抽象函數

CCC

題型概覽

目錄

【解密高考】總結常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）

【題型一】抽象函數的性質

【題型二】常見抽象函數模型①（一次、二次、反比例）

【題型三】常見抽象函數模型②（指數、對數、塞函數、三角函數）

【題型四】復合函數的應用

【誤區點撥】

易錯點：忽視定義域和對稱性與周期性弄混淆。

解空高考

考情分析:以選擇填空的形式考察性質，難度中等偏上。

備考策略：抽象函數求解的重要技巧：賦值法

1.賦值法使用,注意和題目條件作適當的聯系；比如，涉及到奇偶行時候，可以考慮設字母為X和-X,或者

取值為a和-a。等等

2.轉化過程要以相關定義為目的，不斷轉變；比如，涉及到單調性，欲尋找單調性證明和推導，可以設變量

為XI與X2兩個變量，尋找f（X1）與f（X2）的大小關系。

3.還要學會用反例作論證，推出矛盾，可以直接排除對應的性質關系。

題型特訓提分

【題型一】抽象函數的性質

【例1】已知的定義域為[0,2],則函數/卜8（尤_]）的定義域為（）

A.（1/B.[0,2]

C.[1,3]D.（1,3]

【答案】A

【分析】根據已知函數定義域、對數、分數的性質列不等式性質求定義域.

04尤2-142

1<X2

【詳解】由題設log1(x-l)>0,,可得1＜尤＜5

20<x-l<l

x—1〉0

所以函數定義域為

故選：A

【例2】定義域均為R的函數〃x),g(x)滿足〃x)=g(x-l),且"x—l)=g(2—x),則()

A.是奇函數B.〃力是偶函數

C.g(尤)是奇函數D.g(尤)是偶函數

【答案】D

【分析】通過函數變量間的轉化，得出函數對應等量關系.利用函數平移變化，由平移后的對稱關系求得原

函數的對稱關系.

【詳解】因為/(x—l)=g(2—x),

所以/(r+1—l)=g(2—(―x+1)),

即/(-x)=g(l+x)=g(x+2-l)=/(x+2),

所以〃x)關于直線尤=1對稱，

因為/(x)=g(x-l),

所以g(x)關于X=O對稱，即g(x)為偶函數.

故選：D

【例3】已知不恒為零的函數/(X)為定義在R上的奇函數，且函數了(尤-1)為偶函數，則/(2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】根據題意得到〃》-2)=〃-司與〃-同=-〃*),進而得到的一個周期為4,從而得解.

【詳解】由于函數“X-1)為偶函數，則BPf(x-2)=/(-%),

又為定義在R上的奇函數，所以〃0)=0,且〃r)=-〃x),

所以/晨一2)=-/(x),貝！|/a—4)=-/(x—2)=/(x),

故f(x)的一個周期為4,貝！J/(2024)=J(506x4+0)="0)=0.

故選：B.

【變式1】已知定義在R上的函數滿足〃x+2)=4-〃x),且〃x+3)-2為奇函數，"4)=5,則

2￡026/(^)=()

k=l

A.4047B.4048C.4049D.4050

【答案】c

【分析】首先判斷抽象函數的周期，再根據條件求函數值，再根據周期求函數值的和.

【詳解】由〃x+2)=4-“X)可得〃x+4)=4-〃尤+2)=4-[4一〃引]=〃尤)，

故“X)的一個周期為4,

由/(x+3)—2為奇函數可得〃0+3)-2=0,得"3)=2,

對于〃x+2)=4—〃x),令x=l,得/⑴+"3)=4,則/⑴=2,

令尤=2,得/(2)+/(4)=4,又/(4)=5,所以〃2)=-1,

則〃1)+/(2)+〃3)+/(4)=8,

2026

故￡/㈤="1)+“2)+"3)+〃4)+…+”2026)

k=l

=506x[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(l)+f(2)=506x8+2+(-1)=4049.

故選：C.

【變式2】已知定義在R上的函數是奇函數，對任意xeR都有/(x+l)=〃l-力，當〃-3)=-2時，

則“2023)等于()

A.2B.-2C.0D.-4

【答案】A

【分析】根據函數的奇偶性和對稱性推得函數/'(x)的周期為4,利用周期性和奇函數特征即可求得/(2023)

的值.

