2025年中考數學一輪復習

第22講銳角三角函數

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，在△48C中，ZACB=90°，點3,C分別在地面OP和墻面OQ上，且邊/2〃。。，若/。=1,

ZABC=a,則CO的長為（）

cosatana

A.------B.------

tanacosa

1

C.cosaXtanaD.---------------

cosaxtana

2.如圖，一座金字塔被發現時，頂部已經蕩然無存，但底部未受損.已知該金字塔的下底面是一個邊長

為200羽的正方形，且每一個側面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（)

C.100mD.100V3m

3.如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為a,sina=堤壩高3C=15〃?，則迎水坡面N3的長度為（)

A.20mB.25mC.30mD.35m

4.某校數學“綜合與實踐”小組的同學想要測量校園內文化長廊（如圖1）的最高點到地面的高度.如圖

2是其測量示意圖，五邊形48DEC關于直線所對稱，EF與AB,CD分別相交于點凡G.測得N8=3加,

CD=5m,ZABD^135°,ZBDE=92°,則文化長廊的最高點離地面的高度斯約為（）（結果保留

一位小數，參考數據：sin47°仁0.73,cos47°^0.68,tan47°-1.07)

E

Z\AFB

圖1圖2

A.4.2mB.4.0mC.3.7mD.3.6m

5.如圖，△45C的頂點都在正方形網格的格點上，則taiL4的值是()

……(￥f\

“WI-

344

A-B.gC.-D.2

6.如圖，滑雪場有一坡角20。的滑雪道，滑雪道/C長為200米，則滑雪道的坡頂到坡底的豎直高度AB

的長為()米.

---------------------

200200

A.---------B.--------C.200cos20°I).200sin20°

cos200sin20°

坡度，則大廳兩層之間的距

7.如圖是某商店營業大廳自動扶梯的示意圖，己知扶梯的長度為僅米,i=W

離為()

5512t12r

A.-TH米B.-zn米C.—TH米I).二-TH米

8.在計算tanl5。的值時，可以借用“數形結合”思想構建幾何圖形的方法解決，如圖，在中,

ZC=90°，ZABC=30°，延長。5到。使5。=4瓦連接4。，得NQ=15°，設4C=e則

=2Q,BC=y/3a,CD=(2+V3)a,RS中tm?=冊熹=（2+京2丁=2-回類比這

種方法,可以得到tan22.5°的值為（

1

C.V2D.

2

9.如圖，圖①、圖②分別是某種型號跑步機的實物圖與示意圖，已知游步機手柄N3與地面平行,

端板CD長為1.5加，CD與地面。E的夾角NCDE=a,支架NC長為1加，Z015=120°,則距步機手柄

所在直線與地面之間的距離為（）

圖①

A.—+1.5sina

1

C.—+1.5cosaD.-+l.Scosa

2

10.如圖，在正方體中，的正切值為（）

D.V2

二.填空題（共5小題）

11.某地為拓寬河道和提高攔水壩，進行了現有攔水壩改造.如圖所示，改造前的斜坡力B=80g米,

坡度為1：4；將斜坡A8的高度AE提高20米（即/。=20米）后，斜坡改造成斜坡⑦，其坡度為1：

1.5.則改造后斜坡CD的長為

c

A

EDB

12.如圖，與斜坡CE垂直的太陽光線照射立柱（與水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面

上，另一部分落在斜坡上.若3C=3米，CD=8.48米，斜坡的坡角/ECF=32°,則立柱48的高為

13.如圖，社小山的東側煉/處有一個熱氣球，由于受西風的影響，以30加/加〃的速度沿與地面成75°角

的方向飛行，20加〃后到達點C處，此時熱氣球上的人測得小山西側點2處的俯角為30°,則小山東西兩

側4,8兩點間的距離為.

