PAGEPAGE1第三節用樣本估計總體2024考綱考題考情1．用樣本的頻率分布估計總體分布(1)作頻率分布直方圖的步驟。①求極差(即一組數據中最大值與最小值的差)。②確定組距與組數。③將數據分組。④列頻率分布表。⑤畫頻率分布直方圖。(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線。①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得頻率分布折線圖。②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線。(3)莖葉圖。莖是指中間的一列數，葉是從莖的旁邊生長出來的數。2．用樣本的數字特征估計總體的數字特征(1)眾數：一組數據中出現次數最多的數。(2)中位數：將數據按大小依次排列，若有奇數個數，則最中間的數是中位數；若有偶數個數，則中間兩數的平均數是中位數。(3)平均數：eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，反映了一組數據的平均水平。(4)標準差：是樣本數據到平均數的一種平均距離，s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up10(－))2＋x2－\o(x,\s\up10(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up10(－))2])。(5)方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up10(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up10(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up10(－)))2](xn是樣本數據，n是樣本容量，eq\o(x,\s\up10(－))是樣本平均數)。1．頻率分布直方圖中各小矩形的面積之和為1。2．頻率分布直方圖與眾數、中位數與平均數的關系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數。(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的。(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和。3．平均數、方差的公式推廣(1)若數據x1，x2，…，xn的平均數為eq\o(x,\s\up10(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數是meq\o(x,\s\up10(－))＋a。(2)數據x1，x2，…，xn的方差為s2。①數據x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數據ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2。一、走進教材1．(必修3P65例題改編)如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量為[2,2.5)范圍內的居民數有________人。解析由頻率分布直方圖可知，月均用水量為[2,2.5)范圍內的居民所占頻率為0.5×0.5＝0.25，所以月均用水量為[2,2.5)范圍內的居民數為100×0.25＝25。答案252．(必修3P82A組T6改編)甲、乙兩臺機床同時生產一種零件，10天中，兩臺機床每天出的次品數分別是：甲0102203124乙2311021101則機床性能較好的為________。解析因為eq\x\to(x)甲＝1.5，eq\x\to(x)乙＝1.2，seq\o\al(2,甲)＝1.65，seq\o\al(2,乙)＝0.76，所以seq\o\al(2,乙)<seq\o\al(2,甲)，所以乙機床性能較好。答案乙二、走近高考3.(2024·江蘇高考)已知5位裁判給某運動員打出的分數的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分數的平均數為________。解析由莖葉圖可得分數的平均數為eq\f(89＋89＋90＋91＋91,5)＝90。答案904.(2024·山東高考)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產量數據(單位：件)。若這兩組數據的中位數相等，且平均值也相等，則x與y的值分別為()A．3,5 B．5,5C．3,7 D．5,7解析由兩組數據的中位數相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它們的平均值相等，所以eq\f(1,5)×[56＋62＋65＋74＋(70＋x)]＝eq\f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x＝3。答案A三、走出誤區微提示：①平均數與方差的性質理解出錯；②中位數、眾數、平均數的求法不清導致出錯。5．若數據x1，x2，x3，…，xn的平均數eq\o(x,\s\up10(－))＝5，方差s2＝2，則數據3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均數和方差分別為()A．