專題11平面直角坐標系與函數基礎知識

一、單選題

1．（2024·江西·中考真題）將常溫中的溫度計插入一杯60℃的熱水（恒溫）中，溫度計的讀數y℃與時間

xmin的關系用圖象可近似表示為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】本題考查了函數圖象，根據溫度計上升到一定的溫度后不變，可得答案；注意溫度計的溫度升高

到60℃時溫度不變．

【詳解】解：將常溫中的溫度計插入一杯60℃（恒溫）的熱水中，注意溫度計的溫度升高到60℃時溫度不

變，故C選項圖象符合條件，

故選：C．

2．（2024·甘肅·中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術瑰寶，其中敦煌《算經》中出現的《田積

表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準確地查出邊長10步到60步的

矩形田地面積，極大地提高了農田面積的測量效率．如圖2是復原的部分《田積表》，表中對田地的長和

寬都用步來表示，A區域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數對記為15,16，那么有

序數對記為12,17對應的田地面積為（）

A．一畝八十步B．一畝二十步C．半畝七十八步D．半畝八十四步

【答案】D

【分析】根據15,16可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，解答即可．

本題考查了坐標與位置的應用，熟練掌握坐標與位置的應用是解題的關鍵．

【詳解】根據15,16可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，

故12,17對應的是半畝八十四步，

故選D．

3．（2024·山東威海·中考真題）定義新運算：

①在平面直角坐標系中，a,b表示動點從原點出發，沿著x軸正方向（a0）或負方向（a0）．平移a

個單位長度，再沿著y軸正方向（b0）或負方向（b0）平移b個單位長度．例如，動點從原點出發，

沿著x軸負方向平移2個單位長度，再沿著y軸正方向平移1個單位長度，記作2,1．

②加法運算法則：a,bc,dac,bd，其中a，b，c，d為實數．

若3,5m,n1,2，則下列結論正確的是（）

A．m2，n7B．m4，n3

C．m4，n3D．m4，n3

【答案】B

【分析】本題考查了新定義運算，平面直角坐標系，根據新定義得出3m1,5n2，即可求解．

【詳解】解：∵a,bc,dac,bd，3,5m,n1,2

∴3m1,5n2

解得：m4，n3

故選：B．

4．（2024·廣西·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P的坐標為2,1，則點Q

的坐標為（）

A．3,0B．0,2C．3,2D．1,2

【答案】C

【分析】本題主要考查點的坐標，理解點的坐標意義是關鍵．根據點P的坐標可得出橫、縱軸上一格代表

一個單位長度，然后觀察坐標系即可得出答案．

【詳解】解：∵點P的坐標為2,1，

∴點Q的坐標為3,2，

故選：C．

5．（2024·四川廣元·中考真題）如果單項式x2my3與單項式2x4y2n的和仍是一個單項式，則在平面直角坐

標系中點m,n在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【分析】本題主要考查同類項和確定點的坐標，根據同類項的性質求出m,n的值，再確定點m,n的位置

即可

【詳解】解：∵單項式x2my3與單項式2x4y2n的和仍是一個單項式，

∴單項式x2my3與單項式2x4y2n是同類項，

∴2m4,2n3，

解得，m2,n1，

∴點m,n在第四象限，

故選：D

6．（2024·四川廣安·中考真題）向如圖所示的空容器內勻速注水，從水剛接觸底部時開始計時，直至把容

器注滿．在注水過程中，設容器內底部所受水的壓強為y（單位：帕），時間為x（單位：秒），則y關于x

的函數圖象大致為（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】此題主要考查了函數圖象．由于壓強與水面的高度成正比，而上下兩個容器粗細不同，那么水面

