第一章數與式第01講實數（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一實數的分類（高頻考點）考點二實數的相關概念（高頻考點）考點三科學記數法與近似數（高頻考點）考點四實數比較大小考點五平方根、算術平方根、立方根考點六實數的運算（高頻考點）04題型精研·考向洞悉命題點一實數的分類?題型01實數的分類?題型02無理數估值?題型03相反意義的量命題點二實數的分類?題型01用數軸上的點表示數?題型02數軸上兩個點的距離?題型03根據點數軸的位置判斷正負問題?題型04數軸上的動點問題?題型05判斷是否為相反數?題型06化簡多重符合?題型07相反數的應用?題型08求一個數的絕對值?題型09化簡絕對值?題型10絕對值非負性的應用?題型11乘方運算?題型12乘方的應用命題點三科學記數法與近似數?題型01用科學記數法表示數?題型02求一個數的近似數命題點四平方根、算術平方根、立方根?題型01求一個數的算術平方根?題型02利用算術平方根的非負性解題?題型03求估算算術平方根的取值范圍?題型04已知一個數的平方根，求這個數?題型05求一個數的立方根命題點五實數的運算?題型01實數的運算05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升01考情透視·目標導航考點要求新課標要求考查頻次命題預測實數的分類理解有理數、無理數的概念，知道實數是由有理數和無理數組成的10年7考實數這一考點在中考數學中屬于較為簡單的一類考點，在中考，實數的分類及相關概念主要以選擇題或填空題形式考查，比較簡單；科學記數法、近似數多以選擇題或填空題形式考查，有大數和小數兩種形式，有時帶“億”“萬”“千萬”等單位，做題時要仔細審題，切忽略單位；實數的大小比較常以選擇題形式出現，常與數軸結合考查；實數的運算考查形式多樣，多數以解答題形式出現，結合絕對值、銳角三函數、二次根式、平方根、立方根等知識考查.對于實數的復習，需要學生熟練掌握實數相關概念及其性質的應用、實數運算法則和順序等考點.實數的相關概念可以借助數軸理解相反數和絕對值的意義，會求實數的相反數、絕對值、倒數，知道實數與數軸上的點一一對應近10年連續考查科學記數法、近似數利用科學記數法簡化表示非常大或非常小的數，了解近似數，會按問題的要求進行簡單的近似計算10年8考實數比較大小靈活運用多種方法比較實數大小10年考平方根、算術平方根、立方根了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、算術平方根、立方根10年10考實數的相關計算掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步以內為主)；能運用有理數的運算解決簡單的問題，知道有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．10年10考02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一實數的分類（高頻考點）1、正負數的概念：大于0的數叫做正數.正數前面加上符號“-”的數叫負數.負數前面的負號“-”不能省略.0既不是正數，也不是負數.2、正負數的意義：表示具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，通常先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．3、整數和分數統稱為有理數（本質：能夠化為分數的形式）.無限不循環小數叫做無理數.有理數和無理數統稱為實數.4、實數的分類：1）按定義分類：2）按性質分類：1.有限小數和無限循環小數可以轉化為分數，因此有限小數和無限循環小數是有理數.（例：0.53（分數形式：QUOTE5310053100QUOTE???3100）、1.333333…（分數形式：QUOTE4343）等）.2.無限不循環小數不能化成分數，因此無限不循環小數不是有理數.(例如：π，QUOTE（不是分數）等).3.帶根號的數并不都是無理數，而開方開不盡的數才是無理數.4.對非負整數、非正整數、非負數、非正數分類時遺漏0.1．（2022·廣東東莞·三模）在，，，，，這六個數中，負數的個數有（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】先利用相反數、絕對值和乘方的意義計算出，，，然后根據實數的分類求解．【詳解】解：，，，所以這六個數中，負數為，，．故選：D．【點睛】本題考查了有理數的分類，有理數乘方：求個相同因數積的運算，叫做乘方．也考查了絕對值和相反數，熟知相關知識是解題的關鍵．2．（2024·廣東惠州·二模）《九章算術》中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”．意思為今有兩數若其意義相反，則分別叫做正數與負數．如果溫度上升，記作，那么溫度下降記作(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正數和負數的意義，在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．【詳解】解：如果溫度上升，記作，那么溫度下降記作，故選：B．3．（2022·廣東珠海·三模）下列各數中屬于無理數的是（

）A．3.14 B． C． D．【答案】C【分析】無理數就是無限不循環小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數．由此即可判定選擇項．【詳解】解：A、是有限小數，屬于有理數，故本選項不符合題意；B、是整數，是有理數，故本選項不符合題意；C、是無理數，故本選項符合題意；D、是分數，屬于有理數，故本選項不符合題意；故選C．考點二實數的相關概念（高頻考點）相關概念概念補充與拓展數軸規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸.數軸上的點與實數具有一一對應的關系.將兩個數表示在同一條數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大.在數軸上距原點n個單位長度的點有2個.數軸中點公式：數軸上有兩點A、B分別表示的數為x，y，若C是A、B兩點的中點，C所表示的數為c，則有：2c=x+y.數軸兩點距離=數軸上右側的點所表示的數-左側的點表示的數

（簡稱大數-小數）.相反數只有符號不同的兩個數稱為互為相反數.若a、b互為相反數，則a+b=0（反之亦成立）.互為相反數的兩個數在數軸上對應的兩個點到原點的的距離相等且位于原點的兩側.正數的相反數是負數；負數的相反數是正數；0的相反數是0.相反數是本身的數是0.（a+b）的相反數是-（a+b），（a-b）的相反數是-（a-b）或b-a.多重符號化簡口訣：數負號個數，奇負偶正.絕對值在數軸上表示數a的點到原點的距離叫做a的絕對值，記為|a|．兩個正數比較，絕對值大數越大；兩個負數比較，絕對值大的反而小.正數的絕對值是它本身；0絕對值是0；負數的絕對值是它的相反數若|a|=a（或|a|-a=0），則a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），則a≤0.若a=b或a=-b，則|a|=|b|（反之亦成立）.若|a|+|b|=0，則a=0且b=0（a、b可以是多項式）.幾何意義補充：|x|=|x-0|，數軸上表示x的點到原點的距離

|x-1|，數軸上表示x的點與表示1的點之間的距離

|x+2|，數軸上表示x的點與表示-2的點之間的距離倒數1除以一個不等于零的實數所得的商，叫做這個數的倒數．0沒有倒數.若a、b互為倒數，則ab=1互為倒數的兩個數必定同號（同為正數或同為負數）.倒數是本身的只有1和-1.乘方n個相同的因數a相乘記作an，其中a為底數，n為指數，

