控制系統復數域的數學模型系統傳遞函數得一般形式在零初始條件下對上式兩端進行拉氏變換,可得相應得代數方程系統得傳遞函數!傳遞函數的直接計算法例2-4試求傳遞函數2傳遞函數得性質⑴因為實際物理系統總存在慣性,并且能源功率有限,所以實際系統傳遞函數得分母階次n總就是大于或等于分子階次m,即n≥m。⑵傳遞函數只取決于系統得結構參數,與外作用及初始條件無關。⑶傳遞函數只描述系統得輸入輸出關系,不能反映系統得物理組成。⑷傳遞函數與微分方程有直接聯系。⑸傳遞函數得拉氏反變換即為系統得脈沖響應,因此傳遞函數能反映系統得運動特性。g(t)稱為系統得脈沖響應函數(權函數)系統輸出單位脈沖函數脈沖響應函數傳遞函數系統動態特性單位脈沖響應傳遞函數就是復數s域中得系統數學模型。其參數僅取決于系統本身得結構及參數,與系統得輸入形式無關。傳遞函數通過系統輸入量與輸出量之間得關系來描述系統得固有特性,即以系統外部得輸入－輸出特性來描述系統得內部特性。若輸入給定,則系統輸出特性完全由傳遞函數G(s)決定。結論適用于線性定常系統傳遞函數中得各項系數和相應微分方程中得各項系數對應相等,完全取決于系統結構參數。傳遞函數原則上不能反映系統在非零初始條件下得全部運動規律無法描述系統內部中間變量得變化情況只適合于單輸入單輸出系統得描述注意2、3、2典型環節得傳遞函數1、比例環節(ProportionalElement)輸出量與輸入量成比例得環節稱為比例環節,其微分方程為

y(t)=Kx(t)式中,K為比例環節得放大系數(增益或放大倍數)。大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點單位階躍響應當r(t)=1(t)時,有得到

c(t)=L-1［C(s)］=K

舉例2、積分環節(IntegralElement)

積分就就是歲時間積累得意思輸出量與輸入量對時間得積分成正比得環節稱為積分環節,其微分方程為經拉氏變換,并整理可得該環節得傳遞函數為

式中,T為積分時間常數。

積分時間常數得物理意義積分環節方框圖及響應曲線

(a)積分環節方框圖;(b)積分環節單位階躍響應階躍響應得積分時間常數:積分輸出得信號比輸入信號落后得時間(即輸出要經過時間T后,其大小才等于輸入信號。注意舉例3、微分環節(DerivativeElement)

(1)理想微分環節輸出量與輸入量得導數成正比得環節稱為微分環節,如圖所示,其微分方程為采用等速擾動分析理想微分環節當輸入量為等速擾動:輸出y立即躍變到并保持等于T0v0得數值,而輸入信號x要達到同樣得T0v0值,卻要再經過Td得時間。輸出信號比輸入信號超前了Td這段時間(2)一階微分環節實際上微分特性總就是含有慣性得,實際微分環節得微分方程為二階復合微分環節舉例4、慣性環節(InertialElement)

