導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值基礎(chǔ)練

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.函數(shù)〃尤）=31nx+；尤2-以的極大值為（）

..57

A.—2B.—C.—3D.—

22

2.若函數(shù)"x）=e=ox在區(qū)間（0,2）上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.陷B.C.（⑹D,［o,|j

3.若函數(shù)〃同=《五：”）「2衣<°的最小值是_2,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

2X3-3X2,X>0

A.m<0B.m<QC.m>0D.m>0

對(duì)于下列四個(gè)判斷，其中正確的判斷是（）

A.當(dāng)x=-l時(shí)，〃x）取得極大值B.“X）在上是增函數(shù)

C.當(dāng)x=l時(shí)，/（x）取得極大值D.在［-1,2］上是增函數(shù)，在［2,4］上是減函數(shù)

5.如圖是函數(shù)y=〃x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象,下列結(jié)論中正確的是（）

A.“X）在［-2,-1］上是增函數(shù)B.當(dāng)x=3時(shí)，/（x）取得最小值

C.當(dāng)x=-l時(shí)，取得極大值D.“X）在上是增函數(shù)，在［2,4］上是減函數(shù)

6.已知函數(shù)八>）的定義域?yàn)镽,定義集合河=｛尤0,0€11,無€（-8,尤0）,〃無）<〃尤0）｝,在使得

M=的所有〃尤）中，下列成立的是（）

A.存在f(x)是偶函數(shù)B.存在/'(%)在尤=2處取最大值

C.存在/(元)是嚴(yán)格增函數(shù)D.存在f(x)在x=-l處取到極小值

7.函數(shù)，(尤)的導(dǎo)函數(shù)/'(切的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.7(%)在工=占處取得最大值

B.〃x)在區(qū)間9)上單調(diào)遞減

C.，(外在彳=/處取得極大值

D.”尤)在區(qū)間(a,6)上有2個(gè)極大值點(diǎn)

8.若s是函數(shù)/(xAe,+x2-4x的一個(gè)極值點(diǎn)，/是函數(shù)g(x)=e2T-2x的一個(gè)零點(diǎn)，貝l]s+C=()

A.4B.3C.2D.1

二、多選題

9.已知函數(shù)/(力=3,-2',貝IJ()

A./(尤)是R上的增函數(shù)B.函數(shù)可龍)=/(尤)+x有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

C.函數(shù)”尤)的最小值為-1D.7(尤)存在唯一個(gè)極值點(diǎn)

10.設(shè)函數(shù)y(x)=(x-l)2(x-4),貝!!()

A.x=3是/(x)的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0<x<l時(shí)，f(x)<f(x2)

C.當(dāng)1cx<2時(shí)，-4</(2x-l)<0D.當(dāng)-1<尤<0時(shí)，/(2-x)>/(x)

11.己知a,6wR+,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若b+e〃=a+lna,則/的取值可以是()

b

A.1B.2C.3D.4

12.若函數(shù)〃x)=x3+d-5尤-2在區(qū)間(川,加+5)內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值可能為()

A.-4B.-3.5C.-3D.-2.5

三、填空題

13.若函數(shù)〃x)=e'-er+；x3一依無極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

14.函數(shù)〃無)=；一/+3尤在*e[0,3]上的最大值為.

15.已知函數(shù)/(x)=Y-x-1+alnx,在(0,2)上的最小值為-1,則實(shí)數(shù)。的值為.

16.若直線y=w+〃是函數(shù)/(尤)=彳-b的圖象的切線，則〃?+”的最小值為.

17.若函數(shù)/(x)=(x-a)x+lnx在(0,+oc)上無極值點(diǎn)，貝"的取值范圍為.

四、解答題

18.已知函數(shù)〃無-(a-l)x+alnx(aeR),/(x)的圖象在處的切線交x軸于點(diǎn)1T，0

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

⑵求函數(shù)/⑴的極值.

19.已知函數(shù)/(x)=x+ln(依)+,尤e*(a<0).

⑴求函數(shù)〃x)的極值；

(2)若集合｛無/(X)>-1｝有且只有一個(gè)元素，求”的值.

參考答案:

1.D

函數(shù)/（%）=3111%+；%2一4%的定義域?yàn)椋?,+8）,

X2-4X+3_(x-3)(x-l)

xx

令/'(X)=。，貝|%=1或x=3,所以當(dāng)。<%<1或x>3時(shí)/'(%)>。，當(dāng)1<%<3時(shí)/'(x)v。,

所以/（力在（0/），（3,+8）上單調(diào)遞增，在（1,3）上單調(diào)遞減，

17

所以“X）的極大值為〃1）=0+5-4=-5.