乘方的結果叫做冪.負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數正數的任何次冪都是正數.規定：a0=1（a≠0）1.0的相反數是0，0的絕對值是0.絕對值最小的數是0.最小的自然數是0.0是最小的非負數.2.任何一個數都有且只有一個相反數.任何一個數的絕對值總是正數或0（或非負數）.3.到已知點的距離相等的點有兩個，注意分類討論．此外，運用數軸可以將絕對值化為幾何問題，代數式|x?a|的幾何意義是數軸上x所對應的點與a所對應的點之間的距離，代數式|x+a|的幾何意義是數軸上x所對應的點與－a所對應的點之間的距離，不可將兩者混淆．1．（2024·廣東廣州·三模）實數a、b在數軸上的位置如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查實數與數軸，根據點在數軸上的位置，判斷式子的符號即可．【詳解】解：由圖可知：，∴，故正確的是C選項，故選C．2．（2024·廣東·模擬預測）有理數大小比較的歷史可以追溯到古希臘和古印度時期．下列各組有理數大小比較，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是有理數的大小比較，先化簡各個數字，再比較大小即可．【詳解】A.，原說法錯誤，不符合題意；B.，，則，說法正確；C.，則，原說法錯誤，不符合題意；D.，原說法錯誤，不符合題意；故選：B．3．（2024·廣東廣州·模擬預測）下列各組數中，互為相反數的是（）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】A【分析】本題考查了相反數和絕對值，解題的關鍵是掌握相反數的定義．根據相反數的定義即可解答．【詳解】解：A中、和互為相反數，符合題意；B中、，不是互為相反數，故不符合題意；C中、，不是互為相反數，故不符合題意；D中、和不是互為相反數，不符合題意；故選：A．考點三科學記數法與近似數（高頻考點）相關概念概念補充與拓展科學記數法科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．用科學記數法表示數時，確定a，n的值是關鍵當原數絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數的整數位數減1當原數絕對值小于1時，寫成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數左邊第一個非零的數字前的所有零的個數（包括小數點前面的零）.小技巧：1萬=104，1億=1萬*1萬=108近似數近似數與準確數的接近程度通常用精確度來表示，近似數一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位.近似數小數點后的末位數是0的，不能去掉0一個近似數從左邊第一位非0的數字起，到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字一個近似數有幾個有效數字，就稱這個近似數保留幾個有效數字1.含有萬、億等單位的數，用科學記數法表示時，要先還原成原數，再用科學記數法表示，最后按要求取近似值.2.科學記數法的表示的數a×10n還成成原數時，n＞0時，小數點就向右移動n位得到原數；n<0時，小數點則向左移動|n|位得到原數.3.對于較大的數取近似數時，結果一般用科學記數法來表示.例如：356000（精確到萬位）的結果是3.6×105.4.用科學記數法表示的近似數的有效數字時，只看乘號前面的數字.例如：4.0×104的有效數字是4，0.1．（2024·廣東·中考真題）年6月6日，嫦娥六號在距離地球約千米外上演“太空牽手”，完成月球軌道的交會對接．數據用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了絕對值大于1的科學記數法的表示，解題的關鍵在于確定的值．根據絕對值大于1的數，用科學記數法表示為，其中，的值為整數位數少1．【詳解】解：大于1，用科學記數法表示為，其中，，∴用科學記數法表示為，故選：B．2．（2023·廣東深圳·中考真題）深中通道是世界級“橋、島、隧、水下互通”跨海集群工程，總計用了320000萬噸鋼材，320000這個數用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據科學記數法的表示方法求解即可．【詳解】．故選：B．【點睛】本題主要考查科學記數法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．解題關鍵是正確確定a的值以及n的值．3．（2023·廣東·中考真題）2023年5月28日，我國自主研發的C919國產大飛機商業首航取得圓滿成功，C919可儲存約186000升燃油，將數據186000用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于或等于10時，n是正整數；當原數的絕對值小于1時，n是負整數．【詳解】解：將數據186000用科學記數法表示為；故選B【點睛】本題主要考查科學記數法，熟練掌握科學記數法的表示方法是解題的關鍵．考點四實數比較大小實數比較大小的6種基礎方法：1.數軸比較法:將兩個數表示在同一條數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大.2.類別比較法:正數大于零；負數小于零；正數大于一切負數；兩個負數比較大小，絕對值大的反而小．3.作差比較法:若a，b是任意兩個實數，則①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b4.平方比較法：①對任意正實數a，b，若a2>b2a>b②對任意負實數a，b，若a2>b2a<b5.倒數比較法：若1/a>1/b，ab>0，則a<b 6.作商比較法：1)任意實數a，b，a/b=1a=b2)任意正實數a，b，a/b>1a>b,a/b<1a>b3)任意負實數a，b，a/b>1a<b,a/b<1a>b考點五平方根、算術平方根、立方根相關概念概念補充與拓展算術平方根如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根.記為√a，a叫做被開方數.正數只有一個算術平方根，且恒為正；0的算術平方根為0；負數沒有算術平方根平方根如果一個數的平方等于a，那么這個數就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根.正數有兩個平方根，且它們互為相反數.0的算術平方根為0；負數沒有算術平方根.立方根如果一個數的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根正數只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數只有一個負的立方根．互為相反數的兩個數的立方根互為相反數常見實數的平方根與立方根：實數的非負性及性質：1.在實數范圍內，正數和零統稱為非負數.2.非負數有三種形式：①任何一個實數a的絕對值是非負數，即|a|≥0；②任何一個實數a的平方是非負數，即QUOTE??2a2≥0；③任何非負數的算術平方根是非負數，即QUOTE??a≥03.非負數具有以下性質：①非負數有最小值零；②非負數之和仍是非負數；③幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0考點六實數的運算（高頻考點）常見的實數運算：三角函數30°45°60°1實數的四則運算：1.實數的加法法則：1)同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；2)異號兩數相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.2.實數的減法法則：減去一個數等于加上這個數的相反數.3.實數的乘方法則：1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；2）任何數同0相乘，都得0.4.實數的除法法則：1）除以一個不為0的數，等于乘以這個數的倒數；2）0除以任何不為0的數，都得0.5.運算順序：加和減屬于運算中的第一級運算，級別是最低的，通常放在最后面計算；乘和除屬于運算中的第二級運算，級別中等，運算順序高于加和減；而乘方和開方則屬于第三級運算，級別較高，通常是最優先計算的（如果有括號，先算括號內的；如果沒有括號，在同一級運算中，要從左至右進行運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算）.1.有理數的運算定律在實數范圍內都適用，常用的運算定律有加法結合律、加法交換律、乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律．1.有理數的運算定律在實數范圍內都適用，常用的運算定律有加法結合律、加法交換律、乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律．2.在實數混合運算中不注意運算順序導致結果錯誤，所以要牢記運算順序避免出錯：①先算乘方，再算乘除，最后算加減；②有括號先算括號里面的，再算括號外面的；先算小括號，再算中括號，最后算大括號．04題型精研·考向洞悉命題點一實數的分類?題型01實數的分類1．（2024·廣東湛江·一模）下列四個數中，負整數是（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】此題考查了有理數的分類，根據有理數的分類進行解答即可．【詳解】解：在、、0、中，是正整數，是負分數，0是整數，是負整數．故選：D．2．（2023·廣東深圳·二模）下列各數中，是負數的是（

）A．0 B． C． D．5【答案】B【分析】根據有理數的分類，進行判斷即可．【詳解】解：A、0既不是正數也不是負數，本選項不符合題意；B、是負數，本選項符合題意；C、π是正數，本選項不符合題意；D、5是正數，本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查有理數的分類．熟練掌握有理數的分類，是解題的關鍵．3．（2024·山東濱州·模擬預測）在有理數，，，中，負數的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【答案】A【分析】本題考查化簡絕對值，有理數的乘方和算術平方根，負數的判定，解題的關鍵是掌握以上知識點．首先化簡絕對值，有理數的乘方和算術平方根，然后根據負數的概念求解即可．【詳解】解：，，，∴負數有，共1個．故選：A．4．（2024·重慶·模擬預測），，π，中，有理數的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了實數的分類，解題的關鍵是熟練掌握有理數與無理數的定義．根據有理數和無理數的定義進行判斷即可得．【詳解】解：，，根據題意可得有理數有，，，為無理數，所以有理數有3個，故選：C．?題型02無理數估值1．（2024·廣東·模擬預測）大自然是美的設計師，校園里一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”的美．如圖，點P是的黃金分割點，即，這個無理數約是（