5,2 B．16,2C．16,18 D．16,9解析因為x1，x2，x3，…，xn的平均數為5，所以eq\f(x1＋x2＋x3＋…＋xn,n)＝5，所以eq\f(3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn,n)＋1＝3×5＋1＝16，因為x1，x2，x3，…，xn的方差為2，所以3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18。故選C。答案C6．為了普及環保學問，增加環保意識，某高校隨機抽取30名學生參與環保學問測試，得分(非常制)如圖所示，假設得分的中位數為m，眾數為n，平均數為eq\o(x,\s\up10(－))，則m，n，eq\o(x,\s\up10(－))的大小關系為________。(用“<”連接)解析由圖可知，30名學生得分的中位數為第15個數和第16個數(分別為5,6)的平均數，即m＝5.5；又5出現次數最多，故n＝5；eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10,30)≈5.97。故n<m<eq\o(x,\s\up10(－))。答案n<m<eq\o(x,\s\up10(－))考點一頻率分布直方圖【例1】某高校藝術專業400名學生參與某次測評，依據男女學生人數比例，運用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]。并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；(2)已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40,50)內的人數；(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等。試估計總體中男生和女生人數的比例。解(1)依據頻率分布直方圖可知，樣本中分數不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分數小于70的頻率為1－0.6＝0.4。所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數小于70的概率估計值為0.4。(2)依據題意，樣本中分數不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故樣本中分數小于50的頻率為0.1，故分數在區間[40,50)內的人數為100×0.1－5＝5。所以總體中分數在區間[40,50)內的人數估計為400×eq\f(5,100)＝20。(3)由題意可知，樣本中分數不小于70的學生人數為(0.02＋0.04)×10×100＝60。所以樣本中分數不小于70的男生人數為60×eq\f(1,2)＝30。所以樣本中的男生人數為30×2＝60，女生人數為100－60＝40，男生和女生人數的比例為60∶40＝3∶2。所以依據分層抽樣原理，總體中男生和女生人數的比例估計為3∶2。1．繪制頻率分布直方圖時需留意的兩點(1)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確；(2)頻率分布直方圖的縱坐標是eq\f(頻率,組距)，而不是頻率。2．與頻率分布直方圖計算有關的兩個關系式(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率；(2)eq\f(頻數,樣本容量)＝頻率，此關系式的變形為eq\f(頻數,頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數。【變式訓練】(2024·貴陽監測考試)在某中學實行的環保學問競賽中，將三個年級參賽學生的成果進行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、其次、第三、第四、第五小組，已知其次小組的頻數是40，則成果在80～100分的學生人數是()A．15 B．18C．20 D．25解析依據頻率分布直方圖，得其次小組的頻率是0.04×10＝0.4，因為頻數是40，所以樣本容量是eq\f(40,0.4)＝100，又成果在80～100分的頻率是(0.010＋0.005)×10＝0.15，所以成果在80～100分的學生人數是100×0.15＝15。故選A。答案A考點二莖葉圖【例2】(2024·鄭州質量預料)我市某中學從高三年級甲、乙兩個班中各選出7名學生參與2024年全國中學數學聯賽(河南初賽)，他們取得的成果(滿分140分)的莖葉圖如圖所示，其中甲班學生成果的中位數是81，乙班學生成果的平均數是86，若正實數a，b滿足a，G，b成等差數列且x，G，y成等比數列，則eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值為()A．eq\f(4,9) B．2C．eq\f(9,4) D．9解析由甲班學生成果的中位數是81，可知81為甲班7名學生的成果按從小到大的依次排列的第4個數，故x＝1。由乙班學生成果的平均數為86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4。