第二章方程（組）與不等式（組）第05講一次方程（組）及其應用（6~8分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一等式的基本性質(zhì)考點二一元一次方程考點三二元一次方程（組）考點四一次方程（組）的應用04題型精研·考向洞悉命題點一等式的基礎性質(zhì)?題型01利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤?題型02利用等式的性質(zhì)求解命題點二一元一次方程?題型01判斷一元一次方程及其解?題型02解一元一次方程?題型03一元一次方程解的綜合問題命題點三二元一次方程（組）?題型01二元一次方程（組）的概念?題型02解二元一次方程組?題型03二元一次方程組特殊解法?題型04構(gòu)造二元一次方程組求解?題型05已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)命題點三一次方程的應用?題型01配套問題?題型02工程問題?題型03銷售盈虧問題?題型04比賽積分問題?題型05方案選擇問題?題型06數(shù)字問題?題型07和差倍分問題?題型08日歷問題?題型09幾何問題?題型10行程問題命題點四利用二元一次方程解決實際問題?題型01方案問題?題型02行程問題?題型03利潤問題?題型04和差倍問題?題型05幾何問題05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預測等式的基本性質(zhì)理解等式的基本性質(zhì)10年7考一元一次方程與二元一次方程（組）在初中數(shù)學中因為未知數(shù)的最高次數(shù)都是一次，且都是整式方程,所以統(tǒng)稱為“一次方程”.中考中，對于這兩個方程的解法及其應用一直都有考察，其中對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應用上也是中考代數(shù)部分結(jié)合型較強的一類考點.預計2025年各地中考還將繼續(xù)考查一次方程的解法和應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握．一元一次方程能解一元一次方程近10年連續(xù)考查二元一次方程（組）掌握消元法，能解二元一次方程組能解簡單的三元一次方程組[選學]10年8考一次方程（組）的應用利用一次方程求解實際問題10年9考考點一等式的基本性質(zhì)1.利用等式的性質(zhì)進行變形時，等式兩邊都要參加運算，而且是同一種運算.21.利用等式的性質(zhì)進行變形時，等式兩邊都要參加運算，而且是同一種運算.2.運用等式的性質(zhì)2時，等式兩邊不能同時除以0，因為0不能作除數(shù)或分母.考點二一元一次方程一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程標準形式：ax+b=0（x為未知數(shù)，a、b是常數(shù)且a≠0）解一元一次方程的基本步驟：1.1.一元一次方程中未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù).2.一元一次方程只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)都為1.3.解方程的五個步驟有些可能用不到，有些可能重復使用，也不一定有固定的順序，要根據(jù)方程的特點靈活運用．4.對于分母中含有小數(shù)的一元一次方程．當分母中含有一位小數(shù)時，含分母項的分子、分母都乘10，化分母中的小數(shù)為整數(shù)；當分母中含有兩位小數(shù)時，含分母項的分子、分母都乘100，化分母中的小數(shù)為整數(shù)．04題型精研·考向洞悉考點三二元一次方程（組）考點四一次方程（組）的應用用方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.與一次方程（組）有關應用題的常見類型：命題點一等式的基礎性質(zhì)?題型01利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤1．（2023·廣東佛山·模擬預測）下面各式的變形正確（

）A．由5，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】C【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)．解題的關鍵是掌握等式的性質(zhì)：、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或式子，等式仍成立；、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為的數(shù)或字母，等式仍成立．根據(jù)等式的性質(zhì)對各選項進行分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：解：A、由5，得，原變形正確，故此選項符合題意；B、由，得，原變形錯誤，故此選項不符合題意；C、由，得，原變形正確，故此選項符合題意；D、由，得，原變形錯誤，故此選項不符合題意．故選：C2．（2024·山東濰坊·模擬預測）已知等式，則下列等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐個判斷即可．本題考查了等式的性質(zhì)，能熟記等式的性質(zhì)是解此題的關鍵，注意：等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)或式子，等式仍成立；等式的性質(zhì)2：等式的兩邊都乘同一個數(shù)或式子，等式仍成立，等式的兩邊都除以同一個不等于0的數(shù)或式子，等式仍成立．【詳解】解：A．，等式兩邊都乘，得，故本選項不符合題意；B．，等式兩邊都減去5，得，故本選項符合題意；C．，等式兩邊都除以3，得，故本選項不符合題意；D．，等式兩邊都加1，得，故本選項符合題意故選：BD．3．（2024·貴州·模擬預測）如圖，在兩臺天平的左右兩邊分別放入“□”“”“”三種物體．若圖①所示的天平保持平衡，要使圖②的天平也保持平衡，則需在右盤放入“”的個數(shù)是（

）A． B． C．7 D．8【答案】B【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，代數(shù)式的求值．設□表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，由圖①可知，，由圖②中，可得，即可解答．【詳解】解：設□表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，由圖①知，，∴，∴圖②中，∴圖②中需在右盤放入“”的個數(shù)是，故選：B．4．（2024·貴州貴陽·一模）用“□”“△”“○”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示．設a，b，c均為正數(shù)，則能正確表示天平從左到右變化過程的等式變形為（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】A【分析】本題考查等式的性質(zhì)，根據(jù)天平兩端相等即可求得答案．【詳解】解：由圖形可得如果，那么，故選：A．?題型02利用等式的性質(zhì)求解5．（2024·安徽蚌埠·三模）若實數(shù)滿足，則代數(shù)式的值為（

）．A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】D【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值、等式的性質(zhì)等知識點，根據(jù)等式的性質(zhì)對等式進行變形成為解題的關鍵．由可得，然后對進行變形并將代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故選D．6．（2022·安徽·模擬預測）已知三個互不相等的非零實數(shù)，，滿足，則的值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】本題考查了等式性質(zhì)、平方差公式的應用及代數(shù)式求值，根據(jù)等式性質(zhì)進行變形得，，進而得出，由題意求出，再整體代入計算即可．【詳解】解：，，，，，．為互不相等的非零實數(shù)，，，．故選：D．7．（2024·安徽·模擬預測）已知實數(shù)a、b、c滿足，則下列命題為假命題的是（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】C【分析】本題考查了真假命題的判斷，完全平方公式的應用，等式的性質(zhì)．根據(jù)得出，結(jié)合等式的性質(zhì)，即可判斷A；結(jié)合完全平方公式，即可判斷B、D；根據(jù)等式的性質(zhì)，即可判斷C．【詳解】解：A、∵，，∴，∴，即，故A為真命題，不符合題意；B、∵，∴，∵，∴，則，故B為真命題，不符合題意；C、當時，∵，∴，則，當時，b為任意實數(shù)，當時，，解得，故C為假命題，符合題意；D、∵，，∴，整理得：，∴，解得：，故D為真命題，不符合題意；故選：C．8．（2022·安徽合肥·三模）已知a≠b，且a＋＝b＋則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)＋b＝0 B．a(chǎn)b＝1C．若a＋b＝0，則a－b＝2 D．若a－b＝2，則a＋b＝0【答案】D【分析】利用等式的性質(zhì)將代數(shù)式的變形計算即可【詳解】∵a＋＝b＋，∴a－b＋－＝0，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴選項A、B錯誤；當a＋b＝0時，與聯(lián)立，解得或，可得a－b＝－2或a－b＝2，故選項C錯誤；當a－b＝2時，與聯(lián)立，解得，可得a＋b＝0，故選項D正確；故選D【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)、代數(shù)式的化簡問題，根據(jù)已知條件逐項求解即可．命題點二一元一次方程?題型01判斷一元一次方程及其解9．（2024·廣西河池·三模）關于x的方程的解是，則a的值為（

