2025中考數學二輪復習之幾何變換解答壓軸考點專項訓練

再考情分析.

一、在中考數學里，幾何變換壓軸題綜合性強，對考生的幾何直觀、邏輯推理與數學運算等

核心素養要求較高，以下為你概述相關考點：

1.平移變換

(1)圖形平移性質應用：

①考點常涉及平移后圖形的對應線段平行且相等、對應角相等。比如已知一個三角形平移后

的位置，要求證明平移前后某些線段平行關系，或利用對應線段相等求線段長度。

②可能結合平面直角坐標系，給定一個圖形各頂點坐標，按特定規則平移后，求新圖形頂點

坐標，借此考查點在坐標平面中的平移規律(橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移

減)。

(2)平移與面積問題：

利用平移不改變圖形形狀和大小，即面積不變的性質。例如，將不規則圖形通過平移轉化為

規則圖形來計算面積，像把分散的幾塊圖形平移拼成一個完整的矩形、平行四邊形等，再運

用相應面積公式求解。

2.軸對稱變換(翻折)

(1)軸對稱性質運用：

①重點考查對應點所連線段被對稱軸垂直平分、對應線段相等、對應角相等。如在矩形中進

行翻折操作，根據這些性質求線段長度，常結合勾股定理，在折疊后形成的直角三角形中，

設未知數建立方程求解。

②探究對稱軸兩側圖形的全等關系，進而證明角相等、線段相等或位置關系，如證明兩條線

段垂直或平行。

③最短路徑問題：這是軸對稱變換的經典應用考點。基于“兩點之間，線段最短”以及軸對

稱性質，通過作對稱點將折線轉化為直線段來求最短路徑。比如在直線同側有兩個定點，在

直線上找一點使該點到兩定點距離之和最短，就是作其中一個點關于直線的對稱點，連接對

稱點與另一定點，與直線的交點即為所求點。

3.旋轉變換

(1)旋轉性質的考查：

①涉及對應點到旋轉中心的距離相等、對應線段相等、對應角相等以及旋轉角相等。例如在

等邊三角形或正方形中進行旋轉操作，根據這些性質證明三角形全等或相似，進而求解線段

長度、角度大小。

②結合旋轉角來確定圖形位置變化，以及旋轉過程中圖形的特殊位置(如共線、垂直等),

要求學生能根據旋轉的角度和已知條件進行幾何關系的推導。

③旋轉與坐標變化：在平面直角坐標系中，給定圖形繞某點旋轉特定角度后，求圖形各頂點

坐標。這需要學生掌握旋轉的坐標變換規律，例如繞原點旋轉90。、180。等特殊角度時,

點坐標的變化規律（繞原點順時針旋轉90°,（5丫）變為（丫,次）；繞原點旋轉180°,（x,y）變為

（-x,-y））。

④中心對稱：作為特殊的旋轉（旋轉角為180°）,考查中心對稱圖形的性質，如對稱點連

線經過對稱中心且被對稱中心平分，以及判斷一個圖形是否為中心對稱圖形。

二、解題策略與技巧

1.畫圖分析：清晰標注已知條件，輔助理解題意。

2.添加輔助線：如中位線、高線、角平分線等，幫助發現幾何關系。

3.數形結合：結合坐標系或代數方法解決幾何問題。

4.分類討論：針對動態問題或存在性問題，全面考慮不同情況。

5.逆向思維

fii真題演練

第一部分（軸對稱）共10題

1.（2023?湖北十堰?中考真題）過正方形的頂點。作直線￡＞尸，點C關于直線DP的對

稱點為點E,連接AE,直線AE交直線OP于點F.

（1）如圖1,若/CDP=25。，則。；

⑵如圖1,請探究線段CD,EF,AF之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）在。尸繞點。轉動的過程中，設=￡F=b請直接用含的式子表示D尸的長.

2.（2022?浙江紹興?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,動點E從點A出

發，沿邊AD,OC向點C運動，A,。關于直線BE的對稱點分別為N,連結MN.

備用圖備用圖

(1)如圖，當E在邊AD上且DE=2時，求NA￡M■的度數.

(2)當N在BC延長線上時，求DE的長，并判斷直線與直線8。的位置關系，說明理由.

(3)當直線MN恰好經過點C時，求DE的長.

