北師大版七年級數學下學期期末壓軸精選30題

考試范圍：全冊的內容，共30小題.

一、選擇題

1.（2022?湖南婁底?七年級期中）已知：（2021-。）（2020—。）=3,貝I］（2021-4+（2020-4的值為（）

A.7B.8C.9D.12

【答案】A

【解析】

【分析】

把（2021-a）、（2020-a）看成整體來處理即可.

【詳解】

0［（2O21-a）-（2O2O-a）］2=（2O21-a）2+（2O2O-a）2-2（2O21-tz）（2O2O-a）

01=（2O21-a）2+（2O2O-a）2-2x3

（2021-?）2+（2020-a）2=7

故選：A.

【點睛】

本題考查完全平方公式的變形應用，把（2021-a）、（2020-a）看成整體，則題目變成已知兩數積和差，求

平方和是解題的關鍵.

2.（2022.河北保定?七年級期中）如圖，某購物廣場從一樓到二樓有一部自動扶梯.右圖是自動扶梯的側面

示意圖，自動扶梯A3上方的直線上有一點C,連接AC,BC.已知MN〃PQ〃BD,ZBAP=147°,

ZNCB=92°,則/CBA的度數為（）

A.55°B.1210C.125°D.147°

【答案】C

【解析】

【分析】

根據MV〃PQ〃8￡>,可得回84P=0ABD,0CBD+0BC^=18O°,從而得到S4BO=147°,aCBZ)=88°,即可求解.

【詳解】

解：^\MN//PQ//BD,

00BAP=0ABr),0CBD+0BCA^=18O°,

回/BAP=147。，ZNCB=92°,

00ABD=147°,0CB￡>=88°,

^CBA=36Q°-^ABD-^\CBD=125°.

故選：C

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

3.(2022?河南洛陽?八年級期末)根據等式：(x-l)(x+l)=x2-l,(x-l)(x2+x+l)=？-l,

(X—+X?+x+1)=x,—1,(x—l)(x4+丁+尤2+尤+1)=尤5—1,...的規律，則可以推算得出

22021+22020+22019+L+22+2=().

A.22022+1B.22022+2c.22022-1D.22022-2

【答案】D

【解析】

【分析】

2020

根據題目給出的規律即可得出2期1+2+2劃9+…+2?+2+1的答案，再根據等式的性質得出答案即可.

【詳解】

由題目中等式的規律可得：

22021+22020+22019+L+22+2+1=(2-1)X(22021+22020+22019+L+22+2+1)=22022-1

22021+22?0+22019+L+22+2=22022-1-1=22022-2

故選：D.

【點睛】

本題考查了數字類規律探索，發現并能夠靈活運用〃次方差公式的規律是解題的關鍵.

4.(2022?福建省福州教育學院附屬中學八年級期末)如圖，點P為ZAOB內一點，分別作點P關于。8、04

的對稱點月，乙，連接《巴交于交OA于N,片鳥=15,貝IUPMN的周長為()

P2

A.16B.15C.14D.13

【答案】B

【解析】

【分析】

根據軸對稱的性質可得PiM=PM，PiN=PN,然后根據三角形的周長定義，求出APAW的周長為PR,從

而得解.

【詳解】

解：團點P關于。8、Q4的對稱點片，P2,

^P1M=PM,P2N=PN,

回APMN的周長=MN+PM+PN=MN+/]M+EN=qg,

回=15

EIAPMN的周長為15.

故選：B.

【點睛】

本題考查軸對稱的性質，解題時注意：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個

對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等.

5.(2022?河北保定?八年級期末)如圖，C為線段AE上一動點(不與點A,E重合)，在AE同側分別作等

邊三角形ABC和等邊三角形CDE,AD與BE交于點與BC交于點P,BE與。交于點。，連結尸。.以

下結論錯誤的是()

4.0A08=60°B.AP=BQ

PQ0AED.DE=DP

【答案】。

【解析】

【分析】

利用等邊三角形的性質，BCSDE,再根據平行線的性質得到回CBE=aDE。，于是

SAOB=^DAC+SBEC=^BEC+^DEO=^DEC=60,),得出A正確；根據taCQBEBCHl(ASA),得出2正確；由

0ACD00BCE^CBE^DAC,力口之她C2=I3￡)C￡=6O°,AC=BC,得至胞。。203圓4(AS4),再根據回PCQ=60°

推出BPC。為等邊三角形，又由&PQC=aDCE,根據內錯角相等，兩直線平行，得出C正確；根據回C￡>E=60。，

0￡>g￡=0EC2+0C￡2=6O°+0CE2>可知回OQE距CCE,得出。錯誤.