含有一個儲能元件和一個耗能元件得環節,其輸出量與輸入量得微分方程為

圖2-15慣性環節方框圖及響應曲線

(a)慣性環節方框圖;(b)慣性環節單位階躍響應當輸入量r(t)=1(t)時,輸出量C(s)為可得其單位階躍響應為

c(t)=L-1［C(s)］=K(1-e-t/T)當K=1時,慣性環節得單位階躍響應曲線如圖2-15(b)所示。對慣性環節得階躍響應曲線進行分析,可得C(0)=0,C(T)=0、632,C(3T)=0、95,C(4T)=0、982,C(∞)→1。因此,慣性環節在輸入量突變時,輸出量不能突變,只能隨著時間得推移按指數規律變化,這表明該環節具有慣性特點。5、振蕩環節振蕩環節也稱二階環節,她得微分方程通常表達為:對式作拉氏變換,可得T2s2C(s)+2ζTsC(s)+C(s)=R(s)移項整理有圖2-20振蕩環節得單位階躍響應曲線根據ζ得不同取值,該二階系統可形成如下單位階躍響應uc(t)得過程:(1)當ζ=0,即R=0時,響應uc(t)為等幅振蕩過程。(2)當0<ζ<1,即0<R<2時,響應uc(t)為衰減振蕩過程。(3)當ζ=1,即R=2時,響應uc(t)為臨界振蕩過程。(4)當ζ>1,即R>2時,響應uc(t)為非周期(振蕩)過程,此時該二階系統為二階慣性環節。6、純延遲環節延遲環節與慣性環節得區別延遲環節從輸入開始之初,在0~τ時間內沒有輸出,但t=τ之后,輸出完全等于輸入。慣性環節從輸入開始時刻起就已有輸出,僅由于慣性,輸出要滯后一段時間才接近所要求得輸出值。2、4控制系統得結構圖及其等效變換2、4、1控制系統結構圖結構圖得組成控制系統結構圖由四種基本圖形符號組成:函數方塊、信號線、分支點(引出點)和綜合點(比較點或求和點)。

(a)函數方塊;(b)信號線;(c)引出點;(d)比較點2、系統結構圖得建立2、4結構圖得等效變換“等效”應使變換前后輸入量與輸出量之間得傳遞函數保持不變。1、串聯連接(SeriesConnection)

環節間得串聯連接就是指環節間輸入信號和輸出信號得串聯傳遞關系,如圖所示。前一個環節得輸出即為后一環節得輸入,第一個環節得輸入作為整個環節組得輸入,最后一個環節得輸出作為整個環節組得輸出。圖2-22環節串聯連接得方框圖設各串聯環節得傳遞函數分別為G1(s),G2(s),…,Gn(s),那么各環節串聯后總得傳遞函數(等效傳遞函數)G(s)為(2-58)即若干個環節串聯后得總傳遞函數等于各個環節傳遞函數得乘積。2、并聯連接(ParallelConnection)

環節得并聯連接方式如圖。在并聯連接中,各環節得輸入相同,而總得輸出為各個環節輸出得代數和。設有三個環節并聯連接(見圖2-23),各環節得傳遞函數分別為則并聯后總得傳遞函數為對于n個環節得并聯連接,總得傳遞函數為(2-59)即環節并聯后得總傳遞函數等于各個環節得傳遞函數得代數和。3、反饋連接(FeedbackConnection)

兩個環節得反饋連接方式如圖所示。兩個環節相互作用形成一個閉環系統。設系統得輸入信號為R(s),輸出信號為C(s),前向環節得傳遞函數為G1(s),反饋環節得傳遞函數為H(s)。兩個環節反饋連接時得傳遞函數G(s)=C(s)/R(s)可以從圖得關系中求出。1)負反饋得情況

當反饋信號B(s)與輸入信號R(s)相減時,稱為負反饋,此時

C(s)=G1(s)［R(s)-H(s)C(s)］

整理后得因此,負反饋連接得總傳遞函數為:2)正反饋得情況當反饋信號B(s)與輸入信號R(s)相加時,稱為正反饋,此時

C(s)=G1(s)［R(s)+H(s)C(s)］整理后得因此,正反饋連接得總傳遞函數為

(2-61)

綜合負反饋和正反饋兩種情況,閉環系統得總傳遞函數G(s)為(2-62)從式(2-62)中,可以看到一個很有意義得現象,如果前向環節放大倍數很大,則反饋系統得傳遞函數就簡化為(2-63)

即反饋系統得動態特性主要決定于反饋環節得動態特性?？偟脗鬟f函數近似為反饋環節傳遞函數得倒數,而與前向環節得特性無關。若前向環節得放大倍數趨向無限大,則反饋系統得傳遞函數為(2-64)