由x，G，y成等比數列，可得G2＝xy＝4，由正實數a，b滿足a，G，b成等差數列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)＋\f(b,4)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)＋\f(4a,b)＋4))≥eq\f(1,4)×(5＋4)＝eq\f(9,4)(當且僅當b＝2a時取等號)。故eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值為eq\f(9,4)。故選C。答案C1．由于莖葉圖完全反映了全部的原始數據，解決由莖葉圖給出的統計圖表問題時，要充分對這個圖表供應的樣本數據進行相關的計算或者是對某些問題作出推斷。2．莖葉圖不能干脆反映總體的分布狀況，這就須要通過莖葉圖中的數據求出樣本數據的數字特征，進一步估計總體狀況。【變式訓練】(1)已知某班級部分同學一次測驗的成果統計如圖，則其中位數和眾數分別為()A．95,94 B．92,86C．99,86 D．95,91(2)在一次馬拉松競賽中，35名運動員的成果(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示。若將運動員按成果由好到差編為1～35號，再用系統抽樣方法從中抽取7人，假設抽到的第一個數據是133，則這7人的平均成果為________。解析(1)由莖葉圖可知，此組數據由小到大排列依次為76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17個，故92為中位數，出現次數最多的為眾數，故眾數為86。故選B。(2)依題意，應將35名運動員的成果由好到差排序后分為7組，每組5人。抽到的7人的編號為3,8,13,18,23,28,33，成果為133,138,141,143,145,148,153，平均成果是eq\f(1,7)×(133＋138＋141＋143＋145＋148＋153)＝143。答案(1)B(2)143考點三樣本的數字特征微點小專題方向1：樣本方差的計算【例3】(1)(2024·武漢調研)某選手的7個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，剩余5個得分的平均數為91，如圖，該選手的7個得分的莖葉圖有一個數據模糊，無法分辨，在圖中用x表示，則剩余5個得分的方差為()A.eq\f(116,9) B．eq\f(36,7)C．6 D．30(2)已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，則數據2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的標準差為________。解析(1)由莖葉圖知，最低分為87分，最高分為99分。依題意得，eq\f(1,5)×(87＋93＋90＋90＋x＋91)＝91，解得x＝4。則剩余5個得分的方差s2＝eq\f(1,5)×[(87－91)2＋(93－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq\f(1,5)×(16＋4＋1＋9)＝6。故選C。(2)由s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up10(－)))2＝2，則數據2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差是8，標準差為2eq\r(2)。答案(1)C(2)2eq\r(2)1．平均數與方差都是重要的數字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的狀況有著重要的實際意義，平均數、中位數、眾數描述其集中趨勢，方差和標準差描述波動大小。2．方差的簡化計算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up10(－))2]，或寫成s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up10(－))2，即方差等于原數據平方的平均數減去平均數的平方。方向2：用樣本數字特征估計總體【例4】(2024·福州高三期末)隨著“互聯網＋交通”模式的迅猛發展，“共享自行車”在許多城市相繼出現。某“共享自行車”運營公司為了了解某地區用戶對該公司所供應的服務的滿足度，隨機調查了40名用戶，得到用戶的滿足度評分如下：用系統抽樣法從40名用戶中抽取容量為10的樣本，且在第一分段里隨機抽到的評分數據為92。(1)請你列出抽到的10個樣本的評分數據；(2)計算所抽到的10個樣本的均值eq\o(x,\s\up10(－))和方差s2；(3)在(2)的條件下，若用戶的滿足度評分在(eq\o(x,\s\up10(－))－s，eq\o(x,\s\up10(－))＋s)之間，則滿足度等級為“A級”。試應用樣本估計總體的思想，估計該地區滿足度等級為“A級”的用戶所占的百分比是多少？(精確到0.1%)參考數據：eq\r(30)≈5.48，eq\r(33)≈5.74，eq\r(35)≈5.92。解(1)由題意得，通過系統抽樣分別抽取編號為4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的評分數據為樣本，則樣本的評分數據分別為92,84,86,78,89,74,83,78,77,89。