）A． B．0 C．2 D．8【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的解的定義，根據(jù)題意將代入，即可求解．【詳解】解：依題意，解得：，故選：C．10．（2024·山東濟南·二模）若是關于的方程的解，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了一元一次方程的解，將代入方程，再解方程即可，解題的關鍵是正確理解方程的解的概念及應用．【詳解】把代入方程得，，解得：，故選：．11．（2024·海南·一模）已知是方程的解，則m的值為（

）A．2 B．8 C．0 D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟練掌握使方程左右兩邊同時成立的未知數(shù)的值是方程的解是解題的關鍵．根據(jù)是方程的解，得到關于的方程，解出即可求解．【詳解】解：∵是方程的解，∴，解得：．故選：A12．（2023·湖南永州·中考真題）關于x的一元一次方程的解為，則m的值為（

）A．3 B． C．7 D．【答案】A【分析】把代入再進行求解即可．【詳解】解：把代入得：，解得：．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解題的關鍵是掌握使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步驟．?題型02解一元一次方程13．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）下列等式是四位同學解方程過程中去分母的一步，其中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查解一元一次方程，把等式兩邊分別乘以即可求解．【詳解】解：，去分母得，，故選：C．14．（2024·廣東深圳·二模）下列變形，正確的是（

）A．由，移項，得B．由，去括號，得C．由，合并同類項，得D．由，去分母得【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的解法，注意移項變號、去分母每一項要同時乘以分母的最小公倍數(shù)、括號前是“”號，去括號時括號內(nèi)各項要變號，熟知一元一次方程解題步驟是關鍵．【詳解】解：A、原式移項得，移項時未變號；B、原式去括號得，括號前是“”號，去括號時括號內(nèi)各項要變號；C、原式合并同類項正確；D、原式去分母得，去分母時，每一項要同時乘以分母的最小公倍數(shù)．故選：C．15．（2023·內(nèi)蒙古包頭·模擬預測）解方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的不步驟是解題的關鍵．（1）按照去括號、移項合并同類項、系數(shù)化1得步驟解方程即可；（2）按照去分母、去括號、移項合并同類項、系數(shù)化1得步驟解方程即可；【詳解】（1）解：去括號得，移項合并同類項得，系數(shù)化為1得，（2）去分母得，去括號得，移項合并同類項得，系數(shù)化為1得，16．（2023·河北滄州·一模）對于任意四個有理數(shù)a，b，c，d，我們規(guī)定：，例如：，根據(jù)上述規(guī)定解決下列問題：(1)計算；(2)若，求x的值．【答案】(1)38(2)【分析】（1）根據(jù)所給的新定義進行求解即可；（2）根據(jù)所給的新定義建立方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：；（2）解：∵，∴，∴，解得．【點睛】本題主要考查了新定義下的實數(shù)運算，解一元一次方程，正確理解題意是解題的關鍵．?題型03一元一次方程解的綜合問題17．（2024·江蘇鹽城·一模）關于x的方程的解是，現(xiàn)給出另一個關于x的方程，則它的解是．【答案】2025【分析】此題考查解一元一次方程，根據(jù)兩個方程的特點得到所解方程的解為，由此求出x的值．【詳解】∵關于x的方程的解是，∴方程的解是,∴,故答案為2025．18．（2022·廣東廣州·一模）若關于x的方程的解為負數(shù)，則點（m，m+2）在第象限．【答案】三【分析】把m看作常數(shù)，根據(jù)一元一次方程的解法求出x的表達式，再根據(jù)方程的解是負數(shù)列不等式并求解即可．【詳解】由，得x=2+m．∵關于x的方程的解是負數(shù)，∴2+m＜0，解得m<-2∴(m，m+2)在第三象限故答案是：三．【點睛】本題考查了一元一次方程的解與解不等式，把m看作常數(shù)求出x的表達式是解題的關鍵．19．（2021·浙江溫州·一模）關于的方程的解是，現(xiàn)給出另一個關于的方程，則它的解是．【答案】2【分析】根據(jù)方程的解是，求得a，把a的值代入，轉(zhuǎn)化為新的一元一次方程，求解即可【詳解】∵方程的解是，∴2a=a+1+6，解得a=7，∴方程變形為：14（x-1）=8（x-1）+6，∴6（x-1）=6，∴x-1=1，∴x=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了一元一次方程的解及其解法，靈活運用方程的解代入求值，轉(zhuǎn)化為新方程求解是解題的關鍵．20．（2023·四川成都·二模）若實數(shù)a，b，c滿足，且，則．【答案】2【分析】先根據(jù)等式的性質(zhì)得：，，，再代入到等式中，得到關于k的一元一次方程，解這個方程即可．【詳解】解：由得：，，，代入到等式中，得：，解得：．故答案為：2．【點睛】本題考查了等式的基本性質(zhì)、代入消元法及一元一次方程的解法，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是本題的關鍵．命題點三二元一次方程（組）?題型01二元一次方程（組）的概念21．（2022·云南曲靖·一模）若方程是關于x、y的二元一次方程，則ab的值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得出關于、的二元一次方程組，解出、的值即可求出的值．【詳解】解：∵方程是關于x、y的二元一次方程∴解得：∴故選：A．【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義和解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組是解答本題的關鍵．22．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知關于x，y的二元一次方程組的解也是方程的解，則k的值為（

）A． B． C．2 D．無法計算【答案】C【分析】此題考查了解二元一次方程組，二元一次方程的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．把k看作已知數(shù)求出x與y，代入已知方程計算即可求出k的值．【詳解】解：由①②得：，解得：，把代入①得：，解得：，把，代入，得：，解得：，故選：C23．（2023·云南臨滄·三模）若是二元一次方程組的解，則為（）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】本題主要考查二元一次方程組的求解，掌握加減消元法解二元一次方程組的方法是解題的關鍵．根據(jù)題意，把的代入二元一次方程組，再根據(jù)加減消元法即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，把的值代入得，①②得，，把的值代入②得，，∴，故選：．24．（2024·廣東汕頭·一模）若關于x，y的方程組的解滿足，則的值為（

）A．8 B． C．6 D．【答案】B【分析】本題考查二次一次方程組含參問題，熟練掌握不等式組的解法是解題的關鍵，利用得：，即可得到，再將，代入即可得到答案．【詳解】解：得：，∴，∴，∴，∴，故選：B．?題型02解二元一次方程組25．（2023·天津東麗·二模）方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)代入法解二元一次方程組即可求解．【詳解】解：將代入得，，解得：，將代入，得，∴方程組的解為，故選：B．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題的關鍵．26．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知關于x，y的二元一次方程組，則的值為（

）A．12 B．9 C．6 D．4【答案】C【分析】本題考查解二元一次方程組，將兩個方程進行相減后，即可得出結(jié)果．【詳解】解：，，得：；故選C．27．（2024·廣東深圳·二模）解方程組：【答案】【分析】本題考查了解二元一次方程組，先整理原式得，再運用加減法進行解方程，即可作答．【詳解】解：∵，∴化簡得，，將，得將，得，∴，原方程組的解為：．28．（2024·廣東·模擬預測）解方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解二元一次方程組．（1）利用加減消元法進行計算即可；（2）先將方程組整理成一般式，再利用加減消元法求解可得．【詳解】（1）解：，，，解得，把代入①，，解得，∴原方程組的解是；（2）解：，化簡方程組可得，，得，，解得，將代入②，得，∴方程組的解為．?題型03二元一次方程組特殊解法29．（2024·山東·一模）已知，則的值分別為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式的加減和二元一次方程組的解法，先對等號右邊的分式進行加減，根據(jù)等號左右兩邊相等，得到關于的二元一次方程組，求解即可，根據(jù)分式方程的左右兩邊相等，得到關于的方程組是解題的關鍵．【詳解】解：∵，又∵，∴，∴，解得：，故選：A．30．（2023·甘肅平?jīng)觥と＃τ趚，y定義一種新運算“*”：，其中a，b為常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知：，，那么1*2運算的結(jié)果為（

