第三章函數第12講二次函數圖像與性質（6~12分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一二次函數的相關概念考點二二次函數的圖象與性質考點三二次函數與各項系數之間的關系考點四二次函數與方程、不等式04題型精研·考向洞悉命題點一二次函數的相關概念?題型01判斷二次函數?題型02已知二次函數的概念求參數值命題點二二次函數的圖象與性質?題型01根據二次函數解析式判斷其性質?題型02將二次函數的一般式化為頂點式?題型03二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質?題型04二次函數的對稱性?題型05根據二次函數的性質求最值?題型06二次函數的平移變換問題命題點三二次函數與各項系數之間的關系?題型01根據二次函數圖象判斷式子符號?題型02二次函數圖象與各項系數符號?題型03二次函數、一次函數、反比例函數圖象綜合命題點四二次函數與方程、不等式?題型01求二次函數與坐標軸交點坐標?題型02拋物線與x軸交點問題?題型03根據二次函數圖象確定相應方程根的情況?題型04圖象法解一元二次不等式?題型05根據交點確定不等式的解集05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升0考點要求新課標要求考查頻次命題預測二次函數的相關概念通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義.10年6考二次函數作為初中三大函數中考點最多，出題最多，難度最大的函數，一直都是各地中考數學中最重要的考點，年年都會考查，總分值為15-20分，預計2024年各地中考還會考.而對于二次函數圖象和性質的考察，也主要集中在二次函數的圖象、圖象與系數的關系、與方程及不等式的關系、圖象上點的坐標特征等幾大方面.題型變化較多，考生復習時需要熟練掌握相關知識，熟悉相關題型，認真對待該考點的復習.二次函數的圖象與性質能畫二次函數的圖象，通過圖象了解二次函數的性質，知道二次函數系數與圖象形狀和對稱軸的關系.會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值，能解決相應的實際問題.近10年連續考查二次函數與各項系數的關系理解二次函數與各項系數的關系.10年8考二次函數與方程、不等式知道二次函數和一元二次方程之間的關系，會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解.10年考考點一二次函數的相關概念二次函數的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數.其中，x是自變量，a、b、c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.二次函數的結構特征：1）函數關系式是整式；2）自變量的最高次數是2；3）二次項系數a≠0，而QUOTEb，c可以為零.根據實際問題列二次函數關系式的方法：1）先找出題目中有關兩個變量之間的等量關系；2）然后用題設的變量或數值表示這個等量關系；3）列出相應二次函數的關系式.二次函數的常見表達式：名稱解析式前提條件一般式y=ax2+bx+c(a≠0)當已知拋物線上的無規律的三個點的坐標時,常用一般式求其表達式.頂點式y＝a(x–h)2＋k（a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）當已知拋物線的頂點坐標(或者是對稱軸)時，常用頂點式求其表達式.交點式y＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，若題目已知拋物線與x軸兩交點坐標時，常用交點式求其表達式.相互聯系1）以上三種表達式是二次函數的常見表達式，它們之間可以互相轉化.2)一般式化為頂點式、交點式，主要運用配方法、因式分解等方法.求二次函數解析式的一般方法：1）一般式y=ax2+bx+c.代入三個點的坐標列出關于a,b,c的方程組，并求出a,b,c，就可以寫出二次函數的解析式.2）頂點式y=a(x-h)2+k.根據頂坐標點（h,k)，可設頂點式y=a(x-h)2+k,再將另一點的坐標代入，即可求出a的值，從而寫出二次函數的解析式.3）交點式y=a(x-x1)(x-x2).當拋物線與x軸的兩個交點為(x1,0)、(x2,0)時，可設y=a(x-x1)(x-x2)，再將另一點的坐標代入即可求出a的值，從而寫出二次函數的解析式.考點二二次函數的圖象與性質一、二次函數的圖象與性質圖象特征二次函數的圖象是一條關于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.基本形式y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c圖象a>0a<0對稱軸y軸y軸x=hx=hx=頂點坐標(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(，)最值a>0開口向上，頂點是最低點，此時y有最小值；a<0開口向下，頂點是最高點，此時y有最大值.【小結】二次函數最小值(或最大值)為0（k或）.增

減

性a>0在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大.a<0在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小.二、二次函數的圖象變換1）二次函數的平移變換平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c頂點式y＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減2）二次函數圖象的翻折與旋轉變換前變換方式變換后口訣y=a(x-h)2+k繞頂點旋轉180°y=-a(x-h)2+ka變號，h、k均不變繞原點旋轉180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號沿x軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號三、二次函數的對稱性問題拋物線的對稱性的應用，主要體現在：1）求一個點關于對稱軸對稱的點的坐標；2）已知拋物線上兩個點關于對稱軸對稱，求其對稱軸.解此類題的主要根據：若拋物線上兩個關于對稱軸對稱的點的坐標分別為(x1，y)，(x2，y)，則拋物線的對稱軸可表示為直線x=.解題技巧：1.拋物線上兩點若關于直線，則這兩點的縱坐標相同，橫坐標與x=的差的絕對值相等；2若二次函數與x軸有兩個交點，則這兩個交點關于直線x=對稱；3二次函數y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關于y軸對稱；二次函數y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的圖象于x軸對稱.四、二次函數的最值問題自變量取值范圍圖象最大值最小值全體實數a>0當x=時，二次函數取得最小值a<0當x=時，二次函數取得最大值x1≤x≤x2a>0當x=x2時，二次函數取得最大值y2當x=時，二次函數取得最小值當x=x1時，二次函數取得最大值y1當x=時，二次函數取得最小值當x=x2時，二次函數取得最大值y2當x=x1時，二次函數取得最小值y1備注：自變量的取值為x1≤x≤x2時，且二次項系數a<0的最值情況請自行推導.考點三二次函數與各項系數之間的關系一、二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與a，b，c的關系符號圖象特征備注aa>0開口向上a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小(|a|越大，拋物線的開口小)．a<0開口向下bb=0坐標軸是y軸ab>0(a，b同號)對稱軸在y軸左側左同右異ab<0((a，b異號))對稱軸在y軸右側cc=0圖象過原點c決定了拋物線與y軸交點的位置．c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負半軸相交二、二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常見結論自變量x的值函數值圖象上對應點的位置結論-24a-2b+cx軸的上方4a-2b+c>0x軸上4a-2b+c=0x軸的下方4a-2b+c<0-1a-b+cx軸的上方a-b+c>0x軸上a-b+c=0x軸的下方a-b+c<01a+b+cx軸的上方a+b+c>0x軸上a+b+c=0x軸的下方a+b+c<024a+2b+cx軸的上方4a+2b+c>0x軸上4a+2b+c=0x軸的下方4a+2b+c<0考點四二次函數與方程、不等式一、二次函數與一元二次方程的關系二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0），當y=0時，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標.因此，二次函數圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.與x軸交點個數一元二次方程ax2+bx+c=0的根判別式Δ=b2-4ac2個交點有兩個不相等的實數根b2-4ac>01個交點有一個不相等的實數根b2-4ac=00個交點沒有實數根b2-4ac<0二次函數與不等式的關系:b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0圖象與x軸交點2個交點1個交點0個交點ax2＋bx＋c>0的解集情況x<x1或x>x2x≠取任意實數ax2＋bx＋c<0的解集情況x1<x<x2無解無解命題點一二次函數的相關概念?題型01判斷二次函數1．（2025·上海嘉定·一模）下列關于的函數中，一定是二次函數的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查二次函數的識別，根據形如，這樣的函數叫做二次函數，進行判斷即可．【詳解】解：A、當時，不是二次函數，不符合題意；B、，不是二次函數，不符合題意；C、，是二次函數，符合題意；D、，不是二次函數，不符合題意；故選C．2．（2025·上海普陀·一模）下列函數中，y關于x的二次函數的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查的是二次函數的定義，掌握二次函數的定義是解題的關鍵．形如：，則是的二次函數，根據定義逐一判斷各選項即可得到答案．【詳解】解：不是的二次函數，故A錯誤；不是的二次函數，故B錯誤；，即是的二次函數，故C正確；，當時，不是的二次函數，故D錯誤；故選：C．3．（2025·上海金山·一模）下列函數中，一定是二次函數的是（

