第三章函數第09講平面直角坐標系與函數（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一平面直角坐標系考點二點的坐標特征與變換考點三坐標方法的簡單應用考點四函數04題型精研·考向洞悉命題點一平面直角坐標系題型01有序數對題型02點的坐標題型03點所在的象限命題點二點的坐標特征與變換題型01坐標與圖形題型02點坐標的規律探索題型03坐標方法的簡單應用命題點三函數題型01常量與變量題型02函數的概念題型03函數的解析式題型04自變量與函數值題型05函數的圖像獲取信息題型06函數的三種表示方法題型07動點的函數圖像問題題型08函數綜合問題05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預測平面直角坐標系理解平面直角坐標系的有關概念，能畫出平面直角坐標系.10年7考該專題內容是初中代數最重要的部分，是代數的基礎，非常重要，年年都會考查，分值為6分左右.預計2025年各地中考還將出現，在選擇、填空題中出現的可能性較大．點的坐標特征與變換在給定的平面直角坐標系中，能根據坐標描出點的位置，由點的位置寫出坐標.對給定的正方形，會選擇合適的平面直角坐標系，寫出它的頂點坐標，體會可以用坐標表達簡單圖形.在平面直角坐標系中，以坐標軸為對稱軸，能寫出一個已知頂點坐標的多邊形的對稱圖形的頂點坐標，知道對應頂點坐標之間的關系.在平面直角坐標系中，能寫出一個已知頂點坐標的多邊形沿坐標軸方向平移一定距離后圖形的頂點坐標，知道對應頂點坐標之間的關系.近10年連續考查坐標方法的簡單應用在實際問題中，能建立適當的平面直角坐標系，描述物體的位置.在平面上，運用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置.10年8考函數探索簡單實例中的數量關系和變化規律，了解常量、變量的意義;了解函數的概念和表示法，能舉出函數的實例;能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析;能確定簡單實際問題中函數自變量的取值范圍，會求函數值;能用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系理解函數值的意義;結合對函數關系的分析，能對變量的變化情況進行初步討論.10年10考考點一平面直角坐標系有序數對概念：有順序的兩個數a與b組成的數對，叫做有序數對，記作（a，b）.相關概念具體內容平面直角坐標系定義在平面內畫兩條互相垂直并且原點重合的數軸，這樣就建立了平面直角坐標系.兩軸水平的數軸叫做x軸或橫軸，通常取向右方向為正方向；豎直的數軸叫做y軸或縱軸，通常取向上方向為正方向.（見圖一）原點兩坐標軸交點為平面直角坐標系原點.坐標平面坐標系所在的平面叫做坐標平面.象限x軸和y軸把平面直角坐標系分成四部分，每個部分稱為象限.按逆時針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（見圖一）點的坐標對于坐標軸內任意一點A，過點A分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對應

的數a、b分別叫做點A的橫坐標和縱坐標，有序數對A(a，b)叫做點A的坐標，記作

A(a，b).（見圖二）考點二點的坐標特征與變換一、點的坐標特征點P(x，y)的位置在象限內第一象限x＞0，y＞0第二象限x＜0，y＞0第三象限x＜0，y＜0第四象限x＞0，y＜0坐標軸上x軸y=0

y軸x=0

原點x=y=0

在角平分線上第一、三象限x=y第二、四象限x=-y在平行坐標軸的直線上平行x軸所有點的

縱

坐標相等平行y軸所有點的

橫

坐標相等二、點的坐標變化變換方式具體變換過程變換后的坐標點P(x，y)平移變換向左平移a個單位（x-a，y）向右平移a個單位(x+a，y)向上平移a個單位(x，y+a)向下平移a個單位(x，y-a)簡單記為“點的平移右加左減，上加下減”對稱變換關于x軸對稱(x，-y)關于y軸對稱(-x，y)關于原點對稱(-x，-y)簡單記為“關于誰對稱誰不變，關于原點對稱都改變”關于x=m對稱(2m-x，y)關于y=n對稱(x，2n-y)旋轉變換繞原點順時針旋轉90°（y，-x）繞原點順時針旋轉180°(-x，-y)繞原點逆時針旋轉90°（-y，x）繞原點逆時針旋轉180°(-x，-y)三、點到坐標軸的距離在平面直角坐標系中，已知點P，則1）點P到軸的距離為；2）點P到軸的距離為；3）點P到原點O的距離為P＝.四、坐標系內點與點之間的距離點M（x1，y1）與點N（x2，y2）之間的直線距離（線段長度）：若AB∥x軸，則的距離為；若AB∥y軸，則的距離為；1）原點既是x軸上的點，又是y軸上的點.1）原點既是x軸上的點，又是y軸上的點.2）點的橫坐標或縱坐標為0，說明點在y軸上或在x軸上.3）已知點的坐標可以求出點到x軸、y軸的距離，應注意取相應坐標的絕對值.4）點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區別的，表現在兩方面：①到x軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數，而坐標可以是負數.5）因為橫軸向右為正，所以點向右平移時橫坐標變大，向左平移時橫坐標變小，同理向上平移時縱坐標變大，向下平移縱坐標變小.考點三坐標方法的簡單應用用坐標表示地理位置的方法1）選擇一個適當的參照點為原點建立直角坐標系，并確定x軸、y軸的正方向；2）根據具體問題確定適當的比例尺，在坐標軸上標出長度單位；3）坐標平面內畫出這些點，并寫出各點的坐標和各個地點的名稱.考點四函數一、函數的相關概念：變量：在一個變化過程中，數值發生變化的量稱為變量.常量：在一個變化過程中，數值始終不變的量稱為常量.函數的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數.函數的取值范圍：使函數有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.確定函數取值范圍的方法：1）函數解析式為整式時，字母取值范圍為全體實數；2）函數解析式含有分式時，分式的分母不能為零；3）函數解析式含有二次根式時，被開方數大于等于零；4）函數解析式中含有指數為零的式子時，底數不能為零；5）實際問題中函數取值范圍要和實際情況相符合，使之有意義.函數值概念：如果在自變量取值范圍內給定一個值a，函數對應的值為b，那么b叫做當自變量取值為a時的函數值.函數解析式：用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式.函數圖像上點的坐標與解析式之間的關系：1）將點的坐標代入到解析式中，如解析式兩邊成立，則點在解析式上，反之，不在.2）兩個函數圖形交點的坐標就是這兩個解析式所組成的方程組的解.二、函數的三種表示法及其優缺點解析法：兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法.列表法：把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法.圖像法：用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法.優點缺點解析法準確反映整個變化過程中自變量與函數的關系求對應值是要經過比較復雜的計算，而且實際問題中有的函數值不一定能用解析式表示列表法自變量和與它對應的函數值數據一目了然所列對應數值個數有限，不容易看出自變量與函數值的對應關系，有局限性圖像法形象的把自變量和函數值的關系表示出來圖像中只能得到近似的數量關系11）常量和變量的區分：在某個變化過程中，該量的值是否發生變化。2）函數概念的解讀：①有兩個變量。 ②一個變量的數值隨另一個變量的數值變化而變化。③對于自變量每一個確定的值，函數有且只有一個值與之對應。3）當已知函數解析式及自變量的值，欲求函數值時，實質就是求代數式的值.4）當已知函數解析式，且給出函數值,，欲求相應的自變量的值時，實質就是解方程.5）當給定函數值的一個取值范圍，欲求相應的自變量的取值范圍時，實質就是解不等式.命題點一平面直角坐標系?題型01有序數對1．（2024·河北邯鄲·模擬預測）如圖所示為雷達在一次探測中發現的三個目標，其中目標A，B的位置分別表示為，，按照此方法可以將目標C的位置表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了有序數對的應用．理解題意是解題的關鍵．由目標A，B的位置分別表示為，，可知目標C的位置表示為．【詳解】解：∵目標A，B的位置分別表示為，，∴目標C的位置表示為，故選：C．2．（2024·湖北宜昌·模擬預測）電影院中的第a排b號位，簡記為，那么（