【詳解】定義在R上的函數是奇函數，且對任意xeR都有〃x+l)=〃lr),

故函數的圖象關于直線x=l對稱，???/(x)=/(2-x),故〃r)=〃2+x)=—〃x),

Af(x)=-f(2+x)=f(4+x),：.是周期為4的周期函數.

貝!|“2023)=/(505x4+3)=/?⑶=—〃—3)=2.

故選：A.

【變式3】已知函數定義域為R,對Vx,yeR,恒有/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),則下列說法錯

誤的有()

A.f(O)=lB./(2x+l)=/(—2x-l)

C./(x)+f(0)>0D.若〃l)=g,則周期為6

【答案】A

【分析】利用賦值法求/(O)判斷A；賦值法結合函數奇偶性的定義判斷B；賦值法結合換元法判斷C；利

用賦值法求得〃x+l)=/(x)—1),化簡得〃x)=—/(x—3)=/(x—6),即可判斷D.

【詳解】由/(x+y)+〃x-y)=2/(x)/(y),

令x=O,y=O,有〃0)+〃0)=2/(0)〃0),

可得〃0)=0或1,A錯；

當"0)=0時，令y=0,

則〃x)+〃x)=2〃x)〃0)=0,f(x)=O,

函數/(x)既是奇函數又是偶函數，f(2x+l)=/(-2^-l),

當/(0)=1時，令x=0,

則〃y)+/(-y)=2〃0)〃y),則/(>)=/(—)),

函數〃x)是偶函數，/(2x+l)=/(-2x-l),

綜上，B正確；

令了=丫，則/(2X)+〃0)=2/2(X),

a/(2%)+/(0)>0,

由于xeR,令f=2無,fcR,即/■(r)+/(O)NO,

即有〃力+〃。)20,C正確；

若/⑴=；,令y=l,

則〃x+l)+〃x-l)=2〃x)〃l)=〃x),

所以〃x+l)=〃x)-/(x-l),

貝(l/(x)=/(xT)-仆-2),

/(x+l)=[/(x-l)-/(%-2)]-/(x-l)=-/(x-2),

所以/(X)=-〃A3)"(X-6),

則/(x)周期為6,D正確.

故選:A

一、抽象函數的性質

1.周期性：/(x+a)~f(x)T-a；+Q)=-/(%)nT=2a；

/、k

/(x+a)=-^nT=2a；(左為常數);/(x+a)=/(%+/?)=>T=|a-Z?|

f\x)

2.對稱性：

對稱軸：f(a-x)=/(?+x)^4<f(2a-x)=/(x)/(x)關于x=a對稱；

對稱中心：_/'(。-%)+/'(。+%)=2。或者/'(24-％)+/(%)=2"=>/"(%)關于(a,。)對稱;