14.在Rt448C中，已知/C=90°,/8=10,cosB=點M在邊N3上，點N在邊5c上，且

BN,連接兒W,當△氏為等腰三角形時，AM=

15.如圖，A,B,C,。均為網格圖中的格點，線段與CD相交于點P,則N/尸。的正切值為

三.解答題（共5小題）

16.如圖，在修建某條地鐵時，科技人員利用探測儀在地面43兩個探測點探測到地下C處有金屬回聲.已

知/、8兩點相距8米，探測線NC,8c與地面的夾角分別是30°和45°,試確定有金屬回聲的點C的

深度是多少米？

17.廣州市民昵稱“小蠻腰”的廣州塔，是目前中國最高的塔，它主要由塔身主體與天線桅桿兩部分組成.廣

州某中學數學興趣小組幾位同學，在五一假期，利用測角儀測量“小蠻腰”的“身高”，他們在離塔底/

水平距離450米的地點8,測得塔身主體的頂端C的仰角為45。，天線桅桿的頂端。的仰角為53。9'.

（1）根據題意，畫出幾何示意圖（塔身及天線與地面垂直）；

（2）求天線棉桿的高度.（參考數據：tan53°9'?sin53°9'~

18.在鄭州之林公園內有一座如意雕塑（圖1）,它挺拔矗立在前端，展現出了鄭東新區的美好藍圖

與如意和諧的愿望.綜合實踐小組想按如圖2所示的方案測量如意雕塑的高度昉：①在如意雕塑前的空

地上確定測量點當測量器高度/C為3加時，測得如意雕塑最高點E的仰角/ECD=45°；②保持測

量器位置不變，調整測量器高度N5為4.1%時，測得點￡的仰角/E8G=44°.已知點4B,C,D,E,

F,G在同一豎直平面內，請根據該小組的測量數據計算如意雕塑的高度E?（結果精確到1加.參考數據:

sin44°g0.69,cos44°心0.72,tan44°心0.97)

a

圖1

19.如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構成.如圖2,Z8是燈桿，cr＞是燈管支

架，燈管支架CO與燈桿間的夾角/5OC=60°.綜合實踐小組的同學想知道燈管支架CD的長度，他們

在地面的點E處測得燈管支架底部。的仰角為60。，在點尸處測得燈管支架頂部C的仰角為30。，測得

AE=3m,EF=9m（A,E,尸在同一條直線上）.請解答下列問題:

（1）求燈管支架底部距地面高度的長（結果保留根號）;

（2）求燈管支架CA的長度（結果精確到0.1%,參考數據：百=1.73）.

圖1圖2

20.如圖，觀測點C在東西走向的海岸線CN上，觀測員發現某船在北偏東12°方向的/點，該船向正東

方向行駛10小時后，到達北偏東57°方向的3點.已知該船的行駛速度為40海里/時，求這艘船與海岸

線CN之間的距離.（結果精確到1海里，參考數據：sin33°仁0.54,cos33°仁0.84,tan33°?0.65）

2025年中考數學一輪復習之銳角三角函數

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.如圖，在△48C中，ZACB=90°，點B,C分別在地面。尸和墻面O0上，且邊/8〃。。，若NC=1,

/ABC=a,則CO的長為（）

cosatana

A.------B.

tanacosa

1

C.cosaXtanaD.

cosaxtana

【考點】解直角三角形的應用.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】A

AC

【分析】在△/2C中，//磔=90。，4BC=a,法於限，在RtZXBOC中，℃=2C?cos4C。,

即可作答.

【解答】解：在△/8C中，ZACB=90a,ZABC=a,

,RC=4c=AC

?一tan乙ABC-tana9

,:AB〃O。,

：.NBCO=/ABC=oc,

在RtASOC中，AC=\,

4ccosa

OC=BC*cosZBCO=

tanaxcosa=tana9

故選：A.

【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義.

2.如圖，一座金字塔被發現時，頂部已經蕩然無存，但底部未受損.已知該金字塔的下底面是一個邊長

為200m的正方形，且每一個側面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（）

C.100mD.100V3m

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】D

【分析】根據已知易得2。=100小，再根據垂直定義可得//C2=90°,然后在中，利用銳角三

角函數的定義求出/C的長，即可解答.