）A．表示排a號B．表示第b排a號位C．表示b排或a號D．與不可能代表同一個位置【答案】B【分析】本題考查了用有序數對表示位置，根據題意進行解答即可．【詳解】解：∵電影院中的第a排b號位，簡記為，∴表示第b排a號位，故選：B．3．（2023·吉林·一模）在學習有序數對時，老師和同學們用如圖所示的密碼表玩聽聲音猜動物的游戲．當聽到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”時，分別對應的字母是“C，A，T”，表示的動物是貓．當聽到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”時，表示的動物是（

）A．牛 B．魚 C．狗 D．豬【答案】C【分析】根據題意，聲音的前一部分表示列數，后一部分表示行數，舉出即可求解．【詳解】解：依題意，“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”，對應的字母分貝為D，O，G，故選：C．【點睛】本題考查了用有序實數對表示位置，理解題意是解題的關鍵．4．（2024·江蘇鹽城·三模）小民和小澤兩姐弟拿著如圖的密碼表玩聽聲音猜漢字的游戲，若聽到“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”，則聽到“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的漢字可能為（

）432112345A．漢 B．華 C．鹽 D．音【答案】C【分析】本題考查了有序數對表示位置，根據題意，“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”，表示的對應的字母為“”，則“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示對應的字母為“”，即可求解，理解題意是解題的關鍵．【詳解】解：∵“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的拼音是“”，∴“咚咚-咚咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚，咚-咚”表示的對應的字母為“”，∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示對應的字母為“”，∴“咚咚咚-咚咚，咚-咚咚，咚咚咚-咚”表示的漢字可能是：“鹽”，故選：C．?題型02點的坐標5．（2024·江蘇揚州·三模）在平面直角坐標系的第二象限內有一點A，點A到軸的距離為9，到軸的距離為6，則點A的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了平面直角坐標系內各象限內點的坐標的特征．設點A的坐標是，根據點M在第二象限內，可得，，再由點A到x軸的距離為9，到y軸的距離為6，可得，，即可求解．【詳解】解：設點A的坐標是，∵點M在第二象限內，∴，，∵點A到x軸的距離為9，到y軸的距離為6，∴，，∴，，∴點A的坐標是．故選：B．6．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點A，B在x軸上，，，，將菱形繞點A順時針旋轉后，得到菱形，則點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，連接，，作軸于，作軸于，由菱形，，，可得，，，則，，，，由旋轉的性質可知，，，則，，，計算求解，進而可得點的坐標．【詳解】解：如圖，連接，，作軸于，作軸于，∵菱形，，，∴，，，∴，∴，，∴，由旋轉的性質可知，，，∴，∴，，∴點的坐標是，故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質，旋轉的性質，正弦，余弦，點坐標等知識．熟練掌握菱形的性質，旋轉的性質，正弦，余弦，點坐標是解題的關鍵．7．（2024·四川樂山·模擬預測）如圖所示，矩形中，，則點B的坐標為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了坐標與圖形，矩形的性質，解直角三角形，過點A作y軸的平行線交x軸與點E，過點B過作該平行線的垂線垂足為點I，交y軸于點F，過點C作x軸的垂線，垂足為點D，解直角三角形，求出，利用矩形的性質得到，求出，進而求出，即可得到點B的坐標．【詳解】解：如圖，過點A作y軸的平行線交x軸與點E，過點B過作該平行線的垂線垂足為點I，交y軸于點F，過點C作x軸的垂線，垂足為點D，則，∵矩形中，，∴，∴，∴，同理，，∴在中，，∴在中，，∴在中，，∵，∴四邊形是矩形，∴∴，∵點B在第二象限，∴點B的坐標為:故選：A．8．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，將一片楓葉固定在正方形網格中，若點A的坐標為，點C的坐標為，則點B的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了坐標確定位置．根據點A的坐標為，點的坐標為確定坐標原點，建立平面直角坐標系，由坐標系可以直接得到答案．【詳解】解：如圖，

點B的坐標為．故選：A．?題型03點所在的象限9．（2024·廣東廣州·模擬預測）點位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】本題主要考查了平面直角坐標系中各個象限的點的坐標的符號特點．四個象限的符號特點分別是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根據點在各象限內的坐標符號即可解答．【詳解】平面直角坐標系內的點位于第四象限．故選：D．10．（2024·廣東中山·二模）已知點在第三象限，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了第三象限點的坐標特征，解一元一次不等式組，根據第三象限點的坐標特征列出不等式組，分別求出每一個不等式的解集，再取公共部分即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：C．11．（2024·廣東廣州·一模）點在第四象限，且，，則點P關于y軸對稱點的坐標是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了關于x軸對稱的點的坐標特征，絕對值，第四象限點的坐標特征，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．由絕對值定義可得x，y的可能的值，由點P在第四象限可得點P的坐標，進而讓橫縱坐標均互為相反數可得P點關于x軸對稱點的坐標．【詳解】解：∵，，∴，∵點在第四象限，∴，，∴，，∴，∴點P關于y軸對稱點的坐標是．故選：B．12．（2023·廣東佛山·模擬預測）在平面直角坐標系中，點P在第一象限，坐標為，若點P到x軸的距離等于它到y軸的距離，則a的值為（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】A【分析】本題主要考查了點到坐標軸的距離，第一象限內的點的坐標特點，根據點到x軸的距離等于其縱坐標的絕對值，到y軸的距離等于其橫坐標的絕對值，結合第一象限內的點橫縱坐標都互為相反數列出方程求解即可．【詳解】解：∵點P在第一象限，坐標為，且點P到x軸的距離等于它到y軸的距離，∴，∴，故選：A．命題點二點的坐標特征與變換?題型01坐標與圖形13．（2024·廣東惠州·模擬預測）已知點在y軸上，則點P的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了點的坐標特點，解決本題的關鍵是掌握好坐標軸上的點的坐標的特征：y軸上的點的橫坐標為0．讓點P的橫坐標為0列式求得a的值，即可求得點P的坐標．【詳解】解：∵點在直角坐標系的y軸上，∴，解得，，∴P坐標為．故選：B．14．（2024·廣東惠州·一模）如圖，四邊形是平行四邊形，在平面直角坐標系中，點，，點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題重點考查圖形與坐標、平行四邊形的性質等知識．由平行四邊形的性質得，，由，，求得點的坐標為，于是得到問題的答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，∴，，，點在軸上且，，，，故選：C．15．（2024·江蘇淮安·模擬預測）我們知道：四邊形具有不穩定性，如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在軸上，并且、兩點的坐標分別為和，邊的長為5，若固定邊，“推”矩形得到平行四邊形，并使點落在軸正半軸上的點處，則點的對應點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理、平行四邊形的性質、矩形的性質、坐標與圖形等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．首先利用勾股定理解得，即，根據矩形的邊在軸上，且四邊形是平行四邊形，易得，與的縱坐標相等，即可獲得答案．【詳解】解：∵，，∴，根據題意，可得，∴由勾股定理，可得，即，∵矩形的邊在軸上，且四邊形是平行四邊形，∴，，∴與的縱坐標相等，∴．故選：A．16．（2024·廣東江門·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是菱形，點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了菱形的性質，以及全等三角形的判定與性質，過A、C分別作軸，軸，根據菱形的性質可得，再證明，可得，然后可得C點坐標．【詳解】解：過A、C分別作軸，軸，∵點A的坐標是，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵軸，軸，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴．故選：A．?題型02點坐標的規律探索17．（2024·廣東茂名·一模）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形的中心與原點O重合，軸，交y軸于點P．將繞點O順時針旋轉，每次旋轉，則第2024次旋轉結束時，點A的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查坐標與圖形問題，點坐標規律型問題，解題的關鍵是學會探究規律的方法，首先確定點A的坐標，再根據4次一個循環，推出經過第2024次旋轉后，點A的坐標即可．【詳解】解：正六邊形邊長為2，中心與原點O重合，軸，∴，，，∴，∴，第1次旋轉結束時，點A的坐標為；第2次旋轉結束時，點A的坐標為；第3次旋轉結束時，點A的坐標為；第4次旋轉結束時，點A的坐標為；∵將繞點O順時針旋轉，每次旋轉，∴4次一個循環，∵，∴經過第2024次旋轉后，點A的坐標為，故選：D．18．（2021·廣東江門·三模）如圖，在平面直角坐標系中，，，，，把一條長為個單位長度且沒有彈性的細線線的粗細不略不計的一端固定在點處，并按的規律繞在四邊形的邊上，則細線另一端所在位置的點的坐標是()

