試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁浙江省高考科目考試紹興市適應性試卷數學試題（2025年4月）一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．已知向量滿足，，且的夾角為，則（

）A． B．3 C． D．74．直線被圓截得的弦長為（

）A．2 B．4 C． D．5．將函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象，則可以是（

）A． B． C． D．6．已知函數，則（

）A．當時，是偶函數，且在區間上單調遞增B．當時，是奇函數，且在區間上單調遞減C．當時，是偶函數，且在區間上單調遞減D．當時，是奇函數，且在區間上單調遞增7．已知雙曲線的左焦點為，點在的右支上，且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．10 D．148．已知的兩個內角都是關于的方程的解，其中，則（

）A． B． C． D．二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．在某校文藝匯演中，六位評委對某小品節目進行打分，得到一組分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.5，若去掉一個最高分和一個最低分，則（

）A．這組分值的極差變小B．這組分值的均值變大C．這組分值的方差變小D．這組分值的第75百分位數不變10．已知函數，則（

）A．在區間內存在零點B．0是的極小值點C．在區間內存在極大值D．在區間上單調遞減11．已知數列滿足，則（

）A．數列為遞增數列B．C．D．三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．記的內角的對邊分別為，若，則.13．已知偶函數的定義域為，且，則的值域為.14．設點在“笑口”型曲線上，則的最小值為.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．已知函數.(1)求的單調區間；(2)記的兩個零點分別為，求曲線在點處的切線方程.16．已知數列滿足(1)記，求，并證明數列是等比數列；(2)記，求滿足的所有正整數的值.17．已知橢圓的焦距為2，且過點.(1)求的方程；(2)設為的左、右頂點，在過點且垂直于軸的直線上任取一點，過作的切線，切點為（異于），作，垂足為.記和的面積分別為，求的值.18．如圖，在四面體中，，記二面角為分別為的中點.(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值；(3)設在四面體內有一個半徑為的球，若，求證：.19．某科技公司招聘技術崗位人員一名.經初選，現有來自國內三所高校的10名應屆畢業生進入后面試環節.其中校和校各4名，校2名，10名面試者隨機抽取1，2，3，...10號的面試序號.(1)若來自校的4名畢業生的面試序號分別為，且，來自校的4名畢業生的面試序號分別為，且，來自校的2名畢業生的面試序號分別為，，且.（i）求概率；（ii）記隨機變量，求的均值.(2)經面試，第位面試者的面試得分為，且他們的面試得分各不相等，公司最終錄用得分最高者.為提高今后面試效率，現人事部門設計了以下面試錄用新規則：，且，集合中的最小元素為，最終錄用第位面試者.如果以新規則面試這10名畢業生，證明：面試得分第一?二（按得分從高到低排）的兩名畢業生之一被錄用的概率不小于0.59.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】利用交集概念進行求解.【詳解】.故選：A2．B【分析】根據復數的除法運算求解.【詳解】.故選：B.3．C【分析】首先根據數量積的定義求出，再由及數量積的運算律計算可得.【詳解】因為，，且的夾角為，所以，所以.故選：C4．B【分析】首先得到圓心坐標與半徑，即可求出圓心到直線的距離，再由勾股定理計算可得.【詳解】圓的圓心為，半徑，又圓心到直線的距離，所以弦長為.故選：B5．A【分析】先化簡，再得到平移后的解析式，即可得到，，逐個檢驗即可得出答案.【詳解】因為，將函數的圖象向左平移個單位后得到函數，所以，則，，，，當時，，時，，故選：A.6．D【分析】根據函數奇偶性和單調性的判斷方法，針對不同的取值，對函數進行分析，即可判斷和選擇.【詳解】對AB：當時，，其定義域為，，故為偶函數；又，當時，令，因為在單調遞增，在單調遞增，故在單調遞增，故在單調遞減，故AB都錯誤；對CD：當時，，其定義域為，，故為奇函數；又，當時，均為減函數，故為上的減函數，故為上的增函數，故C錯誤，D正確.故選：D.7．C【分析】根據雙曲線的定義，將與進行轉化，再結合三角形三邊關系求出的最小值．【詳解】對于雙曲線，根據雙曲線的標準方程（），可得，．則．設雙曲線的右焦點為，由雙曲線的定義可知，點在雙曲線的右支上，則，即；同理，點在雙曲線的右支上，則，即．所以．根據三角形三邊關系，，當且僅當，，三點共線時，等號成立．又，則，即．所以的最小值為10．故選：C．8．B【分析】將方程轉化為關于的一元二次方程，利用根與系數關系得到和的表達式，通過三角恒等式求出，進而求出得解.【詳解】方程變形為，由題，是方程的兩根，則，，又，又，所以，，又，則，，.故選：B.9．AC【分析】對A，根據極差的定義求解判斷；對B，計算前后兩組數據的均值判斷；對C，利用方差的公式計算判斷；對D，根據百分位數的定義計算判斷.【詳解】對于A，原來6個數據的極差為，去掉一個最高分和一個最低分后這組數據的極差為，極差變小了，故A正確；對于B，原來6個數據的均值為，后來這4個數據的均值為，所以均值不變，故B錯誤；對于C，原來6個數據的方差為，后來這4個數據的方差為，所以這組分值的方差變小，故C正確；對于D，因為，所以原來6個數據的第75百分位數為，又，所以后來這4個數據的第75百分位數為，故D錯誤.故選：AC.10．BCD【分析】對于選項A：令，得到零點，看區間內有無這些零點，沒有則不存在零點．對于選項B：在附近，分析、、正負．時，時，所以是極小值點．對于選項C：對求導．在內，分析各項正負，判斷是否存在極大值．對于選項D：在上，分析正負，再分析各項正負，得，所以單調遞減．【詳解】函數，令，則或或．由，解得；由，解得，；由，即，解得．在區間內，不存在上述使的值，所以在區間內不存在零點，A選項錯誤．當在附近時，，在上單調遞增，且．當時，，，所以；當時，，在附近正負交替，但，所以是的極小值點，B選項正確．對求導，得：．當時，，，，．，且在內，隨著的變化，會先大于后小于，所以在區間內存在極大值，C選項正確．當時，，，，則．對分析，在上，，，，所以；，，，所以；，，，所以．即，所以在區間上單調遞減，D選項正確．故選：BCD．11．ACD【分析】對于A選項：構造函數，求導判斷其單調遞增．由算出，得．假設，可推出，再構造，求導判斷其單調性，得出，所以數列遞增．對于B選項：由A選項分析知，所以不存在使．對于C選項：要證，構造，多次求導判斷單調性，得出，從而證明不等式成立．對于D選項：由C，取倒數后構造數列，再用累加法求和計算證明即可.【詳解】設，對其求導可得．因為恒成立，所以在上單調遞增．已知，則，依次有，,，設，，對求導得．當時，，所以，在上單調遞減．則，即，所以為遞增數列，A選項正確．由上述分析可知，所以不存在，使得，B選項錯誤．要證，即證．設，，對求導得．令，求導得，當時，，所以在上單調遞減．則，所以在上單調遞增．所以，即，所以，，C選項正確.由選項C知，移項可得，兩邊同時乘以得.兩邊同時取倒數得，移項可得.因為，所以，即.利用累加法：.已知，則，所以，兩邊同時取倒數得，移項可得，選項D正確.故選：ACD.12．【分析】先由正弦定理可得，再由余弦定理可得，最后得到.【詳解】，由正弦定理可得，，又由余弦定理可得，，，.故答案為：.13．【分析】通過賦值法求得，以及的解析式，再求其值域即可.【詳解】對，令，則，解得；對，令，則，又為偶函數，，故，解得；又，故其值域為.故答案為：.14．##-0.125【分析】分和兩種情況去絕對值化簡，利用二次函數求最值即可【詳解】當時，，即，平方得，即，此時，.當時，，即，平方得，即，此時，綜上，的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查含絕對值的曲線方程，解題的關鍵是去絕對值，得到不含絕對值的曲線方程.本題中將獲得的新曲線方程代入，消元后可得到所求的最小值.15．(1)單調遞減區間為，單調遞增區間為(2)【分析】（1）求出函數的導數，再利用導數求出單調區間.（2）由（1）的信息，結合零點存在性定理確定的值，再利用導數的幾何意義求出切線方程.【詳解】（1）函數的定義域為，求導得，當時，；當時，，所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.（2）由（1）知，，因此函數有兩個零點，且，即，則所求切線的切點坐標為，斜率，切線方程為所以曲線在點處的切線方程為.16．(1)，證明見解析(2)【分析】（1）根據已知條件判斷數列的類型，再用等比數列定義證明即可；（2）先運用等比數列公式求，再求出的表達式，進而求出的表達式，最后根據其單調性確定滿足條件的正整數的取值．【詳解】（1）因為，所以.又因為所以數列是首項為5，公比為2的等比數列.（2）由（1）知，所以，所以，因為單調遞增，且，所以正整數的所有取值為.17．(1)(2)【分析】（1）先求出，代入，得到方程組，求出，得到答案；（2）設，直線的方程為，與橢圓方程聯立，根據相切，由根的判別式得到方程，求出，求出，，表達出直線的方程為，設與交于點，求出，所以，為中點，得到答案.【詳解】（1）由題意知，且過點，即，解得，所以的方程為.（2）設，直線的方程為，代入的方程得.因為直線與相切，所以，化簡得，所以，