【詳解】

解：團等邊M3C和等邊國C。及

^\AC=BCfCD=CE,^\ACB=^\DCE=60°,

^\ACB^BCD=^DCE^BCD,即MCD二團BCE,

在94。。與團BCE中，

AC=BC

<ZACD=/BCE,

CD=CE

mACD^\BCE(SAS),

00CBE=0DAC,

又回R1AC3=團DCE=60°,

團團58=60。，^^ACP=^\BCQ,

又她C=3C,

在回CQ5與回中，

NACP=NBCQ

<AC=BC,

NPAC=NCBQ

團團CQB回團CB4(ASA),

團CP二c。，

又團團尸。。二60。可知團PC。為等邊三角形，

^\PQC=^DCE=60°,

^\PQ//AE,

故C正確，

盟1C。施團CB4,

^1AP=BQ,

故8正確，

^\AD=BE,AP=BQ,

^\AD-AP=BE-BQf

即DP=QE,

^\DQE=^ECQ+^CEQ=60°^CEQ,0CZ)E=6OO,

^DQE^CDE,故。錯誤；

^ACB=^\DCE=60°,

團團3CD=60°,

團等邊團0C￡,

^\EDC=60°=^BCDf

SBC^DE,

^ECBE^DEO,

^3\AOB=^DAC+^BEC=^BEC+^\DEO=^DEC=60°,

故A正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，利用旋轉不變性，解題的關鍵是找到不變量.

6.（2021?四川綿陽?八年級期中）如圖，在0ABe中，0BAC=90°,是高，BE是中線，CP是角平分線,

CF交AO于點G,交BE于點、H,下面正確的結論有（）

①0ABE的面積=SBCE的面積;

②”=AG；

③回曲G=20ACP

④BH=CH

A.1個B.2個C.3個D4個

【答案】C

【解析】

【分析】

根據三角形中線定義和三角形面積公式可對①進行判斷；根據等角的余角相等得到0ABOSDAC,再根據角

平分線的定義和三角形外角性質可對②進行判斷；根據等角的余角相等得到&BAO=0ACB,再根據角平分線

的定義可對③進行判斷.

【詳解】

解：是中線得到AE=CE,

0S0AB￡=S0BCE,故①正確；

00BAC=9O°,AD是高，

0EL4BC=0￡）AC,

團CF是角平分線，

0EIACF=0BCF,

^AFG^FBC^BCF,SAGF^GAC+SACF,

0EL4FG=0AGF,

SAF^AG,故②正確；

團團3AD+團ZMC=90°,回ZMC+0AC8=9O°,

mBAD^CB,

而明。3二2胡。凡

03E4G=2EIACF,故③正確.

根據已知條件不能推出回H8C=囪HC8,即不能推出B”=C〃，故④錯誤；

故選：C.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的判定，三角形內角和定理，三角形的外角性質，三角形的角平分線、中線、高，

等腰三角形的判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵.

7.（2022?廣東?佛山市南海石門實驗中學七年級階段練習）下列有四個結論，其中正確的是（）

①若（x-l-=1,則x只能是-1；

②若（x-D（尤2+6+1）的運算結果中不含/項，貝！j〃=i；

③若Q+Z?=8,ab=7,貝!]〃一人=4；

④若4'=。，8y=6,則22,知可表示為f

b

A.①②③④B.②③④C.①③④D.②④

【答案】D

【解析】

【分析】

當x=2時，（2-l）"i=13=i,故可判斷①錯誤；按照多項式乘多項式的法則展開可求得。的值，從而可判

斷②；利用兩個完全平方公式的變形即可判斷③；逆用同底數募的除法及逆用募的乘方即可判斷④，因

而可得到正確的答案.

【詳解】

2+13

當x=2時，（2-1）=1=1;故①錯誤；

回（無一1）（尤~+ux+1）=尤3+（a—1）無2+（1—a）尤一1）

回當無2項系數。-1=0時，不含/項，

0?=1.

故②正確；

13（4-6）2=（a+6）2-4a6=8?-4x7=36,

團。一人=±6,

故③錯誤；

022A3,=②1+⑵>=4'+8y=a+b='，

b

故④正確；

故選：D.

【點睛】

本題考查了多項式的乘法，幕的運算，完全平方公式的變形應用等知識，掌握它們是解答本題的關鍵.

8.（2022?河北?保定市第十七中學七年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為2,動點尸從點8出發，在正

方形的邊上沿3fC—O的方向運動到點O停止，設點尸的運動路程為x,在下列圖象中，能表示△/%￡）的

面積，關于x的函數關系的圖象是（)

【解析】

【分析】

分0WxW2、2<xV4兩種情況，分別求出函數表達式，即可求解.

【詳解】

解：當0WxW2時，如圖,

貝i]y=gADAB=；x2x2=2,為常數;

當2<xW4時，如下圖，

貝lJy=gADxPD=；x2x(2+2_x)=4_x,為一次函數;

故選：D.

【點睛】

本題考查了動點函數圖象問題，在圖象中應注意自變量的取值范圍，注意分類討論.

二、填空題

9.(2022?廣東茂名?七年級階段練習)計算20222-2023x2021=.

【答案】1

【解析】

【分析】

把2023化為(2022+1),2021化為(2022-1),而后用平方差公式計算.

【詳解】

20222-2023x2021=20222-(2022+1)(2022-1)=20222-20222+l=l.

故答案為1

【點睛】

本題考查了平方差公式，熟練把數據適當變形，運用平方差公式計算，是解決此類問題的關鍵.

10.(2022?山西大附中一模)若。+6=2,貝萬+〃一6的值為.

