺，速度和X相遇時間=路程

及利用按比例分配的方法解決問題.要注意單位的統(tǒng)一.

3.（2023秋?墊江縣期末）在一幅1：8000000的地圖上，量得墊江到北京的圖上距離是20cm,

一輛汽車以平均每時100km的速度從墊江到北京，需要幾時才能到達？

【分析】根據(jù)實際距離=圖上距離+比例尺，求出實際距離，再根據(jù)時間=路程+速度，即可

解答。

【解答】解：204---i--=160000000（cm）

BUUUUUU

160000000cm=1600km

16004-100=16（時）

答：需要16時才能到達。

【點評】本題考查的是比例尺應用題，掌握實際距離=圖上距離+比例尺是解答關鍵。

題型四圖形的放大與縮小

例4.（2024?播州區(qū)模擬）畫一畫.

（1）將三角形A的各條邊按4：1放大，得到三角形B.

（2）將三角形B的各條邊按1：2縮小，得到三角形C.

【分析】三角形A的兩條直角邊是2格，放大后兩條直角邊8格.據(jù)此畫出圖形B.

將B按1：2縮小后直角邊變?yōu)?格，據(jù)此畫出圖形C.

【點評】本題考查圖形的放大與縮小.

鞏固訓練

1.（2024?汝南縣）按要求答題。

gLJ...J...l-.-L???t；...J...|---1--

7

B?1

2

I

0i234567891()1112131415

(1)長方形(圖①)的A點所在位置用數(shù)對表示是；在圖中畫出長方形(圖

①)繞B點順時針方向旋轉90°后的圖形。

(2)在圖中畫出長方形(圖①)按2：1放大后的圖形。

【分析】(1)根據(jù)用數(shù)對表示點的位置的方法，第一個數(shù)字表示列，第二個數(shù)字表示行，即可

用數(shù)對表示出點A的位置；根據(jù)旋轉的特征，圖①繞點B順時針旋轉90°,點B的位置不動，

這個圖形的各部分均繞此點按相同方向旋轉相同的度數(shù)即可畫出旋轉后的圖形。

(2)根據(jù)圖形放大的意義，把長方形的長'寬分別放大到原來的2倍所得到的長方形就是原

圖形按2：1放大后的圖形。

【解答】解：（1）長方形（圖①）的A點所在位置用數(shù)對表示是（2,5）；在圖中畫出長方形

（圖①）繞B點順時針方向旋轉90°后的圖形（下圖）。

（2）在圖中畫出長方形（圖①）按2：1放大后的圖形（下圖）。

故答案為：（2,5）o

【點評】此考查老板了作旋轉一定度數(shù)后的圖形、數(shù)對與位置、圖形的放大與縮小。

2.（2024?包河區(qū)）根據(jù)要求在方格圖里畫一畫，填一填。（每個小方格邊長是1cm）

（1）在圖中畫一個面積為6平方厘米的平行四邊形。

（2）如果陰影部分中小正方形m的位置用數(shù)對（9,6）表示，那么將正方形m平移到

（,）或（,）位置后，陰影部分就會成為軸對稱圖形。

（3）按3：1畫出三角形放大后的圖形。

I23456789101112131415

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的面積公式：S=ah,在圖中畫一個面積為6的平行四邊形，畫

法不唯一，可以畫一個底是3,高是2