）A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828【答案】B【分析】本題考查了黃金分割的意義，無理數的估算．先估算得出，據此求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，觀察四個選項，選項B符合題意；故選：B．2．（2024·廣東云浮·一模）若，且m，n是兩個連續的整數，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題考查估算無理數的大小，解題關鍵是找到與7相鄰的兩個為平方數的整數．由可求m，n的值，再計算的值．【詳解】解：∵，∴，∴，∵∴，，∴，故選C3．（2024·廣東深圳·一模）估算的結果（

）A．在6和7之間 B．在7和8之間 C．在8和9之間 D．在9和10之間【答案】D【分析】本題考查二次根式的運算，無理數的估算，先進行乘法計算，再進行無理數的估算即可得出結果．【詳解】解：，∵，∴；故選D．?題型03相反意義的量1．（2024·廣東東莞·模擬預測）劉徽在《九章算術注》中有“今兩算得失相反，要令正負以名之．”可翻譯為“今有兩數若其意義相反，則分別叫做正數和負數．”如果氣溫為“零上”記作，那么氣溫為“零下”應表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要用正負數來表示具有意義相反的兩種量：零上溫度記作“”，零下溫度記作“”，由此求解．【詳解】解：氣溫為“零上”記作，那么氣溫為“零下”應表示為，故選：C．2．（2024·遼寧大連·二模）隨著商業的發展和技術的進步，手機支付已經成為常見的支付方式，若手機錢包收入元記作元，則元表示（

）A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元【答案】A【分析】本題考查了運用正數和負數表示兩個相反意義的量，正確理解正、負數的意義是解題的關鍵．收入和支出相反，如果收入為正，那么負為支出，即可解決．【詳解】∵收入元記作元，∴元表示支出元，故選：A．3．（2024·廣東·模擬預測）點A在數軸上的位置如圖所示，則點A所表示的數的相反數是（

）

A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了用數軸上的點表示有理數、相反數，由數軸可得，點A所表示的數為，再由相反數的定義即可得出答案．【詳解】解：由數軸可得，點A所表示的數為，∴點A所表示的數的相反數是，故選：B．判斷一個數是有理數或無理數的方法關鍵：1.有理數都可以寫成分數的形式，而無理數不能寫成分數的形式.2.判斷一個數是否為無理數，不能只看形式，要看化簡結果．如√16是有理數，而不是無理數．常見的無理數：開方開不盡的數，如：QUOTE22、QUOTE3535等.有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如5π，3+π，QUOTE等.具有特定結構的數，如0.1010010001···（兩個1之間依次增加1個0）.某些三角函數，如sin60°、cos20°.命題點二實數的相關概念?題型01用數軸上的點表示數1．（2024·廣東佛山·一模）如圖，數軸上的點A，B，C，D表示的數與互為相反數的是（

）A．A B．B C．C D．D【答案】D【分析】本題主要考查了相反數和數軸．根據相反數的定義和數軸的定義即可得出答案．【詳解】解：的相反數是，表示的數與互為相反數的是點．故選：D．2．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，數軸上點A表示的數是2023，，則點B表示的數是（

）A．2023 B． C． D．【答案】B【分析】根據數軸的定義求解即可．【詳解】解；∵數軸上點A表示的數是2023，，∴，∴點B表示的數是，故選：B．【點睛】本題考查數軸上點表示有理數，熟練掌握數軸上點的特征是解題的關鍵．3．（2022·廣東惠州·模擬預測）如圖，在數軸上，點、分別表示、，且，若，則點表示的數為（

）A． B．0 C．3 D．【答案】A【分析】由結合A、B表示的數互為相反數，即可得出A，B表示的數【詳解】解：∵∴，兩點對應的數互為相反數，∴，∵，∴，∴解得：，∴點表示的數為，故選：A．【點睛】本題考查了絕對值，相反數的應用，關鍵是能根據題意得出方程．4．（2022·廣東潮州·一模）如圖，數軸上有三個點，點表示的數為2，點表示的數為，且，則點表示的數的整數部分為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用數軸上兩點的距離求出，進而求得點C表示的數，再利用無理數的估算求解即可．【詳解】解：由題意，得，∴點C表示的數為，∵，即，∴，∴點表示的數的整數部分為1，故選：A．?題型02數軸上兩個點的距離1．（2024·廣東河源·二模）點、、、在數軸上的位置如圖所示，點為原點，，，若點所表示的數為，則點所表示的數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了數軸，先根據圖形得到，表示出，再根據得出答案即可，數形結合是解題的關鍵．【詳解】解：∵點、、、在數軸上的位置如圖所示，點為原點，，，點所表示的數為，∴，，∵，∴，∴點所表示的數，故選：B．2．（2024·廣東揭陽·一模）一個光點沿數軸從點向左移動了4個單位長度到達點，若點表示的數是，則點所表示的數是（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】本題主要考查了數軸上兩點的距離計算，只需要用點B表示的數加上移到的距離即可得到答案．【詳解】解：∵一個光點沿數軸從點向左移動了4個單位長度到達點，點表示的數是，∴點所表示的數是，故選：D．3．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在數軸上，點A、B分別表示a、b，且，若，則點A表示的數為（

）A． B．0 C．3 D．【答案】A【分析】由AB的長度結合A、B表示的數互為相反數，即可得出A，B表示的數【詳解】解：∵∴，兩點對應的數互為相反數，∴可設表示的數為，則表示的數為，∵∴，解得：，∴點表示的數為-3，故選：A．【點睛】本題考查了絕對值，相反數的應用，關鍵是能根據題意得出方程．?題型03根據點數軸的位置判斷正負問題1．（2024·廣東廣州·一模）實數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，則下列各式中正確的個數有（

