2025年中考數學一輪復習

第28講圖形的旋轉

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，把△/2C繞點C順時針旋轉35°得到B'C,點/,2的對應點分別為點H,夕，/'B'

交NC邊于點D.若NWDC=90°,則/N的度數為（

A.45°B.55°C.65D.75°

2.在我國“福祿壽喜”一般是指對人的祝福，代表健康長命幸福快活和吉祥如意的意思，既代表著物質

生活的順利又代表著精神生活的滿足.如圖是“福祿壽喜”變形設計圖，其中是軸對稱，但不是中心對

稱的是（）

3.如圖，在AA4c中，/BAC=9Q°,ZC=30°,將4c繞點/逆時針旋轉45°至線段2'。

與線段/C交于點。，若AD=2痣，則線段N5的長為（

C.1+2V3D.2+2V3

4.把邊長為5的正方形N3CD繞點4順時針旋轉45°得到正方形/皮CD',邊BC與D-C交于點

O,則四邊形4BOD'的周長是（）

O

D'

，B

DC\/\

^\\/

A

A.10B.5V2C.5+5V2D.10V2

5.如圖，在RtZkZCB中，ZACB=90°,C4=2,CB=4.將△4C5繞點4順時針旋轉120°得到

邊5C上的一點尸旋轉后的對應點為Q,連接/。，PD,貝!1。的最小值是()

6.如圖，直角坐標系中，點4(0,4),B(3,0),線段繞點5按順時針方向旋轉45°得到線段8C,

則點。的縱坐標為()

lJ27V2

A.5B.3+V2C.5-浮D.——

/2

7.如圖，/XO/B繞點。逆時針旋轉88°得到△OCO,若/N=110°,Z￡>=40°,則/a的度數是（）

A.38°B.48°C.58°D.68°

8.如圖，在平面直角坐標系中，點。，Oi,A,Ai，B,Bi，C,Ci，……都是平行四邊形的頂點，點4

B,C,...在x軸的正半軸上，4。。1=30。，0A=W,AB=2陋，BC=3用,。。1=2,AAX=

4,BBi=6,…；，平行四邊形按此規律依次排列，則第8個平行四邊形對稱中心的坐標是()

A.(36后4)B.(36,4圾C.(36,4)D.(4,36)

9.如圖，△48C和△4DE是等腰直角三角形，NBAC=/AED=90°，4B=4,AE=2,△/DE繞點/

旋轉，連接。，點尸是co的中點，連接昉，則郎的最小值為（）

10.如圖，在平面直角坐標系中，矩形0N3C的頂點/和C分別落在7軸與X軸的正半軸上，04=6.OC

=8.若直線y=2x+6把矩形面積兩等分，則b的值等于（）

二.填空題（共5小題）

11.如圖，ZC=Z￡=90°,AC=EF=8,AB=DF=W,將的頂點。與邊的中點重合，并將

△DEF繞著點。旋轉.在旋轉過程中，/助少的邊。尸、始終與2C邊相交，交點分別為M、N.當

12.如圖，四邊形/BCD是邊長為2的正方形，E是平面內一點，AE=AB,將￡8繞點E順時針方向旋轉

90°得到線段￡尸，連接/足當//的長最小時，tan/CDE的值為.

AD

BC

13.如圖，點。是等邊△/2C邊/C上一動點，線段CD繞點C順時針旋轉60°得到線段CF,連接/尸,

連接BD并延長交AF與點E,若48=8,BD=7,則AE的長是.

14.如圖所示，在RtzXNBC中，ZACB=90°,AB=2AC=4,C。為斜邊中線，點尸為線段/O上一動點，

將線段PC繞點P逆時針旋轉90°得線段尸。，連接C。，OQ,當尸C垂直于△/2C的一邊時，線段

OQ的值為.

15.如圖，已知點/的坐標為（-2,0）,點3的坐標為（-1,3）,將線段48繞點/順時針旋轉90°得

到NC,則點C坐標是.

三.解答題（共5小題）

16.如圖，在由邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點B,C均為格點（網格線的交點）.

（1）以點C為旋轉中心，將線段48繞點C旋轉180°得到線段4?,畫出線段/b.