）A．2 B． C．13 D．1【答案】C【分析】由題意知，，解得，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，解得，∴，故選：C．【點睛】本題考查了新定義運算，解二元一次方程組的應用，有理數(shù)的混合運算．解題的關鍵在于正確的解二元一次方程組．31．（2021·山東淄博·一模）若點與點是正比例函數(shù)圖象上關于原點的對稱點，則的值為（

）A． B． C．1 D．－1【答案】B【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征，列出方程組求得m、n的值后，再利用函數(shù)解析式即可求得k的值．【詳解】解：∵點A(1，m)與點B(m?n，n)關于原點對稱，∴．解得，．∴．∵點在正比例函數(shù)的圖象上，∴．故選：B【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特征和正比例函數(shù)、二元一次方程組的解法等知識點，熟知關于原點對稱的點的坐標特征是解題的關鍵．32．（2019·北京豐臺·一模）已知關于x，y的方程組的解．則關于x，y的方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】仿照已知方程組的解確定出所求方程組的解即可．【詳解】解：∵變形為又∵關于x，y的方程組的解．∴方程組的解滿足∴故選A．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值，熟練掌握換元思想是解本題的關鍵．?題型04構(gòu)造二元一次方程組求解33．（2022·廣東廣州·模擬預測）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代入”的解法：解：由①得將③代入②得：，即把代入③得，∴方程組的解為請你模仿小軍的“整體代入”法解方程組，解方程．【答案】【分析】按照閱讀材料提供的“整體代入”法把方程①代入方程②，得到，解得再將代入①得：，即可得出答案．【詳解】解：，將①代入②得：，即，將代入①得：，∴原方程組的解為：．【點睛】本題主要考查了特殊法解二元一次方程組，解決問題的關鍵是熟練掌握“整體代入”法，將一個代數(shù)式作為一個整體代入另一個方程．34．（2024·浙江溫州·二模）觀察以下二元一次方程組與對應的解：二元一次方程組

解

(1)通過歸納未知數(shù)系數(shù)與解的關系，直接寫出的解．(2)已知關于x，y的二元一次方程組（，）．①猜想該方程組的解；②將你猜想的解代入方程組檢驗并寫出過程．【答案】(1)(2)①；②見解析【分析】本題考查的是二元一次方程組的特殊解法，分式的加減運算，理解題干信息是解本題的關鍵．（1）根據(jù)題干信息歸納：當兩個未知數(shù)的系數(shù)的和相等，右邊的常數(shù)也相等時，方程組的解為右邊的常數(shù)除以系數(shù)和，從而可得答案；（2）①根據(jù)規(guī)律猜想即可；②把猜想的解分別代入方程組中的每個方程進行檢驗即可．【詳解】（1）解：由題意可得：的解是：；（2）解：①關于x，y的二元一次方程組的解是：；②把代入①的左邊可得：右邊，把代入②的左邊可得：右邊，∴是方程組的解．35．（2022·河北滄州·二模）解方程組．(1)下面給出了部分解答過程：將方程②變形：，即把方程①代入③得：…請完成解方程組的過程；(2)若方程的解滿足，求整數(shù)a的值．【答案】(1)(2)2或3【分析】（1）把方程①整體代入③得到關于y的方程，求得，再把代入①得到，從而得到方程組的解；（2）把方程組的解代入得到關于a的不等式組，解不等式組求出整數(shù)解即可．【詳解】（1）下面給出了部分解答過程：將方程②變形：，即把方程①代入③得：，解得：，把代入①得：，∴原方程組的解是；（2）由（1）可知方程的解為，∵方程的解滿足，∴，解得．∴整數(shù)a為2或3．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解法，一元一次不等式組的整數(shù)解等知識，讀懂題意，熟練掌握方程組和不等式組的解法是解題的關鍵．36．（22-23七年級下·河南安陽·期末）［閱讀理解]在解方程組或求代數(shù)式的值時，可以用整體代入或整體求值的方法，化繁為簡．（1）解方程組，解：把②代入①得，，解得，把代入②得，所以方程組的解為，（2）已知求的值．解：，得，③，得．［類比遷移]（1）求方程組的解．（2）若求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題干給出的方法解二元一次方程組即可；（2）利用整體的思想求出即可．【詳解】（1）把②代入①，得，解得．把代入②，得，∴方程組的解為；（2），得：，∴．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關鍵是熟練掌握解方程組的方法，準確計算，注意整體思想．?題型05已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)37．（2024·河北滄州·模擬預測）若關于x，y的二元一次方程組的解滿足，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查二元一次方程組的解，根據(jù)方程組的解滿足知道將兩方程相減是解題的關鍵．將方程組中兩個方程相減可得，根據(jù)可得關于k的不等式，繼而知k的范圍．【詳解】解：，得：，∵，∴，解得：，故選：C．38．（2024·山東臨沂·模擬預測）關于x，y的方程組的解中x與y的和小于5，則k的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查根據(jù)二元一次方程組的解的情況求參數(shù)、解一元一次不等式，把兩個方程相減，可得，進而可得，再求解即可．【詳解】解：，由得，，∵，∴，∴，故選：D．39．（2024·山東濟寧·一模）已知為整數(shù)，關于，的二元一次方程組的解滿足，則整數(shù)值為（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】D【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，求不等式組的解集．先利用加減消元法推出，再由推出，據(jù)此可得答案．【詳解】解：，①②得：，，，，，整數(shù)值為2025，故選：D．40．（2023·山東聊城·一模）若關于x，y的方程組的解滿足，則k的值為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】用整體思想①②，得，等式兩邊都除以6，得，再根據(jù)，從而計算出的值．【詳解】解：，①②，得，，，，．故選：C．【點睛】本題考查了二元一次方程的解、二元一次方程組的解，掌握用加減消元法解二元一次方程組是解題關鍵．命題點三一次方程的應用?題型01配套問題41．（2024·廣東深圳·三模）粽子作為中國歷史文化積淀最深厚的傳統(tǒng)食品之一，傳播甚遠，最初是用來是祭祀祖先神靈的貢品．某家庭制作的粽子禮盒每份由6個蛋黃肉粽和4個堿水粽組成．用1千克糯米可做24個蛋黃肉粽或16個堿水粽，現(xiàn)要用6千克糯米制作粽子，設用x千克糯米制作蛋黃肉粽，恰好使制作的蛋黃肉粽和堿水粽配套，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、找準等量關系成為解題的關鍵．設用x千克糯米制作蛋黃肉粽，則用千克糯米制作堿水粽，然后根據(jù)“粽子禮盒每份由6個蛋黃肉粽和4個堿水粽組成．用1千克糯米可做24個蛋黃肉粽或16個堿水粽”列方程即可．【詳解】解：設用x千克糯米制作蛋黃肉粽，則用千克糯米制作堿水粽，根據(jù)題意得．故選：B．42．（2024·廣東深圳·二模）龍泉窯是中國歷史上的一個名窯，宋代六大窯系，某龍泉窯瓷器工廠燒制龍泉青瓷茶具，每套茶具由1個茶壺和6只茶杯組成，用1千克瓷泥可做3個茶壺或9只茶杯，現(xiàn)要用6千克瓷泥制作這些茶具，設用x千克瓷泥做茶壺時，恰好使制作的茶壺和茶杯配套，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查一元一次方程解決實際問題．設用x千克瓷泥做茶壺，則可制作個茶壺，個茶杯，根據(jù)“每套茶具由1個茶壺和6只茶杯組成”即可列出方程．【詳解】解：設用x千克瓷泥做茶壺，則用千克瓷泥做茶杯，根據(jù)題意得：．故選：A43．（2023·廣東汕頭·一模）某車間有84名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，已知1個大齒輪和2個小齒輪配成一套．為使每天加工的大、小齒輪剛好配套，設每天加工大齒輪的有x人，則下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元一次方程的應用，設加工大齒輪的有x人，則加工小齒輪的有人，根據(jù)1個大齒輪和2個小齒輪配成一套，列出方程即可．【詳解】解：設加工大齒輪的有x人，則加工小齒輪的有人，根據(jù)題意得：．故選：A．?題型02工程問題44．（2024·新疆烏魯木齊·模擬預測）某工程甲單獨完成要25天，乙單獨完成要20天．若乙先單獨干10天，剩下的由甲單獨完成，設甲、乙一共用x天完成，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查一元一次方程的應用，明確題意，準確找出等量關系是解題的關鍵．設甲、乙一共用天完成，則剩下的甲單獨干天，然后根據(jù)題意，列出方程即可．【詳解】解：設甲、乙一共用天完成，則剩下的甲單獨干天，由題意可得：．故選：D．45．（2024·浙江·模擬預測）學校要制作一塊廣告牌，請來兩名工人，已知甲單獨完成需4天，乙單獨完成需6天，若先由乙做1天，再兩人合作，完成任務后共得到報酬900元，若按各人的工作量計算報酬，則分配方案為（