）（1）；（2）；（3）；（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查數軸，倒數，相反數和絕對值，把數和點對應起來，也就是把“數”和“形”結合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉化為簡單的問題．利用數形結合是解題的關鍵．根據有理數大小的比較可得數軸上的右邊的數總大于左邊的數得出，，根據有理數的乘法可判斷（1）正確；根據相反數的定義可判斷（2）；根據倒數的定義可判斷（3）；根據絕對值的定義可判斷（4）．【詳解】解：結合圖形，根據數軸上的右邊的數總大于左邊的數，可得，，∴（1），正確；（2），正確；（3），錯誤；（4），正確．故正確的3個，故選：C．2．（2024·山東聊城·一模）實數，在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了數軸的特征、實數大小比較、絕對值的意義理解，逐項判斷即可，根據數軸得出“，，”是解題的關鍵．【詳解】解：∵實數，在數軸上的對應點的位置如圖所示，∴，，，∴，，則，故A成立，，，則，故B不成立，，故C不成立，，故D不成立，故選：A．3．（2024·廣東廣州·一模）已知a，b兩數在數軸上對應的點如圖所示，下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了實數與數軸，實數的運算；由數軸可知，，然后利用實數的運算法則判斷即可；熟知實數與數軸的對應關系并熟練的判斷大小是關鍵．【詳解】解：由數軸可知，，，，故A、C錯誤，D正確；，故B錯誤；故選：D．4．（2024·廣東江門·模擬預測）有理數在數軸上的對應點如圖所示，則下列式子中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查利用數軸判斷有理數的大小，以及式子的符號，根據數軸上的數右邊的比左邊的大，判斷出數的大小關系，進而判斷出式子的符號，即可．【詳解】解：由圖可知：，，故選項C正確；∴，故選項A錯誤，，故選項B正確；，故選項D正確；故選A．?題型04數軸上的動點問題1．（2024·河北邯鄲·三模）有一只蝸牛從數軸的原點出發，先向左（負方向）爬行9個單位長度，再向右爬行3個單位長度，用算式表示上述過程與結果，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了有理數的加法計算，有理數與數軸，根據向左移動為減，向右移動為加可知上述過程為，再根據有理數的加法計算法則求解即可．【詳解】解：由題意得，用算式表示上述過程與結果為，故選：A．2．（2022·河北保定·一模）如圖，現有A、B、C三點，在數軸上分別表示﹣2、0、4，三點在數軸上同時開始運動，點A向左運動，運動速度是2/s，點B、C都是向右運動，運動速度分別是3/s、4/s，甲、乙兩名同學提出不同的觀點．甲：5AC﹣6AB的值不變；乙：5BC﹣10AB的值不變．則下列選項中，正確的是（）A．甲正確，乙錯誤 B．乙正確，甲錯誤C．甲乙均正確 D．甲乙均錯誤【答案】A【分析】設運動t秒，得到A、B、C三點運動后分別表示-2-2t、3t、4+4t，求出5AC-6AB，5BC-10AB，即可判斷．【詳解】解：設運動t秒，∵點A、B、C三點，在數軸上分別表示﹣2、0、4，∴A、B、C三點，運動后分別表示-2-2t、3t、4+4t，∴5AC-6AB=5（4+4t+2+2t）-6（3t+2+2t）=18，故5AC﹣6AB的值不變，∴甲的說法正確；∵5BC-10AB=5（4+4t-3t）-10（3t+2+2t）=-45t，故5BC﹣10AB的值改變，∴乙的說法不正確；故選：A．【點睛】此題考查了數軸上動點問題，數軸上兩點之間的距離，正確表示出三點運動后表示的數計算兩點之間的距離是解題的關鍵．3．（2024·山東青島·模擬預測）已知多項式，次數是b，與互為相反數，在數軸上，點表示數，點表示數．

(1)______，______；(2)若小螞蟻甲從點處以個單位長度秒的速度向左運動，同時小螞蟻乙從點處以個單位長度秒的速度也向左運動，丙同學觀察兩只小螞蟻運動，在它們剛開始運動時，在原點處放置一顆飯粒，乙在碰到飯粒后立即背著飯粒以原來的速度向相反的方向運動，設運動的時間為秒，求甲、乙兩只小螞蟻到原點的距離相等時所對應的時間寫出解答過程QUOTE(3)若小螞蟻甲和乙約好分別從，兩點，分別沿數軸甲向左，乙向右以相同的速度爬行，經過一段時間原路返回，剛好在時一起重新回到原出發點和，設小螞蟻們出發時的速度為，與之間的關系如圖其中表示時間單位秒，表示路程單位毫米QUOTE當時，你知道小螞蟻甲與乙之間的距離嗎？（用含有的代數式表示）；當為______時，小螞蟻甲乙之間的距離是．（請直接寫出答案）【答案】(1)， (2)秒或秒 (3)①；②或【分析】（1）先根據多項式次數的定義求出b，再根據相反數的定義列式求出a；（2）分“遇到飯粒前、遇到飯粒后”兩種情況，根據運動速度、方向列一元一次方程，解方程即可；（3）先計算出甲或乙開始返回時所行距離，進而判斷時兩者的運動方向，再根據時間、速度、路程之間的關系即可列式求解；分“返回前、返回后”兩種情況，根據時間、速度、路程之間的關系列方程，解方程即可．【詳解】（1）解：原多項式的次數為：，，與互為相反數，，即．故答案為：，．（2）解：分兩種情況：遇到飯粒前，由題意得，解得；遇到飯粒后，由題意得，解得．甲、乙兩只小螞蟻到原點的距離相等時所對應的時間為秒或秒．（3）解：，，即甲或乙爬行后開始返回，當時，甲或乙所走的最遠路程：，，時，甲乙沒有返回，小螞蟻甲與乙之間的距離為：；當時，甲或乙所走的最遠路程：，分兩種情況：甲乙返回前的距離是時：，解得；甲乙返回后的距離是時：，解得；故答案為：或．【點睛】本題考查多項式的次數、相反數、一元一次方程的應用、數軸上的動點問題，有一定難度，根據題干描述抽象出一元一次方程，并且注意分情況討論是解題的關鍵．4．（2024·河北滄州·模擬預測）如圖1，電腦顯示屏上畫出了一條不完整的數軸，并標出了表示的點．小明同學設計了一個電腦程序：點M，N分別從點A同時出發，每按一次鍵盤，點M向右平移2個單位長度，點N向左平移1個單位長度．例如，第一次按鍵后，屏幕顯示點M，N的位置如圖2．(1)第______次按鍵后，點M正好到達原點；(2)第6次按鍵后，點M到達的點表示的數字比點N到達的點表示的數字大多少？(3)第n次按鍵后，點M，N到達的點表示的數互為相反數，求n的值．【答案】(1)3(2)18(3)【分析】本題考查數軸，相反數，解一元一次方程，根據題意列出點M、N表示的數是本題的關鍵．（1）設進行a次按鍵，由題意得，M點表示的數是，因為點M正好到達原點，所以，解得a的值，即得第幾次按鍵后，點M正好到達原點；（2）第6次按鍵后，點M表示的數為，點N表示的數為，可得點M到達的點表示的數字比點N到達的點表示的數字大多少；（3）由題意得，M點表示的數是，N點表示的數是，因為點M，N到達的點表示的數互為相反數，所以，可解得n的值．【詳解】（1）解：設進行a次按鍵，由題意得，M點表示的數是，點M正好到達原點，，解得：，第3次按鍵后，點M正好到達原點，故答案為：3；（2）解：第6次按鍵后，點M表示的數為，點N表示的數為，，第6次按鍵后，點M到達的點表示的數字比點N到達的點表示的數字大18；（3）解：由題意得，第n次按鍵后，M點表示的數是，N點表示的數是，點M，N到達的點表示的數互為相反數，，解得：．?題型05判斷是否為相反數1．（2024·廣東深圳·三模）下列各組數中，互為相反數的是（）A．3和 B．3和 C．和 D．和【答案】B【分析】本題考查了相反數，解題的關鍵是掌握相反數的定義．利用相反數的定義判斷．【詳解】解：3和不互為相反數，選項不符合題意；3和互為相反數，選項符合題意；，兩個數不互為相反數，選項不符合題意；，兩個數不互為相反數，選項不符合題意．故選：．2．（2023·廣東廣州·模擬預測）下列各對數中，互為相反數的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】先將各數化簡，再根據相反數的定義逐個進行判斷即可．【詳解】解：A、與不是互為相反數，故A選項不符合題意；B、與不是互為相反數，故B選項不符合題意；C、與不是互為相反數，故C選項不符合題意；D、與，是互為相反數，故D選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了多重符號的化簡，相反數的定義，解題的關鍵是掌握只有符號不同的數是相反數．3．（2022·貴州黔東南·中考真題）下列說法中，正確的是（