所以，代入直線的方程得，設與交于點，又，直線的方程為，因為，代入直線的方程得，所以，所以為中點.因此點到直線的距離相等，所以.18．(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）取中點，連接，即可得到，從而得到平面，即可得證；（2）以為原點，分別為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；（3）設在平面內的射影為，即可得到點到平面的距離，即可求出四面體的體積，再求出四面體的表面積，即可求出四面體的內切球半徑，即可得證.【詳解】（1）取中點，連接，又分別為的中點，則，，因為，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）由（1）知是二面角的平面角，所以.如圖，以為原點，分別為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系，則，，所以，，，設平面的法向量為，則，即，可取，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）因為與的面積為，設在平面內的射影為，即平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以為二面角的平面角，所以點到平面的距離，因此四面體的體積為.又，平面，所以，所以到直線的距離等于，所以邊的高，所以的面積，注意到，因此的面積也為，所以四面體的表面積為，因此四面體的內切球半徑，所以，即.19．(1)（i）；（ii）(2)證明見解析【分析】（1）根據題意，直接求解即可；先求得的取值，再根據期望計算公式，直接計算即可；（2）分別計算錄用面試第一名，和第二名的概率，即可證明.【詳解】（1）（i），（ii）的可能取值為，則，所以（2）①第一種情況，錄用了面試得分第一的人.若面試得分第