3.(2024.山東青島.中考真題)如圖①，RtZWSC中，

ZACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,RtAE￡)F中，Z.EDF=90°,DE=DF=6cm,邊BC與FD

重合，且頂點E與AC邊上的定點N重合，如圖②，4瓦乃從圖①所示位置出發，沿射線NC

方向勻速運動，速度為Icm/s；同時，動點。從點A出發，沿方向勻速運動，速度為2c〃z/s,

(1)當/為何值時，點A在線段OE的垂直平分線上？

⑵設四邊形PCEO的面積為S,求S與/的函數關系式；

(3)如圖③，過點。作OQLAB,交AC于點。，△AOH與△AOQ關于直線對稱，連接

HB.是否存在某一時刻f,使尸O〃B〃？若存在，求出/的值；若不存在，請說明理由.

4.(2024.江蘇宿遷?中考真題)在綜合實踐活動課上，同學們以折疊正方形紙片展開數學探

究活動

【操作判斷】

操作一：如圖①，對折正方形紙片ABCD,得到折痕AC,把紙片展平；

操作二：如圖②，在邊上選一點E,沿BE折疊，使點A落在正方形內部，得到折痕8E；

操作三：如圖③，在邊C。上選一點E沿所折疊，使邊BC與邊班重合，得到折痕叱把

正方形紙片展平，得圖④，折痕座、8F與AC的交點分別為G、H.

根據以上操作，得NEBF=

【探究證明】

(1)如圖⑤，連接GP,試判斷3尸G的形狀并證明；

(2)如圖⑥，連接班，過點G作C。的垂線，分別交AB、CD、EF于點P、Q、M.求證:

EM=MF.

【深入研究】

4f=7＞請求出器的值(用含左的代數式表示).

ACkHC

5.(2024.天津?中考真題)將一個平行四邊形紙片。15C放置在平面直角坐標系中，點。(0,0),

點A(3,0),點B,C在第一象限，S.OC=2,ZAOC=60.

(1)填空：如圖①，點C的坐標為，點8的坐標為；

⑵若尸為x軸的正半軸上一動點，過點尸作直線軸，沿直線/折疊該紙片，折疊后點。

的對應點O'落在無軸的正半軸上，點C的對應點為C'.設OP=r.

①如圖②，若直線/與邊C5相交于點Q,當折疊后四邊形「O'C'Q與口。RC重疊部分為五

邊形時，O'C'與A3相交于點E.試用含有f的式子表示線段BE的長，并直接寫出r的取值

范圍；

211

②設折疊后重疊部分的面積為S,當時，求S的取值范圍（直接寫出結果即可）.

6.（2023?河南?中考真題）李老師善于通過合適的主題整合教學內容，幫助同學們用整體的、

聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣.下面是李老師在“圖形的變化”主題下設

備用圖

⑴觀察發現：如圖b在平面直角坐標系中，過點加（4,0）的直線/y軸，作VA3C關于，軸

對稱的圖形,再分別作△AMG關于X軸和直線/對稱的圖形AAB2G和3G，則

△4員G可以看作是VA3c繞點。順時針旋轉得到的，旋轉角的度數為；3G可

以看作是VABC向右平移得到的，平移距離為個單位長度.

⑵探究遷移：如圖2,A3CD中，ZBAD=a（O°<a<90°）,P為直線48下方一點，作點尸

關于直線2B的對稱點片，再分別作點A關于直線2D和直線CD的對稱點鳥和巴，連接AP,

AP2,請僅就圖2的情形解決以下問題：

①若/尸4鳥="，請判斷夕與a的數量關系，并說明理由；

②若AD=〃z,求尸，鳥兩點間的距離.

⑶拓展應用：在（2）的條件下，若c=60。，AD=2代，ZPAB=15°,連接￡8.當心鳥與

ABCD的邊平行時，請直接寫出AP的長.

7.（2023?遼寧大連?中考真題）綜合與實踐

問題情境：數學活動課上，王老師給同學們每人發了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質.

已知AB=AC,NA>90。，點E為AC上一動點，將一樨以防為對稱軸翻折.同學們經過

思考后進行如下探究：

獨立思考：小明：“當點。落在BC上時，ZEDC=2ZACB.”

小紅：“若點E為AC中點，給出AC與。C的長，就可求出BE的長.

實踐探究：奮進小組的同學們經過探究后提出問題1,請你回答：

問題1：在等腰VA3C中，AB=AC,ZA>90°,ABDE由.ABE翻折得到.

(1)如圖1,當點。落在2C上時，求證：ZEDC=2ZACB；

(2)如圖2,若點石為4(7中點，AC-4,CD=3,求8E的長.

問題解決：小明經過探究發現：若將問題1中的等腰三角形換成NA<90。的等腰三角形，可

以將問題進一步拓展.

問題2：如圖3,在等腰VA3C中，ZA<90°,AB=AC=BD=4,2Z￡>=ZABD.若CD=1,

則求8C的長.