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意可得，從一圈的長度為，據此分析即可得細線另一端在繞四邊形第圈后的第個單位長度的位置，從而求得細線另一端所在位置的點的坐標．【詳解】解：，，，，，，，，繞四邊形一周的細線長度為，，細線另一端在繞四邊形第圈的第個單位長度的位置，即點的坐標為．故選：C．【點睛】本題考查了坐標規律探索，找到規律是解題的關鍵．19．（2020·廣東廣州·一模）如圖，直線y＝x+1與x軸和y軸分別交于B0，B1兩點，將B1B0繞B1逆時針旋轉135°得B1B0′，過點B0'作y軸平行線，交直線y＝x+1于點B2，記△B1B0B2的面積為S1；再將B2B1繞B2逆時針旋轉135°得B2B1'，過點B1'作y軸平行線，交直線y＝x+l于點B3，記△B2B1'B3的面積為S2…以此類推，則△BnBn﹣1'Bn+1的面積為Sn＝（

）A．（）n B．（）n﹣1 C．2n D．2n﹣1【答案】D【分析】根據直線與x軸的成角和已知，可以判斷∴△B1B0B2；…；△BnBn﹣1'Bn+1都是直角三角形，再由旋轉的性質得到B1B0′＝OB0，B2B1′＝B1B0′，…，Bn+1B′n＝BnBn﹣1′，可以B1B0′＝，B2B1′＝2，…，BnBn﹣1'＝，根據三角形面積公式即可求解．【詳解】解：直線l1：y＝x+1與x軸正半軸夾角45°，由題意可知B′0B1∥x軸，B1′B2∥x軸，…，Bn′Bn+1∥x軸，B′0B2∥y軸，B′1B3∥y軸，…，B′n﹣1Bn+1∥y軸，∴△B1B0B2；…；△BnBn﹣1'Bn+1都是直角三角形，∴B1B0′＝OB0，B2B1′＝B1B0′，…，Bn+1B′n＝BnBn﹣1′由直線l1：y＝x+1可知，B0（﹣1，0），B1（0，1），∴OB0＝1，∴B1B0′＝，B2B1′＝2，…，BnBn﹣1'＝，∴△BnBn﹣1'Bn+1的面積為Sn＝（）2＝2n﹣1故選：D．【點睛】本題考查一次函數圖象及性質，直角三角形的性質；利用直線與x軸的成角，平行線的性質，在直角三角形中利用角的關系得到邊的關系是解題的關鍵．20．（2024·河南周口·一模）小星利用平面直角坐標系繪制的風車圖案如圖所示，他先將固定在坐標系中，其中，接著他將繞原點逆時針轉動至，稱為第一次轉動；然后將繞原點逆時針轉動至，稱為第二次轉動……按照這種轉動方式，在轉動2024次后，點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查點的坐標變化規律，能通過計算發現點對應點的坐標按，，，循環出現是解題的關鍵．根據三角形的旋轉方式，依次求出點的對應點的坐標，發現規律即可解決問題．【詳解】解：分別過點和點作軸和軸的垂線，垂足分別為和，由旋轉可知，，，，又，．在和中，，，，．又，，，則點的坐標為．同理可得，，，，，，由此可見，點對應點的坐標按，，，循環出現．又，轉動2024次后，點的對應點的坐標為．故選：A．?題型03坐標方法的簡單應用21．（2024·廣東湛江·二模）中國象棋是中華民族的文化瑰寶，因趣味性強，深受大眾喜愛．如圖，在象棋棋盤上建立平面直角坐標系，若“馬”的坐標為，“車”的坐標為，則“炮”的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了實際問題中用坐標表示位置，根據“馬”和“車”的坐標建立坐標系，進而得到“炮”的坐標即可．【詳解】解：根據題意可建立如下坐標系，∴炮”的坐標為，故選：C．

22．（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，這是一個利用平面直角坐標系畫出的某學校的示意圖，如果這個坐標系分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向，并且綜合樓和食堂的坐標分別是（4，1）和（5，4），則教學樓的坐標是（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）【答案】D【分析】根據綜合樓和食堂的坐標分別是（4，1）和（5，4），先確定坐標原點以及坐標系，再根據教學樓的位置可得答案．【詳解】解：如圖，根據綜合樓和食堂的坐標分別是（4，1）和（5，4），畫圖如下：∴教學樓的坐標為：故選D【點睛】本題考查的是根據位置確定點的坐標，熟練的根據已知條件建立坐標系是解本題的關鍵．23．（2024·山西臨汾·二模）七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國漢民族的一種古老的傳統智力游戲．它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的，以各種不同的拼湊法拼成人物、動物、建筑、字母等多種圖形．如圖為由七巧板拼成的“小船”，若點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了點的坐標，正確得出原點位置是解題的關鍵．直接利用已知點坐標確定平面直角坐標系，進而得出答案．【詳解】解：確定平面直角坐標系如圖所示：∴點C的坐標為，故選：D．24．（2024·山西晉城·三模）五一假期正是踏青賞花的好時節，小米和小華相約去太原雙塔公園賞花．如圖為雙塔公園中的牡丹園、雙塔寺和文峰塔的位置．將其放在適當的平面直角坐標系中，若雙塔寺的坐標為，文峰塔的坐標為，則牡丹園的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了坐標與圖形．根據雙塔寺和文峰塔的坐標建立直角坐標系，即可得到牡丹園的坐標．【詳解】解：由雙塔寺的坐標為，文峰塔的坐標為，建立直角坐標系如下：

牡丹園的坐標為，故選：D．命題點三函數?題型01常量與變量25．（2024·湖北武漢·模擬預測）某校在定制“中考紅色戰袍”時，小明了解到尺碼與衣長的對應關系如下表：尺碼衣長若小明需要定制，則他的衣長可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了函數的定義，根據題意當尺碼增加1，則衣長增加，據此即可求解．【詳解】解：根據題意，當尺碼增加，則衣長增加，到，增加了個尺碼，∴，∴他的衣長可能是；故選：B．26．（2024·湖北武漢·模擬預測）彈簧原長（不掛重物），彈簧總長L（）與重物質量x（）的關系如下表所示：彈簧總長L（）1314151617重物質量x（）