）A．2與互為倒數 B．2與互為相反數 C．0的相反數是0 D．2的絕對值是【答案】C【分析】根據相反數定義，倒數定義，絕對值定義對各選項進行一一判斷即可．【詳解】解：A.2與互為相反數，故選項A不正確

B.2與互為倒數，故選項B不正確；

C.0的相反數是0，故選項C正確；

D.2的絕對值是2，故選項D不正確．故選C．【點睛】本題考查相反數定義，倒數定義，絕對值定義，掌握相關定義是解題關鍵．4．（2021·廣東深圳·二模）下列各組數中互為相反數的是（

）A．－4和 B．和4 C．－4和－ D．4和－4【答案】D【分析】根據相反數的概念進行判斷即可．【詳解】解：4的相反數是-4，∴互為相反數的是4與，故選：D．【點睛】本題考查相反數的概念，掌握只有符號不同的兩個數叫做互為相反數是解題關鍵．?題型06化簡多重符合1．（2024·河南·模擬預測）下列式子的化簡結果得5的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了多重符號的化簡，涉及相反數的意義，絕對值的意義；掌握相反數的意義是關鍵；根據相反數的意義及絕對值的意義逐項計算即可．【詳解】解：A、，不符合題意；B、，符合題意；C、，不符合題意；D、，不符合題意．故選：B．2．（2024·江蘇泰州·二模）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相反數中化簡多重符號，逐項計算，即可解答，熟知相反數的概念是解題的關鍵．【詳解】解：A、，故A錯誤；B、，故B錯誤；C、，故C正確；D、，故D錯誤，故選：C．3．（2024·廣東汕頭·一模）下列互為相反數的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】本題考查相反數和絕對值的定義，符號不同，并且絕對值相等的兩個數互為相反數，據此逐項判斷即可，熟練掌握相反數的定義是解題的關鍵．【詳解】解：A、，所以和不是互為相反數，故選項不符合題意；B、，所以和互為相反數，故選項符合題意；C、，所以和不是互為相反數，故選項不符合題意；D、，所以和不是互為相反數，故選項不符合題意；故選：B．4．（2023·廣東清遠·一模）對于有理數，下列說法錯誤的是（

）A．表示的相反數 B．化簡的結果等于3C．絕對值等于 D．與相等【答案】C【分析】本題考查相反數的定義及化簡，絕對值的意義，根據只有符號不同的兩個數互為相反數，絕對值的意義可得答案．【詳解】解：，，，A，B，D正確．故選：C．?題型07相反數的應用1．（2024·廣東·模擬預測）已知a與c互為相反數，且，那么下列關系式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相反數的定義，由相反數的定義得出，再逐項判斷即可得出答案，熟練掌握只有符號不同的兩個數互為相反數是解此題的關鍵．【詳解】解：∵a與c互為相反數，且，∴，A、的結果不確定，故本選項錯誤，不符合題意；B、，故本選項錯誤，不符合題意；C、，故本選項錯誤，不符合題意；D、，故本選項正確，符合題意；故選：D．2．（2024·安徽安慶·三模）已知代數式和的值互為相反數，則x的值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】本題考查了解分式方程，先根據代數式和的值互為相反數，建立分式方程，然后解分式方程的步驟進行解方程，注意要驗根，即可作答．【詳解】解：根據題意，，去分母，得，移項、合并同類項，得，系數化為1，得，檢驗：當時，，故x的值為．故選：A．3．（2023·內蒙古包頭·三模）若a，b互為相反數，c的倒數是2，則的值為（

）A． B． C． D．16【答案】C【分析】根據a，b互為相反數，可得，c的倒數是2，可得，代入即可求解．【詳解】∵a，b互為相反數，∴，∵c的倒數是2，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了代數式的求值問題，利用已知求得，是解題的關鍵．4．（2023·安徽蚌埠·二模）已知三個實數a，b，c滿足，則下列結論不正確的是（

）A．若a，b互為相反數，則 B．若，，則C． D．若，則【答案】D【分析】根據等式的性質，不等式的性質及互為相反數的兩個數和為0直接逐個判斷即可得到答案；【詳解】解：當a，b互為相反數時，∵，∴，∴，故A正確，∵，，∴，∴，∴，故B正確，∵，∴，故C正確，∵，，∴，∴故D錯誤，故選D；【點睛】本題考查等式的性質，不等式的性質及互為相反數的兩個數和為0，解題的關鍵是熟練掌握幾個性質．?題型08求一個數的絕對值1．（2024·廣東·模擬預測）若，則a的值為（

）A．2024 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是絕對值的含義，根據絕對值的含義求解即可．【詳解】解：∵，∴，故選D2．（2024·廣東揭陽·模擬預測）絕對值的相反數是（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】本題考查了絕對值和相反數的定義，先求的絕對值，再求相反數即可．【詳解】解：∵的絕對值是，的相反數是，∴絕對值的相反數是．故選：A．3．（2024·山東棗莊·模擬預測）的相反數是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】本題考查的是相反數定義和絕對值的性質，解題的關鍵是掌握相反數定義和絕對值的性質．先計算，再根據相反數：“只有符號不同的兩個數”，進行判斷即可．【詳解】解：，2024的相反數是，故選：B．4．（2024·黑龍江綏化·一模）的相反數是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了相反數的定義，絕對值的意義，根據相反數的定義和絕對值的意義即可求解，解題的關鍵是正確理解相反數的定義，只有符號不同的兩個數是互為相反數，正數的相反數是負數，的相反數是，負數的相反數是正數；正確理解表示一個數的點到原點的距離叫做這個數的絕對值，一個正數的絕對值等于它的本身，零的絕對值還是零，一個負數的絕對值等于它的相反數．【詳解】解：∵，∴的相反數是，故選：．?題型09化簡絕對值1．（2024·江蘇徐州·模擬預測）實數，在數軸上的位置如圖所示，且，則化簡的結果為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了實數與數軸，絕對值的化簡．根據題意得到，結合，可得，由絕對值的意義即可化簡．【詳解】解：根據題意得到，，，，故選：D．2．（2024·山東濰坊·模擬預測）已知實數a，b在數軸上的位置如圖所示，則的值是（）A． B． C．0 D．1【答案】C【分析】根據圖形得到，，原式利用絕對值的意義化簡即可得到結果．此題考查了絕對值，熟練掌握絕對值的意義是解題的關鍵．【詳解】解：，，原式．故選：C．3．（2024·江蘇鹽城·三模）a，b在數軸上的位置如圖所示，那么化簡的結果是（

）

A． B．b C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了化簡絕對值，求一個數的算術平方根，實數與數軸，先根據數軸得到，則，據此化簡絕對值，求算術平方根即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，故選：C．4．（2024·廣東·二模）已知有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本題考查了化簡絕對值，有理數的除法運算，根據數軸確定的大小，可把絕對值進行化簡，再計算從而可得答案．【詳解】解：由數軸可得：，∴，∴，故選B．?題型10絕對值非負性的應用1．（2024·云南昭通·一模）若，則的值為（

