第1-2章三角形的證明和一元一次不等式（壓軸必刷15種題型40題）

大通關

解一元一次不等式（共1小題）

1.已知方程組：［v-2x=m的解》,y滿足緘+》20,則相的取值范圍是（）

I2y+3x=m+l

A.--B.m^—C.機21D.-

333

二.一元一次不等式的整數解（共1小題）

2.關于x的不等式3x-aW0,只有兩個正整數解，則a的取值范圍是.

三.一元一次不等式的應用（共1小題）

3.某工程機械廠根據市場需求，計劃生產48兩種型號的大型挖掘機共100臺，該廠所籌生產資金不少

于22400萬元，但不超過22500萬元，且所籌資金全部用于生產此兩種型號挖掘機，所生產的此兩種型

號挖掘機可全部售出，此兩型挖掘機的生產成本和售價如下表：

型號AB

成本（萬元/200240

臺）

售價（萬元/250300

臺）

（1）該廠對這兩型挖掘機有哪幾種生產方案？

（2）該廠如何生產能獲得最大利潤？

（3）根據市場調查，每臺3型挖掘機的售價不會改變，每臺A型挖掘機的售價將會提高加萬元（根〉

0）,該廠應該如何生產獲得最大利潤？（注：利潤=售價-成本）

四.解一元一次不等式組（共1小題）

4.若不等式組11+x>一有解，則a的取值范圍是（）

l2x-4<0

A.B.〃<3C.a<2D.aW2

五.一元一次不等式組的整數解（共3小題）

7+15

>x-3

-2~

5.關于X的不等式組只有4個整數解，則〃的取值范圍是（)

2x+2<x+a

3

A.B.-5Wa<-HC.-5<a^-11D.-5<a<-

3333

6.我們定義&b=ad-be,例如23=2X5-3X4=10-12=-2,若x,y均為整數，且滿足1<

cdl45y4

3,則x+y的值是.

'x+21>

7.關于x的不等式組（2,*的所有整數解的和是-7,則根的取值范圍是

x<m

六.一元一次不等式組的應用（共8小題）

8.把一些筆記本分給幾個學生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每個學生分5本，那么最后一

人就分不到3本.則共有學生（）

A.4AB.5人C.6AD.5人或6人

9.四個小朋友玩蹺蹺板，他們的體重分別為P、。、R、S,如圖所示，則他們的體重大小關系是（)

10.按下面程序計算，若開始輸入x的值為正數，最后輸出的結果為656,則滿足條件所有x的值

是_______________________

否

11.某商場用2500元購進A、8兩種新型節能臺燈共50盞，這兩種臺燈的進價、標價如下表所示.

類型A型B型

價格

進價（元/盞）4065

標價（元/盞）60100

（1）這兩種臺燈各購進多少盞？

（2）在每種臺燈銷售利潤不變的情況下，若該商場計劃銷售這批臺燈的總利潤至少為1400元，問至少

需購進8種臺燈多少盞？

12.某文化用品商店計劃同時購進一批A、B兩種型號的計算器，若購進A型計算器10只和2型計算器8

只，共需要資金880元；若購進A型計算器2只和B型計算器5只，共需要資金380元.

（1）求A、8兩種型號的計算器每只進價各是多少元？

（2）該經銷商計劃購進這兩種型號的計算器共50只，而可用于購買這兩種型號的計算器的資金不超過

2520元.根據市場行情，銷售一只A型計算器可獲利10元，銷售一只B型計算器可獲利15元.該經銷

商希望銷售完這兩種型號的計算器，所獲利潤不少于620元.則該經銷商有哪幾種進貨方案？

13.為獎勵在文藝匯演中表現突出的同學，班主任派生活委員小亮到文具店為獲獎同學購買獎品.小亮發

現，如果買1個筆記本和3支鋼筆，則需要18元；如果買2個筆記本和5支鋼筆，則需要31元.

（1）求購買每個筆記本和每支鋼筆各多少元？

（2）班主任給小亮的班費是100元，需要獎勵的同學是24名（每人獎勵一件獎品），若購買的鋼筆數不

少于筆記本數，求小亮有哪幾種購買方案？

14.某工廠用如圖甲所示的長方形和正方形紙板，做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋紙盒

圖甲

（1）現有正方形紙板162張，長方形紙板340張.若要做兩種紙盒共100個，設做豎式紙盒尤個.