8.(2023?甘肅武威?中考真題)【模型建立】

(1)如圖1,丫48€7和~50￡都是等邊三角形，點C關于AD的對稱點尸在3D邊上.

①求證：AE=CD；

②用等式寫出線段A。，BD,近的數量關系，并說明理由.

【模型應用】

(2)如圖2,VABC是直角三角形，AB^AC,CD±BD,垂足為D,點C關于AD的對稱

點尸在3。邊上.用等式寫出線段AD,BD,。尸的數量關系，并說明理由.

【模型遷移】

(3)在(2)的條件下，若4)=40，BD=3CD,求cos/AFB的值.

9.(2022.吉林長春?中考真題)【探索發現】在一次折紙活動中，小亮同學選用了常見的A4

紙，如圖①，矩形A3。為它的示意圖.他查找了A4紙的相關資料，根據資料顯示得出圖

①中=他先將A4紙沿過點A的直線折疊，使點B落在AD上，點8的對應點為

點E,折痕為AF;再沿過點尸的直線折疊，使點C落在E尸上，點C的對應點為點X,折

痕為FG；然后連結AG,沿AG所在的直線再次折疊，發現點。與點尸重合，進而猜想

△ADG沿AAFG.

【問題解決】

(1)小亮對上面△ADG四△AFG的猜想進行了證明，下面是部分證明過程:

證明：四邊形ABCD是矩形，

ZBAD=ZB=ZC=ZD=90°.

由折疊可知，ZBAF=-ZBAD=45°,NBFA=NEFA.

2

：.N￡K4=N3E4=45°.

AF=42AB=AD.

請你補全余下的證明過程.

【結論應用】

FG

(2)ZDAG的度數為________度，—的值為；

⑶在圖①的條件下，點尸在線段AF上，且AP=；AB,點。在線段AG上，連結尸。、PQ,

如圖②，設鈣=",則尸。+尸。的最小值為.（用含。的代數式表示）

10.（2022?貴州貴陽?中考真題）小紅根據學習軸對稱的經驗，對線段之間、角之間的關系進

行了拓展探究.

4n

如圖，在中，AN為BC邊上的高，—=m,點M在AD邊上，且54=3”,點E

AN

是線段A"上任意一點，連接5E,將,ABE沿5E翻折得..FBE.

（1）問題解決:

如圖①，當/54。=60。，將：WE沿8E翻折后,使點廠與點M重合，則=7=

（2）問題探究:

如圖②，當440=45。，將一ABE沿BE翻折后,使E尸〃,求NABE的度數，并求出

此時機的最小值；

（3）拓展延伸：

當乙BAD=30。，將一ABE沿班翻折后，若EF,AD,且AE=ME?,根據題意在備用圖中

畫出圖形，并求出加的值.

第二部分（旋轉）共10題

11.（2024?山東德州?中考真題）在VA3C中，AC=BC,ZACB=120°,點。是AB上一個

動點（點。不與A,8重合），以點。為中心，將線段DC順時針旋轉120。得到線OE.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,當NACD=15。時，求的度數;

⑵如圖2,連接8E,當0。<4。￡><90。時，的大小是否發生變化？如果不變求,

NABE的度數；如果變化，請說明理由；

（3汝口圖3,點/在C。上，且O0:MD=3:2,以點C為中心，將線CM逆時針轉120。得到

線段CN,連接EN,若AC=4,求線段EN的取值范圍.

12.（2024?山東淄博?中考真題）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習.

【操作發現】

小明作出了）。的內接等腰三角形A3C,AB=AC.并在BC邊上任取一點。（不與點2,

C重合），連接4D,然后將△ABD繞點A逆時針旋轉得到ZSACE.如圖①

小明發現：CE與（O的位置關系是,請說明理由：

【實踐探究】

連接。E,與4C相交于點尸.如圖②，小明又發現：當VA3C確定時，線段CF的長存在

最大值.

請求出當A2=3ji6.3C=6時，CT長的最大值；

【問題解決】

在圖②中，小明進一步發現：點O分線段8C所成的比CD:￡>8與點下分線段DE所成的比

。尸:EE始終相等.請予以證明.

13.（2024?四川巴中?中考真題）綜合與實踐

⑴操作與發現：平行四邊形和梯形都可以剪開拼成一個矩形，拼接示意圖如圖1、圖2.在

圖2中，四邊形ABCD為梯形，AB//CD,E、尸是AD、BC邊上的點.經過剪拼，四邊形

GHJK為矩形.則△E7）K0.

（2）探究與證明：探究將任意一個四邊形剪開拼成一個平行四邊形，拼接示意圖如圖3、圖4、

圖5.在圖5中，E、F、G、H是四邊形ABCD邊上的點.OJKL是拼接之后形成的四邊形.