（2）平移線段N3得到線段CD,使點8與點C重合，畫出線段QZ

（3）用無刻度的直尺畫出線段N3的中點

17.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中建立直角坐標系，小正方形的頂點為格點，LABC與4EFG

的頂點都在格點上.

(1)作△//Ci,使△出囪。1與△/3C關于原點O成中心對稱.

(2)已知△A8C與△EFG關于點尸成中心對稱，請在圖中畫出點尸的位置，并寫出該點的坐標.

18.如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，的頂點均為格點(網格線的交點).

(1)將線段NC向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到線段。E,畫出線段。E；

(2)以點。為旋轉中心，將△ABC按逆時針方向旋轉90°,得到△42C1,請畫出△出囪。1；

(3)在線段/C上描出點R使得3尸為△/2C的角平分線.(作圖過程用虛線表示)

19.如圖所示，△/BC三個頂點坐標分別為/(-1,0)、8(-2,-2)、C《-4,-1)請在所給的正方

形網格中按要求畫圖和解答下列問題:

(1)以/點為旋轉中心，將△/3C繞點/順時針旋轉90°得△/BiCi，畫出△/BiCi.

(2)畫出△48C關于坐標原點O成中心對稱的△/2B2C2.

(3)若△山比。2可看作是由△481。旋轉得來，則旋轉中心坐標為.

20.在等腰Rt4/BC中，/4CB=90°,點。為48的中點，E為BC邊上一點、,將線段助繞點￡按逆

時針方向旋轉90°得到￡尸，連接OFAF.

(1)如圖1,若點E與點C重合，/尸與。。相交于點。，求證：BD=2DO.

(2)如圖2,若點G為Nb的中點，連接。G.過點。、F作DNLBC于HN,FML8C于點連結

BF.若/C=BC=16,CE=2,求DG的長.

圖1圖2

2025年中考數學一輪復習

第28講圖形的旋轉

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，把△/2C繞點C順時針旋轉35°得到B'C,點/,2的對應點分別為點H,正，/'B'

交NC邊于點D.若//DC=90°,則的度數為（）

A.45°B.55°C.65°D.75°

【考點】旋轉的性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】B

【分析】根據旋轉的性質得出N/C4'=35°,再根據直角三角形兩銳角互余即可推出結果.

【解答】解：?..把繞點C順時針旋轉35°得到B'C,

：.ZACA'^35°,ZA^ZA',

又NA，DC=90°,

；./H=90°-35°=55°,

-55°,

故選：B.

【點評】本題考查了旋轉的性質，熟記旋轉前后對應邊、對應角相等是解題的關鍵.

2.在我國“福祿壽喜”一般是指對人的祝福，代表健康長命幸福快活和吉祥如意的意思，既代表著物質

生活的順利又代表著精神生活的滿足.如圖是“福祿壽喜”變形設計圖，其中是軸對稱，但不是中心對稱

的是（）

^1^

C,

【考點】中心對稱圖形.

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【答案】c

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：/、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形,故本選項錯誤，不符合題意;

3、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形,故本選項錯誤,不符合題意;

C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形,故本選項正確,符合題意;

。、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形,故本選項錯誤,不符合題意;

故選：C.

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，解答本題的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊

后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合.

3.如圖，在AA4c中，/B4c=90°，/C=30°,將4c繞點/逆時針旋轉45°至△E/。，線段⑶。

與線段NC交于點D,若AD=2逐，則線段的長為（）

B.4V3C.1+2V3D.2+2V3

【考點】旋轉的性質;含30度角的直角三角形.

【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】D

【分析】作于〃，利用旋轉的性質得NC49=/348'=45°,/B=NB',再解即可.

【解答】解：作于

:將4c繞點/逆時針旋轉45°至

?"CAB』/BAB，=45°,/B=

u：AD=2V6,

:.DH=AH=2同

VZ5ylC=90°，ZC=30°，

：.ZBZB'=60°，

；.B'H=2,

：.AB'=AH+B'H=243+2,

【點評】本題主要考查了旋轉的性質，含30。角的直角三角形的性質等知識，作輔助線轉化為特殊的直角

三角形是解題的關鍵.

4.把邊長為5的正方形N3CD繞點4順時針旋轉45°得到正方形/皮CD',邊BC與D'C交于點

O,則四邊形的周長是（）

A.10B.5V2C.5+5V2D.10V2

【考點】旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質.

