專題02常用邏輯用語

【考點預測】

一、充分條件、必要條件、充要條件

1.定義

如果命題“若p,則q”為真(記作夕nq),則p是q的充分條件；同時“是p的必要條件.

2.從邏輯推理關系上看

(1)若pnq且44p,則p是4的充分不必要條件；

(2)若q且“二>夕，則.是q的必要不充分條件；

(3)若pnq且qnp,則p是“的的充要條件(也說p和q等價)；

(4)若4且44P>則p不是q的充分條件，也不是“的必要條件.

對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實質：p=>q,則p是4的充分條件，同時“是p的

必要條件.所謂“充分”是指只要p成立，“就成立；所謂“必要”是指要使得p成立，必須要“成立(即如果q

不成立，則p肯定不成立).

二.全稱量詞與存在童詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示.

含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對"中的任意一個x,有p{x)成立“可用符號簡記

為“VxeM,p(x)”，讀作“對任意x屬于M,有p(x)成立

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“三”

表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在"中的一個尤。,使p(x0)成立“可用符號

簡記為“三/€",「(毛)”，讀作“存在"中元素/,使p(x0)成立"(存在量詞命題也叫存在性命題).

三.含有一個量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題P：\/XGM,p(x)的否定—為三/eM,->p(x0).

(2)存在量詞命題p:3x0eM,p(x0)的否定-1P為

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點之一.

【方法技巧與總結】

1.從集合與集合之間的關系上看

設A={x|/?(%)),B={x|^(x)).

(1)若AqB,則p是q的充分條件(夕nq),q是p的必要條件；若A躡8,則p是q的充分不必要

條件，<7是p的必要不充分條件，即夕nq且q4p；

注：關于數集間的充分必要條件滿足：“小n大”.

(2)若則p是q的必要條件，q是p的充分條件；

(3)若4=5,則p與q互為充要條件.

2.常見的一些詞語和它的否定詞如下表

原詞語等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(>)(<)(所有)有一個有一個

否定詞語不等于小于等于大于等于不是不都是某個至少有一個都

(<)(>)兩個沒有

(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合/中的每一個元素x證明其成立，要判斷全稱量詞

命題為假命題，只要能舉出集合川中的一個乙,使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個反例.

(2)要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合河中能找到一個。使之成立即可，否則這個存在量

詞命題就是假命題.

【題型歸納目錄】

題型一：充分條件與必要條件的判斷

題型二：根據充分必要條件求參數的取值范圍

題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

題型四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

題型五：根據命題的真假求參數的取值范圍

【典例例題】

題型一：充分條件與必要條件的判斷

例1.（2022?河北?模擬預測）“a<H”是“玉€艮龍2一2萬+"0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例2.（2022?重慶?三模）已知a>0且"1,“函數/（力=優為增函數”是“函數g（x）=x"T在（0,+e）上單調

遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例3.（2022?湖北?模擬預測）在等比數列｛a,｝中，己知?2020>0,貝產出⑼>。2必”是“生儂>%。23”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例4.（2022?山東?德州市教育科學研究院二模）已知相，”是兩條不重合的直線，a是一個平面，“Ua,

則是“功_L〃”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例5.（2022?四川?宜賓市教科所三模（理））已知兩條直線m,n和平面a,則的一個充分條件是（）

A.且〃_LaB.且"uaC.機_L（z且"uaD.m"a旦nlIa

（多選題）例6.（2022?山東臨沂.二模）已知a,6eR,則使“a+b>l”成立的一個必要不充分條件是（）

4b+1

A.a2+b2>1B.|i?|+|Z?|>lC.2a+2b>1D.-+——>10

ab

【方法技巧與總結】

1.要明確推出的含義，是P成立4一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2.充分必要條件在面對集合問題時，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

3.充分必要條件考察范圍廣，失分率高，一定要注意各個知識面的培養.

題型二：根據充分必要條件求參數的取值范圍

例7.（2022?湖南懷化?一模）已知。已氏，且“x>a”是的充分不必要條件,則。的取值范圍是

例8.（2022?浙江?高三專題練習）若（尤-a）?<4成立的一個充分不必要條件是l+^^WO,則實數a的取值

2-x

范圍為（）

A.（-oo,4]B.[1,4]C.（1,4）D.（1,4]

例9.（2022?山西晉中.二模（理））已知條件"：-l<x<l,q：x>m,若。是q的充分不必要條件，則實數

優的取值范圍是（）

A.[-l,+oo）B.C.（-1,0）D.

