專題01數學史問題

1.我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提

出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為。，b,c,記p=a+；+c,則其面積

S=Mp_a）（p_b）（p_c）.這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.若p=5,c=4,則此三角形面積的

最大值為（）

A.45B.4C.2AD.5

2.中國清代算書《御制數理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）;

馬三匹、牛五頭，共價三十八兩.問馬、牛各價幾何？”設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據題意可列方程

組為（）

J4x+6y=384y+6x=484x+6y=484x+6y=48

A-3x+5y=48B.[C.]D.《

3y+5x=38[5x+3y=383x+5y=38

3.我國古代著作《增刪算法統宗》中記載了一首古算詩：“林下牧童鬧如簇，不知人數不知竹.每人六

竿多十四，每人八竿恰齊足.”其大意是：“牧童們在樹下拿著竹竿高興地玩耍，不知有多少人和竹竿.每

人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完.”若設有牧童x人，根據題意，可列方程為.

4.如圖，正方形的邊長為4,剪去四個角后成為一個正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d,根

據我國魏晉時期數學家劉徽的“割圓術”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估

計"的值，下面d及n的值都正確的是（）

4Jt^8sin22.5°

B.d=虱近T),

n元4sin22.5°

sin22.5°

C.d=妁0I.,n?8sin22.5°

sin22.5°

D.d=8g),

JI心4sin22.5°

sin22.5°

5.我國古代數學著作《九章算術》“盈不足”一章中記載:

今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，問大小器各容幾何”.意思是：有大小兩種盛酒的桶,

已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛，1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛.問1個大桶、1個小桶

分別可以盛酒多少斛？設1個大桶盛酒工斛，1個小桶盛酒V斛，下列方程組正確的是（）.

5x+y=35x+y=25x+3y=13%+y=5

A.〈B.〈C.〈D.<

x+5y=2[x+5y=3[x+2y=5[2%+5y=1

6.我國古代數學著作《孫子算經》有“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步.問：

人與車各幾何？”其大意如下：有若干人要坐車，如果每3人坐一輛車，那么有2輛空車；如果每2人坐

一輛車，那么有9人需要步行，問人與車各多少？設共有x人，y輛車，則可列方程組為（）

,f3（y-2）=xR（3（y+2）=x「（3（y-2）=xn（3（y+2）=x

2y-9=x\2y+9=x\2y+9=x[2y-9=x

7.《九章算術?是人類科學史上應用數學的“算經之首”，書中記載：今有三人共車，二車空；二人共車,

九人步問：人與車各幾何？譯文：若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行,

問：人與車各多少？設有x輛車，人數為y,根據題意可列方程組為（）

B已竄2）

A滔京江上

8.“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古

代數學著作《九章算術》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由示意圖獲得.設井深為工尺，所列方程

正確的是（）

50.4555-0.4

x5x+50.4x0.4

9.《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法.如圖所示，在井口A處立一根垂直于

井口的木桿AB,從木桿的頂端B觀察井水水岸D,視線BD與井口的直徑AC交于點E,如果測得AB=1米,

AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為米.

10.《九章算術》被尊為古代數學“群經之首”，其卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小.以

鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小,

用鋸去鋸這木材，鋸口深CD等于1寸，鋸道AB長1尺，問圓形木材的直徑是多少？（1尺=10寸）

11.在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數學家阿基米德提出的有關圓的一個引理.如圖,

已知第，C是弦AB上一點，請你根據以下步驟完成這個引理的作圖過程.

（1）尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；

①作線段AC的垂直平分線DE,分別交定于點D,AC于點E,連接AD,CD；

②以點D為圓心，DA長為半徑作弧，交AB于點F（F,A兩點不重合），連接DF,BD,BF.

（2）直接寫出引理的結論：線段BC,BF的數量關系.