①通過操作得出：AE與EB的比值為

②證明：四邊形Q/KL為平行四邊形.

（3）實踐與應用：任意一個四邊形能不能剪開拼成一個矩形？若能，請將四邊形ABC。剪成4

塊，按圖5的方式補全圖6,并簡單說明剪開和拼接過程.若不能，請說明理由.

14.（2024?內蒙古通遼.中考真題）數學活動課上，某小組將一個含45。的三角尺4跖利一個

正方形紙板A3CD如圖1擺放，若AE=1,AB=2.將三角尺AEF繞點A逆時針方向旋轉

如圖2,連接BE,DF并延長，延長線相交于點G,BG交于點

問題1助和。尸的數量關系是，位置關系是.

【深入探究】

應用問題1的結論解決下面的問題.

問題2如圖3,連接8。，點。是8。的中點，連接。4,OG.求證Q4=OD=OG.

【嘗試應用】

問題3如圖4,請直接寫出當旋轉角a從0。變化到60。時，點G經過路線的長度.

15.（2024?黑龍江綏化?中考真題）綜合與實踐

問題情境

在一次綜合與實踐課上，老師讓同學們以兩個全等的等腰直角三角形紙片為操作對象.

紙片VABC和.DEF滿足ZACB=Z.EDF=90°,AC=BC=DF=DE=2cm.

下面是創新小組的探究過程.

操作發現

（I）如圖1,取力B的中點。，將兩張紙片放置在同一平面內，使點0與點廠重合.當旋轉

DEF紙片交AC邊于點“、交8C邊于點G時，設AH=x（l<x<2）,BG=y,請你探究

出丫與x的函數關系式，并寫出解答過程.

問題解決

（2）如圖2,在（1）的條件下連接G",發現CG"的周長是一個定值.請你寫出這個定

值，并說明理由.

拓展延伸

（3）如圖3,當點尸在4B邊上運動（不包括端點A、B）,且始終保持NAFE=60。.請你

直接寫出_QEF紙片的斜邊所與VABC紙片的直角邊所夾銳角的正切值______（結果保留

根號）.

16.（2024?廣西?中考真題）如圖1,VA3C中，?B90?,AB=6.AC的垂直平分線分別

交AC,A3于點O,C。平分/ACB.

圖2

(1)求證：AABCsMBO；

（2）如圖2,將△AOC繞點O逆時針旋轉得到AAOC,旋轉角為夕（0。<a<360°）.連接AM,

C'M

①求△AMC面積的最大值及此時旋轉角a的度數，并說明理由;

②當△AMC'是直角三角形時，請直接寫出旋轉角a的度數.

17.（2024?北京?中考真題）已知/他^=磯0。＜夕＜45。），點2,C分別在射線⑷V,AM1.,

將線段8C繞點B順時針旋轉180°-2?得到線段BD,過點。作AN的垂線交射線AM于點

E.

（2）如圖2,當點。在NM4N內部時，作DF〃河，交射線4W于點F，用等式表示線段取

與AC的數量關系，并證明。

18.（2024?四川眉山?中考真題）綜合與實踐

問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數學興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放

在正方形的中心。處，并繞點。旋轉，探究直角三角板與正方形A3CO重疊部分的面積變化

情況.

操作發現：將直角三角板的直角頂點放在點。處，在旋轉過程中：

（1）若正方形邊長為4,當一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為；當一

條直角邊與正方形的一邊垂直時，重疊部分的面積為.

（2）若正方形的面積為S,重疊部分的面積為斗，在旋轉過程中4與S的關系為.

類比探究：如圖1,若等腰直角三角板的直角頂點與點0重合，在旋轉過程中，兩條直角邊

分別角交正方形兩邊于E,尸兩點，小宇經過多次實驗得到結論BE+OF=A/^OC，請你幫

他進行證明.

拓展延伸：如圖2,若正方形邊長為4,將另一個直角三角板中60。角的頂點與點。重合，

在旋轉過程中，當三角板的直角邊交AB于點Af,斜邊交2C于點N,且3M=BN時，請

求出重疊部分的面積.

（參考數據：sinl5°="一次，cosl5°=逅土正，tanl50=2-V3）

44

19.（2024.山東?中考真題）一副三角板分別記作VABC和其中NABC=NDEF=90。,

NB4c=45。，NEDF=30°,AC=DE.作3M_LAC于點EN_L￡＞尸于點N,如圖1.

（2）在同一平面內，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點C與點E重合記為C,

點A與點。重合，將圖2中的刀C尸繞C按順時針方向旋轉a后，延長9交直線。尸于點

P.