）A．（其中是常數） B．（其中、、是常數）C． D．【答案】C【分析】本題考查二次函數的判斷，根據形如，這樣的函數叫做二次函數，進行判斷即可．【詳解】解：A、是一次函數，不符合題意；B、當時，不是二次函數，不符合題意；C、，是二次函數，符合題意；D、，不含二次項，不是二次函數，不符合題意．故選C．4．（2024·上海寶山·三模）下列函數中是二次函數的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查二次函數的概念和解析式的形式，知識點簡單，比較容易掌握．整理后根據二次函數的定義和條件判斷即可．【詳解】A.是反比例函數，不符合題意；

B.，是一次函數，不符合題意；C.，右邊不是整式，不是二次函數，不符合題意；D.是二次函數，符合題意故選：D．?題型02已知二次函數的概念求參數值5．（2024·山東菏澤·一模）若二次函數經過原點，則的值為（

）A． B．4 C．或4 D．無法確定【答案】B【分析】此題考查二次函數的定義，二次函數圖象上點的坐標特征，注意二次函數的二次項系數不能為0，這是容易出錯的地方．由題意二次函數的解析式為：知，則，再根據二次函數的圖象經過原點，把代入二次函數，解出的值．【詳解】解：二次函數的解析式為：，∴，，二次函數的圖象經過原點，，或，∵，．故選：B．6．（2023·廣東云浮·一模）關于x的函數是二次函數的條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據二次函數的定義，直接求解即可得到答案；【詳解】解：∵是二次函數，∴，解得：，故選A．【點睛】本題考查二次函數的條件，二次函數二次項系數不為0．7．（2024·四川涼山·模擬預測）已知是關于x的二次函數，其圖象經過，則a的值為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了二次函數的定義，待定系數法求二次函數解析式，根據定義得出，然后將點代入解析式，即可求解．【詳解】解：依題意，，解得：，故選：C．8．（2022·山東濟南·模擬預測）若是二次函數，則的值等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據二次函數的定義求解即可，形如的函數為二次函數．【詳解】解：是二次函數，則且由可得或，由可得，，綜上故答案為：C【點睛】此題考查了二次函數的定義，涉及了一元二次方程的求解，解題的關鍵是掌握二次函數的定義．命題點二二次函數的圖象與性質?題型01根據二次函數解析式判斷其性質9．（2025·上海寶山·一模）在平面直角坐標系中，如果點都在拋物線上，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】本題考查比較二次函數的函數值大小，根據二次函數的增減性進行判斷即可．【分析】解：∵拋物線的開口向上，對稱軸為軸，∴時，y隨x的增大而增大，∵點都在拋物線上，且，∴故選：A．10．（2024·云南怒江·一模）已知點，，都在二次函數的圖象上，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，先求出、、的值，比較即可得解．【詳解】解：∵點，，都在二次函數的圖象上，∴，，，∵，∴，故選：A．11．（2025·上海虹口·一模）已知、和都在拋物線上，那么、和的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數的圖象性質，因為拋物線，則函數的開口方向向上，對稱軸是，越靠近對稱軸的所對應的函數值越小，即可作答．【詳解】解：∵拋物線，∴函數的開口方向向上，對稱軸是，越靠近對稱軸的所對應的函數值越小，∵、和都在拋物線上，且，∴，故選：A．12．（2024·云南曲靖·一模）設，，是拋物線圖象上的三點，則的大小關系為（

）A． B．C． D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數的性質，先求出拋物線的對稱軸和開口方向，根據二次函數的性質比較即可．【詳解】解：∵拋物線的開口向上，對稱軸是直線，∴當時，y隨x的增大而增大，∴關于稱軸是直線的對稱點是，∵，∴，故選：A．?題型02將二次函數的一般式化為頂點式13．（2022·廣東湛江·一模）將二次函數化為的形式，正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】用配方法將拋物線的一般式轉化為頂點式，即得答案．【詳解】解：故選：B．【點睛】本題考查了拋物線的一般式轉化為頂點式，需注意的是：第一，提取二次項系數而不是兩邊同時除以二次項系數，第二，當二次項系數是負數時，括號內需注意符號的變化．14．（2024·四川樂山·模擬預測）二次函數的頂點坐標為（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了將二次函數解析式化成頂點式，利用配方法將二次函數解析式化成頂點式，得出頂點坐標即可，熟練掌握將二次函數解析式化成頂點式是解題的關鍵．【詳解】解：∴二次函數的頂點坐標為．故選：B．15．（2024·山西·模擬預測）用配方法將二次函數化成的形式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了運用配方法將二次函數一般式化為頂點式，根據題意，將化為頂點式進行比較即可求解．【詳解】解：根據題意，，故選：A．16．（2024·四川成都·模擬預測）關于二次函數的圖象，下列說法錯誤的是（

）A．對稱軸在軸的右側B．與軸的交點坐標為C．頂點坐標為D．是由拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到的【答案】D【分析】本題考查二次函數的性質、二次函數的圖象、二次函數圖象上點的坐標特征，根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵二次函數，，∴該函數圖象開口向上，對稱軸是直線，∴對稱軸在軸的右側，故選項A說法正確，不符合題意；當時，，∴拋物線與軸的交點坐標為，故選項B說法正確，不符合題意；∴頂點坐標為，故選項C說法正確，不符合題意；拋物線向左平移2個單位，得，再向下平移1個單位得到，與原函數解析式不同，故選項D說法錯誤，符合題意；故選：D．?題型03二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質17．（2025·上海松江·一模）已知是拋物線上兩點，那么與的大小關系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了二次函數圖象的性質判定函數值的大小，掌握二次函數圖象開口，對稱軸，增減性是解題的關鍵．根據二次函數解析式確定圖象開口向上，對稱軸直線為，離對稱軸直線越遠，函數值越大，再確定兩點與對稱軸的距離，由此即可求解．【詳解】解：拋物線中，，∴二次函數圖象開口向上，對稱軸直線為，∴當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，∴離對稱軸直線越遠，函數值越大，∵，∴，故選：C．18．（2024·貴州·模擬預測）已知二次函數的圖象如圖所示，下列說法錯誤的是（