）A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，熟悉掌握工程問題中的數(shù)量關系是解題的關鍵．設兩人合作了天，根據(jù)甲的工作量乙的工作量剩余工作總量列出方程求解即可．【詳解】解：設兩人合作了天，∴由題意可得：解得：∴甲的工作量為∴甲的報酬為：元，∴乙的報酬為：元，故選：B．46．（2024·浙江紹興·一模）某市為緩解交通擁堵，決定修建高架快速路，原計劃用20個月完成這項工程，實際提前2個月完成該工程，求實際每月的工作效率比原計劃提高的百分比．若設實際每月的工作效率比原計劃提高的百分比是，則根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，根據(jù)結(jié)果比原計劃提前2個月完成交貨，列方程即可．【詳解】解：設實際每月的工作效率比原計劃提高的百分比是，根據(jù)題意，得故選：A．?題型03銷售盈虧問題47．（2024·山西大同·二模）2023年12月22日，第78屆聯(lián)合國大會協(xié)商一致通過決議，將春節(jié)（農(nóng)歷新年）確定聯(lián)合國假日，“中國年”升格為“世界年”．某商場購進一批“國潮”年貨禮盒，每盒進價為200元，為慶祝這一好消息，商場決定在12月22日，將這批“國潮”年貨禮盒按標價的8折銷售．若打8折后仍能獲利，則這批“國潮”年貨禮盒每盒的標價應為（

）A．220元 B．260元 C．300元 D．320元【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的應用之打折問題，熟練掌握打折問題的解法是解題的關鍵．設該服裝每件標價是x元，根據(jù)題意，得，求解即可．【詳解】解：設該服裝每件標價是x元，根據(jù)題意，得，解得，故選C．48．（2024·云南楚雄·二模）云南蒙自石榴是全國特色水果之一，是全國農(nóng)產(chǎn)品地理標志．它的果實呈淺紅色，果肉挺實，豐厚鮮美，甜酸嬌嫩，口感宜人，有清熱解毒、良性收斂肌膚等功效，深受群眾喜愛，成為人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢扇鄙俚拿朗常〖t到水果批發(fā)市場購買石榴，店里標注石榴每千克20元，她與老板經(jīng)過議價，老板同意在購買很多的情況下，按原價打九折賣給小紅．稱完質(zhì)量后，老板告訴小紅：“你比上一位顧客多買了5千克，打折后你比他按原價購買還少花10元．”則小紅購買石榴的質(zhì)量是（

）A．45千克 B．50千克 C．55千克 D．60千克【答案】C【分析】本題考查實際問題與一元一次方程，設小紅購買石榴的質(zhì)量是千克，則上一位顧客購買石榴的質(zhì)量是千克，根據(jù)小紅花的錢比上一位顧客少花10元，列式求解即可．【詳解】解：設小紅購買石榴的質(zhì)量是千克，則上一位顧客購買石榴的質(zhì)量是千克，根據(jù)題意得：，整理得，解得，答：小紅購買石榴的質(zhì)量是55千克，故選：C．49．（23-24八年級上·山東臨沂·期末）老師上課提出問題：“某超市的一種瓶裝飲料每箱售價為36元，五一期間對該瓶裝飲料進行促銷活動，買一箱送兩瓶，這相當于每瓶按原價九折銷售，求這家超市銷售這種飲料的原價每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下為四位同學列出的方程，正確的是（

）甲：設該品牌的飲料每瓶是元，則乙：設該品牌飲料每箱瓶，則丙：設該品牌的飲料每瓶是元，則丁：設該品牌飲料每箱瓶，則A．甲、乙 B．乙、丙 C．乙、丁 D．只有乙【答案】B【分析】本題考查了分式方程的應用，一元一次方程的應用，根據(jù)題意找出等量關系是解題的關鍵．根據(jù)題意可設這種飲料的原價每瓶是元，則根據(jù)等量關系“九折購買的飲料數(shù)量比元購買的一箱飲料的數(shù)量多2瓶”，或“一箱加2瓶的飲料九折后的價格是元”；若設每箱有瓶，則根據(jù)“購買一箱加2瓶時，每瓶的價格和每瓶九折后的價格相等”分別列出方程即可．【詳解】解：設這種飲料的原價每瓶是元，則有；設該種飲料每箱有瓶，則有，因此四位同學列出的方程中，乙、丙兩個同學是正確的，故B正確．故選：B．?題型04比賽積分問題50．（2022·河北石家莊·模擬預測）在全國足球甲級A組的前輪比賽中，某隊保持不敗，共積累分．按比賽規(guī)則，勝一場得分，平一場得分，那么該隊勝的場數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設該隊勝的場數(shù)是x，根據(jù)“某隊保持不敗，共積累分．按比賽規(guī)則，勝一場得分，平一場得分”列出方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設該隊勝的場數(shù)是x，則解得，即該隊勝的場數(shù)是6，故選：C【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，讀懂題意，正確列出方程是解題的關鍵．51．（2022·貴州銅仁·中考真題）為了增強學生的安全防范意識，某校初三（1）班班委舉行了一次安全知識搶答賽，搶答題一共20個，記分規(guī)則如下：每答對一個得5分，每答錯或不答一個扣1分．小紅一共得70分，則小紅答對的個數(shù)為（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】設小紅答對的個數(shù)為x個，根據(jù)搶答題一共20個，記分規(guī)則如下：每答對一個得5分，每答錯或不答一個扣1分，列出方程求解即可．【詳解】解：設小紅答對的個數(shù)為x個，由題意得，解得，故選B．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，正確理解題意是列出方程求解是解題的關鍵．52．（2019·廣東深圳·一模）在2018﹣2019賽季英超足球聯(lián)賽中，截止到3月12號止，藍月亮曼城隊在聯(lián)賽前30場比賽中只輸4場，其它場次全部保持不敗．共取得了74個積分暫列積分榜第一位．已知勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，設曼城隊一共勝了x場，則可列方程為（）A．3x+（30﹣x）＝74 B．x+3（30﹣x）＝74C．3x+（26﹣x）＝74 D．x+3（26﹣x）＝74【答案】C【分析】根據(jù)題意分析，可以設曼城隊一共勝了x場，則平了（30-x-4）場，找出等量關系：總積分=3×獲勝場數(shù)+1×踢平場數(shù)，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】設曼城隊一共勝了x場，則平了（30﹣x﹣4）場，依題意，得：3x+（30﹣x﹣4）＝74，即3x+（26﹣x）＝74．故選C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．?題型05方案選擇問題53．（2023·湖南岳陽·二模）《九章算術》中有一道闡述“盈不足術”的問題：今有共買物，人出八，盈三：人出七，不足四．問物價幾何？意思是：幾個人一起去購買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢：如果每人出7錢，則少了4錢，問該物品的價值多少錢？在這個問題中，該物品價值的錢數(shù)為（