12.勾股定理是“人類最偉大的十個科學發現之一”.我國對勾股定理的證明是由漢代的趙爽在注解《周

髀算經》時給出的，他用來證明勾股定理的圖案被稱為“趙爽弦圖”.2002年在北京召開的國際數學大會

選它作為會徽.下列圖案中是“趙爽弦圖”的是（）

13.《孫子算經》中有一道題：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，

木長幾何？”譯文大致是：“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩

余1尺，問木條長多少尺？”如果設木條長x尺，繩子長y尺，可列方程組為.

14.我國古代數學著作《增刪算法統宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，

折回索子卻量竿，卻比竿子短一托.”其大意為：現有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5

尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺.設繩索長x尺，竿長y尺，則可列方程組為.

15.匈牙利著名數學家愛爾特希（P.Erdos,1913-1996）曾提出：在平面內有n個點，其中每三個點都

能構成等腰三角形，人們將具有這樣性質的n個點構成的點集稱為愛爾特希點集.如圖，是由五個點A、B、

C、D、0構成的愛爾特希點集（它們為正五邊形的任意四個頂點及正五邊形的中心構成），則NAQO的度

數是.

16.《九章算術》中有這樣一個題：“今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十.今將錢三十，得

酒二斗.問醇、行酒各得幾何？”其譯文是：今有醇酒(優質酒)1斗，價值50錢；行酒(劣質酒)1斗,

價值10錢.現有30錢，買得2斗酒.問醇酒、行酒各能買得多少？設醇酒為x斗，行酒為y斗，則可列

二元一次方程組為.

17.我國傳統數學名著《九章算術》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩.問

牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子，問

每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”

根據以上譯文，提出以下兩個問題：

(1)求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

(2)若某商人準備用19兩銀子買牛和羊(要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完)，請問商人有幾種購

買方法？列出所有的可能.

18.我國傳統數學名著《九章算術》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾

何？”譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，問籠中各有幾

只雞和兔？根據以上譯文，回答以下問題：

(1)籠中雞、兔各有多少只？

(2)若還是94只腳，但不知道頭多少個，籠中雞兔至少30只且不超過40只.雞每只值80元，兔每只

值60元，問這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元？

專題01數學史問題(解析版)

1.我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提

出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a,b,c,記p="；c,則其面積

S=y/p(p-a)(p-b)(p-c).這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.若p=5,c=4,則此三角形面積的

最大值為()

A.45B.4C.2AD.5

【答案】C

［解析］把p=5,c=4代入S=Qp(p_a)(p_b)(p-c)可得S=胃乂0-0,一人),因為p=〃+：+c,

所以a+6+c=2p=10,而c=4,所以a+b=6,:.b=6-a,把6=6-a代入S=j5x(5-aQ(5-6)可得

S=j5(5-a)(q_l)=J_5(q2_6a+5)=J_5(a_3y+2O,當〃=3時，S最大，最大值為而=2百，考

查秦九韶公式的變形處理技巧以及二次函數的配方

2.中國清代算書《御制數理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩(我國古代貨幣單位);

馬三匹、牛五頭，共價三十八兩.問馬、牛各價幾何？”設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據題意可列方程

組為()

4x+6y=384y+6x=484x+6y=484x+6y=48

A.B.C.D.

3x+5y=483y+5x=385x+3y=383x+5y=38

【答案】D

【解析】設馬每匹x兩,牛每頭y兩，根據馬四匹、牛六頭，共價四十八兩與馬三匹、牛五頭，共價二十

八兩列方程組即可.

【詳解】設馬每匹x兩,牛每頭y兩，由題意得

4x+6y=48

3x+5y=38

故選：D.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，仔細審題，找出題目的已知量和未知量,設兩個未知數，并

找出兩個能代表題目數量關系的等量關系，然后列出方程組求解即可.

3.我國古代著作《增刪算法統宗》中記載了一首古算詩：“

林下牧童鬧如簇，不知人數不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齊足.”其大意是:“牧童們在樹下拿

著竹竿高興地玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完.”若設有牧童x

人，根據題意，可列方程為

【答案】6x+14=8x.

【解析】設有牧童x人，根據“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，結合竹竿的數量不變，即

可得出關于x的一元一次方程，此題得解.