）A．二次函數圖象關于直線對稱B．和3是方程的兩個根C．當時，隨的增大而增大D．二次函數圖象與軸交點的縱坐標是【答案】C【分析】本題主要查了二次函數的圖象和性質，根據二次函數的圖象逐一進行判斷即可．【詳解】解：觀察圖象得：二次函數的圖象的對稱軸為直線，開口向上，故A選項正確，不符合題意；觀察圖象得：二次函數圖象與x軸交于點，∵二次函數的圖象的對稱軸為直線，∴二次函數圖象與x軸的另一個交點為，∴和3是方程的兩個根，故B選項正確，不符合題意；觀察圖象得：二次函數的圖象的對稱軸為直線，開口向上，∴當時，y隨x的增大而減小，故C選項錯誤，符合題意；∵拋物線經過點∴，解得，，∴，當時，，∴二次函數圖象與軸交點的縱坐標是，故D選項正確，不符合題意；故選：C．19．（2024·浙江寧波·二模）已知拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向上 B．與軸的交點C．頂點坐標為 D．當時，隨的增大而增大【答案】D【分析】本題考查二次函數的圖象和性質．由二次函數解析式可得拋物線開口方向、對稱軸及頂點坐標、增減性，進而求解．【詳解】A．

二次項系數為負數，因此拋物線開口向下，不符題意；B．與軸的交點為，不符題意；C．頂點坐標為，不符題意．D．在左邊，又因為開口向下，所以時，隨的增大而增大，符合題意．故選D20．（2024·安徽·模擬預測）已知二次函數（為常數，），當時，，則的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．根據拋物線解析式得出對稱軸為直線，分，兩種情況討論，根據當時，，得出a的范圍即可求解．【詳解】解：當時，拋物線的對稱軸為直線，此時拋物線開口向上，對稱軸在軸左側，當時，，故拋物線與軸交于，當時，隨增大而增大，對于任意的取值均成立；當時，此時拋物線開口向下，對稱軸在軸右側，由于拋物線經過，故必經過，要滿足當時，，則，此時，綜上所述，或，故選：A．?題型04二次函數的對稱性21．（2023·廣東惠州·二模）已知拋物線經過點和點，則該拋物線的對稱軸為（

）A．y軸 B．直線 C．直線 D．直線【答案】B【分析】根據A、B兩點的縱坐標相同可知A、B兩點關于對稱軸對稱，據此即可求出答案．【詳解】解：∵拋物線經過點和點，∴拋物線對稱軸為直線，故選B．【點睛】本題主要考查二次函數的對稱性，熟練掌握利用二次函數的對稱性求解函數的對稱軸是解題的關鍵．22．（2023·四川自貢·中考真題）經過兩點的拋物線（為自變量）與軸有交點，則線段長為（

）A．10 B．12 C．13 D．15【答案】B【分析】根據題意，求得對稱軸，進而得出，求得拋物線解析式，根據拋物線與軸有交點得出，進而得出，則，求得的橫坐標，即可求解．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線∵拋物線經過兩點∴，即，∴，∵拋物線與軸有交點，∴，即，即，即，∴，，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的對稱性，與軸交點問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．23．（2023·廣東深圳·二模）已知點，在的圖象上，下列說法錯誤的是（