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】D

【分析】在Rt^N夕C中，利用勾股定理的知識求出的長，再根據等腰直角三角形的性質，在Rt

△OBC中，由勾股定理可求30,OD',從而可求四邊形的周長.

【解答】解：連接/C',

?/四邊形/夕。。是正方形，

AZD'AC=45a,

■:旋轉角/B4B'=45°,ZBAD'=45°,

：.ZD'AC'^ZD'AB^45°,

...8在對角線NC'上，

,:B'C=AB'=5,

在Rt△/夕C中，AC=yjB'A2+B'C'2=在5+25=5企，

：.BC=5&-5,

在等腰RtZXOBC'中，OB=BC'=5立一5,

在RtZXOBC'中，0C'=&(5V2-5)=10-5近，

：.OD'=5-OC=5加一5,

四邊形的周長是：2AD'+OB+OD'=10+5魚―5+5a一5=10VL

故選：D.

【點評】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質以及等腰直角三角形的性質.此題難度適中，注意連接BC

構造等腰Rt^OBC'是解題的關鍵，注意旋轉中的對應關系.

5.如圖，在RtZUCB中，ZACB^9Q°,CA=2,C2=4.將△/C2繞點/順時針旋轉120°得到

邊3C上的一點尸旋轉后的對應點為。，連接/。，PD,則尸的最小值是()

【考點】旋轉的性質；勾股定理.

【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】B

【分析】如圖，作/關于直線3c的對稱點H,連接力'P,過。作于X,由4Q+DP=DP+4P

=DP+HPWA，。，當,P,。三點共線時，AQ+DP=A'。最小，再進一步利用勾股定理可得答案.

【解答】解：如圖，作/關于直線3C的對稱點H,連接HP,過。作D"_LC4于〃，

：.AP=A'P,A,C,A'共線，AC=A'C=2,

由旋轉可得：AP^AQ,4c=4D=2,

：.AQ+DP=DP+AP=DP+A'PWA'D,

當H,P,。三點共線時，AQ+DP=A'。最小，

AZDAH=60°,NADS30°,

：.AH=^AD=1,DH=72-12=V3,

：.A'*=2+2+1=5,

：.A'D=J52+(V3)2=2V7；

：.AQ+DP的最小值是2夕；

故選：B.

【點評】本題考查的是旋轉的性質，勾股定理的應用，軸對稱的性質，化為最簡二次根式，作出適當的輔

助線是解本題的關鍵.

6.如圖，直角坐標系中，點/(0,4),B(3,0),線段48繞點8按順時針方向旋轉45°得到線段3C,

則點C的縱坐標為()

lJ27V2

A.5B.3+V2C.5—與D.——

，2

【考點】坐標與圖形變化-旋轉；相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判

定與性質.

【專題】三角形.

【答案】D

【分析】過點/作交2C的延長線于點。，過。作DELy軸，￡>G，x軸，過點C作CFLx軸，

由勾股定理，旋轉求出/瓦2C的長，先證明△/。82△￡>￡/,求出。G的長，證明43尸Cs/^gG。，利

用相似比，求出CF的長即可.

【解答】解：過點/作交2C的延長線于點。，過。作。軸，DGLx軸，過點。作。尸，x

軸，

則4048=/￡)￡/=//02=90°,CF//DG,OE=DG,

f才

o1BFGX

丁點/(0,4),B(3,0),

：.OA=4,03=3,

：.AB=5,

???經過旋轉，

/.ZABC=45°,AB=BC=5,

VZDAB=9Q°,

.??△NBD為等腰直角三角形，

：.AB=AD=5,BD=42AB=5V2,

ZOAB=/EDA=90°-NEAD

：.LAOBqADEA,

:?AE=OB=3,

：.DG=OE=OA+AE=7,

■:CF//DG,

：.△BFCs^BGD,

.CF_BC_5

??DG~BD~5VT

.v?_^2_7魚

?r?Ci—2n〃rG—2，

。點的縱坐標為-,

故選：D.

【點評】本題考查坐標與旋轉，等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定

和性質，綜合性強，屬于選擇題中的壓軸題，解題的關鍵是添加輔助線構造特殊三角形.