）A．53 B．56 C．59 D．62【答案】A【分析】設人數(shù)為x，再根據(jù)兩種付費的總錢數(shù)一樣即可求解．【詳解】解：設人數(shù)為x，由題意得：解得：，∴該物品價值的錢數(shù)為，故答案選：A．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，難度不大，屬于基礎題型．解題的關鍵是找準等量關系并準確表示．54．（2022·湖北十堰·一模）《九章算術》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)，羊價各是多少？如果我們設合伙人數(shù)為x，則可列方程（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，可以列出相應的一元一次方程，本題得以解決．【詳解】解：設合伙人數(shù)為x，則可列方程為；故選：A【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程．55．（2020·北京朝陽·二模）某便利店的咖啡單價為10元/杯，為了吸引顧客，該店共推出了三種會員卡，如下表：例如，購買A類會員卡，1年內(nèi)購買50次咖啡，每次購買2杯，則消費40+2×50×（0.9×10）=940元.若小玲1年內(nèi)在該便利店購買咖啡的次數(shù)介于75~85次之間，且每次購買2杯，則最省錢的方式為A．購買A類會員卡 B．購買B類會員卡 C．購買C類會員卡 D．不購買會員卡【答案】C【分析】設一年內(nèi)在便利店購買咖啡x次，用x表示出購買各類會員年卡的消費費用，把x＝75、85代入計算，比較大小得到答案．【詳解】解：設一年內(nèi)在便利店購買咖啡x次，購買A類會員年卡，消費費用為40＋2×(0.9×10)x＝(40＋18x)元；購買B類會員年卡，消費費用為80＋2×(0.8×10)x＝(80＋16x)元；購買C類會員年卡，消費費用為130＋(10＋5)x＝(130＋15x)元；把x＝75代入得A：1390元；B：1280元；C：1255元，把x＝85代入得A：1570元；B：1440元；C：1405元，則小玲1年內(nèi)在該便利店購買咖啡的次數(shù)介于75～85次之間，且每次購買2杯，則最省錢的方式為購買C類會員年卡．故選：C．【點睛】本題考查的是一元一次方程的實際應用，根據(jù)題意正確列出函數(shù)式解題的關鍵．56．（2019·山西大同·二模）寒假期間，小剛組織同學一起去看科幻電影《流浪地球》，票價每張45元，20張以上（不含20張）打八折，他們一共花了900元，則他們買到的電影票的張數(shù)是（）A．20 B．22 C．25 D．20或25【答案】D【分析】本題分票價每張45元和票價每張45元的八折兩種情況討論，根據(jù)數(shù)量＝總價÷單價，列式計算即可求解．【詳解】①若購買的電影票不超過20張，則其數(shù)量為900÷45＝20（張）；②若購買的電影票超過20張，設購買了x張電影票，根據(jù)題意，得：45×x×80%＝900，解得：x＝25；綜上，共購買了20張或25張電影票；故選D．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，注意分類思想的實際運用，同時熟練掌握數(shù)量，總價和單價之間的關系．?題型06數(shù)字問題57．（2024·福建福州·模擬預測）把9個數(shù)填入的方格中，使其任意一行，任意一列及兩條對角線上的數(shù)之和都相等，這樣便構(gòu)成了一個“九宮格”．它源于我國古代的“洛書”（圖1），是世界上最早的“幻方”．圖2是僅可以看到部分數(shù)值的“九宮格”，則其中的值為（

）A．7 B．4 C．1 D．6【答案】C【分析】此題主要考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意得到方程求解．根據(jù)題意設左邊中間位置為c，左上為b．求出“九宮格”中的b、c，再求出a即可求解．【詳解】如圖，依題意可得，解得．∴，解得．，解得．故選：C．58．（2023·福建寧德·模擬預測）九宮格起源于中國古代的神秘圖案河圖和洛書如圖，將，，，，，，，，，填入九宮格內(nèi)，使每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的和都相等，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)第三橫行和第三豎行的和相等，可得出關于的一元一次方程，解方程即可求出的值．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，的值為．故選：．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及數(shù)學常識，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．59．（2023·山東濱州·一模）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數(shù)學符號翻譯出來，就是一個三階幻方（如圖1），將9個數(shù)填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數(shù)字之和都相等，就得到一個廣義的三階幻方．圖2的方格中填寫了一些數(shù)字和字母，若能構(gòu)成一個廣義的三階幻方，則（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【分析】根據(jù)三階幻方中的數(shù)字列方程求解即可．【詳解】解：由題意知，，解得，，即，解得，∴故選：A．【點睛】本題主要考查一元一次方程的知識以及零指數(shù)冪，熟練根據(jù)三階幻方列方程求解是解題的關鍵．60．（2022·廣東佛山·三模）我國古代的洛書中記載了最早的三階幻方九宮圖．在如圖所示的幻方中，每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)幻方中，每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的數(shù)字之和都相等列出方程，即可求解．【詳解】解：設幻方正中間的數(shù)字為，依題意得：，解得：．故選A．【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，正確理解題意是解題的關鍵．?題型07和差倍分問題61．（2024·遼寧·模擬預測）學校組織植樹活動，已知在甲處植樹的有人，在乙處植樹的有人現(xiàn)調(diào)人去支援，使在甲處植樹的人數(shù)是乙處植樹人數(shù)的倍，問應調(diào)往甲、乙兩處各多少人？設應調(diào)往甲處人，則所列方程正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的應用，設應調(diào)往甲處人，根據(jù)題意列出方程即可求解，根據(jù)題意找到等量關系是解題的關鍵．【詳解】解：設應調(diào)往甲處人，由題意可得，，故選：．62．（2024·廣東廣州·中考真題）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設該車企去年5月交付新車輛，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找出題目中的數(shù)量關系是解題關鍵．設該車企去年5月交付新車輛，根據(jù)“今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛”列出方程即可．【詳解】解：設該車企去年5月交付新車輛，根據(jù)題意得：，故選：A．63．（2024·浙江臺州·二模）在一次學農(nóng)活動中，在甲處勞動的有27人，在乙處勞動的有19人．現(xiàn)在另調(diào)20人去支援，使得在甲處的人數(shù)為在乙處人數(shù)的2倍，設調(diào)往甲處人，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．設應調(diào)往甲處人，那么調(diào)往乙處的人數(shù)是人，調(diào)動后甲處的人數(shù)是人，乙處的人數(shù)是人，根據(jù)在甲處勞動的人數(shù)為乙處人數(shù)的2倍，就可以列出方程即可．【詳解】解：設應調(diào)往甲處人，那么調(diào)往乙處的人數(shù)是人，根據(jù)題意得：．故選：D．?題型08日歷問題64．（2024·浙江·模擬預測）從某個月的月歷表中取一個方塊．已知這個方塊所圍成的4個方格的日期之和為44，求這4個方格中的日期．若設左上角的日期為x，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的應用．左上角的日期為x，則其余三個數(shù)分別為，，，根據(jù)和為44，列出方程即可．【詳解】解：設左上角的日期為x，依題意得，故選：C65．（2024·湖北武漢·一模）如圖所示的是某年2月份的月歷，其中“U型”、“十字型”兩個陰影圖形分別覆蓋其中五個數(shù)字（“U型”、“十字型”兩個陰影圖形可以重疊覆蓋，也可以上下左右移動），設“U型”覆蓋的五個數(shù)字之和為，“十字型”覆蓋的五個數(shù)字之和為．若，則的最大值為（