高度h隨時間x變化而分兩個階段．

【詳解】解：最下面的容器較粗，那么第一個階段的函數圖象水面高度h隨時間x的增大而增長緩慢，用

時較長，即壓強y隨時間x的增大而增長緩慢，用時較長，

最上面容器最小，則壓強y隨時間x的增大而增長變快，用時最短．

故選：B．

7．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進士黃伯思設計．全

套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等．七張桌面分開可

組合成不同的圖形．如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設每張桌面的寬為x尺，

長桌的長為y尺，則y與x的關系可以表示為（）

A．y3xB．y4xC．y=3x+1D．y4x1

【答案】B

【分析】本題主要考查了列函數關系式，觀察可知，小桌的長是小桌寬的兩倍，則小桌的長是2x，再根據

長桌的長等于小桌的長加上2倍的小桌的寬列出對應的函數關系式即可．

【詳解】解：由題意可得，小桌的長是小桌寬的兩倍，則小桌的長是2x，

∴yxx2x4x，

故選：B．

8．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC各頂點的坐標分別是O0,0，

A1,2，B3,3，C5,0，則四邊形OABC的面積為（）

A．14B．11C．10D．9

【答案】D

【分析】本題考查了坐標與圖形，過A作AMOC于M，過B作BNOC于N，根據A、B、C的坐標可

求出OM，AM，MN，BN，CN，然后根據S四邊形OABCSAOMS梯形AMNBSBCN求解即可．

【詳解】解∶過A作AMOC于M，過B作BNOC于N，

∵O0,0，A1,2，B3,3，C5,0，

∴OM1，AM2，ONBN3，CO5，

∴MNONOM2，CNOCON2，

∴四邊形OABC的面積為SAOMS梯形AMNBSBCN

111

1223232

222

9，

故選：D．

9．（2024·廣西·中考真題）激光測距儀L發出的激光束以3105kms的速度射向目標M，ts后測距儀L收

到M反射回的激光束．則L到M的距離dkm與時間ts的關系式為（）

3105

A．dtB．d3105tC．d23105tD．d3106t

2

【答案】A

【分析】本題考查列函數關系式，熟練掌握路程＝速度×時間是解題的關鍵．根據路程＝速度×時間列式即

可．

13105

【詳解】解：d3105tt，

22

故選：A．

10．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，一個圓柱體水槽底部疊放兩個底面半徑不等的實心圓柱體，向水槽

勻速注水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時間t的函數關系的是（）

A．B．C．

D．

【答案】D

【分析】本題考查了函數圖象；根據題意，分3段分析，即可求解．

【詳解】解：下層圓柱底面半徑大，水面上升塊，上層圓柱底面半徑稍小，水面上升稍慢，再往上則水面

上升更慢，

所以對應圖象是第一段比較陡，第二段比第一段緩，第三段比第二段緩．

故選：D．

11．（2024·青海·中考真題）化學實驗小組查閱資料了解到：某種絮凝劑溶于水后能夠吸附水中懸浮物并發

生沉降，從而達到凈水的目的．實驗得出加入絮凝劑的體積與凈水率之間的關系如圖所示，下列說法正確

的是（）

A．加入絮凝劑的體積越大，凈水率越高

B．未加入絮凝劑時，凈水率為0

C．絮凝劑的體積每增加0.1mL，凈水率的增加量相等

D．加入絮凝劑的體積是0.2mL時，凈水率達到76.54%

【答案】D

【分析】本題考查從圖像上獲取信息，能從圖像上獲得信息是解題的關鍵，根據圖像信息對選項進行判斷

即可

【詳解】A、從圖像上可以看到，加入絮凝劑的體積在0.5mL達到最大凈水率，之后凈水率開始降低，不

符合題意，選項錯誤；

B、未加入絮凝劑時，凈水率為12.48%，故不符合題意，選項錯誤；

C、當絮凝劑的體積為0.3mL時，凈水率增加量為84.60%76.54%8.06%，絮凝劑的體積為0.4mL時，

凈水率增加量為86.02%84.60%1.42%；故絮凝劑的體積每增加0.1mL，凈水率的增加量不相等，不符合

題意，選項錯誤；

D、根據圖像可得，加入絮凝劑的體積是0.2mL時，凈水率達到76.54%，符合題意，選項正確；

故選：D

12．（2024·湖南·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，對于點Px,y，若x，y均為整數，則稱點P為“整