1,

例10.（2022?河南平頂山?高三期末（文））若1+旌匚W0是（X-a]<4成立的一個充分不必要條件，則實數

。的取值范圍為（）

A.（一雙4]B.[1,4]C.（1,4）D.（1,4]

例11.（2022?全國?高三專題練習（文））若關于x的不等式歸-1|〈。成立的充分條件是0<x<4,則實數a

的取值范圍是（）

A.（—co,1]B.（—co,1）

C.（3,+oo）D.[3,+oo）

例12.（2022?湖南懷化?一模）已知aeR,,且“x>a”是>2x”的充分不必要條件，則。的取值范圍是

例13.（2022.重慶.高三階段練習）若不等式|x|<a的一個充分條件為-2<x<0,則實數。的取值范圍是

例14.（2022?全國?高三專題練習（文））已知集合A=[y=/-]X+1,無e—,21B={x|尤+機？21}.若

“xeA”是“無eB”的充分條件，則實數機的取值范圍為.

例15.（2022?全國?高三專題練習）已知函數f（x）=的定義域為集合A,關于尤的不等式

（x-m2）（x-2m+1）<0的角星集為B.

（1）當m=2時，求&A）UB；

（2）若是1的充分條件，求實數機的取值范圍.

例16.（2。22?天津.漢沽-中高三階段練習）不等式5-2不%>1的解集是A,關于x的不等式八°

的解集是反

⑴若“7=1,求AB；

(2)若=求實數機的取值范圍.

尤2—Y—6<0

⑶設P：實數x滿足d-4依+3"<0，其中。>0,命題4：實數x滿足-2尤-8>。.若「是"的必要不充分

條件，求實數a的取值范圍.

例17.(2022?陜西?武功縣普集高級中學高三階段練習(理))已知條件p:A={d/-4辦+4片一140},條

件q:3={x|尤2—x—24€)}.U=R.

⑴若a=l,求①(AcB).

(2)若4是。的必要不充分條件，求”的取值范圍.

【方法技巧與總結】

1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含關系.

2.在充分必要條件求解參數取值范圍時，要注意端點是否能取到問題，容易出錯.

題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

例18.(2022?黑龍江齊齊哈爾?三模(理))已知下列四個命題:①Vxe(0,+s),av>y,@Vxe(0,1),

abx

log”x>logbx,③士e(0,l),x>x,④ire(0涉)，a>logax.

其中是真命題的有()

A.①③B.②④C.①②D.③④

4

例19.(2022?江西?二模(理))已知命題Pi：存在方>。，使得無o+—44,命題p2：對任意的尤eR,都

有tan2x=2包答,命題R：存在不eR,使得3sinx°+4cos/=6,其中正確命題的個數是()

1-tanx

A.0B.1C.2D.3

例20.(2022.河南.新鄉縣高中模擬預測(理))已知函數〃x)和g(x)的定義域均為[a,6],記的最大

值為跖，g(x)的最大值為心，則使得“M>%”成立的充要條件為()

A.\/x1&[a,b\,\/x2&[a,b\,/(^)>g(x2)

B.司，BX2,/（%）>9（%2）

C.3^e[a9b],Vx2^[a,b],C（.）>g（%2）

D.\/xe[a,b],/（x）>g（x）

例21.（2022?浙江?高三專題練習）下列命題中，真命題為（）

A.存在人。￡尺，使得*w0

B.直線：_L],“U平面a,平面af3=b,則平面a_L/?

4

C.y=sin2%+——{x^k7i,keZ）最小值為4

sinx

D.a>l,6>1是曲>1成立的充分不必要條件

（多選題）例22.（2022?全國?高三專題練習）下列命題中的真命題是（）

A.VxeR,2x-7>0B.（x-l）2>0

C.3x^R,lg%<lD.3%^R,tanx=2

例23.（2022.全國?高三專題練習）下列命題中正確的是（寫出正確命題的序號）

⑴3x0&[a,b],使〃％）>g（x。）,只需/（"a>g（xL,；

（2）\/x&[a,b],〃x）>g（x）恒成立，只需[7（x）-g（x）]1nto>。;

（3）V%,e[?,￡>],x2G[c,d],"x1Ag（%）成立，只需/（力=>g⑺-；

（4）3\&[a,b\,x2&[c,d\,〃%）>g%）,只需〃x）血_>g（x）而「.