）A．201 B．211 C．221 D．236【答案】B【分析】此題重點考查列代數(shù)式、一元一次方程的解法、列一元一次方程解應用題等知識與方法，正確地用代數(shù)式表示“U型”覆蓋的每個數(shù)及“十字型”覆蓋的每個數(shù)是解題的關鍵．設U型陰影覆蓋的最小數(shù)字為a，十字形陰影覆蓋的中間數(shù)字為b，分別求出的代數(shù)式，根據(jù)得到a，b的關系，代入即可求解．【詳解】解：設U型陰影覆蓋的最小數(shù)字為a，則其他的數(shù)字分別是，，設十字形陰影覆蓋的中間數(shù)字為b，則其他數(shù)字分別是，，，，整理得：，即，，，隨a的增大而增大，在符合題意得情況下，當時，a有最大值16，此時，的最大值為：，故選：B．66．（2022·重慶渝中·二模）正整數(shù)1至300按一定的規(guī)律排列如表所示，若將表中三個涂黑的方框同時移動到表中其它的位置，使它們重新框出三個數(shù)，那么方框中三個數(shù)的和可能是（

）12345678910111213141516171819202122232425262728…A．315 B．416 C．530 D．644【答案】C【分析】設帶陰影的方框中，最小的數(shù)是則其他兩個是可得三個數(shù)的和是根據(jù)各選項列方程，解為正整數(shù)的符合題意．因為有7列，所以也要考慮在表格中的位置．【詳解】解：設帶陰影的方框中，最小的數(shù)是則其他兩個是∴三個數(shù)的和是A

若三個數(shù)的和是315，則解得∵x是正整數(shù)，∴A不符合題意．B

若三個數(shù)的和是416，則解得∵x是正整數(shù)，∴B不符合題意．C

若三個數(shù)的和是530，則解得則這三個數(shù)是172，178，180，故C符合題意．D

若三個數(shù)的和是644，則解得∵在第30行第7列，∴644不符合題意，∴D不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是找到三個數(shù)的規(guī)律，根據(jù)題意列方程．?題型09幾何問題67．（2024·河北保定·二模）如圖，直線，直線于點A，直線于點B，點P從點A出發(fā)，沿著箭頭方向前進，速度為；同時點Q從點B出發(fā)，沿著箭頭方向前進，速度為．兩點的運動時間為，直線a與b之間的距離為，則當點P與點Q距離最近時，t的值為（

）A．5 B．6 C．10 D．15【答案】B【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、平行線的距離、解一元一次方程等知識，關鍵是找到點P與點Q距離最近時的位置是解答的關鍵．先證明，進而得到當與直線c垂直時點P與點Q距離最近，此時直線，則，進而由已知列方程求解即可．【詳解】解：如圖，設直線d與直線a交于點C，∵直線，直線于點A，直線于點B，直線a與b之間的距離為，∴，，故當與直線d垂直時點P與點Q距離最近，此時直線∴，∴，解得，故選：B．68．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，點A，C分別表示數(shù)與5，點B在線段上，且，則點B對應的數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點距離計算，一元一次方程的應用，設點B對應的數(shù)為，則，據(jù)此建立方程，解方程即可．【詳解】解：設點B對應的數(shù)為，由題意得，，∵，∴，解得，∴點B對應的數(shù)為3，故選：C．69．（2023·浙江金華·模擬預測）一條數(shù)軸上有點、，點在線段上，其中點、表示的數(shù)分別是，，現(xiàn)以點為折點，將數(shù)軸向右對折，若點落在射線上，并且，則點表示的數(shù)是（）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，一元一次方程的應用．分類討論，根據(jù)對折得到是解題的關鍵．設點表示的數(shù)為，由題意知，分當在線段的延長線上和線段上，兩種情況分別求解即可．【詳解】解：設點表示的數(shù)為，分點在線段的延長線上，點在線段上兩種情況求解；①當在線段的延長線上時，，點表示的數(shù)為，，，解得：；②當在線段上時，，點表示的數(shù)為，，，解得：；∴點表示的數(shù)是或．故選：D．?題型10行程問題70．（2024·江蘇無錫·中考真題）《九章算術》中有一道“鳧雁相逢”問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經(jīng)過多少天相遇？設經(jīng)過天相遇，則下列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，根據(jù)題意可得野鴨的速度為，大雁的速度為，設經(jīng)過天相遇，則相遇時野鴨的路程+大雁的路程=總路程，據(jù)此即可列出方程．【詳解】解：設經(jīng)過天相遇，可列方程為：，故選：A．71．（2024·四川樂山·模擬預測）《九章算術》中有這樣一道題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相同時間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步為長度單位）．設走路快的人要走x步才能追上，則正確的是（

）A．依題意 B．依題意C．走路快的人要走200步才能追上 D．走路快的人要走300步才能追上【答案】B【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程以及數(shù)學常識，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．設走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用時間內(nèi)比走路慢的人多行100步，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：設走路快的人要走x步才能追上，則走路慢的人走，依題意，得：．故選：B．72．（2024·遼寧·模擬預測）我國古代名著《算學啟蒙》中有這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？意思是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？若設快馬x天可追上慢馬，則由題意可列方程（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．設快馬天可以追上慢馬，根據(jù)路程速度時間，即可得出關于的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：依題意，得：．故選：A．命題點四利用二元一次方程解決實際問題?題型01方案問題73．（2024·浙江金華·二模）一工坊用鐵皮制作糖果盒，每張鐵皮可制作盒身20個，或制作盒底30個，一個盒身與兩個盒底配成一套糖果盒．現(xiàn)有35張鐵皮，設用x張制作盒身，y張制作盒底，恰好配套制成糖果盒，則下列方程組中符合題意的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設用x張制作盒身，y張制作盒底，根據(jù)題意列出方程組即可．【詳解】解：設用x張制作盒身，y張制作盒底，根據(jù)題意得：，故選：B．74．（2024·浙江寧波·模擬預測）2024年元旦期間，小華和家人到汾河公園景區(qū)游玩，湖邊有大小兩種游船，小華發(fā)現(xiàn)：2艘大船與3艘小船一次共可以滿載游客人，1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客人．則1艘大船可以滿載游客的人數(shù)為（

）

A．15 B．16 C．17 D．19【答案】D【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：根據(jù)題意列出等量關系式．設1艘大船可以滿載游客人，1艘小船可以滿載游客人，由題意：2艘大船與3艘小船一次共可以滿載游客人，1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客人，列出二元一次方程組，解方程組，即可求解，【詳解】解：設1艘大船可以滿載游客人，1艘小船可以滿載游客人，依題意得：，解得：，即1艘大船可以滿載游客的人數(shù)為人，故選:．75．（2022·北京大興·二模）根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝（500克）和小瓶裝（250克）兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量（按瓶計算）比為2∶5．某廠每天生產(chǎn)這種消毒液22500000克，這些清毒液應該分裝大，小瓶兩種產(chǎn)品各多少瓶?設這些消毒液應該分裝大瓶x瓶，小瓶y瓶．依題意可列方程組為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，找出等量關系，列方程組．【詳解】解：，，方程組為，故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是從題目中找到等量關系，列出方程組．?題型02行程問題76．（2024·湖北武漢·模擬預測）甲、乙二人都以不變的速度在環(huán)形跑道上跑步，如果同時同地出發(fā)，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．則（