y

點”．特別地，當（其中xy0）的值為整數時，稱“整點”P為“超整點”，已知點P2a4,a3在第二

x

象限，下列說法正確的是（）

A．a3B．若點P為“整點”，則點P的個數為3個

C．若點P為“超整點”，則點P的個數為1個D．若點P為“超整點”，則點P到兩坐標軸的距離之和

大于10

【答案】C

【分析】本題考查了新定義，點到坐標軸的距離，各象限內點的特征等知識，利用各象限內點的特征求出

a的取值范圍，即可判斷選項A，利用“整點”定義即可判斷選項B，利用“超整點”定義即可判斷選項C，利

用“超整點”和點到坐標軸的距離即可判斷選項D．

【詳解】解：∵點P2a4,a3在第二象限，

2a40

∴，

a30

∴3a2，故選項A錯誤；

∵點P2a4,a3為“整點”，3a2，

∴整數a為2，1，0，1，

∴點P的個數為4個，故選項B錯誤；

∴“整點”P為8,1，6,2，4,3，2,4，

1121334

∵，，，2

8863442

∴“超整點”P為2,4，故選項C正確；

∵點P2a4,a3為“超整點”，

∴點P坐標為2,4，

∴點P到兩坐標軸的距離之和246，故選項D錯誤，

故選：C．

13．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，小好同學用計算機軟件繪制函數yx33x23x1的圖象，發現它