①當a=30。時，如圖3,求證：四邊形CNPM為正方形；

②當30。＜&＜60。時，寫出線段MP,DP,CD的數量關系，并證明；當60。＜0＜120。時,

直接寫出線段MP,DP,CO的數量關系.

20.(2023?山東淄博?中考真題)在數學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開

展探究活動.

(1)操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙片A3CD和CEFG拼成乜”形圖案，如圖①.

試判斷：△ACF的形狀為________.

圖①

(2)深入探究

小紅在保持矩形ABCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點C旋轉，若AB=2,AD=4.

探究一：當點尸恰好落在AD的延長線上時，設CG與。尸相交于點如圖②.求一CMF

的面積.

探究二：連接AE,取AE的中點H,連接￡歸，如圖③.

求線段長度的最大值和最小值.

圖②圖③

參考答案

1.(1)20°

(2)CD2=1(AF2+EF2)

(3)DF=b),或a),或b)

【分析】(1)如圖，連接CE,DE,由對稱知？CD尸1EDP25?,CD=ED

由四邊形ABC。是正方形得AD=CD,所以AD=￡D,從而

?DAE?DEA!(180??ADE)20?；

(2)如圖，連接CP,DE,AC,CE,交DP于點X,由軸對稱知，CF=EF,CD=DE=AD,

ZDEF=ZDCF,可證得NAFC=90。，由勾股定理得，RtA4CF中，

AC2=AF2+CF2=AF2+EF2,RtAACO中，AD2+CD2=AC2,從而CD2=1(AF2+EF2)；

(3)由勾股定理CH=HE=FH=—b,DH=yJcD2-CH2^—a,分情況討論：當點F

22

在2H之間時，DF=DH-FH='a-b);當點。在凡H之間時，

2

6/?

DF=FH-DH=J(b-a);當點X在之間時，DF=DH+FH=J(a+b).

22

【詳解】(1)解：如圖，連接CE,DE,

,/點C關于直線DP的對稱點為點E,

:.CD,區＞關于DP對稱，

?CDP1EDP25?,CD=ED,

:四邊形A3。是正方形，

AD=CD,

AAD=ED,

D

：.?DAE?DEA!(180??ADE)!(180?90?50?)20?.

故答案為：20.

(2)解：CD2=^AF2+EF2).理由如下：

如圖，由軸對稱知，CF=EF,CD=DE=AD,NDEF=/DCF

而NDEF=NZMF

ZDAF=NDCF

：.?FAC1FCA?FAC?DAF7DCA90?

?AFC180?(?FAC?FC4)90?

，RtAACF中，AC2=AF2+CF2=AF2+EF2

RL^ACD中，AD2+CD2=AC2

：.2CD~=AF2+EF2BPCD2=1(AF2+EF2)；

(3)VZAFC=90°,CF=EF=b,

：.CH=HE=FH=—b,

2

*/CD2-1(AF2+EF2)=|(?2+Z>2),

DH=yJCD2-CH2=吟b￥=^a，

如圖，當點尸在之間時，DF=DH-FH=與祉b),

【點睛】本題考查軸對稱的性質，正方形的性質，等腰三角形知識，勾股定理等，將運動狀

態的所有可能考慮完備，分類討論是解題的關鍵.

2.(l)ZA￡M=90°；

(2)Z)E=y；MN//BD,證明見解析；

(3)DE的長為2幣或88一".

3

【分析】(1)由。￡=2知，AE=AB=6,可知NMEB=45。，從而得出答案；

(2)根據對稱性得，ZENC=ZBDC,貝I]cos/ENC=--=9,得EN=2,利用SSS證

EN103

明ABA/N也△DCB,得/DBC=/BNM,則MN〃BO；

(3)當點E在邊A。上時，若直線MN過點C,利用AAS證明△BCMg/XCE。，得DE=

MC-,當點E在邊CO上時，證明ABMCs/XCNE,可得瞿=鬻，從而解決問題.

CNEN

【詳解】(1)解：???DE=2,

?\AE=AB=6f

:四邊形ABC。是矩形，

ZA=90°,

ZAEB=ZABE=45°,

由對稱性知N2EM=45。，

ZAEM=ZAEB+ZBEM^90°；

(2)如圖1,

'：AB=6,AD=S,

由勾股定理得B￡?=10,

:當N落在BC延長線上時，BN=BD=10,

:.CN=2.

由對稱性得，/ENC=NBDC,

：.cosZENC^—=—,

EN10

：.EN^—,

3

10

：.DE=EN=—

3

直線與直線BD的位置關系是MN//BD.