當重物質量為（在彈性限度內）時，彈簧的總長L（）是（

）A．27 B． C．20 D．【答案】A【分析】本題考查函數的表示方法，根據“重物質量每增加，彈簧伸長”寫出關于的關系式是本題的關鍵．根據“重物質量每增加，彈簧伸長”寫出關于的關系式，將代入該關系式求出對應的值即可．【詳解】由表格可知，重物質量每增加，彈簧伸長，加彈簧總長與重物質量的關系式為，當時，．故答案為：A．27．（2023·廣西桂林·一模）下列問題情境能列出反比例函數的是（）A．矩形的長為119，矩形的面積y與寬x的關系B．一個“哪吒”玩偶119元，買x個這樣的玩偶與總的錢數y元之間的關系C．一個企業每個月產值都相同，若該企業x個月總的產值為119萬元，則每個月的產值y萬元與x個月的關系D．小明原有119元零花錢，已經花費的錢數y（元）與剩余的錢數x（元）的關系【答案】C【分析】本題主要考查了反比例函數的實際應用，根據題意列出對應變量之間的函數關系式即可得到答案．【詳解】解：A、矩形面積y與寬x之間關系為：，為正比例函數，不符合題意；B、總的錢數y與數量x之間關系為：，為正比例函數，不符合題意；C、每個月的產值y與月數x之間關系為：，為反比例函數，符合題意；D、已經花費錢數y與剩余錢數x之間關系為：，為一次函數，不符合題意；故選：C．28．（2023·廣西南寧·二模）南湖隧道是南寧市建成的首條水底隧道．一輛小汽車勻速通過南湖隧道，小汽車車身在隧道內的長度記為y米，小汽車進入隧道的時間記為t秒，則y與t之間的關系用圖象描述大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】火車通過隧道分為3個過程：逐漸進入隧道，完全進入隧道并在其中行駛，逐漸出隧道，進而求解即可．【詳解】火車在逐漸進入隧道的過程中，火車在隧道內的長度逐漸增加；火車完全進入隧道后，還在隧道內行駛一段時間，因此在隧道內的長度是火車長，且保持一段時間不變；火車在逐漸出隧道的過程中，火車在隧道內的長度逐漸減少；符合上述分析過程的為：D．故選：D．【點睛】本題考查函數圖像在生活中的應用，解題關鍵是分析事件變化的過程，并能夠匹配對應函數圖像變化?題型02函數的概念29．（2024·上海·模擬預測）下列關于函數的說法正確的是（

）A．任何函數都與x軸有交點 B．一次函數，二次函數都與y軸有交點C．反比例函數與y軸的交點為（0，0） D．原點不在坐標軸上【答案】B【分析】本題考查了正比例函數與一次函數，二次函數，反比例函數的定義，正確把握它們的區別與聯系是解題的關鍵．直接利用一次函數，二次函數，反比例函數的定義判斷即可．【詳解】解：A、任何函數都不一定與x軸有交點，原說法不正確，故此選項不符合題意．B、一次函數，二次函數都與y軸有交點，原說法正確，故此選項符合題意．C、反比例函數與y軸不會有交點，原說法不正確，故此選項不符合題意．D、原點是坐標軸上的點，原說法不正確，故此選項不符合題意．故選：B．30．（2024·江蘇泰州·一模）下列圖像不能反映y是x的函數的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查函數的概念和圖象，關鍵是根據當x取一值時，y有唯一與它對應的值判斷．根據函數的概念解答即可．【詳解】解：A、當x取一值時，y有唯一與它對應的值，y是x的函數，故本選項不符合題意；B、當x取一值時，y有唯一與它對應的值，y是x的函數，故本選項不符合題意；C、當x取一值時，y有兩個值與其對應，y不是x的函數，故本選項符合題意；D、當x取一值時，y有唯一與它對應的值，y是x的函數，故本選項不符合題意．故選：C．31．（2024·北京·模擬預測）圖①中的摩天輪可抽象成一個圓，圓上一點離地面的高度有與旋轉時間之間的關系如圖②所示．下列說法正確的是（

）A．變量不是的函數，摩天輪的直徑是65米B．變量不是的函數，摩天輪的直徑是70米C．變量是的函數，摩天輪的直徑是65米D．變量是的函數，摩天輪的直徑是70米【答案】C【分析】本題考查函數圖象，常量和變量，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．根據函數的定義可以判斷變量是的函數，）根據圖象可以得到摩天輪的直徑．【詳解】解：根據圖象可得，變量y是x的函數，因為對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，所以變量y是x的函數；由圖象可得，摩天輪的直徑為：．故選C．32．（2023·北京豐臺·一模）下列關于兩個變量關系的四種表述中，正確的是（

）①圓的周長C是半徑r的函數；②表達式中，y是x的函數；③下表中，n是m的函數；m123n632④下圖中，曲線表示y是x的函數A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據函數的定義與函數的表示方法逐一分析即可得到答案．【詳解】解：①圓的周長C是半徑r的函數；表述正確，故①符合題意；②表達式中，y是x的函數；表述正確，故②符合題意；由表格信息可得：對應m的每一個值，n都有唯一的值與之對應，故③符合題意；在④中的曲線，當時的每一個值，y都有兩個值與之對應，故④不符合題意；故選C．【點睛】本題考查的是函數的定義，函數的表示方法，理解函數定義與表示方法是解本題的關鍵．?題型03函數的解析式33．（2023·安徽六安·二模）某登山隊大本營所在地的氣溫為．海拔每升高，氣溫下降．隊員由大本營向上登高，氣溫為，則y與x的函數關系式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據“大本營所在地的氣溫為，海拔每升高，氣溫下降”可得向上登高可得氣溫下降了，即可寫出函數關系式．【詳解】解：由題意得，y與x的函數關系式為，故選：B．【點睛】本題考查了列函數關系式，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．34．（2024·山西·模擬預測）某樹苗的初始高度為，如圖，這是該樹苗的高度與生長的月數的有關數據示意圖，假設以后一段時間內，該樹苗高度的變化與月數保持此關系，則該樹苗的高度與生長月數之間的函數關系式為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了函數關系式，由題意可得樹苗每個月增長的高度是，進而得出答案．【詳解】解：由題意得，樹苗每個月增長的高度是，故該樹苗的高度與生長月數之間的函數關系式為，故選：．35．（2024·廣東佛山·三模）如圖，彈簧秤不掛重時彈簧長為，每掛重物體，彈簧伸長，在彈性限度（掛重不超過）內，彈簧的長度與所掛重之間的關系式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了列函數關系式，根據“每掛重物體，彈簧伸長”可得每掛重物體，彈簧伸長，由此可解．【詳解】解：由題意知，每掛重物體，彈簧伸長，因此彈簧的長度與所掛重之間的關系式是，故選D．36．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在正方形中，連接，點H和點Q分別在線段上，若點B、H、Q、C四點共圓，若，設為x，三角形的面積為y，則y與x的函數關系式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】此題考查了求函數解析式、圓周角定理、解直角三角形等知識，過點H作于點M，過點H作于點N，則，證明四邊形是矩形，是四邊形的外接圓的直徑，求出，，，得到，進一步得到，即可得到三角形的面積．【詳解】解：過點H作于點M，過點H作于點N，則，∵四邊形是正方形，∴，，∴四邊形是矩形，是四邊形的外接圓的直徑，∴，，，∴，∵∴，∴，∴三角形的面積，故選：A．?題型04自變量與函數值37．（2024·貴州黔東南·一模）若函數有意義，則自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了求函數自變量的取值范圍，二次根式和分式有意義的條件，根據分式有意義的條件是分母不為0，二次根式有意義的條件是被開方數大于等于進行求解即可．【詳解】解：∵函數有意義，∴，∴，故選：D．38．（2024·云南文山·模擬預測）下列各數中，不可能是函數的自變量x的值的是（

）A．2 B．0 C． D．【答案】D【分析】本題考查函數自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件．根據二次根式有意義的條件求出自變量x的取值范圍，即可解答．【詳解】解：函數的自變量x應滿足，即，∴自變量x不能是．故選：D39．（2024·山東濟寧·一模）在函數中，自變量x的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．且【答案】C【分析】本題考查了求函數自變量的取值范圍，因函數式中含有分母，分母應不為零；函數式中含有二次根式，被開方數應非負，由此即可確定自變量的取值范圍．【詳解】解：由題意知：且，解得：且；故；故選：C．40．（2024·山東煙臺·二模）按如圖所示的程序進行計算，若輸入x的值是2，則輸出y的值是（