）A．當時，二次函數與軸總有兩個交點B．若，且，則C．若，則D．當時，的取值范圍為【答案】D【分析】根據函數解析式，結合函數圖象的頂點坐標、對稱軸以及增減性依次對4個結論作出判斷即可．【詳解】解：由，∴拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為；A.當時，，所以，二次函數與軸總有兩個交點，說法正確，故選項A不符合題意；B.當時，對應點為，關于對稱軸對稱的點為，即；當時，圖象在和之間，所以，，故選項B說法正確，不符合題意；C.若，則，當時，則兩點連線的中點在對稱軸右側，所以，，故選項C說法正確，不符合題意；D.當時，，當時，最高點為，所以，，故選項D說法錯誤，符合題意，故選：D【點睛】本題主要考查了二次函數圖象與二次函數的系數的關系，需要利用數形結合思想解決本題．24．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖．拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C．下列說法：①；②拋物線的對稱軸為直線；③當時，；④當時，y隨x的增大而增大；⑤（m為任意實數）其中正確的個數是（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，可得，根據和點可得拋物線的對稱軸為直線，即可判斷②；推出，即可判斷①；根據函數圖象即可判斷③④；根據當時，拋物線有最大值，即可得到，即可判斷⑤．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵拋物線與x軸交于點和點，∴拋物線對稱軸為直線，故②正確；∴，∴，∴，故①錯誤；由函數圖象可知，當時，拋物線的函數圖象在x軸上方，∴當時，，故③正確；∵拋物線對稱軸為直線且開口向下，∴當時，y隨x的增大而減小，即當時，y隨x的增大而減小，故④錯誤；∵拋物線對稱軸為直線且開口向下，∴當時，拋物線有最大值，∴，∴，故⑤正確；綜上所述，正確的有②③⑤，故選C．【點睛】本題主要考查了拋物線的圖象與系數的關系，拋物線的性質等等，熟練掌握拋物線的相關知識是解題的關鍵．?題型05根據二次函數的性質求最值25．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知是一元二次方程的一個根，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，二次函數的最值，先將代入一元二次方程，可得，則，根據二次函數的最值，求出結果即可．【詳解】解：將代入一元二次方程，得：，∴，則，設，則：，變形，得：．∴當時，可以取得最小值，∴的最小值為．故選：D．26．（2024·廣東深圳·一模）在平面直角坐標系中，二次函數（為常數）的圖象經過點，其對稱軸在軸右側，則該二次函數有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值8 D．最小值8【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數的性質以及二次函數的最值，正確得出的值是解題關鍵．依據題意，將代入二次函數解析式，進而得出的值，再利用對稱軸在軸右側，得出，再利用二次函數的性質求得最值即可．【詳解】解：由題意可得：，解得：，．二次函數，對稱軸在軸右側，∴．∴．．∵，拋物線開口向上，二次函數有最小值為：．故選：B．27．（2023·廣東茂名·二模）已知函數在閉區間上有最大值3，最小值2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數的性質，由二次函數的解析式可得出拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為，與軸的交點為，可畫出大致圖象，由函數在閉區間上有最大值3，最小值2，結合圖象即可得出答案，熟練掌握二次函數的性質，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．【詳解】解：∵二次函數，∴拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為，當時，，與軸的交點為，其大致圖象如圖所示：，由對稱性可知，當時，或，∵二次函數在閉區間上有最大值3，最小值2，，故選：C．28．（2023·廣東·模擬預測）如圖，若二次函數的圖象的對稱軸為直線，與y軸交于點C，與x軸交于點A，點，則下列結論：①；②二次函數的最大值為；③；④；⑤當時，；⑥；其中正確的結論有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】A【分析】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系、二次函數圖象與軸的交點等知識點，根據對稱軸在軸的右側，與軸相交在正半軸，可判定①；由頂點坐標即可判斷②；由即可判斷③；由拋物線與軸有兩個交點即可判斷④；有拋物線與軸交點的橫坐標即可判斷⑤；由對稱軸方程得到，由時，時函數值為即可判斷⑥．【詳解】解：∵二次函數對稱軸在y軸右側，與y軸交在正半軸，∴，，．∴故①不正確；∵二次函數圖象的對稱軸為直線，∴頂點坐標為，且開口向下，二次函數的最大值為，故②正確；∵拋物線過，∴時，，即，故③不正確；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，故④不正確；∵對稱軸為直線，，∴，由圖象可知，時，，故⑤正確；∵，即，而時，，即，∴，∴．故⑥正確．故選：A．?題型06二次函數的平移變換問題29．（2024·廣東河源·一模）將拋物線向下平移1個單位長度，再向左平移1個單位長度，平移后拋物線的表達式是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先確定拋物線的頂點坐標為，再根據點平移的規律得到點平移后所得對應點的坐標為，然后根據頂點式寫出平移后的拋物線解析式．本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．【詳解】解：∵拋物線的頂點坐標為，把點向下平移1個單位長度，再向左平移1個單位長度所得對應點的坐標為，∴平移后的拋物線解析式為．故選：A．30．（2024·廣東河源·一模）將拋物線向左平移1個單位，再向下平移3個單位后所得到的拋物線為()A． B．C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了二次函數圖象的平移，根據“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】解：將拋物線向左平移1個單位所得直線解析式為：；再向下平移3個單位為：，即．故選：D．31．（2024·廣東惠州·二模）將拋物線先向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度后，得到的拋物線的關系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查二次函數圖象的平移，根據平移規則：上加下減，左加右減，進行求解即可．【詳解】解：將拋物線先向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度后，得到的拋物線的關系式是：．故選：D．32．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，一段拋物線，記為拋物線，它與軸交于點、；將拋物線繞點旋轉得拋物線，交軸于點；將拋物線繞點旋轉得拋物線，交軸于點；如此進行下去，得到一條“波浪線”，若點在此“波浪線”上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據拋物線與軸的交點問題，得到圖象與軸交點坐標為：，，再利用旋轉的性質得到圖象與軸交點坐標為：，，則拋物線：，于是可推出點在哪段“波浪線”上，從而求得的值．本題考查了二次函數與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．【詳解】解：，圖象與軸交點坐標為：，，將繞點旋轉得，交軸于點；，拋物線：，將繞點旋轉得，交軸于點；在拋物線，上，當時，．故選：C．命題點三二次函數與各項系數之間的關系?題型01根據二次函數圖象判斷式子符號33．（2024·廣東·模擬預測）如圖，拋物線的對稱軸是直線，與x軸交于A，B兩點，且．給出下列4個結論：①；②；③；④若m為任意實數，則．其中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了二次函數圖象與性質，二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，由圖象可知，則可判斷①符合題意；由拋物線的對稱軸為直線，，可得，，得到點，點，當時，，即，可判斷②符合題意；由拋物線的對稱軸為直線，即，得到，進一步得到，可得，即可判斷③符合題意；當時，函數有最大值，由，可得，則可判斷④不符合題意，掌握二次函數圖象與系數的關系是解題的關鍵．【詳解】解：觀察圖象，可知，∴，故①符合題意；∵該拋物線的對稱軸為直線，，∴，，∴點，點，∴當時，，即，故②符合題意；∵拋物線的對稱軸為直線，即，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故③符合題意；當時，函數有最大值，由，可得，若m為任意實數，則，故④不符合題意，綜上，符合題意的有3個，故選：C．34．（2024·廣東東莞·三模）二次函數的圖象如圖所示，下列結論中正確的有：①；②；③；④；⑤．（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數圖象的性質，二次函數與一元二次方程之間的關系，根據二次函數開口向下，與y軸交于坐標軸得到，再根據對稱軸的位置得到，則，據此可判斷①③；根據二次函數與x軸有兩個不相同的交點即可判斷③；根據當時，，時，，得到，據此可判斷④；根據當時，可判斷⑤．【詳解】解：∵二次函數開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵對稱軸在直線和y軸之間，∴，∴，故③錯誤；∴，故①正確；∵二次函數與x軸有兩個不相同的交點，∴，故②錯誤；∵當時，，時，，∴，∴，∴，故④正確；∵當時，，∴，∴，故⑤正確；∴正確的有3個，故選：B．35．（2024·廣東珠海·模擬預測）二次函數的圖象如圖所示，與x軸左側交點為，對稱軸是直線．下列結論：①；②；③；④（m為實數）．其中結論正確的為（）A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，掌握二次函數的性質是解題關鍵．根據拋物線開口方向，對稱軸位置，以及與軸交點位置，可判斷①結論；由拋物線對稱軸得到，再結合當時，，可判斷②結論；根據平方差公式展開，可判斷③結論；根據拋物線的最小值，可判斷④結論．【詳解】解：由圖象可知，拋物線開口向上，對稱軸在軸右側，與軸交點在負半軸，，、異號，，，，①結論正確；拋物線對稱軸是直線，，，由圖象可知，當時，，，②結論錯誤；由圖象可知，當時，，，又，，③結論錯誤；當時，為最小值，，，④結論正確，故選：A．36．（2024·廣東佛山·三模）已知二次函數的部分圖象如圖所示，圖象經過點，其對稱軸為直線．下列結論：①；②若點，均在二次函數圖象上，則；③關于x的一元二次方程沒有實數根；④滿足的x的取值范圍為．其中正確結論的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象上點的坐標特征、拋物線與軸的交點等，熟練掌握二次函數的相關知識是解決本題的關鍵．根據拋物線開口向下即可判斷①，找出關于直線對稱的點，再根據二次函數的性質可判斷②，方程的解可看作拋物線向上平移一個單位與軸的交點，找出交點個數可判斷③，不等式的解集可看作拋物線的圖象在直線上方的部分，可判斷④．【詳解】解：拋物線開口向下，，故①正確，對稱軸為直線，拋物線開口向下，在對稱軸的右側隨的增大而減小，關于直線對稱的點為，又，，故②正確，方程的解可看作拋物線向上平移一個單位，由圖象可知拋物線與軸有兩個交點，關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，故③錯誤，不等式的解集可看作拋物線的圖象在直線上方的部分，關于直線對稱的點為，的取值范圍為，故④正確．故正確的有①②④；故選：C．?題型02二次函數圖象與各項系數符號37．（2024·廣東東莞·一模）如圖，是二次函數的圖象，根據圖象信息分析下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】本題考查二次函數圖象與系數的關系．根據所給函數圖象可得出，，的正負，再結合拋物線的對稱性和增減性對所給結論依次判斷即可．【詳解】解：由所給函數圖象可知，，，所以．故①正確．因為拋物線的對稱軸為直線，所以，則．故②正確．因為拋物線與軸有兩個不同的交點，所以，則．故③正確．因為時，函數值小于零，且拋物線的對稱軸為直線，所以時，函數值小于零，則，又因為，所以．故④正確．故選：D．38．（2024·廣東廣州·二模）已知二次函數的圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列選項中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了二次函數的圖象和性質，根據圖象開口方向、對稱軸、與x軸交點個數和交點坐標分析即可得到答案.【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，故選項A正確，不符合題意；∵對稱軸為直線，∴，故選項B正確，不符合題意；∵二次函數的圖象與x軸有兩個交點，∴有兩個不相等的實數根，∴，故選項C正確，不符合題意；∵二次函數的圖象對稱軸為直線，經過點，∴二次函數的圖象經過點，∴，故選項D錯誤，符合題意，故選：D39．（2024·廣東梅州·模擬預測）已知拋物線（，a，b，c是常數）開口向上，過，兩點（其中），下列四個結論：①；②若，則；③對于任意實數t，總有；④關于x的一元二次方程（）必有兩個不相等的實數根．其中正確的是（