7.如圖，△0/2繞點。逆時針旋轉88°得到△0CD,若=,ZD=40°,則Na的度數是()

A.38°B.48°C.58°D.68

【考點】旋轉的性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】根據旋轉的性質和三角形內角和180度求出/C0D度數，再利用旋轉角減去/COD度數即可.

【解答】解：根據旋轉的性質可知：ZC=Z^=110°,

在△COD中，ZCOD=180°-110°-40°=30°.

:旋轉角N/OC=88°,

；./a=88°-30°=58°.

故選：C.

【點評】本題主要考查了旋轉的性質，解題的關鍵是找準旋轉角.

8.如圖，在平面直角坐標系中，點。，01，A,Ai，B,51，C,Ci，……都是平行四邊形的頂點，點

B,C,...在x軸的正半軸上，4。。1=30。，0A=V3,AB=2同BC=3四,001=2,=

4,BBr=6,…；，平行四邊形按此規律依次排列，則第8個平行四邊形對稱中心的坐標是()

0AB

A.(36療4)B.(36,4V3)C.(36,4)D.(4,36)

【考點】中心對稱；規律型：點的坐標；平行四邊形的性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力.

【答案】A

【分析】先求出前幾個點的坐標，找到規律第"個平行四邊形的對稱中心坐標為((1+2+3+…+n)舊,

J）,即可求解.

【解答】解：如圖所示，連接。軸于點10

VZAOOi=30°,OOi=2

：.OM=V3,01M=1

XVOA=V3,

：.A,M重合，

：.OiA±OA

則。四的中點即為所第1個平行四邊形的對稱中心，其坐標為（四，1）；

同理可得OB=。4+4B=百+2百=3展，AiB=2,則48的中點坐標即第2個平行四邊形

的對稱中心坐標為（3b，1）

同理可得第3個平行四邊形的對稱中心坐標為（6舊，|）

同理可得第n個平行四邊形的對稱中心坐標為（。+2+3+?--+n）V3,

，第8個平行四邊形的對稱中心的坐標是（（1+2+3+…+8）國，1）BP（36V3,4）10

故選：A.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，點的坐標規律，正確找到關鍵是解題關鍵.

9.如圖，△48C和△4DE是等腰直角三角形，NBAC=/AED=90°,4B=4,AE=2,△/DE繞點/

旋轉，連接CO,點尸是CD的中點，連接￡尸，則￡尸的最小值為（）

B.2-V2C.4-V2D.4-2V2

【考點】旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】B

【分析】由“"S"可證可得3D=CH,由三角形中位線定理可得昉=戈7/=如。，可

得當AD為最小值時，M有最小值，即可求解.

【解答】解：如圖，延長。E至X,EH=DE,連接3D,AH,CH,

,/44BC和AADE是等腰直角三角形，

：.AB=AC,ZBAC=90°=/AED,AD=&AE=2近,

又,：DE=EH,

：.AD=AH,

：.ZADE=ZAHE=45°,

；./DAH=90°=/BAC,

：.ZBAD=ZCAH,

.,.△BAD沿ACAH(SAS),

：.BD=CH,

點尸是CD的中點，

11

：.EF=^CH=^BD,

當BD為最小值時，跖有最小值，

當點。在48上時，BD有最小值為4-2V2,

：.EF=2-V2,

故選：B.

【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，三角形中位線定理

等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

10.如圖，在平面直角坐標系中，矩形。N5C的頂點/和C分別落在y軸與x軸的正半軸上，ON=6.OC

=8.若直線y=2x+b把矩形面積兩等分，則b的值等于()

A.5B.2C.-2D.-5

【考點】中心對稱；一次函數的性質；一次函數圖象上點的坐標特征；矩形的性質.

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】D

【分析】當直線經過/C的中點時，直線把矩形的面積等分，求出/C的中點，代入直線的解析式求出6

即可.

【解答】解：；CM=6.。。=8,

：.A(0,6),C(8,0),

中點的坐標為(4,3),

把(4,3)代入y=2x+6得，

2X4+6=3,

解得b=-5.

故選：D.

【點評】本題考查了中心對稱、矩形的性質以及一次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是掌握中心對

稱的定義.