3.如果/'（x）同時關于x=a對稱，又關于0,c）對稱，則/'（x）的周期T=|a—母

4.單調性與對稱性（或奇偶性）結合解不等式問題

①/'（x）在R上是奇函數，且/'（X）單調遞增n若解不等式/（XJ+/（%2）＞0,則有

再+%＞°；

y（x）在R上是奇函數，且/'（X）單調遞減n若解不等式/（x1）+/（^2）＞0,則有

玉+々＜°；

②y（x）在R上是偶函數，且/＞（X）在（0,”）單調遞增n若解不等式/（x1）＞/（x2）,則有同〉岡（不

變號加絕對值）；

/（X）在R上是偶函數，且/（X）在（0,內）單調遞減n若解不等式/（%；）＞則有忖|＜岡（變號

加絕對值）；

③/（X）關于（a,b）對稱，且/（X）單調遞增n若解不等式f（Xl）+f（x2）＞2b,則有

玉+冗2＞2。；

/（X）關于（a,。）對稱，且/'（X）單調遞減n若解不等式y（xj+/＞（%）＞2b,則有

玉+九2＜2〃；

④/（X）關于X=。對稱，且/（%）在（a,M）單調遞增n若解不等式了（再）＞了卜），則有歸—同＞卜一,

（不變號加絕對值）；

/（x）關于x=a對稱，且/（X）在（a,+oo）單調遞減二＞若解不等式/（Xj）＞f（x2）,則有,一《一

（不變號加絕對值）；

5.常見的特殊函數性質一覽

①/（%）=10gaJ+（爾）2±m是奇函數

②y（x）=iog〃j（/（x）=iog〃9］（左為常數）是奇函數

K+X＜k-x）

③/w=或者/w=產或者/W=或者/(X)=24是奇函數

l+a1—aa—1ci+1

④小”已關于［直對稱

⑤/［g(x)］復合函數的奇偶性：有偶為偶,全奇為奇

【題型二】常見抽象函數模型①(一次、二次、反比例)

【例1】已知定義在R上的函數/(X)滿足f(2xy-l)=f(x)-f(y)+f(y)+2x-3,/(O)=-l,

則不等式〃x)>3-2”的解集為()

A.B.(-1,+<?)C.D.

【答案】A

【分析】先利用賦值法求八-1)=-3及/(x)=2x-l,然后利用單調性解不等式即可.

【詳解】令尤=y=0,得/(-1)="0)"(0)+〃0)-3=-3.

令y=0,/(-I)=/W/(0)+/(0)+2x-3,解得/(x)=2x-l,

則不等式/(x)>3-2*轉化為2尤+2,-4>0,

因為，=2x+2*-4是增函數，且2xl+2i—4=0,

所以不等式/(x)>3-2r的解集為(1,+8).

故選:A

【例2】己知函數的定義域為(-8,0)U(0,y),且例(x)=(y+l)/(y+l),則()

A./W>0B.f(l)=lC./(x)是偶函數D./(x)沒有極值點

【答案】D

【分析】令8(%)=令(引,結合題設令y+1為(e,0)U(0,4w)上任意值且g(x)=g(y+l),得到g(x)為常

函數，進而判斷各項的正誤.

【詳解】令g(x)=#(x),則g(y+i)=(y+i)/(y+i),

所以g(x)=g(y+i),且羽y+i為定義域內任意值，故g(x)為常函數.

令g(x)=k,則為奇函數且沒有極值點，c錯，D對；

所以〃x)20不恒成立，"1)=1不一定成立，A、B錯.

故選：D

【變式I】已知定義在(-8,o)u(o,收)上的函數〃尤)滿足/(孫)=與立+勺則()

A./(X)是奇函數且在(0,+8)上單調遞減

B.〃x)是奇函數且在(y,0)上單調遞增

C.是偶函數且在(。,+e)上單調遞減

D./(X)是偶函數且在(-%0)上單調遞增

【答案】A

【分析】令x=y=T,求出/⑴，令x=y=i,求出再分別令y=T,y=i,即可求出函數/⑺

的解析式，進而可得出答案.

【詳解】令尤=>=一1,則/(1)=一2/(1)+1,所以

令x=y=i,則/⑴=2/(-1)+1,所以=

令y=T,貝！I/(-X)=-f(一弓+^^一^=-/(-x)+W=~f(-x)-￡，

所以=

5x

令y=l,貝！=在』+』=」」+!1所以〃x）=；,

xx3x3xx3^5x

因為〃r)=-；=-〃x)，且定義域關于原點對稱，所以函數/(尤)是奇函數,

由反比例函數的單調性可得函數/(x)=(在(0,+e)上單調遞減.

故選：A.

【變式2】已知函數〃x)的定義域為R,且了/>0,若/(尤+y)+f(x)/(y)=4w，則下列結論錯誤的是

()

C.函數/卜-；］是偶函數D.函數是減函數

【答案】C

【分析】首先利用賦值法求得了［；)的值，再賦值>=-；,求得/卜-；)的解析式，即可判斷C,再根

據函數的解析式，賦值判斷BD.