【方法技巧與總結】

1.全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要通過漢字意思，又要通過數學結論.

2.全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷較為簡單，注意細節即可.

題型四：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

例24.（2022?四川成都?三模（理））命題“VxeR,e'+2>0”的否定是（）.

A.切eR,+2<0B.VxeR,eA+2<0

C.七°eR,e~+2>0D.VxoeR,e"°+2<0

例25.（2022.云南昆明?模擬預測（文））已知命題p：V〃eN*,n2+n^2，則力為（）

A.VzigN*,tr+n<2B.VweN*,rr+n<2

C.3n0gN*,rig+n0<2D.3n0eN*,4+%<2

例26.（2022?江西贛州?二模（文））已知命題P：VxeR,sinx+cosx>^2,則T7為（）

A.VxeR,sinx+cosx〈應B.R,sinx+cosx<s/2

C.VxgR,sinx+cosx<y/2D.HreR,sinx+cos尤〈忘

例27.（2022?遼寧健平縣實驗中學模擬預測）命題“比40,心），lnx°±x°-l”的否定是（）

A.3x0e（0,+oo）,Inx0<x0-1B.3x0g（0,-H?）,ln^>x0-l

C.VXG（0,+OO）,lnx<x-lD.Vxg（O,-H?）,lnx>x-l

例28.（2022?山東濰坊?二模）十七世紀，數學家費馬提出猜想：“對任意正整數〃>2,關于x,y,z的方程

x"+/=z"沒有正整數解”,經歷三百多年，1995年數學家安德魯?懷爾斯給出了證明，使它終成費馬大定理，

則費馬大定理的否定為（）

A.對任意正整數“關于無，y,z的方程x"+y'=z"都沒有正整數解

B.對任意正整數”>2,關于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數解

C.存在正整數“V2,關于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數解

D.存在正整數”>2,關于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數解

例29.（2022?全國?高三專題練習（文））已知命題2：存在一個無理數，它的平方是有理數，則^為（）

A.任意一個無理數，它的平方不是有理數

B.存在一個無理數，它的平方不是有理數

C.任意一個無理數，它的平方是有理數

D.存在一個無理數，它的平方是無理數

例30.（2022?山西晉中.模擬預測（理））命題"：Vx>0,x2-2x+e2<3,貝1JY為.

【方法技巧與總結】

1.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定是將條件中的全稱量詞和存在量詞互換，結論變否定.

1.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定要注意否定是全否，而不是半否.

題型五：根據命題的真假求參數的取值范圍

例31.（2022?山東青島?一模）若命題“VxeR,以2+120，，為真命題，則實數a的取值范圍為（）

A.a>0B.a>0C.a<0D.a<l

例32.（2022?浙江?高三專題練習）若命題“存在xeR,使無?+2x+根40”是假命題，則實數機的取值范圍

是（）

A.（一叫1]B.

C.（l,+oo）D.[l,+00）

例33.（2022?江蘇?南京市寧海中學模擬預測）若命題"Vx￡[l,4]時，/>機”是假命題，則根的取值范圍（）

A.m>16B.m>l

C.m<16D.m<\

例34.（2022?黑龍江齊齊哈爾?二模（文））若命題“山€[—1,3],加一（2。—1.+3—。<0"為假命題，則實數x

的取值范圍為（）

A.[-1,4]B.0,|C.[-1,0]|,4D.[-150）f|,4

例35.（2022?全國?高三專題練習）若Mey,"tanx*”是真命題，則實數機的最大值為-----------

例36.（2022.全國?高三專題練習）已知定義在R上的函數〃（%）滿足2〃（尤）+/7。）>0且4⑴=[,其中

e

1丫2_,1

Kx)>—的解集為4函數〃尤)=)…1g(x)="(a>1),若加wA使得/(%)=g(%2)，則實

數a的取值范圍是.

TT7T

例37.（2022?湖北?荊門市龍泉中學二模）若命題“天,tan%”是假命題，則實數機的取值范圍

o3

是.

例38.（2022?全國?高三專題練習）若“玉%+2-a>0”為假命題，則實數a的最小值為.

