第一章《整式的乘除》——北師版數學七年級下冊單元檢測

一'選擇題（每題3分，共30分）（共10題；共30分）

1.（3分）科學家發現人體最小的細胞是淋巴細胞，直徑約為0.0000061米，將數據0.0000061

用科學記數法表示正確的是（）

A.6.1X10-5B.0.61x10-3C.6.1x10-6D.0.61X10-6

2.（3分）有下列計算：①-.%4=%16；②（_a5b）2=—a7b2；③（加）3=。廬；

④（—2a）2=4a2.其中正確的有（）

A.①④B.②④C.①③D.④

3.（3分）下列乘法中，不能運用平方差公式進行運算的是（）

A.（x+a）（x—a）B.（a+b）（—a—b）

C.（—%—b）（x—b）D.（b+m）（m—b）

4.（3分）若2、=3,4》=5,貝lj2尸2"的值是（）

A.|B.-2C.莘D.|

5.（3分）如圖1,將邊長為a的正方形紙片，剪去一個邊長為b的小正方形紙片.再沿著圖1中的虛線

剪開，把剪成的兩部分（1）和（2）拼成如圖2的平行四邊形，這兩個圖能解釋的數學公式是（）

圖1圖2

A.(a—b)2=a2—2ab+b2B.a2—b2=(a+b)(a—b)

C.(a+b)2=a2+lab+b2D.ab=-^[(a+b)2—(a—b)2]

6.(3分)下列運算中，錯誤的是()

A.3xy?(%2—2xy)=3%2y—6x2y2B.5x(2x2—y)=10%3—5%y

C.5mn(2m+3n-1)=10m2n+15mn2—5mnD.(ab)2?(2ab2—c)=2a3b4—a2b2c

7.（3分）有兩個正方形A,B,現將B放在A的內部如圖①；再將A,3無縫隙且無重疊放置后構

造新的正方形如圖②.若圖①和圖②中陰影部分的面積分別為1和7,則圖②所示的大正方形的

面積為（)

8.（3分）已知a,b是常數，若化簡（-2x+a）（x2+bx-3）的結果中不含x的二次項，則

-12a+24b-3的值為（）

A.-3B.2C.3D.4

9.（3分）已知3。+3b=9,ab=3,則a+b的值為（）

A.16B.4C.-4D.±4

10.（3分）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出2丫個球放入

乙袋，再從乙袋中取出（2支+2與個球放入丙袋，最后從丙袋中取出2y個球放入甲袋，此時三只袋中

球的個數都相同，則/+y的值等于（）

丙袋

二'填空題（每題3分，共18分）（共6題；共18分）

小2024

11.（3分）計算：—52025*償）=.

12.（3分）若x+2y—3=0,貝U2x+1-4y=.

11

13.（3分）已知：771---=5,則7712-----.

mm乙

14.（3分）若Tn?一序=-6,且根一？！二一3,則+八二.

15.（3分）在學習整式乘法的時候，我們發現一個有趣的問題：將下面等號右邊的式子的各項系數

排成如圖所示，這個圖叫做“楊輝三角

（a+b）°=1

(a+b)i=a+b

（a+bp=a2+2ab+b2

（a+5）3=a3+3a2b+3ab2+b3

請觀察這些系數的規律，探究。+1戶的展開式中％3項的系數是.

1

11

121

1331

???????*????

16.（3分）著名數學家華羅庚曾用詩詞表達了“數形結合”的思想，其中談到“數缺形時少直觀，形少

數時難入微”.如圖所示，由四個長為a,寬為b的全等長方形拼成一個大正方形，其中a>b>0,

9

-

4a+b=5,則陰影部分的面積為

三'解答題（共9題，共72分）（共9題；共72分）

_2

17.（8分）（1）計算：2X（—1）2024一|_2|+G）+（兀一3.14）°；

2

（2）（f3y）3Gx2y3z）+（一/%5y2）.

18.（8分）計算：

（1）（4分）a2.a4+（_2a2）3—a8+a2；

200/i、201

（2）（4分）（-2）T+（3.14—兀）°+z（_,）x（—

19.（5分）化簡，求值：（%—y）2+（第一2y）（%+2y）-%（%+3y）,其中％=-1,y=2.