【答案】-2

【解析】

【分析】

根據。+〃=2,可求出(a+b)2=4,BPa2+2ab+b2=4,再整體代入即可.

【詳解】

回a+b=2,

222

0(a+b)=4,BPa+2ab+b=4,

回/+lab+62-6=4-6=—2.

故答案為：-2.

【點睛】

本題考查運用完全平方公式進行運算.利用整體代入的思想是解題關鍵.

11.(2022?福建三明?模擬預測)已知實數。滿足"一3"-1=0,則/+與的值為.

a

【答案】11

【解析】

【分析】

先把已知條件的兩邊都除以。，把得到的常數項移項，然后等號兩側平方，利用完全平方公式計算即可.

【詳解】

團片一3a—1=0,

0。-3=0,

a

061—=3,

a

1

9--2=9,

a~

,1

回H——=9+2=11,

a"

故答案為：11.

【點睛】

本題主要考查了完全平方公式的運用，兩邊都除以。構造出。與其倒數的差是解題的關鍵，另外還要注意乘

積的二倍項不含字母。也非常重要.

12.（2022?江蘇蘇州?模擬預測）從如圖的四張印有品牌標志圖案的卡片中任取一張，取出印有品牌標志的

圖案是軸對稱圖形的卡片的概率是

0

【答案】43

【解析】

【分析】

先由軸對稱圖形的定義判斷軸對稱圖形的個數，再根據概率公式計算概率即可；

【詳解】

解：由圖可得第一個圖形不是軸對稱圖形，第二個、第三個、第四個都是軸對稱圖形，

自從如圖的四張印有品牌標志圖案的卡片中任取一張，取出印有品牌標志的圖案是軸對稱圖形的卡片的概率

3

故答案為：—.

4

【點睛】

本題考查了軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個

圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸；概率=所求事件的結果數+總的結果數；掌握相關定義是

解題關鍵.

13.（2022?浙江臺州?八年級期末）如圖，在等邊中，是NABC的平分線，點E是的中點，點尸

是3。上的一個動點，連接PE,PC,當PE+PC的值最小時，NEPC的度數為

【答案】60。##60度

【解析】

【分析】

由題意可知點A、點C關于8。對稱，連接AE交8。于點P,由對稱的性質可得，PA=PC,由兩點之間線

段最短可知，AE即為尸E+PC的最小值，然后根據等邊三角形的性質求出I3EPB=6O。，再通過△8PEH3CPE

得出EIEPC=I3EPB=6O°.

【詳解】

解：EBABC是等邊三角形，2。是0ABC的平分線，

回點。為AC的中點，BD^AC,

回點A、點C關于3。對稱，

如圖，連接AE,交BD于P,線段AE的長即為PE+PC最小值，

回點E是邊BC的中點，

0AE0BC,

EEABC=60。，是0ABe的平分線,

fflPBE=30",

甌BPE=60。，

回在ABPE和ACPE中，

PE=PE

<ZPEB=APEC=90°,

BE=CE

00BPE00CPE(SAS),

00￡PC=0BPE=6O°.

故答案為：60°.

【點睛】

本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等邊三角形的性質是解答此題的關鍵.

14.（2022?河北?石家莊二十三中七年級期中）如圖（1）,在AABC中，N4=42。，BC邊繞點C按逆時針方

向旋轉一周回到原來的位置.在旋轉的過程中（圖（2））,當NACB'=時，CBV/AB.

【解析】

【分析】

根據平行線的判定，分兩種情況：當CB，與第一次平行時，0A與0ACB,構成同旁內角，即0A+IMCB'=18O°,

當C8與AB第二次平行時，0A與EAC2'構成內錯角，即EAC8'=EIA=42。.

【詳解】

解：當CB，與第一次平行時，

aa4+EAC3'=180°,

EBA=42°,

aaACB'=180--0A=138°,

當CB，與AB第二次平行時，

aa4CB'=S4=42°,

綜上所述：0A=42。或138。，

故答案為:42。或138。.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質，運用分類討論思想是解決問題的關鍵.

15.（2021?全國?八年級專題練習）如圖（°）所示，在矩形ABC。中，動點尸從點8出發，沿BC,CD,DA

運動至點A停止.設點尸運動的路程為無，AAB尸的面積為y,如果y關于尤的關系如圖（b）所示，則比

的值是.

【答案】5

【解析】

【分析】

先根據點（2,3）在圖象上得出BC的長，然后利用三角形的面積求出的長，進而可得答案.

【詳解】

解：由圖象上的點（2,3）可知：BC=2,

由三角形面積公式，得：^xBCxAB=3,解得：AB=3.

2

..CD=AB=3,m=BC+CD=5.

故答案為：5.

【點睛】

本題考查了利用圖象表示變量之間的關系，屬于常見題型,根據題意和圖象得出2C和AB的長是解題關鍵.

16.（2022?山東泰安?七年級期末）添加輔助線是很多同學感覺比較困難的事情.如圖1,在R/AABC中，

2

ZABC=90°,5。是高，E是AMC外一點，BE=BA,NE=NC,^DE=-BD,AD=9,BD=12,求

△BOE的面積.同學們可以先思考一下……，小穎思考后認為可以這樣添加輔助線：在BD上截取班'=

（如圖2）.同學們，根據小穎的提示，聰明的你可以求得△瓦）E的面積為.