設有牧童x人，

依題意得：6x+14=8x.

故答案為：6x+14=8x.

4.如圖，正方形的邊長為4,剪去四個角后成為一個正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑d,根

據我國魏晉時期數學家劉徽的“割圓術”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估

計n的值，下面d及n的值都正確的是()

A.d=3mJT心8sin22.5°

sin22.5°

B.d=jt^4sin22.5°

sin22.5°

C.d=，.4(&-D_,Jt^8sin22.5°

sin22.5°

D.d=3m-1)_,JT?4sin22.5°

sin22.5°

【答案】C

【解析】根據外接圓的性質可知，圓心各個頂點的距離相等，過圓心向邊作垂線，解直角三角形，再根據

圓周長公式可求得.

如圖，連接AD,BC交于點0,過點。作0PLBC于點P,

則CP=PD,且NC0P=22.5°，

設正八邊形的邊長為a,則a+2義返a=4,

2

解得a=4(y/~2~1)，

PC=2（V2-1）

在Rt/XOCP中，0C=

sin22.5sin22.5

/.d=20C=402T),

sin22.5°

由JId?=8CD,

則任返工Ln七32(V2-1)，

sin22.5°

Ji=8sin22.5°.故選：C.

5.我國古代數學著作《九章算術》“盈不足”一章中記載：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容

二斛，問大小器各容幾何”.意思是：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛，

1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛.問1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設1個大桶盛酒工斛,

i個小桶盛酒y斛，下列方程組正確的是（).

5x+y=3f5x+y=25x+3y=1f3x+y=5

A.<B.<C.《D.《

x+5y=2[x+5y=3x+2y=5[2x+5y=l

【答案】A

【解析】根據大小桶所盛酒的數量列方程組即可.

V5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛,

5x+y=3,

VI個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛,

5x+y=3

得到方程組

x+5y=2

故選：A.

【點睛】此題考查二元一次方程組的實際應用，正確理解題意是解題的關鍵.

6.我國古代數學著作《孫子算經》有“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步.問：

人與車各幾何？”其大意如下：有若干人要坐車，如果每3人坐一輛車，那么有2輛空車；如果每2人坐

一輛車，那么有9人需要步行，問人與車各多少？設共有x人，y輛車，則可列方程組為（）

,（3（y-2）=x（3（y+2）=x（3（y-2）=x（3（y+2）=x

A.<D.<U.<L）.<

[2y-9=x[2y+9=x2y+9=x\2y-9=x

【答案】c

【解析】設共有X人，y輛車，根據“如果每3人坐一輛車，那么有2輛空車；如果每2人坐一輛車，那

么有9人需要步行”，即可得出關于x,y的二元一次方程組，此題得解.

解：設共有x人，y輛車，

依題意得：4y-2）=x

[2y+9=x

7.《九章算術》是人類科學史上應用數學的“算經之首”，書中記載：今有三人共車，二車空；二人共車,

九人步問：人與車各幾何？譯文：若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行,

問：人與車各多少？設有x輛車，人數為y,根據題意可列方程組為()

(y=2x+9(y=2x-9(y=2x—S(y=2x—9

【答案】B

【解析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數學常識，找準等量關系，正確列出二元一次

方程組是解題的關鍵.

設共有y人，x輛車，

依題意得：

fy=3(x_2；

|y=2x+9

8.“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古

代數學著作《九章算術》中的''井深幾何”問題，它的題意可以由示意圖獲得.設井深為x尺，所列方程

正確的是()

50.450.4X555-0.4

A.----=——B.-C.—D.-—

5+x5X5x+50.4X0.4

【答案】A

【解析】如圖，設AD交BE于K.利用相似三角形的性質求解即可.

如圖，設AD交BE于K.

VDK//BC,

AAEKD^AEBC,

.DKED

,?瓦一衣'

.0.45

?.—=----.

55+x

【點睛】本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題.

9.《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法.如圖所示，在井口A處立一根垂直于

井口的木桿AB,從木桿的頂端B觀察井水水岸D,視線BD與井口的直徑AC交于點E,如果測得AB=1米,

AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD為米.