20.（5分）先化簡，再求值：[（2%+y）?+y（4%-y）-10%y]+（-2%）,其中第=一1,y=2.

21.（8分）如圖，在長為4。-1,寬為3b+2的長方形鐵片上，挖去長為3a-2,寬為2b的小長方

形鐵片.

（1）（4分）計算剩余部分（即陰影部分）的面積.

（2）（4分）求出當a=4,b=3時的陰影面積.

22.（10分）將完全平方公式作適當變形，可以用來解決很多數學問題.

（1）（3.5分）觀察圖1,寫出代數式（a+b）2,（a—卜/，ab之間的等量關系：;

⑵（3.5分）若x+y=7,xy=5,則/+/=；（%_y）2=；

（3）（3分）如圖2,邊長為5的正方形ABCD中放置兩個長和寬分別為m，n（m<5,n<5）的

長方形，若長方形的周長為12,面積為8.5,求圖中陰影部分的面積S1+S2+S3的值.

23.（10分）【閱讀材料】“數形結合”是一種非常重要的數學思想方法.比如：在學習“整式的乘法”

時，我們通過構造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導出了完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2

（如圖1）,利用“數形結合”的思想方法，可以從代數角度解決圖形問題，也可以用圖形關系解決代

【方法應用】根據以上材料提供的方法，完成下列問題：

（1）（2.5分）由圖2可得等式：；由圖3可得等式：

（2）（2.5分）利用圖3得到的結論，解決閣題：若a+b+c=15,ab+ac+be=35,求+

■+c2的值.

(3)(2.5分)如圖4,若用其中X張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別

為a、b的長方形紙片拼出個面積為(2a+b)(a+2b)長方形(無空隙、無重疊地拼接)，求久+y+z

的值.

(4)(2.5分)如圖4,若有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為a、b的長方形紙片，5

張邊長為b的正方形紙片.從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張.把取出的這些紙片拼成一

個正方形(無空隙、無重疊地拼接)，則拼成的正方形的邊長最長可以為.

24.(10分)乘法公式的探究及應用：

數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片：A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是

邊長為b的正方形，C種紙片是長為從寬為a的長方形.并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙

片兩張拼成如圖2的大正方形.

(1)(3.5分)請用兩種不同的方法表示圖2大正方形的面積：

方法1：,方法2：；

(2)(3.5分)觀察圖2,請你寫出三個代數式(a+b)2,a2+b2,ab之間的數量關

系：;

(3)(3分)根據(2)中的等量關系，解決如下問題：

①已知a+b=7,a2+b2=33，求ab的值；

②已知(2024-a)2+(a-2022)2=8,求(2024-a)(a-2022)的值.

25.(8分)如果一個自然數能表示為兩個自然數的平方差，那么稱這個自然數為“智慧數”.例:

16=52—32,16就是一個“智慧數”.

小明和小王對自然數中的“智慧數”進行了如下探索：

小明的方法是一個一個找出來：

0=02-02,1=I2-02,3=22-I2

4=22—。2,5=32—22,

7=42-32,8=32-I2,

9=52-42,11=62-52,???

小王認為小明的方法太麻煩，他想到：設k是自然數，由于4+1）2_卜2=&+1+

k）（k+l-k）=2fc+l.所以，自然數中所有奇數都是“智慧數”.

問題：

（1）（4分）根據上述小明的方法，自然數中第10個“智慧數”是

（2）（4分）他們發現除奇數外，還有0,4,8也是“智慧數”，由此猜測4a（a為正整

數）都是“智慧數”.請你參考小王的辦法證明4a（a為正整數）都是“智慧數”.

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：0.0000061=6,1x10-6,故答案為A.

【分析】絕對值小于1的數科學記數法可以表示為：±aX10『其中lWa/10,n取從左邊數第一

個非。數前0的個數，包括小數點前面的0.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：①比4'=久8,①錯誤；②(_a5b)2=al。b2,②錯誤；③(加)3=

a3b6,③錯誤；④(-2a)2=4a2,④正確.

故答案為：D.

【分析】①根據同底數事的乘法法則驗證即可；②③④根據積的乘方運算法則驗證即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：A、C、D符合平方差公式的特點，故能運用平方差公式進行運算；

B、兩項都互為相反數，故不能運用平方差公式進行運算.

故答案為：B.