）A．3 B．1 C． D．3或【答案】C【分析】此題考查了求函數值．根據所示的程序，輸入，由，則把代入進行計算即可．【詳解】解：∵，∴根據題意得，當時，，故選：C．?題型05函數的圖像獲取信息41．（2024·貴州·模擬預測）2024年3月5日，第十四屆全國人民代表大會第二次會議在北京開幕，政府工作報告中一個新關鍵詞“人工智能”引發熱議，隨著人工智能的發展，智能機器人送餐成為時尚．如圖①是某餐廳的機器人聰聰和慧慧，他們從廚房門口出發，準備給客人送餐，聰聰比慧慧先出發，且速度保持不變，慧慧出發一段時間后將速度提高到原來的2倍．設聰聰行走的時間為，聰聰和慧慧行走的路程分別為、，，與的函數圖象如圖②所示，則下列說法不正確的是（

）A．客人距離廚房門口； B．慧慧比聰聰晚出發；C．聰聰的速度為； D．從聰聰出發直至送餐結束，聰聰和慧慧之間距離的最大值為；【答案】D【分析】本題考查了一次函數的運用，理解圖象，掌握行程問題的數量關系，一次函數圖象的性質是解題的關鍵．根據圖象分別求出聰聰的解析式，結合圖象的性質，即可求解．【詳解】解：聰聰比慧慧先出發，且速度保持不變，∴表示的是聰聰行走的時間與路程的關系，設的解析式為，圖象經過點，∴，解得，，∴的解析式為，由圖象知，慧慧從出發到送餐結束用時為，∴A、客人距離廚房門口，正確，不符合題意；B、慧慧比聰聰晚出發，正確，不符合題意；C、∵，∴聰聰的速度為，正確，不符合題意；D、當時，聰聰與慧慧的距離逐漸增大，∴當時，，當時，聰聰與慧慧的距離先減小，再增加，當時，，∴，當時，聰聰與慧慧的距離逐漸減小到，∵,∴D選項不正確，符合題意；故選：D．42．（2024·貴州遵義·模擬預測）生命在于運動，健康在于鍛煉．如圖是愛好運動的小聰某天登山過程中所走的路程（單位：）與時間（單位：）的函數關系圖象．則下列結論正確的是（

）A．后的速度為 B．中途停留了C．后速度在逐漸增加 D．整個登山過程的平均速度為【答案】A【分析】本題考查了函數圖象，觀察函數圖象，逐一分析四個選項的正誤是解題的關鍵．利用速度路程時間，可求出后800m的速度，判斷A選項；利用中途停留的時間，可求出中途停留的時間，判斷B選項；當時，關于的函數圖象是線段，可得出后速度不變，判斷C選項；利用整個登山過程的平均速度總路程總時間，可求出整個登山過程的平均速度，判斷D選項．【詳解】解：A、后的速度為，選項A正確，符合題意；B、中途停留了，選項B錯誤，不符合題意；C、當時，關于的函數圖象是線段，即后速度不變，選項C錯誤，不符合題意；D、整個登山過程的平均速度為，選項D錯誤，不符合題意．故選：A．43．（2024·廣東東莞·模擬預測）某航空公司規定，旅客乘機所攜帶行李的質量與其托運費用y(元)的關系如圖所示的一次函數圖象確定，那么旅客可免費攜帶行李的最大質量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是用一次函數解決實際問題，本題關鍵是理解一次函數圖象的意義以及與實際問題的結合．根據圖中數據，用待定系數法求出直線解析式，然后求時，x對應的值即可．【詳解】解：設y與x的函數關系式為，把點，分別代入得，由題意可知，解得所以y與x的函數關系式為，當時，，解得．即旅客可免費攜帶行李的最大質量為，故選：C．44．（2024·湖北武漢·模擬預測）甲和乙兩輛車從地同時出發，沿相同的路線勻速駛向地．在甲車行駛了2小時后，因發生故障停車進行維修．維修結束后，甲車繼續以勻速駛向地，結果比乙車晚到了30分鐘．甲、乙兩車行駛的路程與離開地的時間的函數圖象如圖所示，當兩車相距60km時，乙車所行駛的時間是（

）A． B．或 C．或 D．或或【答案】D【分析】本題考查的是從函數圖象中獲取信息，利用待定系數法求解一次函數解析式，一元一次方程的應用，理解題意，明確坐標含義是解本題的關鍵．利用待定系數法求出甲車和乙車的解析式，根據兩車相距60km建立方程求解即可．【詳解】解：當時，設甲車的解析式為，把代入得：，解得：，∴，由圖象可知：當時，甲車的解析式為；當時，設甲車的解析式為，把代入得：，解得：，∴，設時，乙車的解析式為，把代入得：，解得：，∴，由圖象可知：時，，∵兩車相距60km，∴當時，，解得：，當時，，解得：，當時，，解得：，當時，，解得：（不符合題意，舍去）綜上所述：兩車相距60km時，乙車所行駛的時間是或或．故選：D．?題型06函數的三種表示方法45．（2024·北京順義·一模）已知y是x的函數，下表是x與y的幾組對應值：x…124…y…421…y與x的函數關系有以下3個描述：①可能是一次函數關系；②可能是反比例函數關系；③可能是二次函數關系，所有正確描述的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【分析】本題考查了用列表法表示函數關系，函數關系的判定，根據表格數據的特點判斷出三點不共線，且三個點的橫坐標和縱坐標的積都為4是解題的關鍵．根據圖表數據可知，三個點不在同一直線上即可判斷不是一次函數可能是二次函數，三個點的橫坐標和縱坐標的積都為4，即可判斷可能是反比例函數．【詳解】解：觀察可知，三個點不在同一直線上，故①錯誤，③正確；三個點的橫坐標和縱坐標的積都為4，故都在反比例函數圖象上，故②正確；故選：C．46．（2024·北京海淀·二模）某種型號的紙杯如圖所示，若將個這種型號的杯子按圖中的方式疊放在一起，疊在一起的杯子的總高度為．則與滿足的函數關系可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了用字母表示數或數量關系，理解題目中的數量關系，掌握代數式的表示方法是解題的關鍵．根據一個杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解．【詳解】解：根據題意，1個杯子的高，1個杯子沿高為，∴個杯子疊在一起的總高度為，故選：D．47．（2022·北京·模擬預測）對于溫度的計量，世界上大部分國家使用攝氏溫標(℃)，少數國家使用華氏溫標(°F)，兩種溫標間有如下對應關系：攝氏溫標（°C）…01020304050…華氏溫標（°F）…32506886104122…則攝氏溫標(℃)與華氏溫標(°F)滿足的函數關系是（

