PAGEPAGE1課時作業(yè)45圓的方程[基礎達標]一、選擇題1．經(jīng)過點(1,0)，且圓心是兩直線x＝1與x＋y＝2的交點的圓的方程為()A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,x＋y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1，))即所求圓的圓心坐標為(1,1)，又由該圓過點(1,0)，得其半徑為1，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1.答案：B2．圓(x＋2)2＋y2＝5關(guān)于原點O(0,0)對稱的圓的方程為()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析：圓上任一點(x，y)關(guān)于原點的對稱點(－x，－y)在圓(x＋2)2＋y2＝5上，即(－x＋2)2＋(－y)2＝5，即(x－2)2＋y2＝5.答案：A3．[2024·湖南五校聯(lián)考]圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于2的點有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：圓(x－3)2＋(y－3)2＝9的圓心為(3,3)，半徑為3，圓心到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝eq\f(|3×3＋4×3－11|,\r(32＋42))＝2，∴圓上到直線3x＋4y－11＝0的距離為2的點有2個．故選B.答案：B4．[2024·福州質(zhì)檢]設圓的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，則原點與圓的位置關(guān)系是()A．原點在圓上B．原點在圓外C．原點在圓內(nèi)D．不確定解析：將圓的一般方程化成標準方程為(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因為0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，即eq\r(0＋a2＋0＋12)>eq\r(2a)，所以原點在圓外．答案：B5．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓有最大的面積，則取最大面積時，該圓的圓心的坐標為()A．(－1,1)B．(－1,0)C．(1，－1)D．(0，－1)解析：由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圓的半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(k2＋4－4k2)＝eq\f(1,2)eq\r(－3k2＋4)，當k＝0時，rmax＝eq\f(1,2)eq\r(4)＝1，此時圓的方程為x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，所以圓心為(0，－1)．答案：D二、填空題6．[2024·天津卷]已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，eq\r(5))在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為eq\f(4\r(5),5)，則圓C的方程為________．解析：因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，設C(a,0)，且a>0，所以圓心到直線2x－y＝0的距離d＝eq\f(2a,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，解得a＝2，所以圓C的半徑r＝|CM|＝eq\r(4＋5)＝3，所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝97．已知點P(x，y)在圓x2＋(y－1)2＝1上運動，則eq\f(y－1,x－2)的最大值與最小值分別為________．解析：設eq\f(y－1,x－2)＝k，則k表示點P(x，y)與點(2,1)連線的斜率．當該直線與圓相切時，k取得最大值與最小值．由eq\f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)；－eq\f(\r(3),3)8．已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對稱，則a－b的取值范圍是________．解析：∵圓的方程可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，∴其圓心為(－1,2)，且5－a>0，即a<5.又圓關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對稱，∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.答案：(－∞，1)三、解答題9．已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(0，－6)，B(1，－5)，且圓心在直線l：x－y＋1＝0上，求圓的標準方程．解析：解法一設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(F,2))).由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－62－6E＋F＝0,12＋－52＋D－5E＋F＝0,D－E－2＝0))消去F得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＋E－10＝0,D－E－2＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝6,E＝4))，代入求得F＝－12，所以圓的方程為x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，標準方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.解法二因為A(0，－6)，B(1，－5)，所以線段AB的中點D的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(11,2)))，直線AB的斜率kAB＝eq\f(－5－－6,1－0)＝1，因此線段AB的垂直平分線l的方程是y＋eq\f(11,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x＋y＋5＝0.圓心C的坐標是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋5＝0,x－y＋1＝0))的解，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝－2))，所以圓心C的坐標是(－3，－2)．圓的半徑長r＝|AC|＝eq\r(0＋32＋－6＋22)＝5，所以，圓心為C的圓的標準方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.10．已知M(m，n)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上隨意一點．(1)求m＋2n的最大值；(2)求eq\f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．解析：(1)因為x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圓心C(2,7)，半徑r＝2eq\r(2)，設m＋2n＝t，將m＋2n＝t看成直線方程，因為該直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離d＝eq\f(|2＋2×7－t|,\r(12＋22))≤2eq\r(2)，解上式得，16－2eq\r(10)≤t≤16＋2eq\r(10)，所以所求的最大值為16＋2eq\r(10).(2)記點Q(－2,3)，因為eq\f(n－3,m＋2)表示直線MQ的斜率k，所以直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直線MQ與圓C有公共點，得eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2).可得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，所以eq\f(n－3,m＋2)的最大為2＋eq\r(3)，最小值為2－eq\r(3).[實力挑戰(zhàn)]11．已知圓M過兩點C(1，－1)，D(－1,1)，且圓心M在x＋y－2＝0上．(1)求圓M的方程；(2)設P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值．解析：(1)設圓M的方程為：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．依據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－1－b2＝r2,－1－a2＋1－b2＝r2,a＋b－2＝0))解得a＝b＝1，r＝2，故所求圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.(2)因為四邊形PAMB的面積S＝S△PAM＋S△PBM＝eq\f(1,2)|AM|·|PA|＋eq\f(1,2)|BM|·|PB|，又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝eq\r(|PM|2－|AM|2)＝eq\r(|PM|