【解答】解：如圖:

???該金字塔的下底面是一個邊長為200〃?的正方形,

1

/.SC=^x200=100(m),

"."ACLBC,

：.ZACB=9Q°,

在RtZX/BC中，ZABC=60°,

：.AC=BC-tan60°=100A/3(m),

，則金字塔原來高度為100m,

故選：D.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

3.如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為a,sina=|,堤壩高3C=15m,則迎水坡面AB的長度為()

B

aZ---------

CA

A.20mB.25mC.30mD.35m

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【專題】等腰三角形與直角三角形；應用意識.

【答案】B

【分析】根據正弦的定義計算，得到答案.

【解答】解：在中，sina=

BC3

則方=P

,:BC=15m,

:.AB=25m,

故選：B.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

4.某校數學“綜合與實踐”小組的同學想要測量校園內文化長廊（如圖1）的最高點到地面的高度.如圖

2是其測量示意圖，五邊形48DEC關于直線所對稱，EF與AB,分別相交于點凡G.測得N3=3m,

CD=5m,乙4BD=135°,ZBDE=9T,則文化長廊的最高點離地面的高度斯約為（）（結果保留

一位小數，參考數據：sin47°-0.73,cos47°心0.68,tan47°-1.07）

A.4.2mB.4.0mC.3.7mD.3.6m

【考點】解直角三角形的應用；軸對稱的性質.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】C

【分析】過點3作于點X,證明四邊形GF5H■為矩形，得出G//=B尸=1.5加，ZFBH=90°,求

出/。38=45°,得到38=。*=G尸=1〃?，求出/EZ)G=47°,再解直角三角形得出EG的長，再由環

=EG+GF計算即可得出答案.

【解答】解：如圖所示，過點8作于點〃，

由題意，得8F==1.5m,DG=^CD=2.5m,

垂直平分/瓦垂足為RM垂直平分C￡>,與CD交于點G,BHLCD,

:./BFG=/FGH=/BHG=90°,

四邊形GE8”為矩形，

:.GH=BF=\5m,ZFBH=9Q°,

：.DH=DG-GH=lm,

；/ABD=135°,

?.ZDBH=45°,

:.BH=DH=GF=lm,

VZBDE=92°,

：.NEDG=4T,

在RtZXEDG中，tan/EDG=淺,

：.EG=DGtan41°^2.5X1.07^2.68(m),

；.EP=EG+G尸Q2.68+1仁3.7(m),

故選：C.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握知識點

的應用是解題的關鍵.

5.如圖，△/BC的頂點都在正方形網格的格點上，則tar/的值是()

B

【考點】解直角三角形.

【專題】計算題；解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】C

【分析】如圖連接格點AD、CD.在中求出//的正切值.

【解答】解：如圖，連接格點瓦入CD.

在RtA4BD中，

故選：C.

【點評】本題考查了解直角三角形，連接2。構造直角三角形是解決本題的關鍵.

6.如圖，滑雪場有一坡角20。的滑雪道，滑雪道/C長為200米，則滑雪道的坡頂到坡底的豎直高度N8

A.---------B.--------C.200cos20°D.200sin20°

cos20sin20°

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】D

【分析】根據正弦的定義進行解答即可.

【解答】解：：s譏4=槊，

.*.N8=/C?sin/C=200sin20°,

故選：D.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數的

定義是解題的關鍵.

7.如圖是某商店營業大廳自動扶梯的示意圖，已知扶梯的長度為加米，坡度則大廳兩層之間的距

離為（）

5512,12,

A.—m米B.—m米C.—tn米D.—血米

1312135

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題；列代數式.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】A

【分析】設大廳兩層之間的距離為5x米，根據坡度的概念用x表示出扶梯的水平寬度，再根據勾股定理列

出方程，解方程得到答案.

【解答】解：設大廳兩層之間的距離為5x米，

:扶梯的坡度1=5：12,

，扶梯的水平寬度為12x米，

由勾股定理得：（5x）2+（12x）2=加2,

解得：x=g（負值舍去），

大廳兩層之間的距離為m2米，

故選：A.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度I的比.

8.在計算tanl5。的值時，可以借用“數形結合”思想構建幾何圖形的方法解決，如圖，在中,

ZC=90°，ZABC=30°，延長。5到。使5。=4瓦連接4。，得NQ=15°，設4C=e則

RC中tm?=冊熹=蒼*有=2-回

=2Q,BC=y[3a,CD=(2+V3)a,類比這

種方法,可以得到tan22.5°的值為(

1

C.V2D.