【分析】利用平方差公式的計算方法逐項判定即可。

4.【答案】A

【解析】【解答】解：2*=3,4y=5,

2A2y=2、+229=2-+獷=3+5=,

故答案為：A.

【分析】利用同底數幕的除法的逆運算及幕的乘方運算法則即可解答.

5.【答案】B

2222

【解析】【解答】由圖1知(1)和(2)的面積為a-b,圖2中⑴和⑵的面積為(a+b)(a-b),^a-b=

(a+b)(a—b)

答案：B.

【分析】分別計算圖1和圖2中的(1)和(2)的面積，即可得平方差公式.

6.【答案】A

-22322

【解析】【解答】解：,.3xy-(x-2xy)=3xy-x-3xy-2xy=3xy-6xy0選項A錯誤；

\"5x(2x2-y)=5x-2x2-5x-y=10x3-5xy。選項B正確;

5mn(2m+3n-l)=5mn-2m+5mn-3n-5mn=10m2n+15mn2-5mn。，選項C正確；

(ab)2-(2ab2-c)=a2b2-(2ab2-c)=a2b2-2ab2-a2b2-c=2a3b4-a2b2c。.?.選項D正確.

故選：A.

【分析】根據單項式乘多項式的法則，分別計算出各選項，即可得到正確答案.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：設正方形3的邊長為°,其中a>0,

..?將3放在A的內部如圖①所示，陰影部分的面積為1,

,陰影部分為正方形，且邊長為1,

圖①中大正方形的邊長為a+1,

即正方形A的邊長為a+1,

又將4,B無縫隙且無重疊放置后構造新的正方形如圖②所示：

圖②中大正方形的邊長為：a+a+l=2a+l,

???圖②中陰影部分的面積為7,

??(2a+1)2——(a+l)2=7，

整理得：2a2+2a-7=0,

解得：a土巫<o(不合題意，舍去)，

1ZzZ

.??圖②中大正方形的邊長為：2。+1=2義-1?；?1=回

圖②中大正方形的面積為15.

故答案為：B.

【分析】設正方形8的邊長為。，其中a>0,依題意由圖①得陰影部分為正方形，且邊長為1,則正

方形4的邊長為a+1,依題意得圖②中大正方形的邊長為2a+l,則(2a+1下-—(a+1下=7，

由此解出，進而再求出圖②中大正方形的面積即可.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：(-2x+a)(x2+bx-3)

=-2x3-2bx2+6x+ax2+abx-3a

=-2x3+(-2b+a)x2+(6+ab)x-3a,

:多項式中不含X的二次項，

a-2b=0,

??--12a+24b-3=12(a-2b)-3=12xO-3=3.

故答案為：A.

【分析】根據多項式乘多項式法則“多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式

的每一項，再把所得積相加”將原式去括號，然后由多項式中不含X的二次項可得關于a、b的等

式，將所求代數式變形得：原式=-12(a-2b)-3,再整體代換計算即可求解.

9.【答案】D

【解析】【解答】解：■ab=3,3a30=9,

...3a-b=32

a-b=2,

二(a+b)2=(a—b)2+4ab=22+12=16

/.a+b=+4

故答案為：D.

【分析】根據已知可得3^=32,得出a-b=2,根據完全平方公式變形求值即可.

10.【答案】A

【解析】【解答】解：交換后各袋數量，甲(292+2丫)個、乙［(29+2x-(2x+2y)］個、丙(5+2*+2丫-2丫)個.

因為交換后數量相等，由甲數量=乙數量，乙數量=丙數量得

(29—2"+2'=29+2久一(2久+2y)

(29+2X-(2X+2y)=5+2X+2y-2y

2x+y=2X-2y=16X8=128

故答案為：A.

【分析】本題先用代數式表示交換后三個袋中球的個數，再根據交接后各袋中數量相等列方程組,

求出2x與2y的值，進而求解.

11.【答案】—5

20242024

【解析】【解答】解：原式=一5x52024X償4)=_5X(5X/=—5

故答案為：-5

【分析】本題考查同底數嘉的乘法和積的乘方運算.先對式子進行變形可得：原式=-5X52025X

/八2024/1、2024

，再利用逆用同底數幕的乘法可得：原式=—5X(5X!)，再利用積的乘方運算法則進行

計算可求出答案.