關于點1,0中心對稱．若點A10.1,y1，A20.2,y2，A30.3,y3，……，A191.9,y19，A202,y20都在函

數圖象上，這20個點的橫坐標從0.1開始依次增加0.1，則y1y2y3y19y20的值是（）

A．1B．0.729C．0D．1

【答案】D

【分析】本題是坐標規律題，求函數值，中心對稱的性質，根據題意得出y1y2y3y9y11y190，

進而轉化為求y10y20，根據題意可得y100，y201，即可求解．

【詳解】解：∵這20個點的橫坐標從0.1開始依次增加0.1，

0.11.90.21.80.91.1

∴1，

222

∴y1y2y3y9y11y190，

∴y1y2y3y19y20y10y20，而A101,0即y100，

∵yx33x23x1，

當x0時，y1，即0,1，

∵0,1關于點1,0中心對稱的點為2,1，

即當x2時，y201，

∴y1y2y3y19y20y10y20011，

故選：D．

14．（2024·山東威海·中考真題）同一條公路連接A，B，C三地，B地在A，C兩地之間．甲、乙兩車分

別從A地、B地同時出發前往C地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時間，繼續行駛．下圖表

示甲、乙兩車之間的距離y（km）與時間x（h）的函數關系．下列結論正確的是（）

8

A．甲車行駛h與乙車相遇B．A，C兩地相距220km

3

C．甲車的速度是70km/hD．乙車中途休息36分鐘

【答案】A

【分析】本題考查了函數圖象，根據函數圖象結合選項，逐項分析判斷，即可求解．

【詳解】解：根據函數圖象可得AB兩地之間的距離為402020（km）

兩車行駛了4小時，同時到達C地，

如圖所示，在12小時時，兩車同向運動，在第2小時，即點D時，兩車距離發生改變，此時乙車休息，

E點的意義是兩車相遇，F點意義是乙車休息后再出發，

∴乙車休息了1小時，故D不正確，

設甲車的速度為akm/h，乙車的速度為bkm/h，

根據題意，乙車休息后兩車同時到達C地，則甲車的速度比乙車的速度慢，ab

∵2b202a40

即ba10

4020

在DEEF時，乙車不動，則甲車的速度是60km/h，

1

∴乙車速度為601070km/h，故C不正確，

∴AC的距離為460240千米，故B不正確，

設x小時兩輛車相遇，依題意得，60x27020

88

解得：x即小時時，兩車相遇，故A正確

33

故選：A．

15．（2024·四川涼山·中考真題）勻速地向如圖所示的容器內注水，直到把容器注滿．在注水過程中，容器

內水面高度h隨時間t變化的大致圖象是（）

A．B．C．

D．

【答案】C

【分析】本題考查了函數圖象，根據容器最下面圓柱底面積最小，中間圓柱底面積最大，最上面圓柱底面

積最較大即可判斷求解，正確識圖是解題的關鍵．

【詳解】解：由容器可知，最下面圓柱底面積最小，中間圓柱底面積最大，最上面圓柱底面積最較大，所

以一開始水面高度h上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快點，

故選：C．

16．（2024·河南·中考真題）把多個用電器連接在同一個插線板上，同時使用一段時間后，插線板的電源線

會明顯發熱，存在安全隱患．數學興趣小組對這種現象進行研究，得到時長一定時，插線板電源線中的電

流I與使用電器的總功率P的函數圖象（如圖1），插線板電源線產生的熱量Q與I的函數圖象（如圖2）．下

列結論中錯誤的是（）

A．當P440W時，I2AB．Q隨I的增大而增大

C．I每增加1A，Q的增加量相同D．P越大，插線板電源線產生的熱量Q越多

【答案】C

【分析】本題考查了函數的圖象，準確從圖中獲取信息，并逐項判定即可．

【詳解】解∶根據圖1知：當P440W時，I2A，故選項A正確，但不符合題意；

根據圖2知：Q隨I的增大而增大，故選項B正確，但不符合題意；

根據圖2知：Q隨I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故選項C錯誤，符合

題意；

根據圖1知：I隨P的增大而增大，又Q隨I的增大而增大，則P越大，插線板電源線產生的熱量Q越多，

故選項D正確，但不符合題意；

故選：C．

17．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）已知某同學家、體育場、圖書館在同一條直線上．下面的圖象反映

的過程是：該同學從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又步行回家吃早餐，飯后騎自行車到圖書館．圖

中用x表示時間，y表示該同學離家的距離．結合圖象給出下列結論：

（1）體育場離該同學家2.5千米；

（2）該同學在體育場鍛煉了15分鐘；

（3）該同學跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；

（4）若該同學騎行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，則a的值是3.75；

其中正確結論的個數是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】本題考查利用函數圖像解決實際問題，正確的讀懂圖像給出的信息是解題的關鍵．利用圖象信息

解決問題即可．

【詳解】解：由圖象可知：體育場離該同學家2.5千米，故（1）正確；

該同學在體育場鍛煉了301515（分鐘），故（2）正確；

11

該同學的跑步速度為2.515（千米/分鐘），步行速度為2.56530（千米/分鐘），則跑步速度是

64

117

步行速度的倍，故（3）錯誤；

6143

11

若該同學騎行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，則該同學騎行的平均速度為1.5（千米/分鐘），

64

1

所以a103883.75，故（4）正確，

4

故選：C．

3

18．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）點Px,y在直線yx4上，坐標x,y是二元一次方程

4

5x6y33的解，則點P的位置在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

3

yx4

【分析】本題考查了一次函數圖象上點的特征，解二元一次方程組等知識，聯立方程組4，求

5x6y33

出點P的坐標即可判斷．

3

yx4

【詳解】解∶聯立方程組4，

5x6y33

x6

解得1，

y

2

1

∴P的坐標為6,，

2

∴點P在第四象限，

故選∶D．

19．（2024·河北·中考真題）平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數，且橫、縱坐標之和大于0的

點稱為“和點”．將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數（當余數

為0時，向右平移；當余數為1時，向上平移；當余數為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．

例：“和點”P2,1按上述規則連續平移3次后，到達點P32,2，其平移過程如下：

若“和點”Q按上述規則連續平移16次后，到達點Q161,9，則點Q的坐標為（）

A．6,1或7,1B．15,7或8,0C．6,0或8,0D．5,1或7,1

【答案】D

【分析】本題考查了坐標內點的平移運動，熟練掌握知識點，利用反向運動理解是解決本題的關鍵．

先找出規律若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向

左，向上、向左不斷重復的規律平移，按照Q16的反向運動理解去分類討論：①Q16先向右1個單位，不符

合題意；②Q16先向下1個單位，再向右平移，當平移到第15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7