2

【考點】銳角三角函數的定義.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】B

【分析】如圖，在等腰直角△48C中，/C=90°,延長C8至點。，使得48=AD,則/B4D=ND.設

AC=\,求出CD,可得結論.

【解答】解：如圖，在等腰直角△A8C中，ZC=90°,延長C8至點。，使得/2=AD,則/A4D=ND,

VZABC=45°=ZBAD+ZD=2ZD,

二/。=22.5°,

設/C=l,則3C=1,AB=V2AC=V2,

CD=CB+BD=CB+AB=1+a,

..”<。-.AC1V2-1后1

..tan22.5—tanZn>==------產=---產—產----=V2-1.

CD1+72(1+V2)(V2-1)

故選：B.

【點評】本題考查銳角三角函數的定義，解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性質，解題的關

鍵是學會利用特殊直角三角形解決問題.

9.如圖，圖①、圖②分別是某種型號跑步機的實物圖與示意圖，已知游步機手柄與地面DE平行，

端板CD長為1.5加，CD與地面的夾角NCD￡=a,支架NC長為1加，ZCAB=120°,則距步機手柄

N2所在直線與地面。E之間的距離為()

圖①

V3

A.—+l.Ssina

2

V31

C.—+X.ScosaD.一+l.Scosa

22

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】A

【分析】過點C作CGU5,交B4的延長線于點G,交DE的延長線于〃，根據正弦的定義分別求出CG、

CH,計算即可.

【解答】解：如圖，過點C作CGLAB,交A4的延長線于點G,交?！甑难娱L線于

,/手柄AB與地面DE平行,

，CHLDE,

在RtZXCAH中，ZCDH=a,CD=\.5m,

:sin/CDH=需,

：.CH=CD'smZCDH=1.5sina,

'：ZCAB=nO0,

.?./C4G=60°,

：.CG=AC-sm60a=字，

距步機手柄N3所在直線與地面DE之間的距離為：（1.5sina+半）米,

故選：A.

D

圖②

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

10.如圖，在正方體中,ZBDiBi的正切值為（）

V3

B.—C.1D.V2

2

【考點】銳角三角函數的定義.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】由題意得班1=/向=4。1，/8囪。1=90°,設ABI=/I2I=/LDI=X,則當/=企乂，再由正

切的定義計算即可得解.

【解答】解：由題意得：BBi=AiBi=AiDi,ZBBiDi=90a,

設32|=43I=/LD1=X,則:

22

BiDi-+ArDl=V%+x-yflx,

；.tan/BBiDi==義=辛,

iB1D172x2

故選：A.

【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，解答本題的關鍵要熟練掌握銳角力的對邊。與鄰邊6的比叫做

ZA的正切，記作tanA.即tanA=ZA的對邊除以//的鄰邊=條

二.填空題（共5小題）

11.某地為拓寬河道和提高攔水壩，進行了現有攔水壩改造.如圖所示，改造前的斜坡4B=80g米，

坡度為1：4；將斜坡A8的高度/￡提高20米（即NC=20米）后，斜坡48改造成斜坡CD,其坡度為1：

1.5.則改造后斜坡C￡＞的長為50V13米.

C、

.............

EDB

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】50舊米.

【分析】根據直角三角形的性質求出/￡，進而求出CE,根據坡度的概念求出根據勾股定理計算，

得到答案.

4E1

【解答】解：在中，/2=200米，一=一，

BE4

.?.設N￡=x米，8E=4x米，

：.AB=7AE2+BE?=V17x=80V17,

；.x=80,

；./￡=80米，

：.CE=AE+AC=WO（米），

:斜坡CD的坡度為1：1.5,

，?！?150米，

由勾股定理得：CD=7CE2+DE2=50VH（米）,

答：斜坡CD的長為50m米.

故答案為：5（）vn米.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用一坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數的定義

是解題的關鍵.