）A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④【答案】D【分析】利用拋物線的對稱性求得對稱軸為直線，從而可得，再根據二次函數的性質與圖象即可判斷；把拋物線表達式轉化成，求得、，可得，即可判斷；利用作差法可得，即可判斷；根據二次函數與二元一次方程組的關系進行判斷即可．【詳解】解：∵對稱軸為，∴，∵拋物線開口向上，∴，∴，故①正確；若，則，∴拋物線與x軸交于點、，∴，解得，故②錯誤；∵，∵，，∴，即，故③正確；∵拋物線開口向上，且與x軸有兩個交點，∴拋物線與直線有兩個交點，∴關于x的一元二次方程（）必有兩個不相等的實數根，故④正確，故選：D．【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象上點的坐標特征、拋物線與x的交點問題、二次函數圖象與性質，熟練掌握二次函數圖象與性質、函數與方程的關系是解題的關鍵．40．（2024·廣東廣州·二模）二次函數的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線，交y軸于點，有如下結論：①；②；③，都在該函數的圖像上，則；④關于x的不等式的解集為或．其中正確結論的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，根據二次函數圖象判斷式子正負，二次函數圖象與系數的關系．根據圖象得出，即可判斷①；根據對稱軸推出，再根據圖象得出當時，函數值大于0，即可判斷②；根據二次函數的性質和開口方向得出離對稱軸越遠函數值越大，即可判斷③；根據二次函數的對稱性得出拋物線經過，即可判斷④．【詳解】解：由圖可知，該拋物線開口向上，對稱軸在y左側，與y軸相交于負半軸，∴，∴，故①正確，符合題意；∵其對稱軸為直線∴，則，由圖可知，當時，函數值大于0，∴，故②正確，符合題意；∵拋物線開口向上，∴離對稱軸越遠函數值越大，∵點A到對稱軸距離為，點B到對稱軸距離為，，∴；故③不正確，不符合題意；∵對稱軸為直線，交y軸于點，∴拋物線經過，∴當或時，，即當或時，，故④正確，符合題意；綜上：正確的有①②④，共3個，故選：C．?題型03二次函數、一次函數、反比例函數圖象綜合41．（2023·廣東云浮·三模）在同一坐標系中，一次函數與二次函數的圖象可能是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一次函數圖象與二次函數圖象綜合，分別判斷出每個選項中二次函數中a的符號，一次函數中a的符號，看是否一致即可得到答案．【詳解】解：A、由拋物線可知，圖象與y軸交在負半軸，則，由直線可知，圖象過二、三、四象限，則，即，故此選項錯誤；B、由拋物線可知，圖象與y軸交在正半軸，則，由直線可知，圖象過一、二、三象限，則，即，故此選項錯誤；C、由拋物線可知，圖象與y軸交在負半軸，則，由直線可知，圖象過一、二，四象限則，即，故此選項錯誤；D、由拋物線可知，圖象與y軸交在負半軸，由直線可知，圖象過一、二，四象限，則，即，故此選項正確；故選：D．42．（2023·廣東河源·二模）在同一平面直角坐標系中，二次函數與一次函數的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】考查了拋物線和直線的圖象，用假設法來搞定這種數形結合題是一種很好的方法，可先由二次函數圖象得到字母系數的正負，再與一次函數圖象相比較看是否一致．【詳解】解：A、由拋物線，可知圖象開口向下，交軸的正半軸，可知，，由直線可知，圖象過二，三，四象限，，故此選項不符合題意；B、由拋物線，可知圖象開口向下，交軸的負半軸，可知，，由直線可知，圖象過一，二，三象限，，，故此選項不符合題意；C、由拋物線，可知圖象開口向上，交軸的負半軸，可知，，由直線可知，圖象過一，二，四象限，，，故此選項符合題意；D、由拋物線，可知圖象開口向上，交軸的正半軸，可知，，由直線可知，圖象過一，三，四象限，，，故此選項不符合題意；故選：C．43．（2023·廣東深圳·模擬預測）在同一平面直角坐標系中，一次函數和二次函數的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題可先由一次函數圖象與二次函數的圖象分別求出對應的，的范圍，再相比較看是否一致即可．【詳解】A、由拋物線可知，，，由直線可知，，，矛盾，故本選項錯誤．B、由拋物線可知，，，由直線可知，，，矛盾，故本選項錯誤；C、由拋物線可知，，，由直線可知，，，矛盾，故本選項錯誤；D、由拋物線可知，，，由直線可知，，，故本選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數圖象，一次函數的圖象，應該熟記一次函數在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．44．（2023·廣西南寧·三模）已知反比例函數y＝的圖象如圖，則二次函數的圖象大致為（）A．B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數與反比例函數的圖象與系數的綜合應用，本題可先由反比例函數的圖象得到字母系數，再與二次函數的圖象的開口方向和對稱軸的位置相比較看是否一致，最終得到答案．【詳解】解：∵函數的圖象經過二、四象限，∴，由圖知當時，，∴，∴拋物線開口向下，對稱軸為，，∴對稱軸在與0之間，故選：D．命題點四二次函數與方程、不等式?題型01求二次函數與坐標軸交點坐標45．（2022·廣東江門·模擬預測）關于二次函數，下列說法正確的是（）A．圖象的對稱軸在y軸的右側B．圖象與y軸的交點坐標為C．圖象與x軸的交點坐標為和D．y的最小值為【答案】D【分析】把二次函數的解析式化成頂點式和交點式，再利用二次函數的性質就可以判斷各個選項中的結論是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：∵二次函數，∴該函數的對稱軸是直線，在y軸的左側，故選項A錯誤；當時，，即該函數與y軸交于點，故選項B錯誤；當時，或，即圖象與x軸的交點坐標為和，故選項C錯誤；當時，該函數取得最小值，故選項D正確．故選：D【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質，把二次函數解析式化為頂點式和交點式是解題的關鍵．46．（2023·廣東·模擬預測）拋物線的部分圖象如圖所示，它與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，當時，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數的性質，根據拋物線與x軸的一個交點坐標和對稱軸，由拋物線的對稱性可求拋物線與x軸的另一個交點，再根據拋物線的增減性可求當時，x的取值范圍．【詳解】∵拋物線與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為，∴拋物線與x軸的另一個交點為，由圖象可知，當時，x的取值范圍是或．故選：D．47．（2022·山東泰安·中考真題）拋物線上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如表：x-2-101y0466下列結論不正確的是（

