專題05一次方程（組）及其應用（11題）

一、單選題

1．（2024·遼寧·中考真題）我國古代數學著作《孫子算經》中有“雉兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三

十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”其大意是：雞兔同籠，共有35個頭，94條腿，問雞兔各多少只？

設雞有x只，兔有y只，根據題意可列方程組為（）

xy94xy94xy35xy35

A．B．C．D．

4x2y352x4y354x2y942x4y94

【答案】D

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，找出等量關系是解題關鍵．設雞有x只，兔有y只，根據“雞

兔同籠，共有35個頭，94條腿”列二元一次方程組即可．

【詳解】解：設雞有x只，兔有y只，

xy35

由題意得：，

2x4y94

故選：D．

2．（2024·甘肅蘭州·中考真題）數學家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國元代重要的數學著作之一，書中

記載著這樣一個問題，大意是：999文錢買了周果和苦果共1000個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7

個苦果，問甜果，苦果各買了多少個？設買了甜果x個，苦果y個，則可列方程組為（）

xy1000xy1000xy1000

A．114B．114C．411

xy999xy999xy999

979779

xy999

D．411

xy1000

79

【答案】A

【分析】本題考查根據實際問題列二元一次方程組，根據999文錢買了周果和苦果共1000個，11文錢可

買9個甜果，4文錢可買7個苦果，列出方程組即可．

【詳解】解：設買了甜果x個，苦果y個，由題意，得：

xy1000

114；

xy999

97

故選A．

3．（2024·山東泰安·中考真題）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容如下：九百九十九

文錢，甜果苦果買一千，…，…，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設買甜果x個，買苦果y個，列

xy1000

出符合題意的二元一次方程組：114．根據已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應為

xy999

97

（）

A．甜果九個十一文，苦果七個四文錢B．甜果七個四文錢，苦果九個十一文

C．甜果十一個九文，苦果四個七文錢D．甜果四個七文錢，苦果十一個九文

【答案】A

xy1000

【分析】根據114可得甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，

xy999

97

xy1000

【詳解】解：根據114，可得甜果九個十一文，苦果七個四文錢，

xy999

97

故選A

【點睛】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，根據方程組找出等量

關系．

二、填空題

4．（2024·吉林·中考真題）圖①中有一首古算詩，根據詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度，

其示意圖如圖②，其中ABAB，ABBC于點C，BC0.5尺，BC2尺．設AC的長度為x尺，可

列方程為．

2

【答案】x222x0.5

【分析】本題考查了勾股定理的實際應用，正確理解題意，運用勾股定理建立方程是解題的關鍵．

設AC的長度為x尺，則ABABx0.5，在Rt△ABC中，由勾股定理即可建立方程．

【詳解】解：設AC的長度為x尺，則ABABx0.5，

∵ABBC，

由勾股定理得：AC2BC2AB2，

2

∴x222x0.5，

2

故答案為：x222x0.5．

三、解答題

5．（2024·江蘇常州·中考真題）解方程組和不等式組：

xy0

(1)

3xy4

3x60

(2)x1

x

2

x1

【答案】(1)