【答案】36

【解析】

【分析】

先通過等量代換推出=再利用“邊角邊〃證明AAaFM/^ED,再通過川樹二；3/?AO求出△45戶

的面積即可.

【詳解】

解：Q3D是△回€：的高，

:.BDLAC,

/.ZA+Zz4BD=90°,

???ZABC=90°,

/.ZA+ZC=90°,

:.ZABD=NC,

???/E=NC,

:.ZABD=ZE.

在△ABE和△BED中，

BA=BE

</ABD=NE,

BF=DE

:.^\BF三#ED,

-v=q

-uAABF_04ED?

2

-：DE=-BD,BD=12,BF=DE,

3

22

...BF=DE=-BD=-xl2=8

33f

S=-BFAD=-x8x9=36,

由ARF22

''''"ED=S?ABF=36.

故答案為：36.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質，根據題中所給提示，通過證明三角形全等，將求ABDE的面積轉化為

求△村的面積是解題的關鍵.

三、解答題

17.（2022?上海?七年級期末）完全平方公式：（“±6）2=/±2乃+〃適當的變形，可以解決很多的數學問題.例

如：^a+b=3,ab=l,求^+62的值；

解：因為a+6=3,所以（a+b>=9,即：a2+lab+b2=9,又因為仍=1,所以4+62=7.根據上面的解

題思路與方法，解決下列問題：

⑴若無+y=8,/+產=40,求孫的值；

⑵填空：①若(4-x)x=5,則(4-尤)2+尤2=；

②若(4-x)(5—x)=8,則(4一x)2+(5-尤)2=.

⑶如圖，點C是線段A8上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設AB=6,兩正方形的面積和￡+$2=18,

求圖中陰影部分面積.

【答案】⑴12

⑵①6；017

【解析】

【分析】

(1)利用完全平方公式即可求解；

(2)注意整體法的運用，將(4-x)、(5-x)看成一個整體去求解；

(3)表示兩個正方形的面積就、邑，得到4b+8。2=18,結合(AC+BC)2=6。推出AC.BC=9,再去計

算陰影部分面積.

⑴

回x+y=8,m(x+y)2=82,x2+2xy+y2=64,

又回/+;/=40,

E2xy=64-(x2+y2)=64—40=24,

回孫=12；

⑵

①(4-x)2+x2=(4-x+x)2-2(4-x)x=16—10=6；

②(4一x)2+(5-x)2=[(4-X)-(5-X)]2+2(4-x)(5-x)=(-1)2+2x8=17；

(3)

EL4B=6,

E(AC+BC)2=62,

國AC2+2AC.BC+BC2=36,

又團E+S2=18,

EIAC2+BC2=18,

回AC.8c=9,

BBC^CF,

19

回^AACF=2AC?Cf=—.

【點睛】

本題考查了完全平方公式的靈活運用，其中既要注意整體法的運用，又要注意數形結合思維的培養.

18.(2021,四川省南充市白塔中學八年級階段練習)仔細閱讀材料，再嘗試解決問題：

完全平方式尤2±2孫+y2=(X土?以及"土y)2的值為非負數的特點在數學學習中有廣泛的應用，比如探求

2X2+12X-4的最大(小)值時，我們可以這樣處理：

解：原式=212+6X-2)=212+6X+9-9-2)=2[(X+3『-〃]=2(X+3)2-22.

團無論x取什么數，都有(X+3)220,團(x+3『的最小值為0,此時x=-3,進而2(x+3『-22的最小值是

2x0—22=—22,回當*=—3時，原多項式的最小值是-22.

請根據上面的解題思路，探求：

⑴多項式尤2-6x+4的最小值是多少，并寫出對應的x的取值；

⑵多項式-2/一8X+6的最大值是多少，并寫出對應的x的取值.

【答案】⑴當尤=3時，原多項式的最小值是-5；

⑵當x=-2時，原多項式的最大值是14

【解析】

【分析】

(1)先利用配方法將式子進行整理得到(丈-3)2-5,即可求解；

(2)先利用配方法將式子進行整理得到-2(x+2y+14,即可求解.

(1)

x2-6x+4=(x2-6x+9)-5

=(x-3)2-5.

，當x=3時，原多項式的最小值是-5；

⑵

—2X2-8x+6=—2^x2+4x)+6=-2(丁+4x+4-4)+6

=-2(x2+4x+4)+6+8

=-2(x+2)2+14.

.,.當x=-2時，原多項式的最大值是14.

【點睛】

本題考查的是配方法的應用、非負數的性質，掌握完全平方公式、靈活運用配方法是解題的關鍵.

19.(2021,重慶市黔江區教育科學研究所九年級期末)把代數式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運用

完全平方式的非負性這一性質增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法.配方法在代數式求值，解方程，

最值問題等都有著廣泛的應用.

例如：①用配方法因式分解：〃+6a+8.