12.如圖，與斜坡CE垂直的太陽光線照射立柱（與水平地面39垂直）形成的影子，一部分落在地面

上，另一部分落在斜坡上.若2C=3米，8=8.48米，斜坡的坡角NECF=32°,則立柱48的高為20.8

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題；平行投影.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】20.8.

【分析】延長交2尸于點”，根據余弦的定義求出XC,進而求出的，再根據正切的定義計算即可.

【解答】解：如圖，延長/。交8廠于點”，

在RtZXDS中，CZ>=8.48米，/DCH=32°,

nr

■:cas/DCH=需,

,ur―DC?8.48_［八/uz\

??HC—cos/ZT-oDr'CllH~n0O./8IO48-10（），

：?BH=HC+BC=13（米），

VZDCH+ZAHB=90°,ZA+ZAHB=90°,

AZA=ZDCH=32°,

在RtAAHB中，taiU=器，

?AnBH130八Q/\|z\

..AB=-——r?=20.8（不），

tanA0n.625

故答案為:20.8.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，正確作出輔助線、掌握銳角三角函數的定義

是解題的關鍵.

13.如圖，社小山的東側煉/處有一個熱氣球，由于受西風的影響，以30加/加〃的速度沿與地面成75°角

的方向飛行，20加〃后到達點C處，此時熱氣球上的人測得小山西側點2處的俯角為30°,則小山東西兩

側3兩點間的距離為600夜.

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】600V2.

【分析】作8c于。，根據速度和時間先求得/C的長，在中，求得//CD的度數，再求

得4D的長度，然后根據NB=30°求出的長.

【解答】解：如圖，過點N作垂足為D,

在RtZUCD中，N/CD=75。-30°=45°,

^C=30X20=600（米），

，4D=/C?sin45°=300/（米）.

在Rt"BD中，

：/2=30°,

：.AB=2AD=6Q0y/2（米）.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據仰角和俯角構造直角三角形并解直角三

角形，難度適中.

14.在RtA43C中，己知/C=90°,48=10,cosB=點M在邊48上，點N在邊BC上，且W=

BN,連接兒W,當為等腰三角形時，AM=5或/或黑.

【考點】解直角三角形；等腰三角形的性質；勾股定理.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

、60、50

【答案】5或77或

1111

【分析】分三種情況結合等腰三角形的性質和解直角三角形討論求解即可.

【解答】解：當9=5N時，如圖1,

圖1

,:AM=BN,

1

：.AM=^AB=5；

當時，如圖2,作ME_L2C,則有BE=*BN=

圖2

IR

*.*BM=10-AM,且cosB=引

?BE33

即.

'?嬴W'W-AM5,

解得：AM=~

11

當A?=JW時，如圖3,作NF_L/2,則有BF=.BM=.(10—AM),

,:AM=BN,且COSB="l，

BF3；(10-ZM)3

一二1即.

BN5

解得：AM=招;

_6050

綜上所述，答案為：5或五或行

【點評】本題考查等腰三角形的性質和解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關鍵.

15.如圖，4,B,C,。均為網格圖中的格點，線段45與CZ）相交于點尸，則N4P。的正切值為二

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】3.

【分析】連接CM,DN,根據題意可得CM〃/5,從而可得N4PD=NNCD,然后利用勾股定理的逆定理

證明△CM）是直角三角形，最后根據銳角三角函數的定義，進行計算即可解答.

【解答】解：連接C",DN,

A,D

M

N

B

由題意得：

CM//AB,

：./APD=ZNCD,

由題意得：

CN2=12+12=2,

r）;V2=32+32=18,

CD2=22+42=20,

:.CN2+DN2=CD2,

...△CW是直角三角形，

??tan2-NCD=~7^=3,

CNV2

的正切值為：3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了解直角三角形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

三.解答題（共5小題）

16.如圖，在修建某條地鐵時，科技人員利用探測儀在地面43兩個探測點探測到地下C處有金屬回聲.己

知/、8兩點相距8米，探測線NC,8c與地面的夾角分別是30°和45°,試確定有金屬回聲的點C的

深度是多少米？

C

【考點】解直角三角形的應用.