）A．正比例函數關系 B．一次函數關系C．反比例函數關系 D．二次函數關系【答案】B【分析】從表格可看出，攝氏溫標每增加10°C，華氏溫標增加18°F，即攝氏溫標(℃)與華氏溫標(°F)成一次函數關系．【詳解】解：從表格可看出，攝氏溫標每增加10°C，華氏溫標增加18°F，即攝氏溫標(℃)與華氏溫標(°F)成一次函數關系．故選：B．【點睛】此題主要考查了一次函數，根據已知得出y與x的函數關系式是解題的關鍵．48．（2021·陜西西安·模擬預測）在實驗課上，小亮利用同一塊木板，測得小車從不同高度h（cm）下滑的時間t（s），得到如下數據：支撐物高h（cm）1020304050…下滑時間t（s）3.253.012.812.662.56…以下結論錯誤的是（）A．當h＝10時，t為3.25秒B．隨支撐物高度增加，下滑時間越來越短C．估計當h＝80時，t一定小于2.56秒D．高度每增加10cm，下滑時間就會減少0.24秒【答案】D【分析】根據表格中數量的變化情況，分別進行判斷即可．【詳解】解：由表格知：h＝10，t＝3.25．故A結論正確．由表格知：隨著高度的增加，下滑時間越來越短．故B，C結論正確．當支撐物高度從10cm升高到20cm，下滑時間的減少0.24s，從20cm升高到30cm時，下滑時間就減少0.2s，從30cm升高到40cm時，下滑時間就減少0.15s，從40cm升高到50cm時，下滑時間就減少0.1s，因此，“高度每增加了10cm，時間就會減少0.24秒”的說法是錯誤的，故選項D結論錯誤．故選：D．【點睛】本題考查了函數的概念，函數的定義：設x和y是兩個變量，對于每個值x，變量y按照一定的法則有一個確定的值y與之對應，稱變量y為變量x的函數．本題理解表格中兩個變量之間的變化關系是正確判斷的前提．?題型07動點的函數圖像問題49．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，的直徑為，，點為的中點，點沿路線運動，連接，，設點運動的路程為，則的面積隨變化的函數圖象大致為（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】本題考查圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質，動點的函數圖象問題，分點P在上運動和點P在上運動兩種情況，分別用含x的式子表示出的面積，即可求解．【詳解】解：當點P在上運動時，作于點E，如圖：∵為的直徑，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵點D為的中點，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴；即當時，，排除C，D選項；當點P在上運動時，如圖：∵，∴，即當時，，排除B選項；故選：A．50．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，動點P、Q在平行四邊形的邊和對角線上運動，動點P的運動軌跡為折線，動點Q的運動軌跡為折線，兩動點同時開始運動，且運動速度均為．設動點運動時間為x秒，兩動點間距離為，x與y的函數關系式如圖所示．當點P在平行四邊形的邊上運動時，兩動點間的最短距離為m，此時運動時間為（）秒，則m的值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查函數圖象，平行四邊形的性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理．根據圖象可得，當點P在上，點Q在上運動時，過點O作于點E，交于點F，則的長為，間的距離．通過“”證明，得到，從而當點P運動至點E時，點Q運動至點F，此時，根據勾股定理求出的長，即可得到，從而解答．【詳解】解：由圖可知，當點P從點O向點A，點Q從點O向點C運動時，間距離y逐漸增大，當點P運動到點A，點Q運動到點C時，由圖象可知，∴，∵四邊形四邊形是平行四邊形，∴，此時它們運動了，當點P在上，點Q在上運動時，過點O作于點E，交于點F，則的長為，間的距離∵在平行四邊形中，，，∴，∵，∴，∴，∵點P，Q的運動速度相同，∴當點P運動至點E時，點Q運動至點F，此時，根據圖象可知點P從點A運動至點E，需要，∴，∵，∴中，，∵，∴，∴，即．故選：B51．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點分別在軸和軸上，軸，．點從點出發，以的速度沿邊勻速運動，點從點出發，沿線段勻速運動．點與點同時出發，其中一點到達終點，另一點也隨之停止運動．設點運動的時間為，的面積為，已知與之間的函數關系如圖中的曲線段、線段與曲線段．下列說法正確的是（

）點的運動速度為；點的坐標為；線段段的函數解析式為；曲線段的函數解析式為；若的面積是四邊形的面積的，則時間．A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了動點問題的函數圖象以及三角形，面積求法和待定系數法求函數解析式，結合函數圖象得出當秒時，，此時的面積為，進而求出為即可得出點的速度，進而求出的長即可，進而判斷，當點在上時，如圖，于點，根據三角形的面積公式可表達此時的，進而判斷；過點作于點，畫出圖形可得出，，，則，求出即可面積可判斷；首先得出的面積，分兩種情形分別列出方程即可解決問題進而判斷；熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】由題意可得出：當時間為秒時，的面積的函數關系式改變，則在上運動秒，當時間為秒時，，此時的面積為，∴為，∴點的運動速度為：，故正確；當運動到秒時，函數關系式改變，則，過作于點，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，，由，則，∴，∴，故錯誤；當點在上時，如圖，于點，∴，故正確；如圖，，，過點作于點，由得，則，∴，即曲線段的函數解析式為：，故正確；∵，∴，當時，，時，或（舍去），當時，，解得或（舍去），∴或，的面積是四邊形的面積的，故錯誤，綜上可知，故選：．52．（2024·廣東珠海·三模）如圖1，E為矩形的邊上一點，動點P，Q同時從點B出發，點P沿折線運動到點C時停止，點Q沿運動到點C時停止，它們運動的速度都是，設P，Q同時出發時，的面積為．已知y與t的函數關系如圖2所示（曲線為拋物線的一部分），則下列結論錯誤的是（

）A． B．當時，的面積是C．當時， D．當時，【答案】C【分析】本題考查動點的函數圖象，從圖象中有效的獲取信息，是解題的關鍵；由函數圖象得，當時，點到達點，點到達點，進而得到當時，點在上運動，，判斷B，求出的長，勾股定理求出的長，判斷A，過點作于點，證明，求出，判斷C，求出時，的長，判斷D即可．【詳解】解：由函數圖象得，當時，點到達點，點到達點，當時，點在上運動，，當時，點到達點，故選項B正確；∵，時，，解得，∴，故選項正確；當時，點在線段上，則，過點作于點，則：，∴，∴，，∴，，故選項錯誤；，當時，點在線段上，此時，，，故選項D正確．故選：C．?題型08函數綜合問題53．（2024·廣東廣州·一模）如圖是氣象臺某天發布的某地區氣象信息，預報了次日0時至8時氣溫隨著時間變化情況，其中0時至5時的圖象滿足一次函數關系式，5時至8時的圖象滿足函數關系式．請根據圖中信息，解答下列問題：

(1)填空：次日0時到8時的最低氣溫是______；(2)求一次函數的解析式；(3)某種植物在氣溫以下持續時間超過4小時，即遭到霜凍災害，需采取預防措施．請判斷次日是否需要采取防霜措施，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)需要采取防霜措施，見解析【分析】（1）根據題意，當時，函數最小值，代入解析式計算即可．（2）把分別代入中，計算即可；（3）令，，計算交點坐標的橫坐標的差，對照標準判斷即可．本題考查了待定系數法，圖象信息識讀，圖象與x軸交點坐標的計算，熟練掌握待定系數法，交點坐標的計算是解題的關鍵．【詳解】（1）根據題意，當時，函數有最小值，代入解析式得，，故答案為：．（2）把分別代入中，得，解得，∴．（3）令，解得；令，解得（舍去），故，∵∴遭到霜凍災害，故需要采取防霜措施．54．（2024·廣東深圳·二模）電動汽車的續航里程也可以稱作續航能力，是指電動汽車的動力蓄電池在充滿電的狀態下可連續行駛的總里程，它是電動汽車重要的經濟性指標，高速路況狀態下，電動車的續航里程除了會受到環境溫度的影響，還和汽車的行駛速度有關．某科研團隊為了分析續航里程與速度的關系，進行了如下的探究：下面是他們的探究過程，請補充完整：(1)他們調取了某款電動汽車在某個特定溫度下的續航里程與速度的有關數據：速度（千米/小時）102030406080100120140160續航里程（千米）100340460530580560500430380310則設___為y，__為x，y是x的函數；(2)建立平面直角坐標系，在給出的格點圖中描出表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象；

(3)結合畫出的函數圖象，下列說法正確的有_________①y隨x的增大而減小；②當汽車的速度在60千米/小時左右時，汽車的續航里程最大；③實驗表明，汽車的速度過快或過慢時，汽車的續航里程都會變小．(4)若想要該車輛的續航里程保持在460千米以上，該車的車速大約控制在_______至______千米/小時范圍內．【答案】(1)速度，續航里程(2)見解析(3)②③(4)30，110【分析】題考查列表法表示函數關系，熟練掌握自變量、因變量的定義．（1）根據表格，由函數定義求解即可；（2）利用表格數據，描點法畫函數圖象即可；（3）由函數圖象即可得出結果；（4）由函數圖象即可得出結果．【詳解】（1）∵y是x的函數，∴速度為x，續航里程為y．故答案為：速度，續航里程；（2）該函數的圖象如圖所示：