）A． B．1 C． D．5【答案】A【分析】本題主要考查了非負數的性質，代數式求值，根據幾個非負數的和為0，那么這幾個非負數的值都為0得到，則，據此代值計算即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，故選：A．2．（2024·江蘇·模擬預測）若實數m，n滿足，且m，n恰好是等腰的兩條邊的邊長，則QUOTE的周長是．【答案】17【分析】根據偶次方、算術平方根的非負性可得：，從而可得，然后分兩種情況：當等腰三角形的腰長為7，底邊長為3時；當等腰三角形的腰長為3，底邊長為7時，從而進行計算即可解答．【詳解】解：∵，∴，解得：，分兩種情況：當等腰三角形的腰長為7，底邊長為3時，∴QUOTE的周長；當等腰三角形的腰長為3，底邊長為7時，∵，∴不能組成三角形；綜上所述：的周長是17，故答案為：17．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，偶次方，算術平方根的非負性，三角形的三邊關系，分兩種情況討論是解題的關鍵．3．（2023·山東菏澤·一模）先化簡，再求值：，其中，滿足．【答案】，【分析】先根據分式混合運算法則將原式化簡，再根據非負數之和等于零，分別列方程求出、值，最后代值計算即可．【詳解】解：∵，滿足∴∴，，原式．【點睛】本題考查完全平方公式，平方差公式，算術平方根的非負性，分式的化簡和非負數的性質，解題的關鍵是掌握分式混合運算法則和非負數的性質．4．（2021·河南信陽·模擬預測）（1）如果，且，求的值；（2）已知、互為相反數，、互為倒數，的倒數等于它本身，則的值是多少？（3）已知，求的值．【答案】（1）或；（2）或；（3）【分析】（1）利用絕對值的性質分別得出，可能的值，進而得出答案；（2）直接利用相反數以及倒數的定義求出即可；（3）利用偶次方的性質以及絕對值的性質得出，的值進而求出答案．【詳解】（1）由，，解得：，，，①時，，此時，②時，，此時，因此的值為或；（2）、互為相反數，，、互為倒數，，的倒數等于它本身，，時，，時，，因此的值為或；（3），且，且，，因此的值為．【點睛】此題主要考查了代數式求值、偶次方和絕對值非負的性質以及倒數、相反數的定義等知識，正確掌握相關性質是解題關鍵．?題型11乘方運算1．（2024·河北秦皇島·一模）等于（

）A． B．2024 C． D．1【答案】D【分析】本題考查有理數的乘方運算，掌握有理數的乘方運算是解題的關鍵．【詳解】解：．故選：D．2．（2024·河北滄州·模擬預測）若（，都為正整數，則m的最小值為（

）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】B【分析】本題主要考查數字的變化規律，解答的關鍵是是理解題意，明確冪的形式．根據所給的式子的特點，結合冪的運算的相應的法則進行分析即可．【詳解】解：（，都為正整數，則k是可以轉為以2為底數的冪的形式的數，∴的最小值為：，，∴，∴的最小值為：4故選：B3．（2024·寧夏銀川·模擬預測）已知點與點關于軸對稱，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用關于軸對稱點的性質，橫坐標不變，縱坐標互為相反數．即點關于軸的對稱點的坐標是，進而得出答案．此題主要考查了關于軸對稱點的性質，正確把握橫縱坐標的關系是解題關鍵．【詳解】解：點與點關于軸對稱，，，解得：，，則．故選：C．4．（23-24七年級下·浙江紹興·期中）下列計算中，正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】整式加法的實質就是合并同類項，所謂同類項就是所含字母相同，而且相同字母的指數也分別相同的項，合并同類項的時候，只需要將系數相加減，字母和字母的指數不變，但不是同類項的一定就不能合并，從而即可判斷A選項；根據冪的乘方，底數不變，指數相乘即可判斷B選項；根據含乘方的有理數的混合運算法則，先計算乘方，再計算乘法，可判斷C選項；根據同底數冪的乘法，底數不變，指數相加即可判斷D選項．本題主要考查了同底數冪的乘法、有理數混合運算法則（含乘方）；合并同類項法則及冪的乘方運算．熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：A、，不是同類項，無法進行合并同類項，故A選項不符合題意；B、，故B選項符合題意；C、，故C選項不符合題意；D、故D選項不符合題意．故答案為：B．?題型12乘方的應用1．（2024·四川達州·三模）在我國古書《易經》中有“上古結繩而治”的記載，它指“結繩記事”或“結繩記數”．如圖，一遠古牧人在從右到左依次排列的繩子上打結，滿6進1，用來記錄他所放牧的羊的只數，由圖可知，他所放牧的羊的只數是（

）A．1234 B．310 C．60 D．10【答案】B【分析】本題考查了有理數的運算，根據計數規則可知，從右邊第1位的計數單位為，右邊第2位的計數單位為，右邊第3位的計數單位為，右邊第4位的計數單位為，……，依此類推，可求出結果．【詳解】解：根據題意得：（只），答：他所放牧的羊的只數是310只．故選：B．2．（2023·河南信陽·二模）年月日，我國“羲和號”衛星，完成了全部在軌試驗項目，實現了雙超平臺試驗和科學載荷試驗的工程目標，獲取的數據有力支撐了太陽光譜科學研究，每天產生約原始數據這些數據已通過國家航天局指定網站，按照數據管理政策對外發布，被美國、法國、德國、日本、比利時、捷克、俄羅斯等國家科學家下載使用，顯著提升了我國在空間科學領域的國際影響力，我們知道，，，，那么數據等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意運用乘方知識進行求解．【詳解】解：，故選：．【點睛】此題考查了運用乘方運算解決實際問題的能力，關鍵是能準確理解并運用該知識．3．（2023·河南南陽·一模）觀察下列等式：，，，，，，…，根據其中的規律可得的結果的個位數字是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得尾數，，，的規律是4個數一循環，則的結果的個位數字與的個位數字相同，即可求解．【詳解】解：∵，，，，，，…，∴尾數，，，的規律是4個數一循環，∵，∴的個位數字是，又∵，∴的結果的個位數字與的個位數字相同，∴的結果的個位數字是．故選：A．【點睛】本題考查數的尾數特征，能夠通過所給數的特點，確定尾數的循環規律是解題的關鍵．4．（2022·湖南婁底·中考真題）在古代，人們通過在繩子上打結來計數．即“結繩計數”．當時有位父親為了準確記錄孩子的出生天數，在粗細不同的繩子上打結（如圖），由細到粗（右細左粗），滿七進一，那么孩子已經出生了（