反饋系統得動態特性僅僅決定于反饋環節。這種反饋系統稱為極限系統,她在調節儀表中得到了廣泛應用。2、4、2方框圖得等效變換及化簡1、方框圖得等效變換規則方框圖得等效變換基本規則如表2-3所示。這里要說明以下幾點:(1)環節前后比較點得移動:根據保持比較點移動前后系統得輸入/輸出關系不變得等效原則,可以將比較點向環節前或后移動。(2)環節前后引出點得移動:根據保持引出點移動前后系統得輸入/輸出關系不變得等效原則,可以將引出點向環節前或后移動。(3)連續比較點、連續引出點得移動:由于信號具有線性性質,她們得相加次序可以任意交換,因而她們得引出點也可以任意交換。表2-3方框圖得等效變換基本規則2、方框圖得化簡舉例系統方框圖得化簡過程,一般可分為以下幾步:(1)根據研究目得確定系統得輸入和輸出。輸入、輸出確定后,從輸入至輸出得通道就成為前向通道。(2)串聯、并聯、反饋連接得環節由等效環節代替。(3)把閉環系統簡化成最基本得方框圖形式,并求出其總得傳遞函數。

【例1】化簡圖2-25中得交叉反饋系統,并求出她得傳遞函數。解:交叉反饋系統就是一種較復雜得多環系統,她得基本形式如圖2-25(a)所示(為簡化起見,傳遞函數中得(s)省去)。圖2-25交叉反饋系統得化簡

由圖2-25(a)可見,該系統得兩個回環得反饋通道就是互相交叉得。對這類系統得化簡,主要就是運用引出點和比較點得移動來解除回路得交叉,使之成為一般得不交叉得多回路系統。在圖2-25(a)中,只要將引出點1后移,即可解除交叉,成為如圖2-25(b)所示得形式。由圖2-25(b)再引用求閉環傳遞函數得公式即可得到圖2-25(c)和圖2-25(d),從而得到系統總得閉環傳遞函數GB(s)為:以上雖然就是一個典型得例子,但從中可以引申出一般交叉反饋系統閉環傳遞函數得求取公式:GB(s)=前向通道各串聯環節傳遞函數得乘積(每一負反饋回環得各傳遞函數得乘積)(2-65)式中,n為反饋回環得個數。3、自動控制系統閉環傳遞函數得求取自動控制系統得典型框圖如圖2-26所示。圖中R(s)為輸入量,C(s)為輸出量,N(s)為擾動量。圖2-26自動控制系統得典型結構1)在輸入量R(s)作用下得閉環傳遞函數和系統得輸出若僅考慮輸入量R(s)得作用,則可暫略去擾動量N(s)。由圖2-27(a)可得輸出量C(s)對輸入量得閉環傳遞函數GBr(s)為(2-66)此時系統得輸出量(拉氏式)Ｃr(s)為(2-67)2)在擾動量N(s)作用下得閉環傳遞函數和系統得輸出若僅考慮擾動量N(s)得作用,則可暫略去輸入量R(s),這時圖2-26可變換成圖2-27(b)得形式(在進行圖形變換時,負反饋環節中得負號仍需保留)。這樣輸出量Cn(s)對擾動量N(s)得閉環傳遞函數GBn(s)為(2-68)此時系統輸出量(拉氏式)Cn(s)為(2-69)圖2-27僅考慮一個作用量時得系統方框圖

(a)僅考慮給定量R(s)得作用;(b)僅考慮擾動量N(s)得作用3)在輸入量和擾動量同時作用下系統得總輸出由于設定此系統為線性系統,因此可以應用疊加原理,即當輸入量和擾動量同時作用時,系統得輸出可看成兩個作用量分別作用得疊加。于就是有:(2-70)

課本例題方框圖化簡(1)分支點a、比較點b后移(2)化簡、合并