2.C

已知〃尤）=1一依，由題意知/'（x）=e'—a在（0,2）內(nèi)有變號(hào)零點(diǎn),

顯然f（%）=3在（0,2）單調(diào)遞增,

/'（0）=e°-a=l-a<0

故原條件等價(jià)于匕c2八，解得l<a<e2,

/（2）=e-o>0

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（Ie?）.

3.A

當(dāng)x20時(shí)，f(x)=2x3-3x2,貝I」y'(x)=6x2-6x=6x(x-l),

當(dāng)0<x<l時(shí)，r（x）<o,此時(shí)函數(shù)/（元）單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時(shí),r（x）>0,此時(shí)函數(shù)〃尤）單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)〃尤）的極小值為〃1）=-1,

因?yàn)楹瘮?shù)〃無）的最小值為-2,當(dāng)加20時(shí)，函數(shù)〃尤）在（-叫0）上單調(diào)遞減，

此時(shí)，函數(shù)/（X）在（—,0）上無最小值，不合乎題意；

當(dāng)相<0時(shí)，函數(shù)/'（X）在（Y0,m）上單調(diào)遞減，在（租,0）上單調(diào)遞增，

此時(shí)，函數(shù)”尤）在L?,o）上的極小值為〃；"）=—2,且則/（x）1111n=/（抑）=一2,

綜上所述，m<0.

4.D

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)尸0）的圖象可知，

當(dāng)2,-1）”2,4）時(shí),f'（x）<0,當(dāng)xe（—1,2）。（4,5）時(shí),f'（x）>0,

可知，(無)在(-2,-1),(2,4)內(nèi)單調(diào)遞減，在(-1,2),(4,5)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)％=-1時(shí)，取得極小值，當(dāng)x=2時(shí)，取得極大值，當(dāng)尤=4時(shí)，取得極小值，

故ABC錯(cuò)誤，D正確.

5.D

根據(jù)圖象知：

當(dāng)xe(-2,-1),無?2,4)時(shí),((x)<0函數(shù)y=〃司單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(-l,2),xe(4,+co)時(shí)，/>'(%)>。函數(shù)y=/(同單調(diào)遞增.

所以y=〃x)在上單調(diào)遞減，在(-1,2)上單調(diào)遞增，在(2,4)上單調(diào)遞減，在(4,+8)上單調(diào)遞

增，故選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)D正確；

故當(dāng)x=-l時(shí)，取得極小值，選項(xiàng)C不正確；

當(dāng)x=3時(shí)，/'(x)不是取得最小值，選項(xiàng)B不正確；

6.B

對(duì)于A,若存在y=f(x)是偶函數(shù)，取x0=le[-l,l],

則對(duì)于任意尤(尤)<〃1),而/(-1)=/(1),矛盾，故A錯(cuò)誤；

—2,%<—1,

對(duì)于B,可構(gòu)造函數(shù)/(x)=-x,-l<x<l,滿足集合M=[-1,1],

l,x>1,

當(dāng)尤<一1時(shí)，則〃x)=」2,當(dāng)TWxWl時(shí)，/(X)G[-1,1],當(dāng)X>1時(shí)，/(x)=l,

則該函數(shù)〃尤)的最大值是“2),則B正確；

對(duì)C,假設(shè)存在/(%),使得了(無)嚴(yán)格遞增，則"=11,與已知"=卜1』矛盾，則C錯(cuò)誤；

對(duì)D,假設(shè)存在，使得在x=-l處取極小值，則在-1的左側(cè)附近存在〃，使得,

這與已知集合M的定義矛盾，故D錯(cuò)誤；

7.C

由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：

Xx(電力)

(a,%)2伍⑷工3

f'M+0-0非負(fù)

遞增極大值遞減極小值遞增

8.C

/z(x)=ex+2x-4,

]1(5)=3+25-4=0/曰\f\s)=es+2s-4=0

由g?)=e2V—2/=0何=e2-/+2(2-/)-4=0

可知s和2-/都是函數(shù)旗光)=e"+2x—4的零點(diǎn)，

因?yàn)楹瘮?shù)力⑺是單調(diào)遞增函數(shù)，所以S=2T,S+=2.