【詳解】對于A,令x=g、y=0,貝(J有++=

又卜0,故1+“。）=0,即/（0）=-1,

即-￡|=T,由"。）=一1,可得一￡|=°，

又>0,故/[-；）=0,故A正確；

對于c,令y=J，貝情小_,+〃x）dx

貝！=故函數是奇函數，故C錯誤；

對于D,有/1x+1—彳）=—2（尤+1）=—2x—2,即f=—2x—2,

則函數/[x+g）是減函數，故D正確；

對于B,由=令x=l,有/（；）=-2xl=_2,故B正確.

故選：C

【變式3】（多選）已知函數Ax）的定義域為R,且/（了-n=〃-力+/3-2孫，則（）

A./（0）=0

B."2）=4

C.>=/（元）一2%是奇函數

D.y=/（x）-2f是偶函數

【答案】ABD

【分析】根據已知的抽象函數性質，賦值（式）法求解即可.

【詳解】令龍=y=0,則〃0）=2〃0）,即〃o）=o.A正確.

令y=o,則/（為閆（-。

令〉=彳，貝!J/（—x）+/（x）—2f=/（0）=。，貝！]/（x）=f.

故"2）=4.B正確.

y=/⑺-2x=--2x是非奇非偶函數.C不正確.

產/（力-2%2=7；2是偶函數.》正確.

故選：ABD.

抽象函數的模型

【反比例函數模型】

反比例函數:…=冊懸,則?=斗，[x"(x)g)J(x+y)均不現

【一次函數模型】

模型1：若/(X土y)=/(x)±/(y),則/(%)=/⑴X；

模型2：若/(%土y)=/(x)±/(y),則/(x)為奇函數；

模型3：f(x+y)=f(x)+f(y)+m,則f(x)=[f(1)+m]x-m；

模型4：若/(x一y)=f(x)-/(y)+m,則/(x)=[/(l)-m]x+m-

【題型三】常見抽象函數模型②(指數、對數、塞函數、三角函數)

【例1】已知函數f(x)滿足〃x)=/(2x),當xe[l,2)J(x)=lnx,若在區間口,4)內，函數

g(x)=/(x)-女(。*0)有兩個不同零點，則實數a的取值范圍是()

A.因B."C.[竽JD.用黑

【答案】A

【分析】轉化g(x)=/(x)=0na=&,可轉化為丫=〃4=/區有兩個交點，數形結合即得解

XX

【詳解】由g(x)=/(無)-ax=Ona=/4?,

X

函數g(x)=/(x)-0)有兩個不同零點，可轉化為y=a,y=皿有兩個交點

X

當2Vx<4,/(%)=/(1)=In|

Inx一八

-----,1W%<2

故/?(%)=?=，x

XIn-

」,2Wx<4

作圖如下，由于以4)=券，若y=a,y=四有兩個交點

4x

。，竽

可得aw

o'

故選：A

【例2】(多選)已知函數“X)的定義域為R,值域為(。,+8),累則()

A."0)=1B.〃1)=1

c./(2x)=[/(x)fD.尤=1是函數“X)的極小值點

【答案】AC

【分析】由已知利用賦值法分別檢驗各選項即可判斷.

【詳解】取尤=y=0,貝！I[/⑼丁=1,且〃x)>0,故/(0)=1,A正確；

取〃x)=e',符合題意，此時/(l)=ewl,且/■(》)在R上單調遞增，不存在極值點，B和D錯誤；

取…，則徐，=[〃力了,即〃2切="⑺了，C正確,

故選：AC.

【變式1]已知函數〃尤)的定義域為R,且/(x+y)=/(x)〃y)+/(x)+/(y),x>0時，〃x)>0,〃2)=3,

貝U()

A.41)=1

B.函數/(尤)在區間(0,+8)單調遞增

C.函數/(尤)是奇函數

D.函數〃尤)的一個解析式為〃力=2'-1

【答案】ABD

【分析】賦值法求值判斷A選項，定義法判斷單調性判斷B選項，特殊值法判斷C選項，根據題干要求判

斷解析式符合題意判斷D選項.