原式=。2+60+9-1=(。+3)2-1=(。+3-1)(。+3+1)=(。+2)(a+4)

②若M=〃一2"+2〃-26+2,利用配方法求知的最小值：

〃-2a6+2〃-2b+2+-26+1+1=(。-6)2+3-1)2+1

(A-&)2>0,0-1)2>0

.?.當。=%=1時，加有最小值1.

請根據上述材料解決下列問題：

⑴用配方法因式分解：a2-240+143;

=-a2+2a+l,求M的最小值.

4

22

(3)已知Q2+Z?+C-?Z?-3Z?-4C+7=0,求a+〃+c的值.

【答案】⑴(a—13)(a—ll)

⑵-3

(3)5

【解析】

【分析】

(1)先配方，然后根據平方差公式進行因式分解即可；

(2)先配方，然后根據完全平方式的非負性求最值即可；

(3)由a2+/+c2-a6-36-4c+7=o得(a-gb)+^(6-2)?+(c-2)2=0,即。一；匕=0,6—2=0,c—2=0,

求出a,b,c的值，然后代入求解即可.

⑴

解：M^=a2-24a+144-l=(a-12)2-l=(a-12-l)(a-12+l)=(a-13)(a-ll).

(2)

解：M=-a2+2a+l=-(a2+8a+16)-3=-(a+4)2-3,

444

0(<7+4)2>0,

回M的最小值為-3.

⑶

解：團片+匕2+。2__3匕_4。+7=0,

回「一ab+；d+*2-3b+3)+『4c+4)=0,

2

22

回a+1(^-2)+(C-2)=0,

4

Sa--b=O,b-2=0,c-2=0,

2

團Q=1,b=2,c=2,

團Q+》+C=1+2+2=5.

【點睛】

本題考查了運用公式法進行因式分解，完全平方的非負性，代數式求值.解題的關鍵在于理解題意并正確

的運算.

20.(2022?福建省漳州第一中學七年級期中)如圖1,AB//CD,NPAB=25。，NPCD=37°,求/APC的

度數.

小明的思路：過點P作PE〃M，通過平行線的性質來求/APC.

圖1

圖2

⑴按照小明的思路，易求得/APC的度數為

(2)如圖2,AB//CD,射線加與射線QV交于點O,直線A3分別交射線ON,射線3/于點A,B,直線

分別交射線QV，射線O”于點C,D.點P在射線加上運動(點P與點O,B,。三點不重合)，記

ZPAB=Za,NPCr>=N￡，問/ARC與Na,〃之間有何數量關系？

【答案】(1)62°

(2)ZAPC=/a+N6

【解析】

【分析】

(1)根據平行線的性質可得NAPE=/R1B=25。，ZCPE=ZPCD=37°,根據NAPC=NAPE+NCPE計

算求解可得/APC的值;

(2)如圖2,作尸石〃根據平行線的性質可得NAPE=NR4B=/a,ZCPE=ZPCD=Z/3,根據

NAPC=NAPE+/CPE計算求解可得/APC與N。，N6的關系.

⑴

解：^PE//AB,AB\\CD,

SPE//CD,

0ZAPE=ZPAB=25°,/CPE=/PCD=37。，

回NAPC=NAP石+NCPE=62。，

故答案為：62°.

(2)

解：ZAPC=N(z+/￡.

圖2

0PE/7AB,AB\\CD,

SPE//CD,

^\ZAPE=ZPAB=Za,NCPE=NPCD=,

S\ZAPC=ZAPE+ZCPE=Za+Z/3,

SZAPC=Za+Zj3.

【點睛】

本題考查了平行線的性質.解題的關鍵在于熟練掌握兩直線平行內錯角相等.

21.(2022?上海?七年級期中)如圖，已知AM〃BN,NA=60°,點尸是射線AM上一動點(與A不重合),

BC、8。分別平分乙鉆尸和NP8N,交射線AM于C、D,(推理時不需要寫出每一步的理由)

⑴求NC3D的度數.

⑵當點P運動時，那么NAPB：NAOB的度數比值是否隨之發生變化？若不變，請求出這個比值；若變化,

請找出變化規律.

⑶當點P運動到使時，求NABC的度數.

【答案】⑴60。

⑵不變，NAPB：ZADB=2：1

(3)ZABC=30°

【解析】

【分析】

(1)由平行線的性質可求得/ABN,再根據角平分線的定義和整體思想可求得NCBA

(2)由平行線的性質可得ZADB=ZDBN,再由角平分線的定義可求得結論；

(3)由平行線的性質可得到NAC5=NC8N=60°+/DBN,結合條件可得到ND5N=NA5C,且

NABC+NDBN=60°,可求得NA3C1的度數.

(1)

*：AM//BN,

???NA8N+NA=180°,

ZABN=1SO°-60°=120°,

ZABP+ZPBN=nO°,

??,8C平分NA3P,BD平分/PBN,

；?/ABP=2/CBP,/PBN=2/DBP,

：.2ZCBP+2ZDBP=120°,

ZCBD=ZCBP+ZDBP=60°；

(2)

不變，/APB：ZADB=2：1.

u

：AM//BNf

：.ZAPB=ZPBN,/ADB=/DBN,

?；BD平分/PBN,

：.ZPBN=2ZDBN9

：.ZAPB：ZADB=2：1；

⑶

9：AM//BN,

：.ZACB=ZCBN,

當NAC8=NA3￡>時，則有/C8N=NA3O,

???/ABC+/CBD=/CBD+/DBN,

：.ZABC=ZDBN,

由(1)可知NABN=120。,ZCBD=60°,

/.ZABC+ZDBN=60°,

ZABC=30°.