①根據題意，完成以下表格:

豎式紙盒橫式紙盒

紙盒（個）（個）

紙板

X100-X

正方形紙板（張）2(100-x)

長方形紙板（張）4x

②按兩種紙盒的生產個數來分，有哪幾種生產方案?

（2）若有正方形紙板162張，長方形紙板a張,做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完.已知290<a<306.求

”的值.

15.為支持四川抗震救災，重慶市A、B、C三地現在分別有賑災物資100噸、100噸、80噸，需要全部運

往四川重災地區的。、E兩縣.根據災區的情況，這批賑災物資運往。縣的數量比運往E縣的數量的2

倍少20噸.

（1）求這批賑災物資運往。、E兩縣的數量各是多少？

（2）若要求C地運往。縣的賑災物資為60噸，A地運往。的賑災物資為尤噸（x為整數），8地運往。

縣的賑災物資數量小于A地運往D縣的賑災物資數量的2倍.其余的賑災物資全部運往E縣，且B地運

往E縣的賑災物資數量不超過25噸.則A、8兩地的賑災物資運往。、E兩縣的方案有幾種？請你寫出

具體的運送方案；

（3）已知A、B、C三地的賑災物資運往。、E兩縣的費用如下表:

A地8地C地

運往。縣的費用（元220200200

/噸）

運往E縣的費用（元250220210

/噸）

為及時將這批賑災物資運往。、￡兩縣，某公司主動承擔運送這批賑災物資的總費用，在（2）問的要求

下，該公司承擔運送這批賑災物資的總費用最多是多少？

七.一次函數與一元一次不等式（共2小題）

16.若函數>=丘-6的圖象如圖所示,，則關于X的不等式%-3）-匕>0的解集為（）

A.x<2B.x>2C.x<5D.x>5

17.如圖，直線過點A（0,2）,且與直線”=如交于點尸（1,m）,則不等式組如>丘+/?>如

-2的解集是（）

上J,v=mx

/[

A.l<x<2B.0<x<2C.0<x<lD.l<x

A.角平分線的性質（共2小題）

18.如圖，是AABC的角平分線，DE,。尸分別是△45。和△AC。的高，得到下列四個結論：

①04=0。；

?AD±EF；

③當NA=90°時，四邊形AEOF是正方形;

@AE2+DF2^AF2+DE2.

其中正確的是（）

A.②③B.②④C.①③④D.②③④

19.如圖，△ABC中，ZABC,NEAC的角平分線E4、PB交于點P,下列結論:

①PC平分/ACR

@ZABC+ZAPC=180°；

③若點M、N分別為點尸在BE、8尸上的正投影，貝ijAM+CN=AC；

?ZBAC=2ZBPC.

其中正確的是（）

A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③

九.等腰三角形的性質（共5小題）

20.等腰三角形ABC的面積為10,AB=AC=5,那么8C=或

21.如圖，/BOC=9°,點A在上，且。4=1,按下列要求畫圖：

以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點4,得第1條線段AAi；

再以4為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點A2,得第2條線段A1A2；

再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A3,得第3條線段A2A3；…

這樣畫下去，直到得第〃條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則“=

22.如圖，在△ABAi中，ZB=20°,AB^AiB,在42上取一點C,延長A41到42,使得4A2=A1C；在

42c上取一點。，延長AiAz到A3,使得4)3=&2￡＞；…，按此做法進行下去，第〃個等腰三角形的底角

的度數為____________________.

23.如圖，ZVIBC中A8=AC,BC=6,點尸從點B出發沿射線瓦1移動，同時，點。從點C出發沿線段

AC的延長線移動，已知點尸、。移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點。.

(1)如圖①，當點尸為A8的中點時，求C。的長；

(2)如圖②，過點尸作直線BC的垂線垂足為E,當點尸、。在移動的過程中，線段BE、DE、CZ)中是

否存在長度保持不變的線段？請說明理由.

24.如圖，在△ABC中，AB=AC,。是8c上任意一點，過。分別向A8,AC引垂線，垂足分別為E,F,

CG是A2邊上的高.