）A．拋物線的開口向下 B．拋物線的對稱軸為直線C．拋物線與x軸的一個交點坐標為 D．函數的最大值為【答案】C【分析】利用待定系數法求出拋物線解析式，由此逐一判斷各選項即可【詳解】解：由題意得，解得，∴拋物線解析式為，∴拋物線開口向下，拋物線對稱軸為直線，該函數的最大值為，故A、B、D說法正確，不符合題意；令，則，解得或，∴拋物線與x軸的交點坐標為（-2，0），（3，0），故C說法錯誤，符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，正確求出二次函數解析式是解題的關鍵．48．（2022·廣東河源·二模）已知拋物線與x軸的一個交點是，另一個交點是B，則AB的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】將代入拋物線中求出a的值，然后令求出點B的坐標，即可求出AB的值．【詳解】拋物線與x軸的一個交點是，，即，拋物線為：，令，求出，，．故選：D．【點睛】本題考查二次函數與x軸交點問題，兩點之間的距離，正確理解y=0時，一元二次方程的解與函數圖象與x軸交點坐標之間的聯系是解題的關鍵．?題型02拋物線與x軸交點問題49．（2023·廣東深圳·三模）若函數的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．且 B．C．且 D．【答案】D【分析】本題考查二次函數的圖象與x軸的交點問題，分與兩種情況，當時，該函數為一次函數，與x軸有交點；當時，若函數圖象與x軸有交點，則對應的一元二次方程中，由此可解．【詳解】解：當時，函數為，與x軸有交點；當時，若函數圖象與x軸有交點，則對應的一元二次方程中，即，∴，∴且，綜上，函數的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是．故選D．50．（2024·廣東·三模）在平面直角坐標系中，拋物線的頂點到x軸的距離為6，與x軸兩個交點之間的距離為4a，則該拋物線與y軸的交點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查二次函數的圖象及性質，二次函數與一元二次方程的綜合，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．先確定拋物線的頂點坐標，于是有，再確定物線與軸的交點坐標為，，再代入解析式求解即可．【詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，將代入中，得，∴拋物線頂點坐標為．∵拋物線開口向下，頂點到x軸的距離為6，∴，即，∴．又∵拋物線與x軸兩個交點之間的距離為4a，∴拋物線經過點，，將點代入中，得，整理得，解得，∴，∴拋物線與y軸的交點坐標為，故選：D．51．（2024·廣東汕頭·二模）若函數的圖象與直線有交點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】B【分析】本題主要考查了函數圖象的交點，分兩組情況討論，當時，兩條直線不平行，有交點，當時，拋物線和直線有交點，聯立函數得方程有實數解．即，求解即可．【詳解】解：當時，即，，與直線不平行，故有交點，當時，函數的圖象與直線有交點，即時，，綜上所述：實數的取值范圍是，故選：B．52．（2024·廣東汕頭·一模）拋物線的部分圖象如圖所示，與軸的一個交點坐標為，拋物線的對稱軸是直線．下列結論：①；②；③方程有兩個不相等的實數根；④若點在拋物線上，則，其中正確的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數圖象與其系數的關系，二次函數圖象的性質，根據拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，得到，再由對稱軸計算公式得到，據此可判斷①②；根據函數圖象可得拋物線與直線有兩個不相同的交點，據此可判斷③；點關于拋物線對稱軸對稱，據此可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵對稱軸為直線，∴，∴，即，∴，故①②正確；∵拋物線的頂點的縱坐標大于3，∴拋物線與直線有兩個不相同的交點，∴方程有兩個不相等的實數根，故③正確；∵點在拋物線上，對稱軸是直線∴關于拋物線對稱軸對稱，∴，故④正確；故選：D．?題型03根據二次函數圖象確定相應方程根的情況53．（2024·廣東梅州·一模）拋物線上部分點的橫坐標x和縱坐標y的對應值如下表，下列說法正確的有（

）．x…01…y…33…①當時，y隨x的增大而減小；②拋物線的對稱軸為直線；③當時，；

④方程的一個正數解滿足．A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數圖像的性質和二次函數圖像上點的特征，理解二次函數圖像的性質是解題的關鍵．根據表格信息，先確定出拋物線的對稱軸，然后根據二次函數的性質逐項判斷即可．【詳解】解：①由表格看出，這個拋物線的對稱軸為直線且當時，y隨x的增大而增大，根據二次函數圖像的對稱性可得當時，y隨x的增大而減小，故①的說法正確；②由表格看出，這個拋物線的對稱軸為直線，故②的說法正確；③當時的函數值與時的函數值相同為，即，故③的說法錯誤；④當時，，當時，，根據二次函數的對稱性可得當時，，當時，，故方程的正數解滿足，故④的說法正確．故選：D．54．（2024·廣東廣州·一模）已知拋物線（a，b，c是常數，，），經過點，其對稱軸是直線．則下列結論：①；②關于x的方程無實數根；③當時，y隨x增大而減小；④.其中正確的結論有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查二次函數的圖象及性質，二次函數與一元二次方程的關系，掌握二次函數解析式中的系數與圖象的有關系是解題的關鍵．利用對稱軸判定④，根據，結合拋物線的解析式判定①，根據，結合對稱軸判定③，根據二次函數與一元二次方程的關系判定②．【詳解】∵對稱軸是直線，∴，整理，得，④正確；即：，把點代入解析式，得，即，∴，∵，∴，解得：，，∴，①正確；∵，∴拋物線的開中向下，當時，y隨x增大而減小，③錯誤；∵，∴直線與拋物線有兩個交點，∴關于x的方程有兩個不相等的實數根，②錯誤；綜合分析可得，正確的有：①④，故選：B.?題型04圖象法解一元二次不等式55．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖所示，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點坐標為，，其部分圖象如圖所示，下列結論：①；②；③方程的兩個根是，；④方程有一個實根大于；⑤當時，隨增大而增大．其中結論正確的個數是(