二.填空題(共5小題)

11.如圖，ZC=Z￡=90°,AC=EF=8,AB=DF=]0,將△￡>￡尸的頂點。與邊的中點重合，并將

△DEF繞著點D旋轉.在旋轉過程中，/磯火的邊。尸、始終與8C邊相交，交點分別為M、N.當

CN=5W時，的長是4.

【考點】旋轉的性質；全等三角形的判定與性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；圖形的相似；推理能力.

【答案】4.

【分析】連接CD,根據勾股定理求出2C的長，再結合點。是邊的中點，得出===

BDBM

證明得出==二二，從而推出CN=5M=5,即可得出結果.

【解答】解：連接CD,

：.BC=V102-82=6,

:點。是邊的中點，

1

ACD=BD=^AB=5,

/DCB=/B,

由旋轉的性質知/切尸=NB,

VZMDB=ZMDN+ZNDB,/MND=/B+/NDB,

：.ZMDB=ZMND,

：.AMDB^ADNC,

eBDBM

??CN-CD'

'：CN=BM,

._LCN

,9'CN=~F

:?CN=BM=5,

V5C=6,

:.MN=BM-BN=BM-(BC-CN)=5-(6-5)=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查了旋轉的性質，相似三角形的判定與性質，證明是解題的關鍵.

12.如圖，四邊形43CD是邊長為2的正方形，E是平面內一點，AE=AB,將防繞點￡順時針方向旋轉

90°得到線段斯，連接4?當/月的長最小時，tanNCQE的值為魚一1.

【考點】旋轉的性質；相似三角形的判定與性質；正方形的性質.

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱；圖形的相似；解直角三角形及其應用；推理能力.

【答案】V2-1.

【分析】通過證明可得4F=a0E,則當點￡在/C上時，OE有最小值為2-夜，即

//的最小值為2魚-2,由等腰直角三角形的性質和銳角函數的性質可求解.

【解答】解：如圖，連接/C,BD,交于點。，連接。E,BF,

:四邊形/BCD是正方形，

：.AO=BO,ZABO=45°,ACLBD,

：.AB=V25O=2,

：.BO=AO=V2,

,/將EB繞點E順時針方向旋轉90°得到線段EF,

：.BE=EF,ZBEF=90°,

：.BF=&BE,ZFBE=45°,

NFBE=/ABO,

：.ZABF=ZOBE,

ABBFr-

XV—=—=V2)

DUDD

：.△ABFs^OBE,

"尸/?

.=V2,

OEv

：.AF=V2OE,

;AB=AE=2,

當點E在NC上時，OE有最小值為2—

產的最小值為2魚-2,

此時，如圖，過點E作昉■LCO于X,

VZACD=45°,

.?.△CE8是等腰直角三角形，

,:CE=2迎-2,

:.EH=CH=2-五,

：.DH=V2,

..EH2一姓內.

..tan/C￡)￡==應-=V2—1,

方法二：連接EC,AC,

'：AB=AE,

：./ABE=ZAEB,

,/將EB繞點E順時針方向旋轉90°得到線段EF,

：.BE=EF,ZBEF=90°=AABC,

：.ZAEF=ZCBE,

又；AB=AE=BC,

:.AAEF沿ACBE(SAS),

：.AF=EC,

，當點E在NC上時，Nb有最小值，

此時，如圖，過點￡作￡〃_LCO于"，

VZACD=45°,

...△C￡〃是等腰直角三角形，

,:CE=2立-2,

*'?EH—CH—2一V2,

:.DH=V2,

BC

【點評】本題考查了旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，正方形的性質，銳角三角函數等知識，證明

三角形相似是解題的關鍵.

13.如圖，點。是等邊△/8C邊NC上一動點，線段CD繞點C順時針旋轉60°得到線段CR連接N尸,

4024

連接8。并延長交/斤與點￡,若A8=8,BD=1,貝!J/E的長是_亍■或7-

【考點】旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；圖形的相似；運算能力.

.林士▼4024

【答案】

/￡1/￡)

【分析】證明△BCD咨ZUCF(￡4S)得3。=//=7,ZCBD=ZCAF,證明△4D￡s△3。。得下=一,

BCBD

作3MLzc于點根據勾股定理求出3M=4b，DM=\,然后分兩種情況求解即可.