【詳解】A項：因為解x+y)="x)F(y)+f(x)+/(y),

當x>0時，/(x)>0,/(2)=3,令x=y=l,

則〃2)=[〃1)]2+2〃1)=3,解得"1)=1,A正確；

B項：任取：<x2G(0,+OO),

則/（尤2）=/［無1+（無2-尤1）］=f（占）/（尤2-%）+/（尤1）+/（無2—尤1），

因為當x>0時，/（x）>o,

所以〃/-不）>。，/（西）>。，

所以（工2-%）+/（%）+了（馬一%）>/（%），即/（%）>/（國），

所以函數”X）在區間（0,+8）單調遞增，B正確；

C項：令x=y=0,則〃0）="（0）了+2〃0）,

解得了（。）=。或〃0）=T，當7（。）=。，且x>0時，令，=一》,

則。="X）X）+“X）+/（―X）,

若“X）為奇函數，貝！l/（-x）=—/（X）,即。=—/2（x）+/（x）-/（x）,

解得〃力=0,與題意矛盾；

當〃0）=-1時〃X）不為奇函數.

綜上所述，函數/（無）不是奇函數，C錯誤；

D項：當/（x）=2-l,

貝！］/（x+y）=2J,

〃力/3+〃力+”，）=（2。1）（2，-1）+（2-1）+（2?—1）

=2x+y-2X-2y+1+2X-1+2y-1

=2x+y-l,

所以〃x+y）=〃x）〃y）+/a）+〃y）,易得/（x）=2，—l在R上單調遞增，

所以x>0時，/（x）=2Y-l>2°-l=0,/（2）=22-l=3,

故函數的一個解析式為/（x）=h-l,D正確.

故選:ABD

【變式2】已知“X）在（0,+8）上是減函數，且〃x）+〃y）=〃孫）+1對任意的xe（0,+8）都成立，寫出一

個滿足以上特征的函數〃x）=.

【答案】ITogsM答案不唯一）

【分析】由〃x）+/（y）變形到/（個）可考慮對數函數，然后根據單調性以及“1”可考慮構造對數型函數

y=l-logax（0<a<l）.

【詳解】由題意可知，/（x）+/（y）可變化為/（個）的形式，由此可想到對數函數，

又因為〃x）在（0,+8）上是減函數且〃x）+〃y）=/（孫）+1,

所以滿足條件的一個函數可取〃力=1-廄3%，

故答案為：/(X)=l-log3》(答案不唯一).

甘田國圓5

【指數函數模型】

模型1：若/(x+y)=于(x)/(y)，則f(x)=[f(X)r；/(x)>0

模型2：若人九7)=04,則/(x)="(l)「f(x)>Q

f(y)

模型3：若/(x+y)=/(x)/(y)m,則〃無)二上業0；

m

模型4：若/(%—V)=工，則/'(x)=nt'⑴；

f(y)[_m

【對數函數模型】

模型1：若/(x")=W(x),則/(x)=/(a)logaX(a>CLi.wl,x>0)

模型2：若/(取)=/O)+/(y),則/(x)=/(a)logaX(a>(1l.wl,x,y>0)

模型3：若/(3=/(x)—/(y),則/0)=/(。)108“](。>0且/1,羽丁>0)

模型4：若/(知)=/(x)+/(y)+m,則/(x)=[〃a)+加]10gli廠加僅>0且wl,x,y>0)

模型5：若/(二)=/(x)-/(y)+〃z,則/(勸=[/(4)-同現/+"2(。>0且*1,%,丁>0)

【黑函數模型】

模型1：若/(孫)="x)/(y)，則/(%)=/(。產*(a>0且wl)

模型2：若/#)=競則〃加小產飛沈且小四外加。)

代入/(。)則可化簡為事函數；

【余弦函數模型】

模型1：若f(x+y)+f{x-y)=2/(x)/(y)(/(x)不恒為0),貝ij/(x)=coswx

模型2：若〃x)+/(y)=2/(工)/(1"(x)不恒為0),則/⑴=coswx

【正切函數模型】

模型：若模龍土y）=（/W⑺豐1）,則/（x）=tw

L+J\X）J（川J

一2

模型3：若/（X+丁）+/0-丁）=的%）/（刈/。）不值為0）,貝i］/（x）=xcoswx

K

【題型四】復合函數的應用

【例1】函數/（力=廄2（2”?摩2（4司的值域為（）

1「1）「3）

A.RB.--,+ooC.一:，+8D.--,+oo

L24）L4）L2）

【答案】C

【分析】f（x）=（l+log2^）（2+log2%）,設W"y=［+：］-：，計算得到答案?