(2)由(1)中樣本的評分數據可得eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(1,10)×(92＋84＋86＋78＋89＋74＋83＋78＋77＋89)＝83，則有s2＝eq\f(1,10)×[(92－83)2＋(84－83)2＋(86－83)2＋(78－83)2＋(89－83)2＋(74－83)2＋(83－83)2＋(78－83)2＋(77－83)2＋(89－83)2]＝33。(3)由題意知用戶的滿足度評分在(83－eq\r(33)，83＋eq\r(33))，即(77.26,88.74)之間，滿足度等級為“A級”，由(1)中容量為10的樣本評分在(77.26，88.74)之間的有5人，則該地區滿足度等級為“A級”的用戶所占的百分比約為eq\f(5,10)×100%＝50.0%。解：由題意知用戶的滿足度評分在(83－eq\r(33)，83＋eq\r(33))，即(77.26,88.74)之間，滿足度等級為“A級”，調查的40名用戶的評分數據在(77.26,88.74)之間的共有21人，則該地區滿足度等級為“A級”的用戶所占的百分比約為eq\f(21,40)×100%＝52.5%。若給出圖表，一方面可以由圖表得到相應的樣本數據，再計算平均數、方差(標準差)；另一方面，可以從圖表直觀分析樣本數據的分布狀況，大致推斷平均數的范圍，并利用數據的波動性大小比較方差(標準差)的大小。【題點對應練】1．(方向1)一組數據1,10,5,2，x,2，且2<x<5，若該數據的眾數是中位數的eq\f(2,3)倍，則該數據的方差為________。解析依據題意知，該組數據的眾數是2，則中位數是2÷eq\f(2,3)＝3，把這組數據從小到大排列為1,2,2，x,5,10，則eq\f(2＋x,2)＝3，解得x＝4，所以這組數據的平均數為eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(1,6)×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4，方差為s2＝eq\f(1,6)×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9。答案92．(方向1)若樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為8，則數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為________。解析依題意，x1，x2，x3，…，x10的方差s2＝64。則數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標準差為eq\r(22×64)＝2×8＝16。答案163．(方向2)某商家為了解“雙十一”這一天網購者在其網店一次性購物的狀況，從這一天交易勝利的全部訂單中隨機抽取了100份，按購物金額(單位：元)進行統計，得到的頻率分布直方圖如圖所示。(1)該商家確定對這100份訂單中購物金額不低于1000元的訂單按區間[1000,1200)，[1200,1400]采納分層抽樣的方法抽取6份，對買家進行售后回訪，再從這6位買家中隨機抽取2位贈送小禮品。求獲贈小禮品的2位買家中，至少有1位買家的購物金額位于區間[1200,1400]內的概率。(2)若該商家制訂了兩種不同的促銷方案：方案一：全場商品打八折；方案二：全場商品實惠如下表。購物金額[200，400)[400，600)[600，800)[800，1000)[1000，1200)[1200，1400]實惠金額/元3050140160280320利用直方圖的數據，計算說明哪種方案的實惠力度更大(同一組中的數據用該組區間中點值表示)。解(1)在這100份訂單中，購物金額位于區間[1000,1200)內的有100×0.00050×200＝10(份)，位于區間[1200,1400]內的有100×0.00025×200＝5(份)，則購物金額位于區間[1000，1400]內的訂單共有15份。利用分層抽樣抽取6份，則位于區間[1000，1200)內的有4份，記為X1，X2，X3，X4，位于區間[1200，1400]內的有2份，記為Y1，Y2。從X1，X2，X3，X4，Y1，Y2中抽取2份，全部可能的結果有X1X2，X1X3，X1X4，X2X3，X2X4，X3X4，X1Y1，X1Y2，X2Y1，X2Y2，X3Y1，X3Y2，X4Y1，X4Y2，Y1Y2，共15種。設事務A表示“獲贈小禮品的2位買家中，至少有1位買家的購物金額位于區間[1200，1400]內”，其所含基本領件有X1Y1，X1Y2，X2Y1，X2Y2，X3Y1，X3Y2，X4Y1，X4Y2，Y1Y2，共9個，則P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)。(2)由直方圖知，各組的頻率依次為0.1,0.2,0.25，0.3，0.1，0.05，方案一：商家實惠金額的平均值為(300×0.1＋500×0.2＋700×0.25＋900×0.3＋1100×0.1＋1300×0.05)×0.2＝150(元)。方案二：商家實惠金額的平均值為30×0.1＋50×0.2＋140×0.25＋160×0.3＋280×0.1＋320×0.05＝140(元)。由于150>140，所以方案一的實惠力度更大。eq\b\