【解答】解：是等邊三角形,

：.AB=BC=AC,ZBCD=60°.

由旋轉的性質得，CD=CF,ZDCF=60°,

:.ABCD冬AACF(MS),

：.BD=AF=1,ZCBD^ZCAF.

'：NBDC=ZADE,

:AADES^BDC,

AEAD

BC~BDf

如圖，作3A/_L/C于點M,

：AB=3C=/C=8,

1

：.AM=CM=^AC=4,

：.BM=y/AB2-AM2=4V3,DM=y/BD2-BM2=1.

當點。靠近點C時，4D=4+1=5,

絲_9

8一7,

：.AE=3

當點。靠近點4時,

4。=4-1=3,

?_A_E____3

??—，

87

故答案為：十

【點評】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，三線合一等

知識，分類討論是解答本題的關鍵.

14.如圖所示，在中，ZACB=90°,/B=2/C=4,。。為斜邊中線，點尸為線段上一動點，

將線段尸。繞點尸逆時針旋轉90°得線段尸。,連接C。，OQ,當尸C垂直于A/BC的一邊時，線段。。

的值為—遮-1或遮-V2_.

【考點】旋轉的性質；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理.

【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力.

【答案】遮―1或逐—

1

【分析】根據CPL48和CPLBC兩種情況進行討論，當時，根據sMB=2得到N3=30°,在

Rt△尸C。中根據直角三角函數計算出尸C和PO,從而計算出。。，當CP,3c時，證明得到/

。/。=30°,得到0。=AO-AD=2-43,再根據勾股定理計算出。0.

【解答】解：①當CPLAB時，如圖1所示，

圖2

圖1

sinB=

.,./B=30°.

'：OB=OC,

；.NPOC=2/B=60°.

1

在RtZ\PC0中，0C=^4B=2,/尸0c=60°,

：.CP=CO-sin60°=舊，PO=CO-cos60°=1,

'：PC=PQ=曲,PO=1,

：.0Q=V3-1；

②當CP,2c時；如圖2所示，過點。作QDL/B于點D

'：ZCPQ=90°,N4CB=90°,

C.AQ//CB.

：.ZOAQ=30°.

，QD=*AQ=1,4。=字用=百.

0D=AO-AD=2-43.

22

在RtAODQ中，。Q="R2+DQ2=J（2-V3）+I=78-473=V6-V2.

綜上，線段。。的長為遮-1或傷-魚，

故答案為：百-1或痣-魚.

【點評】本題考查直角三角形的性質和直角三角函數，解題的關鍵是掌握直角三角函數的相關知識.

15.如圖，已知點/的坐標為（-2,0）,點3的坐標為（-1,3）,將線段48繞點/順時針旋轉90°得

到/C,則點C坐標是（1,-1）.

【考點】坐標與圖形變化-旋轉.

【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】(1,-1).

【分析】作x軸于M,CN±x軸于N.證明名△C4N,根據全等三角形的性質即可解

決問題.

【解答】解：如圖，作x軸于M,CNLx軸于N.

VZBAC=9Q°,

：.ZABM+ZBAM=ZBAM+ZCAN,

：.NABM=ZCAN,

'：AB=CA,/AMB=/CNA=90°,

:.AABMqACAN(AAS),

：.AM=CN,BM=AN,

當/(-2,0),5(-1,3)時，

ON=AN-OA=BM-OA=3-2=1,

CN=AM=OA-OM=2-1=1,

：.C(1,-1).

故答案為：(1,-1).

【點評】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，全等三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用

輔助線，構造全等三角形解決問題.

三.解答題（共5小題）

16.如圖，在由邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點N,B,C均為格點（網格線的交點）.

（1）以點。為旋轉中心，將線段繞點C旋轉180°得到線段45,畫出線段4?.

（2）平移線段N3得到線段CD,使點3與點C重合，畫出線段QZ

（3）用無刻度的直尺畫出線段48的中點

【考點】作圖-旋轉變換；線段垂直平分線的性質；作圖-平移變換.

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【答案】見解析.

【分析】（1）利用中心對稱變換的性質分別作出4,3的對應點⑷，夕即可；

（2）利用平移變換的性質分別作出/,8的對應點。，C即可；

（3）由矩形的性質即可得出答案.