（3）解：根據函數圖象得：當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，故①說法錯誤；當汽車的速度在60千米/小時左右時，汽車的續航里程度大，故②說法正確；汽車的速度過快或過慢時，汽車的續航里程都會變小，故③說法正確；正確的有：②③，故答案為：②③；（4）解：根據函數圖象得：想要該車輛的續航里程保持在460千米以上，該車的車速大約控制在30至110千米/小時范圍內，故答案為：30，110．55．（2024·廣東深圳·一模）參照學習函數的過程與方法，探究函數的圖象與性質，因為即所以我們對比函數來探究．列表：x…1234……124……2350…描點：在平面直角坐標系中以自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數值為縱坐標，描出相應的點如圖所示；(1)請把y軸左邊各點和右邊各點分別用一條光滑曲線，順次連接起來；(2)觀察圖象并分析表格，回答下列問題：當時，y隨x的增大而；（填“增大’或“減小”）的圖象可看作是由的圖象向平移個單位而得到的；圖象的兩個分支關于點中心對稱；（填點的坐標）(3)試說明函數與直線的交點情況．【答案】(1)見解析；(2)①增大；②上、1；③；(3)無交點【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象與性質．熟練掌握描點法繪制函數圖象，函數圖象的平移，函數的對稱性和增減性，是解題的關鍵．（1）用光滑曲線順次連接即可；（2）利用圖象法即可解決問題；（3）聯立方程根據方程組解的情況判斷，即可解決問題．【詳解】（1）把y軸左邊各點和右邊各點分別用一條光滑曲線，順次連接起來，如圖，（2）當時，y隨x的增大而增大；故答案為：增大；的圖象可看作是由的圖象向上平移1個單位而得到的；故答案為：上、1；圖象的兩個分支關于點中心對稱；故答案為：；（3）解方程組，代入，消去y，得，，去分母，得，，矛盾，x值不存在，故函數與直線無交點．56．（2024·廣東深圳·三模）在初中階段的函數學習中，我們經歷了“確定函數的表達式→利用函數圖象研究其性質→運用函數解決問題”的學習過程．結合學習函數的經驗，探究函數的圖象與性質，探究過程如下，請補充完整．（1）列表：x…01234…y…b…（2）描點并連線．（3）觀察圖象并填空：①，②寫出該函數的一條性質：③圖象與x軸圍成的三角形面積為④當時，直接寫出x的取值范圍【答案】（2）見解析；（3）①，；②當時，y隨x增大而增大（或）當時，y隨x增大而減小（或）當時，y取最小；③16；④或【分析】本題考查畫函數圖象，利用函數圖象分析解決問題，掌握描點畫圖是解題的關鍵．（2）根據表格描出各點，然后連接即可得到圖象；（3）①把給的任一點的坐標代入求出，然后把代入解題即可；②觀察圖象得到性質即可；④先根據求出自變量x的值，然后借助圖象回答即可．【詳解】（2）如圖（3）①把，代入得，解得，∴當時，，故答案為：，；②當時，y隨x增大而增大

（或）當時，y隨x增大而減小

（或）當時，y取最小③令，則，解得，，∴圖象與x軸圍成的三角形面積為，故答案為：16；④令，則，解得，，∴由圖像可知，當時，直接寫出x的取值范圍或．基礎鞏固一、單選題1．（2024·廣東梅州·一模）如圖所示，在平面直角坐標系中，點關于的對稱點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了點的坐標，設點關于的對稱點的坐標為，則，，即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：設點關于的對稱點的坐標為，∴點是的中點，∴，則，，則，∴點的坐標為，故選：C．2．（2024·廣東揭陽·一模）過點和點作直線，則直線（