【答案】見試題解答內容

【分析】過C點作48的垂線交直線48于點。，構建等腰Rt^BCD,在RtZkLUC中利用銳角三角函數的

定義即可求出AC^ICD.然后在RtAD^C中利用勾股定理來求CD的長度.

【解答】解：如圖，作于點D.

AZADC=90°.

...探測線與地面的夾角分別是30。和45。，

AZDBC=45°,ND4C=30°.

:在Rt^DBC中，ZDCB=45°,

：.DB=DC.

:在RtAD/C中，/ZX4C=30°,

：.AC=2CD.

:在RtZkLMC中，ZADC=9Q°,AB=8,

，由勾股定理，得4D2+C/)2=/C2.

(8+CD)2+CD2=(2CD)2.

ACD=4±4V3.

：CD=4-4百不合題意，舍去.

：.CD=(4+4V3)米.

，有金屬回聲的點C的深度是(4+4次)米.

C

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

17.廣州市民昵稱“小蠻腰”的廣州塔，是目前中國最高的塔，它主要由塔身主體與天線桅桿兩部分組成.廣

州某中學數學興趣小組幾位同學，在五一假期，利用測角儀測量“小蠻腰”的“身高”，他們在離塔底/

水平距離450米的地點8,測得塔身主體的頂端。的仰角為45。，天線桅桿的頂端。的仰角為53。9'.

（1）根據題意，畫出幾何示意圖（塔身及天線與地面垂直）；

（2）求天線棉桿的高度.（參考數據：tan53°9'?sin53°9,?-|）

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】計算題；解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】（1）詳見解答；（2）150米.

【分析】（1）根據題意畫出示意圖；

（2）在Rt448C中，先求出NC,再在中，利用直角三角形的邊角間關系求出/￡>,最后利用線

段的和差關系得結論.

【解答】解：（1）幾何示意圖如圖所示：

（2）在RtZ\/8C中，

：/48C=45°,

：.ZACB=ZABC=45°.

.,.AC—AB=450米.

在RtzX/BD中，

An

?.?tanN/BO=第，

：.AD=tanZABD*AB

=tan53°9'*450

4

x可x450

=600（米）.

：.CD=AD-AC

=600-450

=150（米）.

答：天線棉桿的高度為150米.

【點評】本題考查了解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性質與判定、直角三角形的邊角間關系是解決

本題的關鍵.

18.在鄭州之林公園內有一座如意雕塑（圖1）,它挺拔矗立在CM前端，展現出了鄭東新區的美好藍圖

與如意和諧的愿望.綜合實踐小組想按如圖2所示的方案測量如意雕塑的高度M：①在如意雕塑前的空

地上確定測量點當測量器高度/C為3加時，測得如意雕塑最高點￡的仰角/ECD=45°；②保持測

量器位置不變，調整測量器高度48為4.1根時，測得點￡的仰角/￡BG=44°.已知點N,B,C,D,E,

F,G在同一豎直平面內，請根據該小組的測量數據計算如意雕塑的高度ER（結果精確到1m.參考數據:

sin44°g0.69,cos44°心0.72,tan44°仁0.97)

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】如意雕塑的高度斯約為40米.

【分析】延長CD交昉于延長BG交EF于N,根據矩形的性質得到Ql/=/C=3米，FN=AB=4A

米，CM=BN,MN=BC=L1米，解直角三角形即可得到結論.

【解答】解：延長CD交￡產于延長BG交EF于N,

則FW=/C=3米，7W=48=4.1米，CM=BN,

：.MN=BC=\.\米，

設CM=BN=x米,

在中，NEBG=44°,

：.EN=BN?tan44°20.97x米，

在RtZXEC"中，ZECD=45°,

EM=CA/,tan45°=x米,

'：MN=EM-EN=x-0.97x=lA米，

.,.x~36.7,

:.EM=CM=36.7（米），

EF=EM+FM=,36.1+3>?40（米），

答：如意雕塑的高度即約為40米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題，正確地作出輔助線構造直角三角形是解題的關

鍵.