）A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天【答案】B【分析】根據題意以及圖形分析，根據滿七進一，即可求解．【詳解】解：繩結表示的數為故選B【點睛】本題考查了有理數的混合運算，理解“滿七進一”是解題的關鍵．命題點三科學記數法與近似數?題型01用科學記數法表示數1．（2024·湖北恩施·一模）釣魚島自古以來就是我國的神圣領土，島嶼周圍的海域面積約170000平方公里，相當于五個臺灣本島面積．這里的“170000”用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查科學記數法，根據科學記數法的表示方法求解即可．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．解題關鍵是正確確定a的值以及n的值．【詳解】解：170000用科學記數法表示為．故選：B．2．（2024·湖北恩施·模擬預測）據悉，一季度本是航空運輸淡季，恩施機場航空運輸生產卻呈現良好發展態勢．“得益于2015年12月春秋航空開通恩施至上海直飛旅游航線，恩施航空市場增長勢頭非常明顯，航空旅游客源也迅速增加．”恩施機場市場部相關負責人說，截至2016年3月31日，共完成旅客吞吐量106679人次，與去年同期相比增長．請將數106679用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查科學記數法，熟練掌握科學記數法是解題的關鍵．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于或等于10時，n是正整數；當原數的絕對值小于1時，n是負整數．【詳解】解：，故選：A3．（2024·廣東·模擬預測）“鴨嘴獸”被認為是世界上最奇怪的哺乳動物，因為它身上有許多怪異的特征：嘴里沒有牙齒；汗液像牛奶；后腳有毒刺等，且最古老的鴨嘴獸于南美洲的6100萬年前的地層被發現．將“6100萬”用科學記數法表示為，其中n為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本題考查科學記數法，根據科學記數法的表示方法，為整數，進行表示即可．【詳解】解：6100萬，∴；故選A．4．（2024·廣東·模擬預測）第19屆亞運會于2023年9月在中國杭州成功舉辦，該屆亞運會共征集了118個類別的176家企業，贊助金額超過44億元．不管是贊助的金額，還是參與的企業數，都已經達到亞運會歷史之最．將44億用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了科學記數法表示絕對值大于1的數，先將44億化為4400000000，再寫成科學記數法的形式即可.用科學記數法表示數寫成的形式，其中，n為正整數．【詳解】，．故選：B．5．（2021·廣東廣州·二模）2021年5月11日，第七次全國人口普查結果公布，全國人口共1411778724人．用科學記數法表示1411778724精確到億位的近似值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據“四舍五入”法和科學記數法的定義，即可得到答案．【詳解】解：1411778724≈，故選B．【點睛】本題主要考查近似數和科學記數法，掌握科學記數法的行形式：a×10n（1≤|a|＜10），是解題的關鍵．?題型02求一個數的近似數1．（2024·湖北孝感·模擬預測）將有理數用四舍五入法精確到千位是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查近似數及科學記數法，根據一個近似數四舍五入到哪一位，那么就說這個近似數精確到哪一位，從左邊第一個不是0的數字到精確到的數位為止所有數字都是有效數字，根據精確度找出最后一位上的有效數字所在的數位，再寫成科學記數法形式即可得到答案；【詳解】解：；故答案為：C．2．（2024·河北邢臺·模擬預測）截至2024年3月21日，已有150家疏解單位7025名職工在雄安新區繳存住房公積金，繳存金額達5.02億元．下列關于5.02億說法正確的是（

）A．5.02億用科學記數法表示為 B．5.02億C．5.02億是一個九位數 D．5.02億精確到十萬位【答案】C【分析】本題考查科學記數法和精確度，掌握科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，解題的關鍵要正確確定a的值以及n的值．【詳解】A.5.02億用科學記數法表示為，原說法錯誤；B.5.02億，原說法錯誤；C.5.02億是一個九位數，說法正確；D.5.02億精確到百萬位，原說法錯誤；故選C．3．（2024·山東泰安·二模）下列說法正確的有（）①近似數7.4與7.40是一樣的②近似數8.0精確到十分位，有效數字是8、0③近似數9.60精確到百分位，有效數字是9、6、0④由四舍五入法得到的近似數精確到千分位，有3個有效數字A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】本題考查了近似數、有效數字和科學記數法，熟練掌握知識點是解題的關鍵．根據一個近似數四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位可判斷①；根據一個近似數，從左邊第一個不為0的數字起，到精確到的數位為止，所有的數字都叫做這個數的有效數字，可判斷②③；根據科學記數法的定義和近似數的定義，可判斷④．【詳解】解：①7.4精確到十分位，7.40精確到百分位，原說法錯誤；②近似數8.0精確到十分位，有效數字是8、0，說法正確；③近似數9.60精確到百分位，有效數字是9、6、0，說法正確；④近似數精確到千位，有3個有效數字，故錯誤；綜上，正確的有②③；故選：C．命題點四平方根、算術平方根、立方根?題型01求一個數的算術平方根1．（2023·江蘇無錫·中考真題）實數9的算術平方根是（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】根據算術平方根的定義即可求出結果．【詳解】解：，故選：A．【點睛】本題考查了平方根和算術平方根的定義．注意一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．2．（2023·廣東深圳·二模）在《九章算術》一書中，對開方開不盡的數起了一個名字，叫做“面”．這是中國傳統數學對無理數的最早記載．下面符合“面”的描述的數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據無理數的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、是無理數，故本選項符合題意；B、不是無理數，故本選項不符合題意；C、不是無理數，故本選項不符合題意；D、不是無理數，故本選項不符合題意；故選：A【點睛】本題主要考查了無理數，熟練掌握無限不循環小數是無理數是解題的關鍵．3．（2023·廣東廣州·一模）關于的一元二次方程有兩個相等實數根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個相等實數根，∴，解得：∴，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程(為常數)的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．4．（2022·山東青島·一模）的算術平方根是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】先算出，再求算術平方根即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，∵3的算術平方根是，故選D．【點睛】本題考查算術平方根的計算，解題的關鍵是先求出9的算術平方根．?題型02利用算術平方根的非負性解題1．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知實數，滿足，則的取值范圍可在數軸表示為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了絕對值的性質，算術平方根的性質，不等式的性質和在數軸上表示不等式的解集．得出是解題的關鍵．根據題意得出且，求解即可；【詳解】解：∵實數，滿足，，∴且，∴，，∴，在數軸表示為，故選：B．2．（2021·四川內江·二模）已知x，y滿足，則以，的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對【答案】B【分析】利用非負數的性質，求出，的值，利用分類討論的思想思考問題即可．【詳解】解：，又，，，，當等腰三角形的邊長為4，4，8時，不符合三角形的三邊關系；當等腰三角形的三邊為8，8，4時，周長為20，故選：B．【點睛】本題考查等腰三角形的概念、非負數的性質、三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．3．（2022·廣東汕頭·二模）若a，b滿足，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】首先根據算術平方根及絕對值的非負性，即可求得a、b的值，再把a、b的值代入代數式，即可求得其值．【詳解】解：，，由a-1=0解得a=1把a=1代入，得，得解得b=-2故故選：C【點睛】本題考查了算術平方根及絕對值的非負性，代數式求值問題，熟練掌握和運用二次根式及絕對值的非負性質是解決本題的關鍵．4．（2022·廣東梅州·一模）若，則（

）A．11 B．1 C．－1 D．－11【答案】B【分析】根據算術平方根和絕對值的非負性質列方程即可求解．【詳解】解：，且，，解得，，，故選：B．【點睛】本題考查了實數的性質，算術平方根和絕對值的非負性，理解實數的相關性質是解本題的關鍵．?題型03求估算算術平方根的取值范圍1．（2023·重慶潼南·模擬預測）估計的運算結果應在（

）A．3到4之間 B．4到5之間 C．5到6之間 D．6到7之間【答案】C【分析】本題考查了實數的估算能力，關鍵是先計算該算式得，再進行估算．【詳解】解：，，，故選：C．2．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）估計的值應在（

）A．0到1之間 B．1到2之間 C．2到3之間 D．3到4之間【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式的乘法運算，二次根式的估值，不等式的運算等，熟悉掌握二次根式的估算是解題的關鍵．根據乘法分配律運算出結果后，對二次根式進行估算即可．【詳解】解：，∵，∴∴，故選：C．3．（2024·山東濰坊·一模）已知x是滿足的整數，且使的值為有理數，則．【答案】5【分析】本題考查了估算無理數的大小，算術平方根的定義，熟練掌握各知識點是解決本題的關鍵．根據x是滿足的整數，則求出或5，分別代入找出符合結果是有理數的即可．【詳解】解：∵x是滿足的整數∴或∴或5，當時，是無理數，不符合題意舍；當時，是有理數，符合題意，∴，故答案為：5．4．（2024·山東菏澤·一模）已知，則與的最接近的兩個整數的和為．【答案】7【分析】本題考查無理數的估算，根據與10最接近，與6最接近，且，得到與a的最接近的兩個整數是3和4，由此即可得到答案．【詳解】解：∵，，，與的最接近的兩個整數是3和4，∴．故答案為：．?題型04已知一個數的平方根，求這個數1．（2024·天津河北·模擬預測）計算的值為（