9.BD

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椤?3-2",則r(x)=31n3-21n2=2'In37n2,

當(dāng)x=log3g時(shí)，則[I]ln3=1ln3=lnV3,可得In3-ln2=In73-ln2<0,

即廣(x)=3"ln3—2*ln2<0,所以/(x)=3，-2'不是R上的增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)镸%)=/(%)+%,

當(dāng)x=o時(shí)，h(o)=f(o)+o=of可知％=0是M%)的零點(diǎn)；

當(dāng)了>0時(shí)，力(無)=/(x)+x=3x-2X+x>0,可知/z(九)在(0,+8)內(nèi)無零點(diǎn)；

當(dāng)x<0時(shí)，0<]|]<1,則"x)=2'H-1<0,

可得力(x)=〃x)+x<0,可知在(T?,0)內(nèi)無零點(diǎn)；

綜上所述：函數(shù)可力=/(￡)+x有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=3v-2A>0；

0

當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=3-2°=0;

當(dāng)x<0時(shí)，則0<2*<1,可得〃力=3*-2工>-2*>-1,

綜上所述：/W>-i,所以-1不是函數(shù)的最小值，故C錯(cuò)誤；

x

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)槭?x)=3,1113-272=2*f|jIn3-ln2,2>0,

所以廣(X)的符號(hào)決定于In3-ln2,

顯然y=[￡|In3-ln2是R上的增函數(shù),

力ln3-ln2=ln3-ln2>0；

又因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),

當(dāng)x=logmg時(shí)，ln3-ln2=lnV3-ln2<0,

所以玉°eR,使尸(%)=0,

所以/(x)在(To,%)上為減函數(shù)，在(不，心)上為增函數(shù).

所以“X)有唯一極小值點(diǎn).故D正確.

10.ACD

對(duì)A,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,f\x)=2(x-l)(x-4)+(x-l)2=3(x-l)(x-3),

易知當(dāng)xw(l,3)時(shí)，((x)<0,當(dāng)或xe(3,+s)時(shí)，/(久)>0

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增，故x=3是函數(shù)的

極小值點(diǎn)，正確；

對(duì)B,當(dāng)0<x<l時(shí)，x-x2=x(l-x)>0,所以1>彳>/>0,

而由上可知，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以〃司>/任)，錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)l<x<2時(shí)，1<2%-1<3,而由上可知，函數(shù)在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以/⑴>/(2x-L)>/(3),即T<f(2x—1)<0,正確;

對(duì)D,當(dāng)-]<x<0時(shí)，/(2-x)-/(x)=(1-%)2(-2-x)-(x-1)2(%-4)=(x-1)2(2-2%)>0,

所以〃2-尤)>y(x),正確；

11.CD

設(shè)〃x)=x+e*,易知〃x)在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)槿?e"=Q+lna,則Z?+e"=lna+，

即〃b)=〃lna),可得人=Ina,即.=筋，可得q=胃.

bb

設(shè)g(x)=§,x>0,則8，(#=小『).

,

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g(x)<0;當(dāng)％e(l,+8)時(shí)，g<x)>0.

可知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則g(x)2g(l)=e,且當(dāng)X趨近于0或+8時(shí)，g(x)趨近于+8,

可得所以f的取值可以是3和4.

bb

12.CD

已知/(x)=x3+x2-5x-2,函數(shù)定義域?yàn)镽,

可得f(力=3/+2%-5=(3%+5)(%-1),

當(dāng)時(shí)，r(x)>o,”x)單調(diào)遞增；

當(dāng)-g<x<l時(shí)，尸(x)<0,/(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時(shí)，/'(無)>。，/(尤)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)Ax)取得極小值，極小值〃1)=-5,

若函數(shù)/(X)在區(qū)間(北加+5)內(nèi)有最小值，

此時(shí)根解得-4<力?<1,

當(dāng)/(無)=一5,即丁+/一5彳+3=0時(shí),

整理得(X-1)2(X+3)=0,解得X=-3或X=1,

所以加2-3,

綜上，滿足條件加的取值范圍為13,1).

13.(一》,2]

=e*-ef-依，貝I](x)=ev+e~x+x2-a,

若函數(shù)/(x)=e，-er+$3_g無極值點(diǎn)，

則f\x)=e+e-v+x2-fl無變號(hào)零點(diǎn)，

4'g(x)=/,(x)=e'r+e-x+x2-a,

則g'(x)=e*-eT+2x,

當(dāng)x<0時(shí)，0<e1<1,eT>l,2x<0,則e*—b、<(),貝l]g'(尤)=e*-1工+2尤<。，

當(dāng)x>0時(shí)，ex>1,0<ex<l,2x>0,則貝Ug'(x)=e*—1*+2%>。,

則g(x)在(9,0)上單調(diào)遞減，(0,+8)上單調(diào)遞增，

即((無)在(y>,o)上單調(diào)遞減，(0,+8)上單調(diào)遞增，在x=0處取得最小值，

若/'(力=3+。+犬2一〃無變號(hào)零點(diǎn)，貝ijr(0)=e°+e?+()2—a20,解得：a<2,

故答案為:(-j2].