y1

(2)1x2

【分析】本題考查解方程組和一元一次不等式組：

（1）加減法解方程組即可；

（2）先求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集．

xy0①

【詳解】（1）解：

3xy4②

①②，得：4x4，解得：x1；

把x1代入①，得：1y0，解得：y1；

x1

∴方程組的解為：．

y1

3x60①

（2）解：x1，

x②

2

由①，得：x2；

由②，得：x1；

∴不等式組的解集為：1x2．

6．（2024·遼寧·中考真題）甲、乙兩個水池注滿水，蓄水量均為36m3、工作期間需同時排水，乙池的排水

速度是8m3/h．若排水3h，則甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．

(1)求甲池的排水速度．

(2)工作期間，如果這兩個水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水幾小時？

【答案】(1)4m3/h

(2)4小時

【分析】本題考查了列一元一次方程解應用題，一元一次不等式的應用，熟練掌握知識點，正確理解題意

是解題的關鍵．

（1）設甲池的排水速度為xm3/h，由題意得，363x23683，解方程即可；

（2）設排水a小時，則36248a24，再解不等式即可．

【詳解】（1）解：設甲池的排水速度為xm3/h，

由題意得，363x23683，

解得：x4，

答：甲池的排水速度為4m3/h；

（2）解：設排水a小時，

則36248a24，

解得：a4，

答：最多可以排4小時．

7．（2024·四川資陽·中考真題）2024年巴黎奧運會將于7月26日至8月11日舉行，某經銷店調查發現：

與吉祥物相關的A，B兩款紀念品深受青少年喜愛．已知購進3個A款比購進2個B款多用120元；購進

1個A款和2個B款共用200元．

(1)分別求出A，B兩款紀念品的進貨單價；

(2)該商店決定購進這兩款紀念品共70個，其總費用不超過5000元，則至少應購買B款紀念品多少個？

【答案】(1)A款紀念品的進貨單價為80元，則B款紀念品的進貨單價為60元

(2)至少應購買B款紀念品30個

【分析】本題考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用，（1）設A款紀念品的進貨單價為x元，

則B款紀念品的進貨單價為y元，根據題意列二元一次方程組求解即可；

（2）設購買B款紀念品a個，則購買A款紀念品70a個，根據題意列一元一次不等式求得a的取值范

圍，即可求解．

【詳解】（1）解：設A款紀念品的進貨單價為x元，則B款紀念品的進貨單價為y元，

3x2y120

由題意得，，

x2y200

x80

解得，

y60

答：A款紀念品的進貨單價為80元，則B款紀念品的進貨單價為60元．

（2）解：設購買B款紀念品a個，則購買A款紀念品70a個，

由題意得，8070a60a5000，

解得，a30，

答：至少應購買B款紀念品30個．

8．（2024·湖南長沙·中考真題）刺繡是我國民間傳統手工藝．湘繡作為中國四大刺繡之一，聞名中外，在

巴黎奧運會倒計時50天之際，某國際旅游公司計劃購買A、B兩種奧運主題的湘繡作品作為紀念品．已知

購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品

共需要1200元．

(1)求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價分別為多少元？

(2)該國際旅游公司計劃購買A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件，總費用不超過50000元，那么最多能

購買A種湘繡作品多少件？

【答案】(1)A種湘繡作品的單價為300元，B種湘繡作品的單價為200元

(2)最多能購買100件A種湘繡作品

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用．

（1）設A種湘繡作品的單價為x元，B種湘繡作品的單價為y元，根據“購買1件A種湘繡作品與2件B

種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元”，即可得出關于x，

y的二元一次方程組，解之即可解題；

（2）設購買A種湘繡作品a件，則購買B種湘繡作品200a件，總費用單價數量，結合總費用不超

過50000元，即可得出關于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整數值即可得出

該校最大可以購買湘繡的數量．

【詳解】（1）設A種湘繡作品的單價為x元，B種湘繡作品的單價為y元．

根據題意，得

x2y700

，

2x3y1200

x300,

解得

y200．

答：A種湘繡作品的單價為300元，B種湘繡作品的單價為200元．

（2）設購買A種湘繡作品a件，則購買B種湘繡作品200a件．

根據題意，得300a200200a50000，

解得a100．

答：最多能購買100件A種湘繡作品．

9．（2024·四川瀘州·中考真題）某商場購進A，B兩種商品，已知購進3件A商品比購進4件B商品費用

多60元；購進5件A商品和2件B商品總費用為620元．

(1)求A，B兩種商品每件進價各為多少元？

(2)該商場計劃購進A，B兩種商品共60件，且購進B商品的件數不少于A商品件數的2倍．若A商品按

每件150元銷售，B商品按每件80元銷售，為滿足銷售完A，B兩種商品后獲得的總利潤不低于1770元，

則購進A商品的件數最多為多少？

【答案】(1)A，B兩種商品每件進價各為100元，60元；

(2)購進A商品的件數最多為20件

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，一元一次不等式組的實際應用：

（1）設A，B兩種商品每件進價各為x元，y元，根據購進3件A商品比購進4件B商品費用多60元；

購進5件A商品和2件B商品總費用為620元列出方程組求解即可；

（2）設購進A商品的件數為m件，則購進B商品的件數為60m件，根據利潤不低于1770元且購進B

商品的件數不少于A商品件數的2倍列出不等式組求解即可．

【詳解】（1）解：設A，B兩種商品每件進價各為x元，y元，

3x4y60

由題意得，，

5x2y620

x100

解得，

y60

答：A，B兩種商品每件進價各為100元，60元；

（2）解：設購進A商品的件數為m件，則購進B商品的件數為60m件，

150100m806060m1770

由題意得，，

60m2m

解得19m20，

∵m為整數，

∴m的最大值為20，

答：購進A商品的件數最多為20件．

10．（2024·吉林長春·中考真題）《九章算術》被歷代數學家尊為“算經之首”．下面是其卷中記載的關于“盈

不足”的一個問題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數、金價各幾何？這

段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余100錢．合伙

人數、金價各是多少？請解決上述問題．

【答案】共33人合伙買金，金價為9800錢

【分析】設共x人合伙買金，金價為y錢，根據“每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余

100錢”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．

【詳解】解：設共x人合伙買金，金價為y錢，

400x3400y

依題意得：，

300x100y

x33

解得：．

y9800

答：共33人合伙買金，金價為9800錢．

【點睛】本題考查了二元-次方程組的應用以及數學常識，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題

的關鍵．

11．（2024·浙江·中考真題）小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑

步時中間休息了兩次．跑步機上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關

信息如表所示，跑步累計里程s（米）與小明跑步時間t（分）的函數關系如圖所示．

時間里程分段速度檔跑步里程

小明16:00~16:50不分段A檔4000米

第一段B檔1800米

第一次休息

小麗16:10~16:50

第二段B檔12