）A．甲每分跑圈，乙每分跑圈B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈C．甲每分跑圈，乙每分跑圈D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的應用．設甲的速度為，乙的速度為，環(huán)形路的長度為單位1，由題意得出二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】解：設甲的速度為，乙的速度為，環(huán)形路的長度為單位1，當甲比乙跑得快時，由題意得，解得，∴甲每分跑圈，乙每分跑圈，當乙跑得比甲快時，同理可得：甲每分跑圈，乙每分跑圈；故選：B．77．（2024·浙江寧波·一模）甲乙兩人練習跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．設甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，則可列出的方程組為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，確定等量關系即甲跑的路程等于乙的兩次跑的路程的和，列出方程即可，本題考查了二元一次方程組的應用，正確理解題意是解題的關鍵．【詳解】根據(jù)題意，得，故選B．78．（2023·浙江臺州·一模）作業(yè)本中有這樣一道題：“小明去郊游上午9時從家中出發(fā)，先走平路，然后登山，中午12時到達山頂，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3時到家．若他平路每小時走，登山每小時走，下山每小時走，求小明家到山頂?shù)穆烦蹋毙±畈榭唇獯饡r發(fā)現(xiàn)答案中的方程組中有污損，，則答案中另一個方程應為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可知a表示上山所用時間，b表示下山所用時間，分別求出從家到山頂、從山頂?shù)郊宜玫臅r間，兩者之差等于上山與下山所用時間之差，由此可列等式．【詳解】解：由題意知，表示上山的路程等于下山的路程，a表示上山用的時間，b表示下山用的時間，由題意知，小明從家到山頂所用時間為，從山頂回到家所用時間為，上山比下山多用時間為：，，故選：C．【點睛】本題考查列二元一次方程組，解題的關鍵是理解方程中a，b的含義．?題型03利潤問題79．（2024·安徽·一模）某學校為了打造“書香校園”，豐富師生的業(yè)余文化生活，計劃采購，兩種圖書，已知采購2本種圖書和3本種圖書共需110元，采購1本種圖書和5本種圖書共需160元，則，兩種圖書的單價分別為（

）A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元【答案】A【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設，兩種圖書的單價分別為元，元，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可求解．【詳解】解：設，兩種圖書的單價分別為元，元，根據(jù)題意得，解得：即，兩種圖書的單價分別為10元、30元，故選：A．80．（2023·云南曲靖·一模）英語吳老師準備購買清華紀念徽章和北大紀念書簽獎勵英語口語考試滿分的同學，據(jù)了解，購買5枚徽章和2枚書簽共需元，購買3枚徽章和2枚書簽共需元，則徽章和書簽的單價分別是（

）A．元，元 B．元，元 C．元，元 D．元，元【答案】D【分析】設徽章和書簽的單價分別是x元，y元，根據(jù)費用列方程組直接求解即可得到答案；【詳解】解：設徽章和書簽的單價分別是x元，y元，由題意可得，，解得：，故選D；【點睛】本題考查二元一次方程組解決實際應用題，解題的關鍵是找到等量關系式．81．（2022·浙江金華·模擬預測）某商場按定價銷售某種商品時，每件可獲利45元；按定價的8.5折銷售該商品8件與將定價降低35元銷售該商品12件所獲利潤相等．該商品的進價、定價分別是（

）A．95元，140元 B．155元，200元C．100元，145元 D．150元，195元【答案】B【分析】設每件商品定價x元，進價y元，由題意表示出銷售8件和銷售12件的利潤，進而列出方程組，求出方程組的解即可．【詳解】解：設每件商品定價x元，進價y元，根據(jù)題意得：，解得：，即該商品每件進價155元，定價每件200元，故選：B．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，找出正確等量關系，列出二元一次方程組是解題的關鍵．?題型04和差倍問題82．（2019·湖南永州·三模）古代“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索．索比竿子長一托，折回索卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索．用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．則繩索和竿長分別為（

）A．30尺和15尺 B．25尺和20尺 C．20尺和15尺 D．15尺和10尺【答案】C【分析】設繩索長y尺，竿長x尺，根據(jù)“用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：設繩索長y尺，竿長x尺，根據(jù)題意得：，解得：，∴繩索和竿長分別為20尺和15尺，故選C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．83．（2019·山西太原·二模）據(jù)國家統(tǒng)計局山西調(diào)查總隊抽樣調(diào)查結(jié)果，2018年山西省糧食總產(chǎn)量為138.04億千克，比上年增加2.53億千克．其中，夏糧產(chǎn)量比上年減產(chǎn)1.65%，秋糧產(chǎn)量比上年增產(chǎn)2.6%，若設2017年山西省夏糧產(chǎn)量為x億千克，秋糧產(chǎn)量為y億千克，則根據(jù)題意列出的方程組為()A．B．C．D．【答案】C【分析】設2017年山西省夏糧產(chǎn)量為x億千克，秋糧產(chǎn)量為y億千克，根據(jù)關鍵描述語“2018年山西省糧食總產(chǎn)量為138.04億千克，比上年增加2.53億千克”、“夏糧產(chǎn)量比上年減產(chǎn)1.65%，秋糧產(chǎn)量比上年增產(chǎn)2.6%”列出方程組．【詳解】解：設2017年山西省夏糧產(chǎn)量為x億千克，秋糧產(chǎn)量為y億千克，由題意知，．故選C．【點睛】考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，根據(jù)實際問題中的條件列方程組時，要注意抓住題目中的一些關鍵性詞語，找出等量關系，列出方程組．84．（2019·浙江寧波·一模）某加工廠有工人50名，生產(chǎn)某種一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天平均生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套？設應安排x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，則所列方程組為()A． B． C． D．【答案】B【分析】本題的等量關系為：生產(chǎn)螺栓的工人人數(shù)+生產(chǎn)螺母的工人人數(shù)＝50；生產(chǎn)的螺栓的數(shù)量×2＝生產(chǎn)的螺母的數(shù)量．由此可列出方程組【詳解】設生產(chǎn)螺栓的有x人，生產(chǎn)螺母的有y人．由題意，得，故選B．【點睛】此題主要考查了二元一次方程組的應用，解題關鍵是弄清題意，合適的等量關系，列出方程組．?題型05幾何問題85．（2023·新疆烏魯木齊·二模）如圖，在長為15，寬為12的矩形中，有形狀、大小完全相同的5個小矩形，若求陰影部分的面積，應先求一個小矩形的面積，設小矩形的長為x，寬為y，則列方程組為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形體現(xiàn)的小矩形的長的2倍與寬的兩倍的和是15，長是寬的3倍，即可得到方程組．【詳解】解：設小矩形的長為x，寬為y，則可得故選：C【點睛】此題考查了二元一次方程組的應用，讀懂題意，找對等量關系是列方程組的關鍵．86．（2023·河北保定·二模）張師傅要制作一個無蓋長方體玻璃魚缸，切割出來的幾塊玻璃的尺寸如圖所示（單位：dm），則其體積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】設長方體底面的長和寬分別，，根據(jù)其平面展開圖的相關數(shù)據(jù)可得關于x、y的二元一次方程組，然后根據(jù)長方體的體積公式求解即可.【詳解】解：設長方體底面的長和寬分別，，由平面圖可知，，解得；故魚缸的體積為.故選A.【點睛】本題考查了長方體的平面展開圖以及二元一次方程組等知識，弄清長方體的展開圖與圓長方體中長、寬、高的關系是解題的關鍵.87．（2022·河北石家莊·三模）如圖所示的是由截面為同一種長方形的墻磚粘貼的部分墻面，其中三塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低，兩塊豎放的墻磚比兩塊橫放的墻磚高，則每塊墻磚的截面面積是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設每塊墻磚的長為，寬為，觀察圖形，根據(jù)長方形墻磚長寬之間的關系，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可求出x，y的值，再利用長方形的面積計算公式，即可求出每塊墻磚的截面面積．【詳解】解：設每塊墻磚的長為，寬為，由題意得：，解得：，∴，∴每塊墻磚的截面面積是．故選：B．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．基礎鞏固一、單選題1．（2024·廣東佛山·三模）小明做作業(yè)時發(fā)現(xiàn)方程已被墨水污染：電話詢問老師后知道：方程的解且被墨水遮蓋的是一個常數(shù)．則該常數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了一元一次方程的解．設被污染的常數(shù)■是a，把代入計算即可求出a的值．【詳解】解：設被污染的常數(shù)■是a，把代入，得：，解得，故選A．2．（2024·廣東河源·二模）若是關于x的方程的解，則的值是（