)

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】根據拋物線的開口方向，對稱軸、以及與軸交點為，，分別判斷出的符號，即可判斷①；由對稱軸為直線得，當時，，即可判斷②；當時，，即過，，拋物線的對稱軸為直線，由對稱性可得，拋物線過，，即可判斷③；根據二次函數的性質以及已知條件結合對稱軸可得，即可判斷④，根據函數圖象即可判斷⑤．【詳解】解：拋物線開口向下，，對稱軸為直線，、異號，，與軸交點為，，，，故結論①是正確的；由對稱軸為直線得，當時，，，即，又，，故結論②不正確；當時，，即過，，拋物線的對稱軸為直線，由對稱性可得，拋物線過，，方程的有兩個根是；故③正確；拋物線與軸的一個交點，且，由對稱軸為直線，另一個交點，，因此④是正確的；根據圖象可得當時，隨增大而增大，因此⑤是正確的；正確的結論有個，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．56．（2023·廣東深圳·二模）二次函數的圖象如圖所示，其與x軸交于點A（）、點B，下列4個結論：①；②；③有兩個不相等的實數根：④．其中正確的是（）

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】根據拋物線的開口向下、對稱軸、時，，結合二次函數圖象性質確定待定參數取值范圍．【詳解】由圖知拋物線開口向下，故，對稱軸∴∴，故①正確；點A，B關于對稱，故點B的橫坐標∴∴，故②錯誤；由得由圖知，拋物線與直線恒有兩個交點，所以有兩個不相等實數根，故③正確；時，∴∴∴，故④正確．故選：C．【點睛】本題考查拋物線圖象性質，對稱軸，方程組解與圖象的關系；觀察圖形，靈活運用關鍵點及數形結合的思想是解題的關鍵．57．（2022·廣東汕頭·一模）已知二次函數的圖象如圖所示，下列結論：①；②關于的不等式的解集為；③；④．其中正確結論的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【詳解】解：①由函數圖象可得：對稱軸為直線，∴b=-2a，∴b+2a=0，①正確；②由圖象及對稱軸可得，拋物線與x軸的兩個交點關于x軸對稱，∴與x軸的另一個交點為（3,0），∴的解集為：，②錯誤；③當x=2時，y=4a+2b+c，由②可得當時，y<0，∴4a+2b+c<0，③正確；④當x=-1時，a-b+c=0，∵b=-2a，∴c=-3a，∴8a+c=8a-3a=5a，∵開口向上，∴a>0，∴8a+c>0，④錯誤；綜上可得：①③正確，故選B．【點睛】題目主要考查二次函數的圖象與系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，熟練運用是解題關鍵．58．（2019·廣東廣州·二模）如圖是拋物線圖象的一部分．當時，自變量x的范圍是(

)A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】先求出拋物線與x軸的另一個交點坐標，再根據函數圖象即可得出結論．【詳解】解：由函數圖象可知，函數圖象與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，拋物線與x軸的另一個交點坐標為，當時，．故選：C．【點睛】本題考查的是二次函數與不等式組，能利用函數圖象求出不等式組的解是解答此題的關鍵．?題型05根據交點確定不等式的解集59．（2024·湖北武漢·一模）已知點在拋物線上，點在直線，當時，下列判斷正確的是（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】C【分析】本題考查二次函數與一次函數的綜合應用：根據函數的性質畫出函數的大致圖像，根據圖象數形結合，逐項判斷即可．【詳解】解：由題意可知：拋物線的對稱軸為，拋物線與直線經過點，，∴拋物線開口向上，直線經過一、二、四象限，當時，或，當時，或，故A、B錯誤，不符合題意；當時，圖像位于軸的左側，可知；故C正確，符合題意；當時，圖像位于軸的左側，可知或；故D錯誤，不符合題意．故選：C．60．（2024·四川成都·三模）如圖是二次函數的部分圖象，由圖象可知下列說法錯誤的是（

）A．， B．不等式的解集是C． D．方程的解是，【答案】B【分析】本題考查了二次函數圖象的應用；能夠根據二次函數圖象特點求出函數與x軸的兩個交點，數形結合是解題的關鍵．由圖象判斷，，對稱軸是，再判斷出，與x軸一個交點是，則另一個交點，結合函數圖象即可求解．【詳解】解：由圖象得：，，對稱軸是，∴，∴，故A正確，不符合題意；∵對稱軸是，函數圖象與x軸一個交點是，∴另一個交點，∴不等式的解集是，故B錯誤，符合題意；∵函數圖象與x軸有兩個不同的交點，∴，故C正確，不符合題意；∵函數圖象與x軸的兩個交點為和，∴方程的解是，，故D正確，不符合題意；故選：B．61．（2024·河南周口·模擬預測）如圖，拋物線交軸于，，則下列判斷錯誤的是（

）A．拋物線的對稱軸是直線B．當時，隨的增大而減小C．一元二次方程的兩個根分別是1和3D．當時，【答案】D【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，從圖象中有效的獲取信息，利用對稱性，增減性和二次函數與一元二次方程的關系，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵拋物線交軸于，，∴拋物線的對稱軸是直線，故A選項正確；一元二次方程的兩個根分別是1和3，故C選項正確；由圖象可知：當時，隨的增大而減小，故B選項正確；當時，或，故D選項錯誤；故選D．62．（2025·上海崇明·一模）二次函數的圖象如圖所示，給出下列結論：①；②；③；④當時，．其中所有正確結論的序號是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，圖象與系數的關系，熟練掌握二次函數圖象和性質是解題的關鍵．根據圖象與軸交點在軸正半軸，可得，故①正確；根據圖象可得二次函數的對稱軸為，由于對稱軸為，即可判斷②正確；當時，，即可判斷③，當時，圖象位于軸上方，即當，所對應的，故④正確．【詳解】解：①當時，，根據圖象可知，二次函數的圖象與軸交點在軸正半軸，即，故①正確，符合題意；②根據圖象可知，二次函數的對稱軸是直線，即，故②正確，符合題意；③由圖象可知，當時，，故③錯誤，不符合題意；④根據圖象可知，當時，圖象位于軸上方，即當，所對應的，故④正確，符合題意；綜上所述，①②④結論正確，符合題意．故選：B．?題型05根據交點確定不等式的解集63．（2024·河南周口·模擬預測）如圖，二次函數的圖象與軸交于點，，與軸交于點，若直線的解析式為，則的解集為（

）A．或 B．或 C． D．或【答案】D【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，一次函數圖象與性質，待定系數法求一次函數參數，熟練掌握函數圖象與不等式的關系是解題的關鍵．先由二次函數可求得點坐標，代入即可得到，然后由變形為，觀察圖象即可得到答案．【詳解】解：與軸交于點，即時，，又點在直線：上，將代入，得直線的解析式為觀察圖象可知，當時，直線在拋物線的上面，當時，直線在拋物線的下面，當時，直線在拋物線的上面，，即觀察圖象可知，該不等式的解集為：或．故選：D．64．（2024·河南信陽·模擬預測）如圖，已知二次函數與一次函數的圖象相交于點和，則使不等式成立的的取值范圍是（