【點睛】

本題主要考查平行線的判定和性質，掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵,①同位角相等0兩直線平行,

②內錯角相等=兩直線平行，③同旁內角相等今兩直線平行④〃〃4b//c=>a//c.

22.(2022廣西欽州?七年級期中)如圖1,已知直線尸Q〃跖V,點A在直線P。上，點5,C在直線MN上,

連接AB,AC,ZPAB=5O°,ZACB=30°,平分NPAC,5。平分NABC,A。與相交于點。.

⑴求NAD3的度數；

(2)若將圖1中的線段AC沿MN向右平移到AG，如圖2,此時AQ平分44AG，3。平分/ABC-與

相交于點。，ZPAB=50°,NAGB=30°,求NADB的度數；

⑶若將圖1中的線段AC沿MN向左平移到AG，如圖3,其他條件與(2)相同，求此時的度數.

【答案】⑴130。

(2)130°

(3)40°

【解析】

【分析】

(1)直接利用角平分線的性質結合平行線的性質得出呢汨4以及SBAZ)的度數，進而得出答案；

(2)直接利用角平分線的性質結合平行線的性質得出回胡。以及0X8。的度數，進而得出答案；

(3)直接利用角平分線的性質結合平行線的性質得出0ABN和0A8D的度數，進而得出答案.

(1)

回直線尸。〃MV,ZACB=30°,

回NACB=NQAC=30。，

13ZftlC=150°,

S\ZPAB=5O°,AD平分NPAC,

0ZPAD=75O,

SZBAD=25°,

可得/出5=44^=50。，.

回5￡＞平分NABC,

回"54=25。，

EZADB=180°-25°-25°=130°；

⑵

如圖2所示，

回乙41cl2=30。，線段AC沿MN向右平移到4Q,PQ//MN,

回NQAG=30°,

回"AG=150°,

國4。平分/A4tG，

^\ZPAlD=ZDAiC1=75°,

SZPAB=5O°,PQ//MN,

回ZBAQ=130°,ZABN=50。,

回8。平分

0ZABD=25°,

0NBDA=360°-25°-130°-75°=130°；

⑶

如圖3所示，過點D作EO〃P。，

回乙41GB=30。，線段AC沿MN向左平移到AG，PQ//MN,

回“AG=30。，

回4。平分/Av;,

回/。4。=/4。石=15°,

0ZPAB=5O°,PQ〃MN,

^\ZABN=50°,

回8。平分/ABC,ED//MN,

0ZABD=ZDBN=NEDB=25°,

S1ZBDA,=ZEDB+ZAjDE=250+15°=40°,

【點睛】

此題主要考查了角平分線的定義以及平行線的性質等知識，正確應用平行線的性質是解題關鍵.

23.(2022?山西大同?八年級期末)如圖，。是經過/3C4頂點C的一條直線，CA=CB,E、尸分別是直

線8上兩點，B.ZBEC=ZCFA=a.

F/D

⑴若直線。經過/3C4的內部，且E、P在射線8上.

①如圖1,若/3C4=90。，a=90°,則BECF.

②如圖2,若0。<々。4<180。，請添加一個關于々與/BC4關系的條件,使①中的結論仍然成

立，并說明理由；

(2)如圖3.若線8經過NBC4的外部，a^ABCA,請提出關于所，BE,AF三條線段數量關系的合理猜

想，并簡述理由.

【答案】⑴①=;②。+/3C4=180。，理由見解析

(2)EF=BE+AF,理由見解析

【解析】

【分析】

(1)①由0BC4=90°,SiBEC=SCFA=a=90o,可得EICBE=EIACF從而可證△BC￡EBCAF故BE=CP；

②若BE=CF,則可使得△8CE3E1CAR根據題目已知條件添加條件，再使得一對角相等，ABC比回CAP便

可得證；

(2)題干已知條件可證△8C￡EBCAF,故BE=CF,EC=FA,從而可證明EF=8E+AE

⑴

解：^^BEC=SCFA=a=90°,

fflBCE+EICBE=180°-EIBEC=90<,,

又EBBCA=I3BCE+0ACP=90°,

00CBE=EIACF,

NBEC=NCFA

在回BCE和△CA/中，<ZCBE=ZACF,

BC=AC

^\BCE^\CAF(A4S)

國BE=CF.