）A． B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】本題考查一元一次方程的解，將代入方程，求出的值，從而求出的值．掌握其解法是本題的關鍵．【詳解】解：將代入方程，得，解得，則．故選：D．3．（2024·廣東肇慶·一模）當時，與互為相反數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了解一元一次方程，代數(shù)式求值，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：當時，，依題意，解得：，故選：A．4．（2024·廣東江門·模擬預測）二元一次方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查解二元一次方程組，運用加減消元法求解即可【詳解】解：得，，解得，，把代入②得，，解得，，∴方程組的解為，故選：D5．（2023·四川成都·模擬預測）成語“朝三暮四”講述了一位老翁喂養(yǎng)猴子的故事，老翁為了限定猴子的食量分早晚兩次投喂，早上的糧食是晚上的，猴子們對于這個安排很不滿意，于是老翁進行調(diào)整，從晚上的糧食中取千克放在早上投喂，這樣早上的糧食是晚上的，猴子們對這樣的安排非常滿意．設調(diào)整前早上的糧食是千克，晚上的糧食是千克，則可列方程組為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查二元一次方程組的應用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．根據(jù)調(diào)整前和調(diào)整后分別列式，可列二元一次方程組，即可選出答案．【詳解】解：∵調(diào)整前早上的糧食是千克，晚上的糧食是千克，且早上的糧食是晚上的，∴．∵老翁從晚上的糧食中取千克放在早上投喂后，∴早上糧食為千克，晚上糧食為千克，∵調(diào)整后早上的糧食是晚上的，∴，∴可列方程組，故選B．6．（2024·遼寧遼陽·一模）我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子去量竿，卻比竿子短一托．”題目大意是：現(xiàn)有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短了5尺．設竿長為尺，繩索長為尺，則符合題意的方程組是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查古代問題與二元一次方程組，根據(jù)用繩索去量竿，繩索比竿長5尺，如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短了5尺，列方程即可．【詳解】解：設竿長為x尺，繩索長為y尺，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺，，將繩索對半折后再去量竿，就比竿短了5尺，，，故選：B．7．（2024·廣東廣州·一模）若關于的一個一元一次不等式組的解集為(為常數(shù)且)，則稱為這個不等式組的“解集中點”．若關于的不等式組的解集中點大于方程的解且小于方程的解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查解一元一次不等式組，解一元一次方程，先求出不等式組的解集、方程的解和方程的解，再根據(jù)關于的不等式組的解集中點大于方程的解且小于方程的解，即可得到的取值范圍，解題的關鍵是熟練掌握解一元一次不等式組的方法和解一元一次方程的方法．【詳解】由可得：，方程的解為，方程的解為，∵關于的不等式組的解集中點大于方程的解且小于方程的解，∴，解得，故選：．8．（2024·廣東深圳·二模）下圖是明代數(shù)學家程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中的一個問題，其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩：如果每人分九兩，則還差八兩．設共有銀子x兩，共有y人，則所列方程（組）錯誤的是（

）隔壁聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤.《算法統(tǒng)宗》注：明代時1斤=16兩，故有“半斤八兩”這個成語A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程以及數(shù)學常識，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．根據(jù)“如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九，則還差八兩”，即可列出關于x或y的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：∵如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九，則還差八兩．∴或或．故選：D．二、填空題9．（2024·貴州貴陽·二模）已知關于的方程的解是，則的值為．【答案】【分析】把方程的解代入原方程，方程左右兩邊相等得到關于的方程，解方程即可．本題考查了一元一次方程的解，解題的關鍵是知道使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．【詳解】解：把代入方程中得：，，故答案為：．10．（2024·湖南·二模）古代中國的數(shù)學專著《九章算術》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩，今有干絲一十二斤，問生絲幾何？”現(xiàn)有一類似問題：今有新鮮冬筍30斤，干燥后會損耗24斤，若干燥后得到的干冬筍是12斤，則原有新鮮冬筍斤．【答案】60【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，正確找到等量關系是解題關鍵．可設原有生絲為斤，根據(jù)比值是一定的，列出方程計算即可求解．【詳解】解：設新鮮冬筍為斤，，解得．故新鮮冬筍為斤．故答案為：．11．（2024·河北秦皇島·二模）七（1）班的學生分成三個小組，利用星期日的時間去參加公益活動，第一組有學生名，第二組的學生人數(shù)比第一組學生人數(shù)的2倍少10人，第三組的學生人數(shù)是第二組學生人數(shù)的一半．（1）七（1）班共有名學生；（2）若七（1）班共有45名學生，則的值為．【答案】15【分析】本題考查列代數(shù)式、整式加減運算等知識，根據(jù)第一組有學生名，得到第二組的學生人數(shù)和第三組的學生人數(shù)，三組人數(shù)求和即可得到七（1）班學生總數(shù)；再由七（1）班共有45名學生，列方程求解即可得到答案，讀懂題意，列出代數(shù)式及一元一次方程求解是解決問題的關鍵．【詳解】解：（1）第一組有學生名，第二組的學生人數(shù)比第一組學生人數(shù)的2倍少10人，第三組的學生人數(shù)是第二組學生人數(shù)的一半，第二組的學生人數(shù)是人；第三組的學生人數(shù)是人，七（1）班共有名學生；（2）七（1）班共有45名學生，，解得；故答案為：（1）；（2）15．三、解答題12．（2024·安徽合肥·模擬預測）某商場銷售A，B兩種品牌的營養(yǎng)早餐牛奶，其中A品牌牛奶原售價為60元/箱，B品牌牛奶原售價為80元/箱．某校決定在該商場購進A，B兩種品牌牛奶共100箱，恰逢商場對兩種品牌牛奶的售價進行調(diào)整，A品牌牛奶每箱售價比原售價降低了，B品牌牛奶每箱按原售價的8折出售．(1)設學校購進A品牌牛奶x箱，請直接在表格中填寫結(jié)果；品牌購買單價（元/箱）購買量（箱）購買總價（元）Ax____________B____________(2)如果該校此次購買A，B兩種品牌牛奶的總費用為5800元，那么該校此次購買多少箱B品牌牛奶？【答案】(1)見解析(2)40箱【分析】本題考查的是一元一次方程的應用，理解題意是關鍵．（1）由單價乘以數(shù)量可得答案；（2）由購買A，B兩種品牌牛奶的總費用為5800元，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：填表如下：品牌購買單價（元/箱）購買量（箱）購買總價（元）AxB（2）解：由題意得，解得，∴（箱），答：該校此次購買40箱B品牌牛奶．13．（2024·山東臨沂·模擬預測）某商超采購員李伯伯到臨沂皇山蔬菜水果批發(fā)市場批發(fā)甲、乙兩種蔬菜，已知甲、乙兩種蔬菜的批發(fā)價和零售價如下表所示：品名甲蔬菜乙蔬菜批發(fā)價/（元/kg）零售價/（元/kg）(1)若他批發(fā)甲、乙兩種蔬菜共