例39.（2022?全國?高三專題練習）在①玉eR,￡+2公+2-”=0,②maeR,使得區間4=（2,4）,B=（a,3a）

滿足A8=0這兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.

2

已知命題p：Vxe[l,2],x-a>0,命題q：,p,4都是真命題，求實數a的取值范圍.

例40.（2022?全國?高三專題練習）若于（無）=x2—2x,g（x）=ax+2（a>0）,2],BxoG[—1,

2]，使g（x；）=/（xo）,求實數a的取值范圍.

【方法技巧與總結】

1.在解決求參數的取值范圍問題上，可以先令兩個命題都為真命題，如果哪個是假命題，去求真命題的補級

即可.

2.全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數問題相對較難，要注重端點出點是否可以取到.

【過關測試】

一、單選題

2

1.（2022?河北?模擬預測）已知〃：/-辦+1=0無解，q：f(x)=(4-a%為增函數，則p是9的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2022?北京房山二模）已知夕,夕是兩個不同的平面，直線/00,且。，尸，那么"http:///”是"/，￡”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2022.江蘇?華羅庚中學高三階段練習）若Z|,Z2為復數，則“z「Z2是純虛數”是Z2互為共輾復數”

的(

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.（2022?全國?高三專題練習）命題“V14X42,爐-2aV0”是真命題的一個必要不充分條件是（）

A.a>lB.a>3C.a>2D.a<4

5.（2022?全國?高三專題練習）已知下列四個命題：正確的是（)

Pi：3x0>0,使得

P2：VxeR,都有爐_》+1＞0；

P3：3x0>0,使得In—>-x0+1.

X

04：VXG(0,+OO),使得I

A.。2，B.Pi，色C.。2，PiD.Pl，Pi

6.（2022.重慶南開中學模擬預測）命題“VxN2,f24”的否定為（)

22

A.3x0>2,%；<4B.Vx>2,x<4C.玉o<2,x；<4D.Vx<2,%<4

7.（2022?江西景德鎮?模擬預測（理））已知命題：函數/（%）=兀3+〃%2+（2加一。_1）入一機（〃＞（）,相＞o）,且關

于x的不等式1/（元）|＜機的解集恰為（0,1）,則該命題成立的必要非充分條件為（）

A.m>aB.m<a

C.m>a2D.m<a2

8.（2022?全國?高三專題練習）^A-B={x\x^A,x^B}f設A、B、C是某集合的三個子集，且滿足

則AU(C—B)U(B-C)是A31C=0的(

A.充要條件B.充分非必要條件

C.必要非充分條件D.既非充分也非必要條件

二、多選題

9.（2022.廣東茂名.模擬預測）下列四個命題中為真命題的是（）

A."a<6"是"42<歷2”的必要不充分條件

B.設是兩個集合，貝U“A8=A”是“AaB”的充要條件

C.ltVx>0,C>0”的否定是“女V0,e*V0"

D.8名同學的數學競賽成績分別為：80,68,90,70,88,96,89,98,則該數學成績的15%分位數為70（注：一

般地，一組數據的第P百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有尸％的數據小于或者等于這個值,

且至少有（100-尸）％的數據大于或者等于這個值.）

10.（2022?全國?高三專題練習）設。>0,b>0,且〃b,貝廣。+6>2”的一個必要條件可以是（）

A.6!3+Z?3>2B.a2+b2>2C.ab>lD.—i"7>2

ab

11.（2022?遼寧實驗中學模擬預測）已知x,y均為正實數，則下列各式可成為“彳<廣’的充要條件是（）

11,

A.—>—B.x-y>sinx-sinyC.x-yvcosx—cosyD.e'—e〉<尤？_y2

xy

12.（2022.湖北?武漢市武鋼三中高三階段練習）下列命題正確的是（）

A.“關于x的不等式點?+x+加>o在R上恒成立”的一個必要不充分條件是m>:

B.設x,ycR,貝！|“乂.2且y..2”是“爐+廣.4”的必要不充分條件

C.“a>l”是“工<1”的充分不必要條件

a

D.命題“Hxe[05,x+④。”是假命題的實數。的取值范圍為聞fl>0}

三、填空題

13.（2022?河南?南陽中學高三階段練習（文））若命題“土。>1兀-%+。+3<0”是假命題，則”的取值范

圍是■

14.（2022?浙江?高三學業考試）已知函數/0）=/