（詳解］〃X）=log2（2x）log2（4x）=（l+log2x）（2+log2%）,

■^log2X-t,貝［jy=（1+/）（2+/）=/2+3/+2=’+（）—；，

故函數的值域為

故選：C

【例2】已知函數〃x）=log5s-2）在［1,+向上單調遞增，則a的取值范圍是（）

A.（l,+oo）B.［ln2,+co）C.（2,+oo）D.［2,+oo）

【答案】C

【分析】先由題設條件證明。>2,再驗證。>2時條件滿足即可.

【詳解】若=logs（，-2）在［1,+8）上單調遞增，

則必然在尤=1處有定義，所以"-2>0,即。>2；

若a>2,貝！］當時優-22a-2>0,所以在［1,茁）上有定義，

再由a>1知屋-2在R上單調遞增，所以/（x）在［L+8）上單調遞增.

故選：C.

【變式1】已知函數〃x）=ln（加+2x+l）,若“X）的值域為R,則實數。的取值范圍是（）

A.［0,1］B.（0,1）C.（1,+8）D,［0,+8）

【答案】A

【分析】

借助/（X）的值域為R可得a=a?+2x+1要取遍所有的正數，對a進行分類討論即可得.

【詳解】若函數“X）的值域為R,貝!]〃=仆2+2工+1要取遍所有的正數.

所以a=0或｛人、八，解得OWaWl,

[A=4-4A＞0

即實數a的取值范圍是[0,1].

故選：A.

【變式2】已知函數〃x）=W-ef,若〃a-2）+y（2/）＞0,則實數。的取值范圍是（）

A.（2,+QO）B.1-2,野C.1一°°廠g]D.（-2,+co）

【答案】B

【分析】令g（x）=/（x+2）,即可判斷g（x）為奇函數，從而得到“X）關于（2,0）對稱，貝（J〃x）+/（4—x）=0,

再判斷的單調性，由對稱性將不等式化為，（2片）＞〃6"），再由單調性轉化為自變量的不等式，解

得即可.

【詳解】因為〃無）=4r-eixeR,令g（x）=〃x+2）=±-e，，xeR,

ee

貝！Ig（一尤）=J-e-=_（J_ej=-g（x）,

所以g（x）為奇函數，則g（x）關于原點對稱，所以〃x）關于（2,0）對稱，

貝！J/（x）+〃4-x）=。，

則'=/一2在定義域R上單調遞增，＞=」在（0,+“）上單調遞減，所以y=3在定義域R上單調遞減，

%e

則"X）=*-廣2在定義域R上單調遞減，

則不等式/（q-2）+/（2"）＞0,gpy（2?2）＞-/（?-2）,所以f（2/）＞/（6-a）,

則2a2＜6-a,解得-2＜av|,即實數/的取值范圍是[-2,|）.

故選：B

【變式3]（多選）設函數〃*=1暇--3詞（a＞0且"I）在區間g"上單調遞減，則。的取值可以為

（）

A.正B.立C.-D.3

223

【答案】AC

【分析】利用導數可求得g(x)=d-36的單調性，由此可得、=-一3例的大致圖象；分別在和。<“<1

的情況下，根據復合函數單調性可確定>-3國的單調性，結合了=9-3國的圖象可構造不等式組求

得。的范圍.

【詳解】令,=——3對，g(x)=x3-3ax,

g，(無)=3x2-3a=3(x+夜)(尤_&),

二當尤-&)0(&,+8)時，g<x)>0；當尤時，g'(x)<0；

；.g(x)在卜8,,(6,+8)上單調遞增，在「后，&)上單調遞減；

令g(x)=O,解得：尤=0或X=±而'，

二.y=,-3國的大致圖象如下圖所示，

當心1時，若/⑺在《，2)上單調遞減，則y=,-3同在已2)上單調遞減，

Vtz^—<2<弋3a,解得：§4a4a;

當0<a<l時，若在g，2］上單調遞減，則y=,-3同在Ga］上單調遞增,

:.2<4a,解得：0<a<1；

49-

綜上所述：實數。的取值范圍為，，,，。可能的取值為正和々

3-4-

_23

故選：AC.