19.如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構成.如圖2,43是燈桿，CD是燈管支

架，燈管支架CD與燈桿間的夾角N3￡>C=60°.綜合實踐小組的同學想知道燈管支架CD的長度，他們

在地面的點￡處測得燈管支架底部。的仰角為60°,在點/處測得燈管支架頂部C的仰角為30°,測得

AE—3m,EF=9m（A,E,尸在同一條直線上）.請解答下列問題：

（1）求燈管支架底部距地面高度的長（結果保留根號）；

（2）求燈管支架CA的長度（結果精確到0.1%,參考數據：百~1.73）.

圖1圖2

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；推理能力.

【答案】（1）3V3m；

（2）1.7m.

【分析】（1）在中，根據特殊三角函數值的計算方法即可求解；

（2）如圖所示，延長bC交N3于點G,可得△DGC是等邊三角形，再計算出N尸的長度，在RtzXN尸G

中，根據特殊三角函數值的計算方法即可求解.

【解答】解：（1）在RtAEUE中，/AED=60：AE=3m,

.'.AD=AE-tan60°=3V3（m）,

燈管支架底部距地面高度ND的長為3用

（2）如圖所示，延長歹C交于點G,

VZDAE=90°,ZAFC=30°,

/.ZZ)GC=90°-ZAFC=60°,

VZGDC=60°,

ZZ)CG=180°-/GDC-NDGC=60°,

：.ADGC是等邊三角形，

：.DC=DG,

,;EF=9m,AE=3m,

：.AF=AE+EF=nm,

在Rt△/尸G中，

AG^AF-tan3O0=12x整=4V3m,

：.DC=DG=AG-4。=4V3-3百=陰*1.7m,

...燈管支架CD的長度約為1.7W.

【點評】本題主要考查解直角三角形的實際運用、等邊三角形的判定與性質，掌握仰角俯角求直角三角形,

特殊三角函數值求邊長是解題的關鍵.

20.如圖，觀測點C在東西走向的海岸線CN上，觀測員發現某船在北偏東12°方向的4點，該船向正東

方向行駛10小時后，到達北偏東57°方向的8點.已知該船的行駛速度為40海里/時，求這艘船與海岸

線CN之間的距離.（結果精確到1海里，參考數據：sin33°-0.54,cos33°^0.84,tan33°-0.65）

CN

【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】這艘船與海岸線CN之間的距離約為298海里.

【分析】作于點。，BHLCN于點、H,解直角三角形即可得到結論.

【解答】解：如圖，作于點。，BHLCN于點、H,

:/MCD=51°,ZMCA=12°,AB//CH,

：.ZACB=45°,/BCH=/ABC=33°,

AD=CD=sinZABC*AB=400Xsin33°,BD=AB'cos330=400Xcos33°,

.*.8C=CD+3D=400X（sin330+cos33°）七522（海里），

則BH=BC?sin33°-298（海里），

答：這艘船與海岸線CN之間的距離約為298海里.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

考點卡片

1.列代數式

(1)定義：把問題中與數量有關的詞語，用含有數字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數式.

(2)列代數式五點注意：①仔細辨別詞義.列代數式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辯析詞義.如

“除”與“除以”，“平方的差(或平方差)”與“差的平方”的詞義區分.②分清數量關系.要正確列

代數式，只有分清數量之間的關系.③注意運算順序.列代數式時，一般應在語言敘述的數量關系中，

先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現出先低級運算，要把代數式中代表低級運算的這部分括起

來.④規范書寫格式.列代數時要按要求規范地書寫.像數字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，

數與數相乘必須寫乘號；除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數，書寫單位名稱

什么時不加括號，什么時要加括號.注意代數式括號的適當運用.⑤正確進行代換.列代數式時，有時

需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換.

【規律方法】列代數式應該注意的四個問題

1.在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量.

2.要注意書寫的規范性.用字母表示數以后，在含有字母與數字的乘法中，通常將“X”簡寫作“?”或

者省略不寫.

3.在數和表示數的字母乘積中，一般把數寫在字母的前面，這個數若是帶分數要把它化成假分數.

4.含有字母的除法，一般不用“七”(除號)，而是寫成分數的形式.

2.等腰三角形的性質

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三