）A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】此題考查了平方根，根據平方根的意義進行解答即可．【詳解】解：∵，∴．故選：B．2．（2024·廣東中山·三模）已知和是正數的兩個平方根，則的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查平方根的性質，根據一個正數的兩個平方根互為相反數，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故選D．3．（2024·河北滄州·二模）已知，，則m等于（

）A． B．6 C． D．或【答案】D【分析】本題考查了算術平方根，平方根的求解方法，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據算術平方根的定義，可以知道，然后根據平方根的定義求解即可．【詳解】將代入原式，得故選：D．4．（2024·寧夏銀川·一模）若，則的平方根是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了非負數的性質，平方根的定義，先根據非負數的性質求出a，b的值，然后代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴的平方根是．故選C．?題型05求一個數的立方根1．（2024·山東濱州·三模）化簡的結果為（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】本題考查立方根，根據立方根的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，故選：D．2．（2024·山東菏澤·一模）的相反數是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】本題考查了立方根及求一個數的相反數，解題的關鍵是掌握立方根的運算法則及相反數的概念．根據立方根的運算可知，再由相反數的定義即可解答．【詳解】解：∴的相反數是．故選：B．3．（2024·江蘇泰州·二模）的立方根為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了求一個數的立方根，根據立方根的定義求解即可．【詳解】解：，故選：B4．（2024·云南昭通·二模）一個正方體紙盒的體積為，它的棱長大約在（

）A．之間 B．之間 C．之間 D．之間【答案】D【分析】此題是考查估算無理數的大小在實際生活中的應用，“夾逼法”估算方根的近似值是解題的關鍵．可以利用方程先求正方體的棱長，然后再估算棱長的近似值即可解決問題．【詳解】解：設正方體的棱長為，由題意可知，解得，∵，∴．故選：D．命題點四實數的運算?題型01實數的運算1．（2024·新疆烏魯木齊·三模）計算：(1)；(2)．【答案】(1)4(2)【分析】本題主要考查了算術平方根、立方根、零指數冪、含特殊角的三角函數值、負整數指數冪、化簡絕對值等知識，熟練掌握相關運算法則和性質是解題關鍵．（1）首先根據算術平方根、零指數冪、含特殊角的三角函數值、負整數指數冪的運算法則進行計算，然后相加減即可；（2）首先根據算術平方根、立方根以及絕對值的性質進行運算，然后相加減即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．2．（2024·廣東深圳·模擬預測）計算：．【答案】【分析】本題主要考查了實數的運算，求特殊角三角函數值，零指數冪，負整數指數冪，先計算特殊角三角函數值，零指數冪和負整數指數冪，再根據實數的運算法則求解即可．【詳解】解：．3．（2024·湖北·模擬預測）計算：．【答案】【分析】本題主要考查了實數的運算，特殊角三角函數值和零指數冪，先計算特殊角三角函數值，零指數冪，再根據實數的運算法則求解即可．【詳解】解：原式．4．（2024·湖南婁底·模擬預測）計算：．【答案】【分析】本題考查了實數的運算，利用絕對值、零指數冪、負整數指數冪的意義，特殊角的三角函數值，二次根式的運算法則化簡計算即可．【詳解】解：原式05分層訓練·鞏固基礎鞏固單選題1．（2024·廣東廣州·中考真題）四個數，，，中，最小的數是（

）A． B． C．0 D．10【答案】A【分析】本題考查了有理數的大小比較，解題關鍵是掌握有理數大小比較法則：正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數；兩個正數比較大小，絕對值大的數大；兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小．【詳解】解：，最小的數是，故選：A．2．（2023·廣東廣州·中考真題）計算：（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查相反數等知識，化簡多重符號，掌握相反數的概念是解題的關鍵．正數的相反數是負數，負數的相反數是正數，0的相反數是0．【詳解】解：，故選：B．3．（2021·廣東·中考真題）若，則（

）A． B． C． D．9【答案】B【分析】根據一個實數的絕對值非負，一個非負實數的算術平方根非負，且其和為零，則它們都為零，從而可求得a、b的值，從而可求得ab的值．【詳解】∵，，且∴，即，且∴，∴故選：B．【點睛】本題考查了絕對值和算術平方根的非負性，一般地，幾個非負數的和為零，則這幾個非負數都為零．4．（2024·廣東·模擬預測）已知a與c互為相反數，且，那么下列關系式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相反數的定義，由相反數的定義得出，再逐項判斷即可得出答案，熟練掌握只有符號不同的兩個數互為相反數是解此題的關鍵．【詳解】解：∵a與c互為相反數，且，∴，A、的結果不確定，故本選項錯誤，不符合題意；B、，故本選項錯誤，不符合題意；C、，故本選項錯誤，不符合題意；D、，故本選項正確，符合題意；故選：D．5．（2024·廣東·模擬預測）據國家郵政局發布我國今年第一季度郵政行業寄遞包裹業務累計完成超萬件，同比增長．將數據萬用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了科學記數法，先把萬轉化為，再根據科學記數法：（，為正整數），先確定的值，再根據小數點移動的數位確定的值即可解答，根據科學記數法確定和的值是解題的關鍵．【詳解】解：萬，故選：．6．（2024·重慶大渡口·一模）估算的結果（

）A．在7和8之間 B．在8和9之間 C．在9和10之間 D．在10和11之間【答案】D【分析】本題考查二次根式的運算，無理數的估算，先進行計算，再利用夾逼法求出無理數的范圍即可得出結果．【詳解】解：，∵，∴，∴；故選D．7．（2024·廣東中山·三模）已知和是正數的兩個平方根，則的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查平方根的性質，根據一個正數的兩個平方根互為相反數，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故選D．8．（2024·廣東廣州·三模）下列運算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查算術平方根，冪的乘方，負整數指數冪，二次根數的乘法運算，根據相應法則，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、，原選項計算錯誤；B、，原選項計算正確；C、，原選項計算錯誤；D、，原選項計算錯誤；故選：B．9．（2024·廣東河源·二模）點、、、在數軸上的位置如圖所示，點為原點，，，若點所表示的數為，則點所表示的數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了數軸，先根據圖形得到，表示出，再根據得出答案即可，數形結合是解題的關鍵．【詳解】解：∵點、、、在數軸上的位置如圖所示，點為原點，，，點所表示的數為，∴，，∵，∴，∴點所表示的數，故選：B．填空題10．（2024·廣東惠州·模擬預測）某倉庫運進小麥6噸，記為噸，那么倉庫運出小麥8噸應記為噸．【答案】QUOTE【分析】本題考查了正數和負數．根據互為相反意義的量，確定運出的符號是解決本題的關鍵．根據正負數的意義，直接寫出答案即可．【詳解】解：倉庫運進小麥6噸，記為噸，那么倉庫運出小麥8噸應記為QUOTE噸，故答案為：QUOTE．11．（2024·山東青島·一模）計算：．【答案】2【分析】本題主要考查實數的混合運算，原式分別化簡，，，，然后再合并即可得出答案【詳解】解：，故答案為：212．（202