②a+回5cA=180°,理由如下：

團團BEC=BCFA=a,

^BEF=180°-^BEC=180°-。，

y^\BEF=團EBC+^BCE,

^EBC+WCE=180°-a,

又團a+團BC4=180°,

團團3cA=180°—a,

團團5cA=^\BCE+^ACF=180°-。,

^\EBC=BFCA,

在△BCE和△CA/中，

ZCBE=ZACF

</BEC=/CFA,

BC=CA

mBCE^BCAF(AAS)

^1BE=CF；

(2)

解：EF=BE+AF,理由如下：

aaBCA=a,

BBBCE+niACF=180°-iaBCA=180°-a,

又a3BEC=a,

EBEBC+回BCE=18O°-0B￡C=180°-ct,

00￡BC=EFCA,

在ABEC和ACRl中，

'NEBC=NFCA

<ZBEC^ZFCA,

BC=CA

00BEO30CM(A4S)

0BE=CF,EC^FA,

^\EF=EC+CF=FA+BE,即EF=BE+AF.

【點睛】

此題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵.

24.(2021?河南?開封市第二十七中學八年級期中)如圖1,AC^BC,0ACB=9O。，點D在線段AC上，過

點A作BD的垂線交BD的延長線于點E,交BC的延長線于點P.

(1)求證：0ACP00BCr)；

(2)如圖2,若點。在線段AC的延長線上，過點A作BD的垂線，交BC于點P,垂足為點E,試探索線段

AC,BP,CD三者之間的數量關系，并說明理由.

(3)如圖3,若ACjBCuga”，點。從點A出發，以lc”〃s的速度向點C勻速運動，同時點。從點8出發,

以2cMs的速度沿射線方向作勻速運動，設運動時間為fs,(0<r<6),直接寫出f為何值時，

Sqs

^△DCP_3。叢DQP.

【答案】⑴見解析

(2)AC=BP+CD,理由見解析

⑶一|

【解析】

【分析】

(1)根據等角的余角相等可得繼而根據AS4直接證明EACP回SBC。；

(2)同(1)方法證明可得EACPfflBCD得出CP=CD,進而根據線段的和差關系即可求解；

(3)根據題意先用代數式表示出CRPQ,根據面積關系列出方程，解方程即可，根據已知條件0</<6,

取舍結果即可

(1)

證明：?.?0AC2=9O°,

:"BCD=ZACP=90°,ZP+ZA=90°

AELBE

.-.ZB+ZP=90°

ZA=NB

又?.?AC=3C

0ACP0EBCD：

⑵

AC=BP+CD,理由如下，

同（1）可得AACP絲

:.CP=CD

AC=BC=BP+CP=BP+CD

即AC=BP+CD

（3）

如圖，

???點。從點A出發，以la〃/s的速度向點C勻速運動，同時點。從點8出發，以2c〃z/s的速度沿射線8C

方向作勻速運動，

/.AD=t,BQ=2t

:.CD=AC-AD=8-t（0</<6）

由（1）可知，CP=CD=8-t

:.PQ=\BC+CP-B^=\8+8-t-2t\^\l6-3t\

11,

：.S^-CPCD=-CD123

anrp22

,DQP=：X；PQ.CD=GPQ.CD

..-l

,口S△DCP-3□S△DQ尸

11

-CD92=-PQCD

即3CD=2PQ

.-.3（8-?）=2|16-3?|

解得：r=|或r=?

\,Q<t<6

,8

..t——

3

即f=§時，0cp=-S^DQP

【點睛】

本題考查了三角形全等的性質與判定，三角形面積公式，用方程的思想解決問題是解題的關鍵.

25.(2021?福建省華安縣第一中學八年級期中)如圖，AB=ncm,ACSAB,BD^AB,AC=BD=9°w,點尸在

線段AB上以3c”z/s的速度，由A向B運動，同時點。在線段BD上由B向。運動；設點P的運動時間為f

秒.

圖⑴

(1)PB=cm.(用含f的代數式表示)

(2)如圖1,若點。的運動速度與點尸的運動速度相等，當運動時間f=l秒時，AAC尸與ABP。是否全等？并

說明理由.

(3)如圖2,將“AG3AB,2/泡42"改為"回C48=aD54”,其余條件不變；設點。的運動速度為尤加/s,是否存在

實數無，使得AACP與ABP。全等？若存在，求出相應的人r的值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴(123)

(2)^\CAP^\PBQ,理由見解析

9

⑶滿足條件的點。的速度為3或萬5心.

【解析】

【分析】

(1)求出4尸，再根據題意寫出尸8的值即可；

(2)求出AP,PB,2。的值，根據SAS證明團。PEBP3。(SAS)即可；

(3)分兩種情形分別求解：①由(1)可知，。的速度為3cMs時，SACP^BPQ,這種情形符合題意.②

當以=尸2,AC=2Q時，SAPC^iBPQ(SAS),首先確定運動時間，再求出點。的運動速度即可.

(1)

解：由題意：B4=3r(cm),

^\AB=12cmf

^\PB=AB-AP=12-31(cm),

故答案為：(12-30；

⑵

解：^CAPS^PBQ,理由如下：

由題意：t=l(s)時，PA=BQ=3(cm),

^\AB=12cmf

^\PB=AB-AP=12-3=9(an),

HL4C=9cm,

^\AC=BP,

團團CAP=回尸30=90。，PA=BQ,

WCAP^IPBQ(SAS)；

(3)

解：①由(2)可知，。的速度為3c〃z/s時，0ACMBP2.這種情形符合題意.