）A．平行于軸 B．平行于軸C．與軸相交 D．與軸垂直【答案】B【分析】本題考查了坐標與圖形，根據平行于軸的直線上的點的縱坐標相等，平行于軸的直線上的點的橫坐標相等結合點的坐標即可得出答案．【詳解】解：平行于軸的直線上的點的縱坐標相等，平行于軸的直線上的點的橫坐標相等，且點和點的縱坐標相等，直線平行于軸，故選：B．3．（2024·廣東茂名·一模）已知點在第四象限，則x的取值范圍在數軸上可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了平面直角坐標系內符號特征，解一元一次不等式，根據第四象限的點的橫坐標是正數可得不等式，求出解集，即可得出答案．【詳解】∵點在第四象限，∴，解得．在數軸上表示為：故選：A．4．（2023·廣東湛江·模擬預測）在平面直角坐標系中，第四象限內有一點，它到x軸的距離為（）A．3 B． C．4 D．【答案】C【分析】本題考查了點到坐標軸的距離，用到的知識點為點到x軸的距離為點的縱坐標的絕對值，根據點到x軸的距離為點的縱坐標的絕對值直接求解即可．【詳解】解：點到x軸的距離是：．故選：C．5．（2024·廣東惠州·模擬預測）在函數中，自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查當函數是二次根式時自變量的取值范圍是使被開方數不小于零的實數，再列不等式求解即可．【詳解】解：由題意可得：，解得：，故選A．6．（2024·廣東江門·模擬預測）“漏壺”是一種古代計時器，在它內部盛一定量的水，水從壺下的小孔漏出．壺內壁有刻度，人們根據壺中水面的位置計算時間．用x表示漏水時間，y表示壺底到水面的高度．下列哪個圖象適合表示y與x的對應關系？（不考慮水量變化對壓力的影響）（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查函數圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．根據題意，可知y隨的增大而減小，符合一次函數圖象，從而可以解答本題．【詳解】解：∵不考慮水量變化對壓力的影響，水從壺底小孔均勻漏出，x表示漏水時間，y表示壺底到水面的高度，∴y隨x的增大而勻速的減小，符合一次函數圖象，∴選項C圖象適合表示y與x的對應關系．故選：C．二、填空題7．（2024·廣東廣州·模擬預測）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，點，若三角形為等邊三角形，則點的坐標是．【答案】或【分析】本題考查坐標與圖形，設，根據等邊三角形的三邊相等，結合兩點間的距離公式，列式求解即可．【詳解】解：設，∵，∴，，，∵為等邊三角形，∴，解得：或，∴點坐標為或；故答案為：或．8．（2022·廣東東莞·一模）中國象棋具有悠久的歷史，戰國時期，就有了關于象棋的正式記載，如圖是中國象棋棋局的一部分，如果用（0，0）表示“士”的位置，那么“將”的位置應表示為．【答案】(-1，1)【分析】根據題意建立直角坐標系，直接讀出坐標即可．【詳解】解：根據題意建立如圖所示直角坐標系，直接讀出“將”位置的坐標為（-1，1），故答案為：（-1，1）．【點睛】題目主要考查坐標與位置，理解題意，建立直角坐標系是解題關鍵．9．（2024·廣東汕頭·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中有菱形，點坐標為，點是對角線上一動點，點坐標為，則最小值為．【答案】【分析】本題主要考查坐標與圖形，軸對稱最短問題、菱形的性質、勾股定理，學會利用軸對稱解決最短問題是解題的關鍵．如圖，連接，．利用勾股定理求出，證明，可得，由此即可解答．【詳解】解：如圖，連接，．，，，四邊形是菱形，點、點關于對稱，，，，的最小值為．故答案為：．三、解答題10．（2024·廣東惠州·三模）綜合探究請根據學習函數的經驗，將下列探究函數的圖象與性質的過程補充完整：(1)函數的自變量的取值范圍是__________．(2)下表列出了與的幾組對應值，請寫出其中的值__________，__________；023421(3)在如圖所示的平面直角坐標系中，描出以（2）表中各組對應值為坐標的點，并畫出該函數的圖象；(4)根據圖象直接寫出時的取值范圍：__________．【答案】(1)(2)，(3)見解析(4)或【分析】本題考查了反比例函數的圖象與性質，函數自變量的取值范圍．數形結合是解題的關鍵．（1）由題意知，，計算求解即可；（2）將，分別代入，計算求解即可；（3）先描點，然后連線作圖象即可；（4）數形結合求的解集即可．【詳解】（1）解：由題意知，，解得，，故答案為：；（2）解：將代入得，，將代入得，，解得，，經檢驗是原分式方程的解，故答案為：，；（3）解：作圖象如下；（4）解：由圖象可知，的解集為或，故答案為：或．11．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知點，，．(1)請自行建立平面直角坐標系并作；(2)尺規作圖：作的角平分線交于點（保留作圖痕跡，不寫作法）；(3)請你在水平方向平移使得點、、中恰有兩點在反比例函數的圖像上．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析(3)圖見解析【分析】（1）建立直角坐標系，畫出即可；（2）利用尺規作角平分線的方法作圖即可；（3）分向左和向右平移兩種情況，進行討論即可．【詳解】（1）解：建立直角坐標系，畫出，如圖所示；（2）如圖，即為所求；（3）當向右平移個單位時，則：，∴當在反比例函數圖象上時：，解得：（舍去）；當在反比例函數圖象上時：，解得：（舍去）；當向左平移個單位時，則：，∴當在反比例函數圖象上時：，解得：；當在反比例函數圖象上時：，解得：；∴平移后的如圖：【點睛】本題考查坐標與圖形，坐標與平移，反比例函數圖象上的點，尺規作圖—作角平分線，熟練掌握相關知識點，正確的作圖，是解題的關鍵．能力提升一、單選題1．（2024·廣東·模擬預測）如圖，已知菱形的頂點，若菱形繞點逆時針旋轉，每秒旋轉，則第20秒時，菱形的對角線交點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查坐標的變化規律、旋轉的性質、菱形的性質等知識，找到每旋轉8秒，菱形的對角線交點就回到原來的位置由得到第20秒時是把菱形繞點逆時針旋轉了2周回到原來位置后，又旋轉了4秒，即又旋轉了，即可可求出答案.【詳解】解：菱形的頂點，與軸的夾角為∵菱形的對角線互相垂直平分，點是線段的中點，點的坐標是∵菱形繞點逆時針旋轉，每秒旋轉∴每旋轉8秒，菱形的對角線交點就回到原來的位置∵∴第20秒時是把菱形繞點逆時針旋轉了2周回到原來位置后，又旋轉了4秒，即又旋轉了，∴點的對應點落在第三象限，且對應點與點關于原點成中心對稱，第20秒時，菱形的對角線交點的坐標為．故選：B2．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，在單位長度為1米的平面直角坐標系中，曲線是由半徑為2米，圓心角為的弧多次復制并首尾連接而成．現有一點從（為坐標原點）出發，以每秒米的速度沿曲線向右運動，則在第2024秒時點的縱坐標為（）A． B． C．0 D．1【答案】C【分析】本題考查弧長的計算、點的坐標的特點，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．根據題意和圖形，可以求得弧的長，然后由圖可知，每走兩個弧為一個循環，然后即可得到在第2024秒時點P的縱坐標．【詳解】解：（米）；∵（秒），∴每4秒一個循環，∵，∴在第2024秒時點P的縱坐標為0，故選：C．3．（2024·海南海口·二模）如圖1，在矩形中，，動點P由點E出發，沿點的方向運動，設點P的運動路程為x，的面積為y，y與x的函數關系如圖2所示，當時，y的值為（）A． B．5 C． D．6【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質．延長相交于點F，過點P作于點H，通過證明推出當點P在上時，y隨x的增大而增大，則當時，點P點C重合時，y取最大值，當時，點P與點D重合，進而求出各條線段的長度，即可解答．【詳解】解：當點P在上時，延長相交于點F，過點P作于點H，∵，，∴，∴，∴，∵均為定值，∴隨的增大而增大，∵當點P在上時，，∴當點P在上時，y隨x的增大而增大，由圖2可知，當時，點P點C重合時，y取最大值，當時，點P與點D重合，∵，∴，∴，∴，當時，點P在上，此時，∴．故選：C．4．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在中，，．與矩形的一邊都在直線上，其中、、，且點位于點處．將沿直線，向右平移，直到點與點重合為止．記點平移的距離為，與矩形重疊區域面積為y，則y關于x的函數圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據經過點和經過點時計算出和，再分，和三種情況討論，畫出圖形，利用面積公式解答即可．【詳解】解：當經過點時，如圖所示：為等腰直角三角形，，，，；當經過點時，如圖所示：，，，；①當時，如圖所示：此時，，，；②當時，如圖所示：過作于，此時，，，，，，四邊形是矩形，，；③當時，如圖所示：此時，，，，，，，，，，，，．故選：D．【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，等腰直角三角形的性質，矩形的性質，解三角形等知識，關鍵是畫出圖形，利用數形結合和分類討論的思想進行運算．5（2024·廣東梅州·一模）如圖，在等腰梯形中，，，，點沿從點出發向點勻速移動．過點作，交折線于點，記的面積為，則關于時間的函數圖像大致是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】分三種情況：當點在線段上；當點在線段上；當點在線段上．分別用含表示出每一種情況的即可．【詳解】解：根據題意知：點的速度為，運動時間為，則，過點作于點，∵，∴，∵在等腰梯形中，，，，∴，設，當點在線段上，，，∴的面積：，∵，，∴，此時關于時間的函數圖像是開口向上且經過原點并位于第一象限的拋物線的一部分；當點在線段上，在中，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴的面積：，此時關于時間的函數圖像是正比例函數圖像的一部分；當點在線段上，則，∴，∴的面積：，∵，，∴，此時關于時間的函數圖像是開口向下的拋物線的一部分；綜上所述，關于時間的函數圖像大致是選項D所表示的圖像，故選：D．【點睛】本題考查動點問題的函數圖像，等腰梯形的性質，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質，二次函數的定義及圖像，正比例函數的定義及圖像等知識點，運用了分類討論的思想．明確題意，找出所求問題需要的條件是解題的關鍵．二、填空題6．（2024·廣東·模擬預測）物理課上老師講到鏡面成像時提到老花鏡鏡片的度數與焦距呈反比例函數的關系，引起了大家探究的興趣．小明找了幾副度數不同的老花鏡，讓鏡片正對著太陽光，并上下移動鏡片，直到地上的光斑最小．此時他測量了鏡片與光斑的距離，得到如下數據：老花鏡的度數度鏡片與光斑的距離根據以上數據，當老花鏡的鏡片與光斑的距離為時，老花鏡的度數是度．【答案】【分析】本題考查了用待定系數法求反比例函數的解析式，反比例函數的性質，設，利用待定系數法求出反比例函數的解析式，再把代入計算即可求解，正確求出反比例函數的解析式是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可知：D與f成反比例函數，設，把代入得，，∴，∴，當時，，故答案為：．7．（2024·廣東梅州·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，將△ABO沿x軸向右無滑動的滾動到的位置，再到的位置…依次進行下去，若已知點，則點的坐標為．【答案】【分析】本題考查了規律型：點的坐標，解決本題的關鍵是靈活運用旋轉的知識．根據點得，再根據旋轉的過程尋找規律即可求解．【詳解】解：∵，點，∴，根據旋轉可知：∴，所以點；繼續旋轉得，；…發現規律：．所以點的坐標為．故答案為：．8．（2023·廣東清遠·三模）小華和小蘭兩家相距2400米，他們相約到兩家之間的劇院看戲，兩人同時從家出發勻速前行，出發15分鐘后，小華發現忘帶門票，立即以原來速度的倍返回家中，取完東西后仍以返回時的速度去見小蘭；而小蘭在出發30分鐘時到達劇院，等待10分鐘后未見小華，于是仍以原來的速度，從劇院出發前往小華家，途中兩人相遇．假設小華掉頭、取票時間均忽略不計．兩人之間的距離y（米）與小華出發時間x（分鐘）之間的關系如圖所示，則當兩人相遇時，小蘭距離劇院有米．

【答案】120【分析】本題考查了一次函數的應用，解題關鍵是讀懂函數圖象；先求出小蘭和小華的速度