1.復合函數定義：兩個或兩個以上的基本初等函數經過嵌套式復合成一個函數叫做復合函數。

復合函數形式：y=/"［g(x)］，令：f=g(x),則y=F(g(x))轉化為y=/O/=g(x)其中.叫作中間變量.

g(x)叫作內層函數，y=/“)叫作外層函數.

2.求復合函數單調性的步驟：

①確定函數的定義域

CCC

誤區點撥

易錯點：對稱性與周期性混淆

1.周期性：/(x+a)~/(x)T-a；f(x+a)=~f(x)T-2a；

/、k

/(x+a)=；nT=2a；(左為常數);f(x+a)=f(x+b)=>T=|a-Z?|

f\x)

2.對稱性：

對稱軸：f(a-x)=f(a+x)^,^f(2a-x)=f(x)=>/(x)關于x=a對稱；

對稱中心：/'(4一％)+/'(。+%)=26或者/'(24-％)+/'(%)=2/?=>/"(X)關于(a,b)對稱;

3.如果/(X)同時關于x=a對稱，又關于0,c)對稱，則/'(x)的周期T=|a—4

22

例1、已知函數/⑺的定義域為R,且/(x+y)+f(x-y)=/(x)"y),〃i)=i,則伏)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】法一：根據題意賦值即可知函數〃尤)的一個周期為6,求出函數一個周期中的了(1)"(2),…,“6)

的值，即可解出.

【詳解】［方法一］:賦值加性質

因為〃x+y)+〃x—y)=〃x)〃y),令x=l,y=O可得,2/(1)=/(1)/(0),所以〃。)=2,令x=0可得，

/(y)+/(-y)=2/(y),即所以函數〃x)為偶函數，令y=i得,

/(x+l)+/(x-l)^/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),從而可知/(x+2)=—/(x—1),

f(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)=/(x-4),即/(x)=/(x+6),所以函數〃x)的一個周期為6.因為

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個周期內的/。)+/(2)+…+"6)=0.由于22除以6余4,

22

所以￡〃笈)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1一2-1=-3.故選：A.

k=l

［方法二］:【最優解】構造特殊函數

由f(^+y)+f(x-y)=/(x)f(y),聯想到余弦函數和差化積公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy,可設/(x)=acos(wx,則由方法一中/(0)=2,/(1)=1知a=2,acos<?=1,

1jr

解得COS0=］,<<59=—,

所以“x)=2cos§x,則

/(x+y)+f(x-y)=2cos^yx+y^+2cos^x-yy^=4cos^xcosyj=/(x)/(y),所以〃x)=2cos1^

T2=6

符合條件，因此/(x)的周期工一，"0)=2,41)=1,且

3

"2)=-1"(3)=-2,"4)=T,"5)=1J⑹=2,所以/⑴+〃2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以左)=/(1)+〃2)+〃3)+/(4)=1-1-2-1=一3.故選：A.

k=l

【整體點評】法一：利用賦值法求出函數的周期，即可解出，是該題的通性通法；

法二：作為選擇題，利用熟悉的函數使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數的性質解題，

簡單明了，是該題的最優解.

例2、已知函數/(x),g(x)的定義域均為R,Mf{x}+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖像關

22

于直線x=2對稱，g(2)=4,則E"左)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【分析】根據對稱性和已知條件得到/。)+/。-2)=-2,從而得到"3)+”5)+…+”21)=-10,

/(4)+/(6)+...+/(22)=-10,然后根據條件得到/⑵的值，再由題意得到g⑶=6從而得到了⑴的值即

可求解.

【詳解】因為y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱，

所以g(2-x)=g(x+2),

因為g(x)_f(x_4)=7,所以g(x+2)-/(尤一2)=7,即g(x+2)=7+/(尤一2),

因為〃x)+g(2-x)=5,所以〃x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+2)]=5,即f{x}+于(x-2)=-2,

所以"3)+”5)+...+”21)=(-2)x5=-10,

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