②當孫=尸8,AC=BQ時，△APCH3BPQ(SAS),

6

0Z=-=2(s),

3

9

回點。的運動速度為5c九/s.

9

團滿足條件的點。的速度為3或3cmis-

【點睛】

本題考查的是全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理、注意分類討論思想的靈

活運用是解題的關鍵.

26.(2022?江蘇徐州?模擬預測)(1)如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,aB=BD=90。，E、2分別是邊

BC、CD上的點，且回瓦lP=[aBAD,線段ERBE、陽之間的關系是;(不需要證明)

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,0B+0D=18O°,E、尸分別是邊BC、CD上的點，^EAF=1

SBAD,(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請證明.若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明.

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，AB^AD,aB+BD=180。，E、尸分別是邊8C、C。延長線上的點，且回區4尸

=~BBAD,(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請證明.若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證

明.

【答案】(1)EF=BE+FD；(2)(1)中的結論仍然成立，見解析；(3)結論不成立，EF=BE-FD,見解

析

【解析】

【分析】

(1)延長CB至G,BG=DF,連接AG,證明△ABGfflAOR根據全等三角形的性質得到AG=A尸，SBAG

=0DAF,再證明AG4￡HaME,根據全等三角形的性質得出Eb=EG,結合圖形計算，證明結論；

(2)延長CB至使8知=。/，連接AM,仿照(1)的證明方法解答；

(3)在班上截取連接A/Z,仿照(1)的證明方法解答.

【詳解】

解：(1)EF=BE+FD,

理由如下：如圖1,延長CB至G,?BG=DF,連接AG,

在AABG和△AD尸中,

AB=AD

<ZABG=ZD=9Q",

BG=DF

m^BG^EADF(SAS),

0AG=AF,BBAG^DAF,

00EAF=gSBAD,

00￡)AF+0BAE=0EAF,

^EGAE=SBAG+^BAE=SDAF+^\BAE^EAF,

在AGAfit和△船E中，

-AG=AF

<ZGAE=ZFAE,

AE=AE

H3GAEEB協E(SAS),

^\EF=EG,

團EG=BG+BE=BE+DF,

回EF=BE+FD,

故答案為：EF=BE+FD；

(2)(1)中的結論仍然成立，

理由如下：如圖2,延長C8至使/，連接AM,

圖2

團冊3。+團。=180°,M3C+回1=180°,

團團1=團。，

在和△AO/中，

AB=AD

<Zl=ZDf

BM=DF

mABMmXDF(SAS),

0AM=AF,團3=團2,

WEAF=g^\BAD,

團團2+團4=團胡憶

團團團3+團4=團2+團4=團￡4/，

在△MAE和△明石中，

AM=AF

</MAE=ZFAE,

AE=AE

^\MAE^\FAE(SAS),

^\EF=EM,

團EM=BM+BE=BE+DF,

國EF=BE+FD；

(3)(1)中的結論不成立，EF=BE-FD,

理由如下：如圖3,在￡3上截取/，連接

圖3

同（2）中證法可得，^ABH^ADF,

^AH=AFf^\BAH=^DAFf

mHAE=^FAE,

在回HAE和團用E中,

AH=AF

ZHAE=ZFAE,

AE=AE

^\HAE^\FAE(SAS),

:.EF=EH

也EH=BE-BH=BE-DF,

回EF=BE-FD.

【點睛】

本題考查了三角形全等的性質與判定，掌握三角形全等的性質與判定是解題的關鍵.

27.（2022?云南昭通?八年級期末）如圖，為0ABC的角平分線.

圖3

⑴如圖1,若C￡0A。于點F交AB于點E,AB=8,AC=5.則8E=

（2）如圖2,若回C=2aB,點￡在AB上，MAE=AC,AB=a,AC=b,求CO的長；（用含。、6的式子表示）

（3）如圖3,8G0A。，點G在A。的延長線上，連接CG,若EACG的面積是7,求0ABe的面積.

【答案】⑴3

(2)CD=a~b

⑶ABC=14

【解析】

【分析】

(1)利用ASA證明媯EBEMCR得AE=AC=5,得出答案；

(2)利用ASA證明明。砸財。。，得團。二姐￡0,DC=DE,再證明回樂團80￡,得出BE二DE,即可得到結論;

(3)利用ASA證明MGBfflAGH,得出BG二HG,即可得出她3c的面積.

⑴

解：(1)財。是財3C的平分線，

團回衣4。=團。4。，

0CE0AZ),

團團。月4=回瓦A,

ZEAF=ZCAF

團在她Eb和國ACT中<AF=AF,

ZAFE=ZAFC

m^EF^ACF(ASA),

[E4E=AC=5,

[21AB=8,

^\BE=AB-AC=S-5=3,

故答案為：3；

(2)

^\AD平分團3AC,

mBAD=^\CADf

在她。石和她。。中

AE=AC

<ZEAD=ZCAD

AD=AD

W^ADE^\ADC

團團。=SAEO,DC=DE

又團團02團3,^AED=^\B^BDE

團團3二團8QE

國DE二BE,

WC=DE=BE=AB—AE=AB~AC=a—b；

(3)

如圖，分別延長ACBG交于點H,