由對稱性知MN=AD=BC,

又,：BN=BD,

.,.△BMNQ4DCB(SSS),

：.ZDBC=ZBNM,

所以MN〃BD；

（3）①情況1：如圖2,當E在邊上時，直線過點C,

ZBMC=90°,

：.MC=^BC1-BM2=2A/7?

'：BM=AB=CD,ZDEC=ZBCE,ZBMC=ZEDC=90°,

.?.△BCM名ACED(AAS),

；.DE=MC=2近；

②情況2：如圖3,點E在邊CD上時，

'：BM=6,BC=8,

:.MC=2汨,CN=8-2幣,

:/BMC=NCNE=ZBCD=90°,

ZBCM+NECN=90。,

,：ZBCM+/M8C=90。，

：.ZECN=ZMBC,

:.ABMCSACNE,

.BM_MC

??百.而，

.皿MCCN8b—14

??HN----------------------,

BM3

:.DE=EN=86-14.

3

綜上所述，。￡的長為2"或86TL

3

【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質，軸對稱的性質，全等三角形的判定

與性質，相似三角形的判定與性質，三角函數等知識，根據題意畫出圖形，并運用分類討論

思想是解題的關鍵.

3.(1)當f=2時，點A在線段0E的垂直平分線上

(2)S=gr-小+24

70

⑶存在/=行使尸

【分析】(1)先表示出AQ=2rcm,AE=(r+2)cm,再根據線段垂直平分線上的點到相等

兩端的距離相等得到北=AO,據此建立方程求解即可；

(2)如圖所示，過點。分別作AG3c的垂線，垂足分別為H、G,先由勾股定理得到

34

AB=10cm,再解直角三角形得至l]sinA=M，sin8=M，再證明4>￡F=45。，然后解直角三

角形求出OG,OH,3尸的長，最后根據5=5徵g-5讖庭-5/^。?進行求解即可；

43

(3)過點尸作PGLAB于G,解Rt^BPG,得到PG=1fcm,BG=-tcm,貝U

OG=|10-^f|cm,進而得到tan/POG="；再解Rt_AOQ得到。。=，m,由對

I5)50-13/2

33t

稱性可得ABLOQ，OH=OQ=—fem,解得至Ijtan/OBH=--------,由平行線的性

220-47

4f3t

質得到/OBH=NPOG,則tanNO3a=tan/POG,即可得到———=-----,解方程

50-13r20-書

即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖①所示，；/=￡>￡=6cm,AC=8cm,

/.AN=8-6=2cm,

如圖②所示，由題意得，NE=tcm,AQ=2fcm,

AE=AN+NE=[t+2)cm,

：點A在線段OE的垂直平分線上,

???AE=AO,

；?2+2=2%，

解得r=2,

.?.當/=2時，點A在線段OS的垂直平分線上;

(2)解：如圖所示，過點。分別作AC,BC的垂線，垂足分別為〃、G,

在中，由勾股定理得AB=[AC，+BC，=10cm，

.?.sinA=?,sinB金，,

AB5AB5

VDE=DF,ZD=90°,

：.ZDEF=45°；

由(1)可知AQ=2/cm,AE=?+2)cm,

BO=AB-AO=(10-2t^cm,CE=AC-AE=8—(t+2^=(6—t^cm,

在RtAAOW中，OH=AO-sinA=,

40—81

在RtZkBOG中，OG=A。?sinB=---cm,

在RtACPE中，CP-CE-tan/CEP=(6-0cm,

:.BP=BC-CP=fem,

OP

140—8%

=—X6x8----r(r+2)--r

225'725

126一

=-2t-----r+24；

55

(3)解：如圖所示，過點尸作尸G,AB于G,

由(2)可知3P=把m,

在RtZkBPG中，cosZPBG=—=cosZABC=-=PG=BP-sinZPBG=-rem,

BPAB55

33

BG=-BP=—tcm,

55

.?.OG=BO-BG=10-2r-|r=I10-ydem,

4

-t

PG

tmZPOG5

~OG

10-—50-13/

在RtAOQ中，tanZOAQ=^-=tmZBAC=—=-f

OAAC4

33

OQ=-OA=-tcm,

42

,/△A。”與△A。。關于直線A3對稱，

3

???AB±OQ,OH=OQ=—tem,

2

在RtZkOBH中,3t

tanZOBH=—

OB10-2t20—4%

PO//BH,

:.ZOBH=ZPOG,

tanXOBH=tanAPOG,

.*_31

??50-13「20-4%'

70

t=-^t=0（舍去），

70

經檢驗:仁是原方程的解，

23

??70/6

235

70

符合題意；

70

綜上所述，存在t=不使PO//BH.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，線段垂直平分線的性質，軸對稱的性質

等等，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.