12.【答案】16

【解析］［解答］解：2X+1.4y=2X+1.22y=2X+2V+1,

Vx+2y-3=0,

x+2y=3,

A2x+2y+1=23+1=24=16.

故答案為：16.

【分析】先根據幕的乘方把4y轉化為22y,再根據同底數幕的乘法的法則變形得/+2y+i,再把已知

條件變形為x+2y=3,最后整體代入計算。

13.【答案】27

【解析】【解答】解：—工=5,

m

(m——)=25，

1I

m2o—2mx——I——=25,

mm2

?*.H--y—27,

m乙

故答案為：27.

【分析】由完全平方公式變形可得：m2+^2=(m-^)2+2,據此求解。

14.【答案】2

【解析】【解答］解：m2-n2=(m+n)(m-n)=6,且m-n=3,

/.m+n=2

【分析】根據平方差公式，將(m-n)的值代入即可求出(m+n)的值。

15.【答案】10

【解析】【解答】解：(x+1}5=X5+5%4+10x3+10x2+5x+1；

.?.含爐項的系數是10,

故答案為：10.

【分析】根據“楊輝三角”展開，再找出展開式的規律即可.

16.【答案】16

【解析】【解答】解：如圖，???大正方形的面積減去4個長方形的面積等于中間陰影小正方形的面積

AS陰影=(a+b)2-4ab,

9

=-

4

AS陰影二(a+b)2-4ab=52-4x94=16.

故答案為：16.

【分析】本題考查完全平方公式，結合圖形能夠看出大正方形與小正方形的關系，即小正方形等于

大正方形減去四個長方形，代入必=垓，a+b=5代入求出陰影面積.

17?【答案】解：⑴2x(—1)2024—|_2|+G[+(7r—3.14)。

=2x1—2+9+1

=2—2+9+1

=10.

2

（2）（-爐、）3.信久2y3z）+（一/％5y2）

【解析】【分析】(1)根據實數混合運算法則正確運算即可；

(2)根據整式混合運算的順序，先算乘方，再算乘除即可得出結果。

18.【答案】(1)解：.a4+(-2a2)3-a8-a2

=a6-8a6—a6

=—8Q6；

,Q、200/八201

⑵解：(_2尸+(3.14—兀)°+(Z—I)X(-li)

13

=2-2

=-1.

【解析】【分析】(1)根據整式的混合運算，實數的混合運算法則，先由同底數幕乘除法，積的乘

方，計算各項，再算加減法，即可得到答案;

(2)根據整式的混合運算，實數的混合運算法則，先由負整數指數幕，零指數塞，乘方的運算方法計

算各項，再算加減法，即可得到答案.

（1）解：a2-a4+（-2a2）3-a8-a2

=a6-8a6—a6

=—8。6；

,Q.200,i、201i200,Q.200Q.

⑵(—2廠+(3.14—兀)。+(一或X(-12)="2+1+(z-3)X(-2)X(z-2)

13

=2-2

=-1.

19.【答案】解：(%-y)2+(%-2y)(x+2y)—%(%+3y)

=x2—2xy+y2+x2—4y2—x2—3xy

=x2—5xy—3y2,

當％=-19y—2時,原式二(-I)?—5x(—1)x2—3x2?=1+10—12——1.

【解析】【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據完全平方公式，平方差公式，以及單項式

乘以多項式的計算法則，去括號，然后合并同類項化簡，得到%2—5%y-3y2,再將％=—1,y=

2,代入化簡后的代數式%2—5%y-3y2,進行計算，即可得到答案.

20.【答案】解：[(2]+y)2+y(4%-y)—10%y]+(-2%)

=(4x2+4xy+y2+4xy—y2—lOxy)+(-2%)

=(4%2—2xy)-r(—2%)

=4x2+(-2%)—2xy+(—2%)

=—2x+y,

當％=—1,y=2時，

原式=-2x(-1)+2

=2+2

=4.

【解析】【分析】先把中括號里化簡，再根據多項式除以單項式的法則計算，然后把％=-1,y=2

代入計算即可.

21?【答案】(1)解：由題意，管陰影=S原長方形-S挖去的長方形

—(4a—1)(36+2)-2b(3a—2)

=12ab+8tz—3b—2—6ab+4b

=Gab+8ci+b—2；

(2)解：當。=4,b=3時，

6ab+8a+b—2=6x4x3+8x4+3—2=105.