）A．或 B． C．或 D．【答案】B【分析】利用數形結合的數學思想即可解決問題．本題考查二次函數與不等式（組，巧用數形結合的數學思想是解題的關鍵．【詳解】解：由函數圖象可知，當時，二次函數的圖象在一次函數圖象的下方，即，∴不等式的解集為：．故選：B．65．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知關于的一元三次方程的解為，，，請運用函數的圖象，數形結合的思想方法，判斷關于的不等式的解集（

）A．或 B．或C．或 D．或或【答案】A【分析】本題考查函數與不等式的關系，正確應用數形結合思想是解題關鍵．令，根據題意畫出的圖象草圖，再據此求解即可．【詳解】令，一元三次方程的解為，，，的圖象與x軸的交點為，，．當時，，，函數的圖象與x軸的交點不含，的圖象草圖如下：從圖象上可以看出時，即時，x的取值范圍是或．關于x的不等式的解集是或．故選：A．66．（2025·上海崇明·一模）如果拋物線的頂點是它的最高點，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了二次函數的圖象和性質．根據拋物線的頂點是它的最高點得到拋物線開口向下，則，即可求出的取值范圍．【詳解】解：∵拋物線的頂點是它的最高點，∴拋物線開口向下，∴，∴，故選：D基礎鞏固單選題1．（2024·廣東·模擬預測）關于二次函數，以下說法錯誤的是（

）A．開口向上 B．對稱軸為直線C．有最小值 D．與y軸交點為【答案】B【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，根據二次函數的圖象和性質逐一進行判斷即可．【詳解】解：，∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線，當時，函數值最小為，當時，，∴拋物線與y軸交點為；故只有選項B錯誤；故選B．2．（2024·廣東廣州·二模）已知二次函數（a為常數）的圖象經過和兩點，則二次函數與y軸的交點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數圖象上的坐標特征，二次函數的對稱性，關鍵是利用對稱軸公式解題；由拋物線的對稱性求得對稱軸為直線，即可得到，求得，即可求得，從而求得二次函數與y軸的交點坐標為．【詳解】解：和兩點關于拋物線對稱軸對稱，拋物線對稱軸為直線，，解得，，二次函數與y軸的交點坐標為．故選：B．3．（2024·廣東東莞·一模）已知二次函數的圖象如圖所示，則一次函數的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一次函數與二次函數綜合判斷．先根據二次函數圖象求出，，再根據一次函數圖象與其系數的關系判斷出一次函數經過的象限即可得到答案．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵，∴，∴一次函數的圖象經過第一、二、四象限，故選：C．4．（2024·廣東東莞·一模）把拋物線先向上平移1個單位，再向左平移2個單位后，所得拋物線的解析式為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規律，掌握平移的規律是解題的關鍵；根據二次函數圖象的平移規律（左加右減，上加下減）進行解答即可．【詳解】將拋物線先向上平移1個單位，則函數解析式變為，將向左平移2個單位，則函數解析式變，故選：A．5．（2024·廣東陽江·二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．頂點為，把這條拋物線向上平移至頂點落在軸上，則兩條拋物線、對稱軸和軸圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查拋物線與軸交點、二次函數幾何變換等知識．依據題意，根據即可計算．【詳解】解：如圖連接、．與軸交于，兩點，與軸交于點，∴頂點的坐標為，平移后頂點的坐標為，∴拋物線向上平移了1個單位．．故選：B．6．（2024·廣東佛山·模擬預測）已知二次函數的圖象上有三點，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數的性質、比較二次函數值的大小，由函數解析式得出拋物線的開口向下，對稱軸為直線，根據距離對稱軸越遠，函數值越小，進行比較即可得出答案．【詳解】解：，拋物線的開口向下，對稱軸為直線，，，故選：D．7．（2024·廣東中山·一模）如圖，一段拋物線記為，它與軸交于點，兩點；將繞點旋轉得到，交軸于點；將繞點旋轉得到，交軸于點，，如此下去，得到一條“波浪線”．若點在此“波浪線”上，則的值為（）A． B．8 C． D．7【答案】D【分析】本題考查了二次函數與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．從圖象看，可以把當成一個周期，則余7，即可求解．【詳解】解：一段拋物線，圖象與軸交點坐標為：，，將繞點旋轉得，交軸于點，拋物線，從圖象看，可以把當成一個周期，則余7，當時，，即，故選：D．二、填空題8．（2024·廣東江門·二模）若一個二次函數的二次項系數為2，且經過點，請寫出一個符合上述條件的二次函數表達式：．【答案】（答案不唯一）【分析】根據二次函數的二次項系數為2，設拋物線解析式為，結合拋物線經過點，得到，選擇，得到解析式為．本題考查了待定系數法求解析式，熟練掌握待定系數法，靈活選擇數值計算即可．【詳解】∵二次函數的二次項系數為2，設拋物線解析式為，∵拋物線經過點，∴，∴，∴解析式為．故答案為：．9．（2024·廣東湛江·模擬預測）若點，在拋物線上，則．（填“<”或“>”或“=”）【答案】【分析】本題考查了二次函數的性質．根據，且，利用二次函數的性質可求解．【詳解】解：，對稱軸為y軸，∴當時函數值隨自變量的增大而增大；∵，，故答案為：．10．（2024·廣東惠州·模擬預測）函數的圖形向右平移3個單位向上平移1個單位長度后的解析式為．【答案】【分析】本題主要考查了二次函數圖象的平移問題，根據“上加下減，左加右減”的平移規律求解即可．【詳解】解：函數的圖形向右平移3個單位向上平移1個單位長度后的解析式為，故答案為：．11．（2024·廣東東莞·三模）若點在拋物線上，則的大小關系為（用“”連接）．【答案】【分析】本題考查二次函數比較函數值大小，涉及二次函數圖象與性質，由二次函數圖象與性質得到拋物線上的點，離對稱軸越遠，其函數值越大，求出到對稱軸距離，比較距離大小即可得到函數值大小，熟練掌握二次函數比較函數值大小的方法是解決問題的關鍵．【詳解】解：由可知，拋物線的開口向上，且對稱軸為直線，拋物線上的點，離對稱軸越遠，其函數值越大，點到對稱軸的距離為；點到對稱軸的距離為；且，，故答案為：．能力提升一、單選題1．（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖，拋物線經過點和點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了由二次函數的圖象判斷系數的符號，二次函數與一元二次方程的關系，熟練掌握以上知識點，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．根據圖象及二次函數的性質判斷即可【詳解】解：根據題意可得：拋物線與y軸交于正半軸，故，故A錯誤；拋物線對稱軸在y