4.［操作判斷］45；

［探究證明］(1)等腰直角三角形，理由見詳解；(2)見詳解；

［深入研究］公；2%+2

-2k

【分析】［操作判斷］根據正方形的性質以及折疊的性質即可求解；

［探究證明］(1)先證明△GHfisamc,再證明△GHFs△廢心，貝1」/7=/8=45°,繼而

得到N7=N5=45。，因此G8=GP,ZBGF=90°,即，BFG是等腰直角三角形；(2)由翻

折得，ZAEB^ZBEF,由尸。〃AD,得到NAE3=/EGA/,故NBEF=NEGM,因此

ME=MG,而由/￡6^+,6尸=5跖+/￡'尸6=90。，得到NMGF=NEFG,則

MG=MF,因此EM=MF；

［深入研究］連接9,先證明△BEDS△即/c,則c竺=gg=Y2,由等=。，設

EDBD2ACk

AG=l,AC=k,則AB=3C=AC-cosN4=正左=AO,而△AEGs/^CBG,貝U

2

…,k2-2kk2-2k+2,.GHk--2k+2

GH=k-l-------=---------,故——=—：---------

2k-22k-2CHk2-2k

【詳解】［操作判斷］解：如圖，

由題意得，Z1=Z2,Z3=Z4,

:四邊形ABCD是正方形,

ZABC=90°,

：.Zl+Z2+Z3+Z4=90°,

2（Z2+Z3）=90°,

Z2+Z3=45°,

BPZ￡BF=45°,

故答案為：45；

［探究證明］解：(1)如圖,

???四邊形A5CD是正方形，

.'.ZBCD=90°,N6=N8=45。，

Z5=45°,

Z5=Z6,

■:/GHB=/FHC,

AGHBS^FHC,

.GH_BH

.GH_FH

??而一方’

■:/GHF=/BHC,

:?AGHFS&BHC,

：.N7=N8=45。，

???N7=N5=45。，

：?GB=GF,/BGF=90。,

???一瓦G是等腰直角三角形;

(2)如圖，

D

Q

F

C

由翻折得，ZAEB=ZBEF,

???四邊形ABC。是正方形，

：.?D90?,即AZ)_LDC,

,.?PQLCD,

.?.PQ//AD,

???ZAEB=ZEGM,

：.ZBEF=/EGM,

；?ME=MG,

?：/BGF=90。,

：.ZEGF=90°,

???ZEGM+ZMGF=ZBEF+ZEFG=90°,

:.ZMGF=ZEFG,

:?MG=MF,

:?EM=MF；

［深入研究］解：如圖，連接5。，

???四邊形ABC。是正方形，

；?AB=AD=BC,ZABC=ZDAB=ZADC=ZBCD=90°,AD//BC,

???AC班）是對角線，

???N4=N5=NCBD=45。，

VZ￡BF=45°,

???Z2+Z3=Z1+Z2,

JZ1=Z3,

:.ABED^ABHC,

.CHBC

??訪―訪’

在RtZkBCD中，NCBD=45。，

.…BC_41

??cosNCBD--,

BD2

,CHV2

,?----=----，

ED2

??四」

*AC

設AG=1,AC=k,

AB=BC=ACcosZ4=—k=AD,

2

,:AD〃BC,

:?AAEGSMBG,

.AEAG

'~BC~~GC

AE1

V2k—1,

——k

也

2

—

2k-12k-2

.GHk2-2k+2

CH-k1-2k-

【點睛】本題考查了正方形背景下的折疊問題，相似三角形的判定與性質，正方形的性質，

折疊的性質，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題

的關鍵.

5.（1）（1,V3）,（4,73）

（2）?|<Z<|;②空MSM正

2294

【分析】（1）根據平行四邊形的性質，得出OC=A3=2,CB=Q4=3,=NAOC=60。,結

合勾股定理CH=d0C。-CH?=叢，即可作答.

（2）①由折疊得NOO'C'=NAOC=60。，O'P=OP,再證明.EO'A是等邊三角形，運用線

段的和差關系列式化簡，BE=AB-AE=5-2t,考慮當O'與點A重合時，和當C'與點B重

合時，分別作圖，得出f的取值范圍，即可作答.

23

②根據①的結論，根據解直角三角形的性質得出="，再分別以時，14區鼻時，

|<?<|,二分別作圖，運用數形結合思路列式計算，即可作答.