【解答】解：（1）如圖，由中心對稱變換的性質分別作出/,8的對應點4,B',則線段NE即為所求.

（2）如圖，由平移的性質得線段C￡）即為所求；

（3）如圖，點"即為所求.

【點評】本題考查作圖-平移變換，坐標與圖形變化-旋轉，矩形的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活

運用所學知識解決問題.

17.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中建立直角坐標系，小正方形的頂點為格點，AABC與AEFG

的頂點都在格點上.

（1）作使△NiBCi與△/BC關于原點。成中心對稱.

（2）已知△/8C與△斯G關于點尸成中心對稱，請在圖中畫出點尸的位置，并寫出該點的坐標.

【專題】作圖題；平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【答案】（1）見解答.

（2）畫圖見解答；P（-3,-1）.

【分析】（1）根據中心對稱的性質作圖即可.

（2）連接BF,CG,相交于點尸，則點P即為所求，由圖即可得出答案.

【解答】解：（1）如圖，△/131C1即為所求.

（2）連接/E,BF,CG,相交于點P,

則與4EFG關于點P成中心對稱，

即點尸為所求.

由圖可知，點尸的坐標為（-3,-1）.

【點評】本題考查中心對稱，熟練掌握中心對稱的性質是解答本題的關鍵.

18.如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△/8C的頂點均為格點（網格線的交點）.

（1）將線段/C向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到線段。E,畫出線段DE；

（2）以點。為旋轉中心，將按逆時針方向旋轉90°,得到△NiBiCi,請畫出△NiBiCi；

（3）在線段NC上描出點凡使得2廠為A/BC的角平分線.（作圖過程用虛線表示）

【考點】作圖-旋轉變換；三角形的角平分線、中線和高；作圖-平移變換.

【專題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【答案】（1）見解答.

（2）見解答.

（3）見解答.

【分析】（1）根據平移的性質作圖即可.

（2）根據旋轉的性質作圖即可.

（3）由網格可得Ag=OB=5,取CU的中點連接3M交/C于點尸，結合等腰三角形的性質可知，點

尸即為所求.

【解答】解：（1）如圖，線段。￡即為所求.

（2）如圖，△481。即為所求.

（3）由勾股定理得，AB=g+42=5,

則AB=OB.

如圖，取。/的中點連接交/C于點尸，

則點尸即為所求.

【點評】本題考查作圖-平移變換、旋轉變換、等腰三角形的性質，熟練掌握平移的性質、旋轉的性質、

等腰三角形的性質是解答本題的關鍵.

19.如圖所示，△/BC三個頂點坐標分別為/(-1,0)、3(-2,-2)、C(-4,-1)請在所給的正方

形網格中按要求畫圖和解答下列問題：

(1)以/點為旋轉中心，將△48C繞點/順時針旋轉90°得△/BiCi，畫出△/BiCi.

(2)畫出△/3C關于坐標原點O成中心對稱的△/282C2.

(3)若△/#2。2可看作是由△/31C1旋轉得來，則旋轉中心坐標為(0,-1).

【考點】作圖-旋轉變換.

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【答案】(1)見解答.

(2)見解答.

(3)(0--1).

【分析】(1)根據旋轉的性質作圖即可.

(2)根據中心對稱的性質作圖即可.

(3)連接442,B\Bz,C1C2,分別作線段442,BMC1C2的垂直平分線，相交于點P,則△/2比。2可

看作是由繞點P順時針旋轉90°得來,即可得出答案.

【解答】解:(1)如圖，△4BC1即為所求.

(3)連接442,5152,CiC2,分別作線段442,B\B2,C1C2的垂直平分線，相交于點P，

則△/2歷。2可看作是由△/81C1繞點尸順時針旋轉90°得來,

...旋轉中心P點的坐標為(0,-1).

故答案為：(0,-1).

【點評】本題考查作圖-旋轉變換、中心對稱，熟練掌握旋轉的性質、中心對稱的性質是解答本題的關鍵.

20.在等腰Rt4/BC中，/4CB=90°,點D為48的中點，E為2C邊上一點，將線段助繞點E按逆

時針方向旋轉90°得到昉，連接D凡AF.