(1)DE,DF,CG的長之間存在著怎樣的等量關系？并加以證明；

(2)若。在底邊的延長線上，(1)中的結論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關系？請說明理由.

RDC

一十.等邊三角形的性質（共9小題）

25.如圖，ZMON=30°，點4、4、加…在射線ON上，點81、仍、右…在射線上，△48142、△

A222A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若。41=1,則△47歷48的邊長為（）

26.附加題：下圖是由九個等邊三角形組成的一個六邊形，當最小的等邊三角形邊長為2c相時，這個六邊

形的周長為（）cm.

A.30B.40C.50D.60

27.如圖，圖1是一塊邊長為1,面積記為Si的正三角形紙板，沿圖1的底邊剪去一塊邊長為上的正三角

2

形紙板后得到圖2,然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉正三

圖1圖3圖4

28.如圖，將一個正三角形紙片剪成四個全等的小正三角形，再將其中的一個按同樣的方法剪成四個更小的

正三角形，??如此繼續下去，結果如下表,貝！］an=___（_用__含_”的代數式表示）.

所剪次數1234…n

正三角形個471013…an

數

29.如圖，過邊長為2的等邊△ABC的邊A8上點尸作P從LAC于E,。為8c延長線上一點，當=

時，連PQ交AC邊于。，則。E長為.

30.已知等邊三角形ABC的邊長是2,以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊三角形

A81C1,再以等邊三角形A81Q的BiCi邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第二個等邊三角形AB2c2,

再以等邊三角形AB2c2的邊歷C2邊上的高A83為邊作等邊三角形，得到第三個等邊AAB3c3；…，如此

下去，這樣得到的第n個等邊三角形ABnCn的面積為.

31.如圖所示，△ABC為等邊三角形，AQ=PQ,PR=PS,PRLABR,PS_LAC于S,則四個結論正確的

是.

①P在NA的平分線上；②AS=AR；?QP//AR；④△BRP0ZXQSP.

BP

32.如圖，在標有刻度的直線/上，從點A開始，以AB=1為邊長畫正三角形，記為第1個正三角形；以

BC=2為邊長畫正三角形，記為第2個正三角形；以0)=4為邊長畫正三角形，記為第3個正三角形;

以。￡=8為邊長畫正三角形，記為第4個正三角形，…按此規律，繼續畫正三角形，則第〃個正三角形

的面積為.

33.如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動(與A、C不重合)，Q

是C8延長線上一點，與點尸同時以相同的速度由B向延長線方向運動(。不與8重合)，過尸作

PELABE,連接PQ交AB于D

(1)當/80。=30°時，求AP的長；

(2)當運動過程中線段的長是否發生變化？如果不變，求出線段中的長；如果變化請說明理由.

一十一.等邊三角形的判定(共1小題)

34.如圖，點。是等邊AABC內一點.將△B0C繞點C按順時針方向旋轉60°得△AOC,連接OD已知

ZAOB=UO°.

(1)求證：△C。。是等邊三角形；

(2)當a=150。時，試判斷的形狀，并說明理由;

(3)探究：當a為多少度時，是等腰三角形.

一十二.等邊三角形的判定與性質(共1小題)

35.邊長為。的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接得到一個正六邊形，

記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點，順次連接又得到一個等邊三角形，記為第2

個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形(如圖)，…，

按此方式依次操作，則第6個正六邊形的邊長為()

A5

-yX(-1)aB.lxg)5a

C—Xg)6a。.齊4)6a

一十三.勾股定理(共2小題)

36.如圖，。尸=1,過尸作PPi_LOP,得。尸1=我；再過Pi作PIP2_L0P且尸1尸2=1,得。尸2=、巧；又

過P2作P2P3，。尸2且P2P3=1,得0P3=2;…依此法繼續作下去，得。尸2012=.

37.已知△ABC中，AB=AC.

(1)如圖1,在△&￡>￡中，若且求證：CD=BE；

(2)如圖2,在△&￡>￡中，若ND4￡=N8AC=60°,且垂直平分AE,AZ>=3,8=4,求8。的

長；

(3)如圖3,在