次，此時坐標為6,1，那么最后一次若向右平移則為7,1，若向左平移則為5,1．

【詳解】解：由點P32,2可知橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1，繼而向上平移1個單位得到P42,3，

此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為2，繼而向左平移1個單位得到P41,3，此時橫、縱坐標之和除

以3所得的余數為1，又要向上平移1個單位，因此發現規律為若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得

的余數為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復的規律平移，

若“和點”Q按上述規則連續平移16次后，到達點Q161,9，則按照“和點”Q16反向運動16次求點Q坐標

理解，可以分為兩種情況：

①Q16先向右1個單位得到Q150,9，此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為0，應該是Q15向右平移1

個單位得到Q16，故矛盾，不成立；

②Q16先向下1個單位得到Q151,8，此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數為1，則應該向上平移1個

單位得到Q16，故符合題意，那么點Q16先向下平移，再向右平移，當平移到第15次時，共計向下平移了8

次，向右平移了7次，此時坐標為17,98，即6,1，那么最后一次若向右平移則為7,1，若向左平

移則為5,1，

故選：D．

二、填空題

20．（2024·湖北·中考真題）鐵的密度約為7.9kg/cm3，鐵的質量mkg與體積Vcm3成正比例．一個體

積為10cm3的鐵塊，它的質量為kg．

【答案】79

【分析】本題考查了正比例函數的應用．根據鐵的質量mkg與體積Vcm3成正比例，列式計算即可求

解．

【詳解】解：∵鐵的質量mkg與體積Vcm3成正比例，

∴m關于V的函數解析式為m7.9V，

當V10時，m7.91079kg，

故答案為：79．

21．（2024·山東·中考真題）任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除

以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次運算后，必進入循環圈1→4→2→1，這就是“冰雹猜想”．在平

面直角坐標系xOy中，將點x,y中的x，y分別按照“冰雹猜想”同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標，

其中x，y均為正整數．例如，點6,3經過第1次運算得到點3,10，經過第2次運算得到點10,5，以

此類推．則點1,4經過2024次運算后得到點．

【答案】2,1

【分析】本題考查了新定義，點的規律，根據新定義依次計算出各點的坐標，然后找出規律，最后應用規

律求解即可．

【詳解】解：點1,4經過1次運算后得到點為131,42，即為4,2，

經過2次運算后得到點為42,21，即為2,1，

經過3次運算后得到點為22,131，即為1,4，

……，

發現規律：點1,4經過3次運算后還是1,4，

∵202436742，

∴點1,4經過2024次運算后得到點2,1，

故答案為：2,1．

三、解答題

22．（2024·浙江·中考真題）小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗

跑步時中間休息了兩次．跑步機上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相

關信息如表所示，跑步累計里程s（米）與小明跑步時間t（分）的函數關系如圖所示．

時間里程分段速度檔跑步里程

小明16:00~16:50不分段A檔4000米

第一段B檔1800米

第一次休息

小麗16:10~16:50第二段B檔1200米

第二次休息

第三段C檔1600米

(1)求A，B，C各檔速度（單位：米/分）；

(2)求小麗兩次休息時間的總和（單位：分）；

(3)小麗第二次休息后，在a分鐘時兩人跑步累計里程相等，求a的值．

【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分

(2)5分

(3)42.5

【分析】此題考查函數圖象獲取信息，一元一次方程的應用，讀懂圖象中的數據是解本題的關鍵．

（1）由小明的跑步里程及時間可得A檔速度，再根據C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分可得

B，C檔速度；

（2）結合圖象求出小麗每段跑步所用時間，再根據總時間即可求解；

（3）由題意可得，此時小麗在跑第三段，所跑時間為a1015105a40（分），可得方程

80a3000160a40，求解即可．

【詳解】（1）解：由題意可知，A檔速度為40005080米/分，

則B檔速度為8040120米/分，C檔速度為12040160米/分；

（2）小麗第一段跑步時間為180012015分，

小麗第二段跑步時間為3000180012010分，

小麗第三段跑步時間為4600300016010分，

則小麗兩次休息時間的總和501015