(1)如圖1,若點￡與點。重合，/尸與。。相交于點O,求證：BD=2DO.

(2)如圖2,若點G為/月的中點，連接DG.過點。、尸作ON,3c于點N,于點連結3足若

4C=BC=16,CE=2,求。G的長.

A

C(E)

F

圖1

【考點】旋轉的性質;全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；平行四邊形的判定.

【專題】圖形的全等;等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；平移、旋轉與對稱.

【答案】（1）見解析過程;

(2)3V2.

【分析】（1）通過證明四邊形/DFC是平行四邊形，可得CD=2DO,即可求解;

1

（2）由“44S”可證△QNEg可得DN=EM=*4C=8,由等腰直角三角形的性質可求8方的長,

由三角形中位線定理可求。G的長.

【解答】（1）證明：???將線段ED繞點￡按逆時針方向旋轉90。得到￡凡

；.CD=CF,/DC尸=90°,

...△A8C是等腰直角三角形，AD=BD,

：.ZADO=90°,CD=BD=AD,ABLCD,

：.AD=CF,AD//CF,

，四邊形ADFC是平行四邊形,

：.CD=2DO,

：.BD=2.DO；

(2)解：,:DNLBC,FMLBC,

：.NDNE=/EMF=90°,

又,：/NDE=/MEF=90°-ZFEM,ED=EF,

：.^\DNE^/\EMF(AAS),

1

:?DN=EM=^AC=8,

:?NE=MF,

又?：CE=2,

：.BM=BC-ME-EC=6,

VZABC=45°,

:?BN=DN=8,

???N￡=14-8=6,

：.MF=MB=6,

:?BF=6近,

???點。，點G分別是4尸的中點，

：.DG=^BF=3y[2.

【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，三角形中位線定理等知

識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵.

考點卡片

1.規律型：點的坐標

1.所需能力：（1）深刻理解平面直角坐標系和點坐標的意義（2）探索各個象限的點和坐標軸上的點其坐

標符號規律（3）探索關于平面直角坐標系中有關對稱，平移等變化的點的坐標變化規律.

2.重點：探索各個象限的點和坐標軸上的點其坐標符號規律

3.難點：探索關于平面直角坐標系中有關對稱，平移等變化的點的坐標變化規律.

2.一次函數的性質

一次函數的性質：

左>0,y隨x的增大而增大，函數從左到右上升；k<0,y隨x的增大而減小，函數從左到右下降.

由于>=履+6與y軸交于（0,6）,當6>0時，（0,b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當6

<0時，（0,6）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸.

3.一次函數圖象上點的坐標特征

一次函數〉=履+6,"W0,且左，6為常數）的圖象是一條直線.它與x軸的交點坐標是（一也0）；與y

軸的交點坐標是（0,b）.

直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式>=依+4

4.三角形的角平分線、中線和高

（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高.

（2）三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做

三角形的角平分線.

（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另

一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部,

三條高所在直線相交于三角形外一點.

5.全等三角形的判定與性質

（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關鍵是選擇恰當的判定條件.

（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角

形.

6.線段垂直平分線的性質

(1)定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)

垂直平分線，簡稱“中垂線”.

(2)性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的

距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距

離相等.

7.等腰三角形的判定與性質

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有關問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中

線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解

決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析.

3、等腰三角形性質問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的

思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優先選擇簡便方法來解決.

8.等邊三角形的性質

(1)等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對而言的.

(2)等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線

是對稱軸.

9.含30度角的直角三角形

(1)含30度角的直角三角形的性質：

在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

(2)此結論是由等邊三角形的性質推出，體現了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常

用來求邊的長度和角的度數.

(3)注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數的角(30°)的特殊定理，非直角三角形或一般直角

三角形不能應用；

②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊.

10.直角三角形斜邊上的中線

(1)性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.(即直角三角形的外心位于斜邊的中點)

(2)定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直

角三角形.

該定理可以用來判定直角三角形.

11.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為C,那么。2+廬=02.

(2)勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中.

222

(3)勾股定理公式02+62=C2的變形有：a-yJc—b,b=7c?-a?及c=7a+b2.

(4)由于a2+62=c2>片，所以c>°,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

12.等腰直角三角形

(1)兩條直角