【解析】【分析】(1)根據陰影部分圖形，結合大長方形的面積減去小長方形的面積，列出代數

式，化簡計算，即可求解；(2)將a=4,b=3代入(1)中的代數式6ab+8a+b—2,進行運

算，即可得到答案.

22.【答案】(1)(a+b)2—(a—b)2=4ab

(2)39,29；

(3)解：如圖所示，

??,長方形的周長為12,面積為8.5,

.12

m+n=-^-=6,mn=8.5,

m2+n2=(m+n)2—2mn=36-17=19,

由題意得，ED=5—TH,HG=n—(5—m)=m+n—5,BQ=5—n,

.=Si+S2+S3=(5—m)2+(m+n—5)2+(5—n)2

=(5—m)2+(6—5)2+(5—n)2

=m2-10m+25+1+n2—lOn+25

=m2+n2—10(m+n)+51

=19-10x6+51

=10.

【解析】【解答］解：(1)??,圖1左圖長方形的面積為；4axb=4ab,圖1右圖空白部分可以看成4個

小長方形面積，4個小長方形的面積=4axb=4ab,

???圖1左圖長方形的面積=圖1右圖空白部分4個小長方形的面積

???圖1右圖空白部分4個小長方形的面積=大正方形面積減去中間陰影部分正方形面積=(a+b)2-

(a-b)2；

(a+b)2—(a-b￥=4ab,

故答案為：(a+bp-(a-b)2=4ab；

(2)：%+y=7,

(x+y)2=72=49,

/.x2+2xy+y249,

又％y=5,

x2+10+y2=49,

Ax2+y2=39,

*/(%+y)2—(%—y)2=4xy,

**?(x—y)2=(x+y)2—4xy=49—4x5=29,

故答案為：39,29；

【分析】(1)根據兩種不同的方法表示4個小長方形的面積，即可得出(a+b)2—(a-份2=4防；

(2)根據完全平方公式的適當變形，即可求得答案；

(3)首先根據長方形的周長為12,m+n=6根據面積為8.5,可得出mn=8.5,進而可得6？+/=

19,再根據大正方形的邊長為5,可得出￡7)=5-租，HG=n-(5-m)=m+n-5,BQ=5-

n,即可得出Si+S2+S3=7712+^2—10(^+0+51,然后在整體代入求值即可得出答案。

23.【答案】(1)(a+b)(2a+b)=2a2+b2+3ab;(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

(2)解：由(1)得：若a+b+c=15,ab+ac+be=35

則層+b2+c2=(a+b+c)2—2(ah+ac+be)=225—2x35=155.

(3)解：長方形面積為(2a+b)(a+2b)=2小+2/+5M，

2a2+5就+2戶可以看成2張邊長為a的正方形，2張邊長為b的正方形，5張邊長分別為a、b的

長方形紙片拼成的大長方形的面積，

可得：x=2,y=2,z=5,

/.%+y+z=9.

(4)(a+2b)

【解析】【解答］(1)解：利用長方形面積公式(a+b)(2a+b)=2a2+b2+3ab，

利用正方形面積公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

故答案為：(a+b)(2a+b)=2a2+b2+3ab，(a+/?+c)2=a2+b2+c2+2ab+lac+2bc;

(4)3a2+Sb2+4ab=a2+4ab+4b2+b2+2a2=(a+2b)2+b2+2a2,

J正方形的邊長最長是(a+2b),

故答案為：(a+2&).

【分析】(1)結合圖形分別列出等式即可；

(2)利用(1)的等式，將a+b+c=15,ab+ac+be=35代入層+川+c2計算即可；

⑶先根據長方形的面積公式可得(2。+8)9+25)=2小+2戶+5仍，再求解即可；

(4)先利用長方形的面積公式及等量代換可得3a2+5b2+4ab=a2+4ab+4b2+b2+2a2=

(a+2b尸+b2+2a2,再求解即可.

(1)解：利用長方形面積公式(a+b)(2a+b)=2a2+b2+3ab，

利用正方形面積公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

故答案為：(a+b)(2a+b)=2a2+b2+3ab，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;

(