14.9

由函數(shù)+3x,可得小)"-2X+3=(5+2>。,

所以=+3》在[0同上單調(diào)遞增，所以〃尤)1mx=/(3)=9.

故答案為：9.

15.-1

易知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,+。)，

因?yàn)閒(x)=x2-x-l+alnx,所以/'(x)=2%-1+@=^——x+

xx

令力⑴=2/_元+。,因?yàn)?(%)在開區(qū)間。2)上有最小值—1,

則2f—%+.=0在R上必有兩根，即有A=l—8a>0,

又2Y一％+a=0在R上的兩根為玉---；8〃,%,且%>玉，

由h(x)=2x2-x+a的圖象可知，

當(dāng)％>0時(shí)，/(%)在區(qū)間(0，玉)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(%,%)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(/，+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)%1Vo時(shí)，/(%)在區(qū)間(0,馬)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(馬，+8)上單調(diào)遞增，

又“X)在開區(qū)間(0,2)上有最小值一1,則必有葉也丑<2,且/(1±9E百)=7,

44

0<Z=———----<2,得到a=%—2?,所以/⑺=〃—/—1+(.—2?)ln/=—1,

4

整理得至V—l+(l—2/)ln/=0,令/zQ)="l+(l—2/)ln，(0<，v2),

則hr(t)=—1—21n/+-,易知〃⑺=—1—21n%+-在區(qū)間(。,2)上單調(diào)遞減，

tt

XW)=-l-21nl+l=0,所以，當(dāng)，￡(0,1)時(shí)，W)>0,當(dāng)，￡(1,2)時(shí)，及0)<0,

即的)="1+(1-20liu在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(L2)上單調(diào)遞減，

又打⑴=1—1+(1—2)lnl=0,所以/—1+(1—2/)ln，=0在，￡(0,2)上有且只有一根力=1,

由1+疝茄=1,解得。=一1<),

48

故答案為：T.

16.1--

e

因?yàn)椋?幻=尤--,則f'(x)=l+eT,

設(shè)切點(diǎn)為(x°,Xo-e』)，則/'(%)=1+e-'。，

則切線方程為卜@-e』)=(l+ef)(x-%),即y=(l+e,)x_(l+x0)e』,

-A

可得機(jī)=l+e』，n=-(l+x0)e°,所以根+〃=1一%0?一"，

令g(x)=l-xe：貝!Jg'(x)=(x—De-",

當(dāng)龍>1時(shí)，g'(%)>0；當(dāng)兀<1時(shí)，gV)<0；

可知gOO在(-8,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

可得g(%)min=g6=l-'，所以相+〃的最小值為1-',

ee

故答案為：i-L

e

17.(-oo,2^］

由f(x)=(%—+In%,得了'(%)=2x-a+—,

x

因?yàn)?(%)=O-。)％+In%在(0,+co)上無極值點(diǎn)，

所以，(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)，

因?yàn)楫?dāng)尤f+00時(shí)，

所以尸(x)=2元一。+220在(0,+8)恒成立，

X

即Qd2xH--|,

I九人in

2

1i7r_1

令g(x)=2x+—(%>0),貝！JF(x)=2—二=——(x>0),

XXX

當(dāng)0<x<@時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x>也時(shí)，g'(x)>。，

22

所以g(x)在卜，9］上遞減，在［*,+：)上遞增，

所以g(、『g用=2x*W=20,

2

所以〃42血，

即”的取值范圍為(-oo,20],

故答案為：(-%20]

18.(1)6

21

⑵了(%)的極大值為-8+6山2；極小值為-5+61n3

(1)/'(元)=尤+￡-。+1(尤>0),所以/(1)=2,即切線斜率為2,

X/(l)=1-a,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為

fM的圖象在(I"⑴)處的切線方程為：y-(j-a)=2(x-l),

代入點(diǎn)得。=6;

(2)由(1)得/O)=；/-5x+61n無，

f\x)=X+--5=(X~2)(X~3)(X>0),

XX

令八x)=0,得無=2,或％=3

當(dāng)尤變化時(shí)，廣(無)"(乃變化情況如下表:

X(0,2)2(2,3)3（3,+oo）

;(尤)+0-0