2224

【詳解】（1）解：如圖：過點C作CHLQ4

???四邊形Q4BC是平行四邊形，OC=2,^AOC=60,A（3,0）

AOC=AB=2,CB=Q4=3,ZB=ZAOC=60°,

?:CH±OA

：.ZOCH=30°

：.OH=-OC=1

2

JCH=y/0C2-CH2

：.C（1，V3）

9：CB=OA=3

.*.1+3=4

???B（4,A/3）

故答案為：（1，石），（4,6）

（2）解：①???過點尸作直線軸，沿直線/折疊該紙片，折疊后點。的對應點O'落在不軸

的正半軸上，

???ZOOC=ZAOC=60°,0fp=OP,

：.OOr=2OP=2t

VA（3,0）

JOA=3

：.AOr=O（y-OA=2t-3

???四邊形Q4BC為平行四邊形，

：.AB=OC=2,AB//OC,ZC/AB=ZAOC=60°

???一￡O'A是等邊三角形

：.AE=AOf=2t-3

;BE=AB—AE

/.BE=AB-AE=2-（2t-3）=5-2t

?*BE=—2%+5；

當O'與點A重合時,

13

此時A5與。'O'的父點為E與A重合，OP=-OA=-

22

如圖：當C'與點B重合時，

此時A8與C'。的交點為E與B重合，==M

22

的取值范圍,,為,3:</<5?;

22

②如圖：過點C作

,八°MP后MP

??tan60=,=---

OPt

?*.MP=R

當時，s=-O'P=-OPxMP=-txy/3t=—t2

32222

：.—>0,開口向上，對稱軸直線f=。

2

.?.在時，S=走/隨著/的增大而增大

32

.2有八

??---<S<-----;

92

S=^O'P+MC')xMP=^(OP+CM)xMP=^t+f-l）x出=咚（21）=每一乎

A/3>0,S隨著f的增大而增大

???在，［時s==孚-￥=5在』時5=氐1一%*

.?.當時,^<S<A/3

113

,

AN=-AO=-(2t-3)=t--f

**?tanZ.EAO'—^/3，V3=

AN

f

S=y/3t----xAOxEN

22

4A/3C

開口向下，在仁二/m=2時,S有最大值

.?.在33</<寺5時，2--3

S=-Qx0+473X|-^I=V3

則在!■</<|■時，>/3<s<；

224

當時，如圖，

24

S=@一￡-；x1A（y+BC）xMP=底一專一—3+2t-5）乂6=S+^~

-V3<0,S隨著f的增大而減小

.?.在時，則把r=I/=4分另1］代入5=一a+拽

得出5=一島*+"石，>岳口+"也

22424

，在*時，—<S<y/3

244

綜上：空&SM也

94

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，解直角三角形的性質，折疊性質，二次函數的圖象

性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

6.(1)180°,8.

（2）①￡=2a,理由見解析；②2msina

⑶2而或30-遙

【分析】（1）觀察圖形可得2G與VA3C關于。點中心對稱，根據軸對稱的性質可得即

可求得平移距離；

（2）①連接4片，由對稱性可得，ZPAB=ZI]AB,ZPlAD=ZP2AD,進而可得

ZPAP2=2ZBAD,即可得出結論；

②連接尸片遇鳥分別交AB,。。于瓦尸兩點，過點D作。GJ_AB,交AB于點G,由對稱性

可知：PE=PlE,《尸=鳥尸且尸[LAB,P^A-CD,得出PA=2E/,證明四邊形EEDG是

矩形，則DG=EF,在RtAZMG中，根據sin/D4G=儀，即可求解；

DA

（3）分A8〃A￡>,P2P3//CD,兩種情況討論，設AP=x,則A《=A^=x,先求得

PP屈一%,勾股定理求得￡6,進而表示出理，根據由（2）②可得PA=2AOsina,

2

可得PA=6,進而建立方程，即可求解.

【詳解】（1）（1）：VABC關于y軸對稱的圖形與C],△A4G與△ABC關于無軸對稱，

AAB2C2與YABC關于0點中心對稱，

則可以看作是VA3C繞點0順時針旋轉得到的，旋轉角的度數為180。

V

=2,

???/（4,0）,A,4關于直線X=4對稱，

44+AAj=2x4=8,

即M=8,

△AB3G可以看作是VA3C向右平移得到的，平移距離為8個單位長度.

故答案為：180°,8.

圖2

由對稱性可得，^PAB=AP{AB,NqAO=N￡A。，

NPAg=ZPAB+APXAB+APXAD+AP2AD

=2APXAB+2APXAD

=2（N<AB+N片A￡>）

=2ZBAD

p=2a,

②連接理/月分別交A5,CO于瓦方兩點，過點。作。GLAB,交AB于點G,

圖2

由對稱性可知：PE=PlE,片方=呂歹且P.P.LCD,

???四邊形A5CD為平行四邊形，

：.AB//CD

???尸，斗鳥三點共線，

/.PP3=PE+PXE+PXF+P3F