【答案】3.

【解析】由題意知：△ABEs/XCDE,得出對應邊成比例即可得出CD.

由題意知：AB/7CD,

貝叱BAE=/C,ZB=ZCDE,

/.△ABE^ACDE,

??--A-B=-A-E-,

CDCE

?1二0.4

*'CD=1.6-0.4,

；.CD=3米.

10.《九章算術》被尊為古代數學“群經之首”，其卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小.以

鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小,

用鋸去鋸這木材，鋸口深CD等于1寸，鋸道AB長1尺，問圓形木材的直徑是多少？（1尺=10寸）

【答案】26

【解析】過圓心0作OCLAB于點C,延長0C交圓于點D,則CD=1寸，AC=BC=1AB,連接0A,設圓的

2

半徑為X,利用勾股定理在Rt^OAC中，列出方程，解方程可得半徑，進而直徑可求.

解：過圓心0作0CLAB于點C,延長0C交圓于點D,連接0A,如圖：

V0CXAB,

.\AC=BC=AAB,右卷.

2

貝l|CD=l寸，AC=BC=2AB=5寸.

2

設圓的半徑為X寸，則0C=（X-1）寸.

在Rtz\OAC中，由勾股定理得：

52+（x-1）2=x2,

解得：x=13.

???圓材直徑為2X13=26（寸）.

11.在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數學家阿基米德提出的有關圓的一個引理.如圖,

已知窟，C是弦AB上一點，請你根據以下步驟完成這個引理的作圖過程.

（1）尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；

①作線段AC的垂直平分線DE,分別交篇于點D,AC于點E,連接AD,CD；

②以點D為圓心，DA長為半徑作弧，交病于點F（F,A兩點不重合），連接DF,BD,BF.

（2）直接寫出引理的結論：線段BC,BF的數量關系.

【答案】見解析。

【解析】（1）①根據要求作出圖形即可.

②根據要求作出圖形即可.

（2）證明4DFB絲ADCB可得結論.

解：（1）①如圖，直線DE,線段AD,線段CD即為所求.

②如圖，點F,線段CD,BD,BF即為所求作.

理由：：DE垂直平分線段AC,

ADA=DC,

.".ZDAC=ZDCA,

VAD=DF,

.,.DF=DC,AE=DF,

ZDBC=ZDBF,

,/ZDFB+ZDAC=180°.ZDCB+ZDCA=180°,

.".ZDFB=ZDCB,

在ADFB和ADCB中，

rZDFB=ZDCB

-ZDBF=ZDBC,

,DF=DC

.,.△DFB^ADCB(AAS),

；.BF=BC.

12.勾股定理是“人類最偉大的十個科學發現之一”.我國對勾股定理的證明是由漢代的趙爽在注解《周

髀算經》時給出的，他用來證明勾股定理的圖案被稱為“趙爽弦圖”.2002年在北京召開的國際數學大會

選它作為會徽.下列圖案中是“趙爽弦圖”的是()

【答案】B

【解析】“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形.

“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示:

【點評】本題主要考查了勾股定理的證明，證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規則的圖

形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理.

13.《孫子算經》中有一道題：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，

木長幾何？”譯文大致是：“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩

余1尺，問木條長多少尺？”如果設木條長x尺，繩子長y尺，可列方程組為.

x+4.5=y

【答案】J1.

x-l=yy

【解析】設木條長x尺，繩子長y尺，根據繩子和木條長度間的關系，可得出關于x,y的二元一次方程

組，此題得解.

設木條長x尺，繩子長y尺，

'x+4.5=y

依題意，得：,1.

x-l=yy

'x+4.5=y

故答案為：,1.

x-l=yy

【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題

的關鍵.

14.我國古代數學著作《增刪算法統宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，

折回索子卻量竿，卻比竿子短一托.”

其大意為：現有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就

比竿短5尺.設繩索長x尺，竿長y尺，則可列方程組為.

x-y=5

【答案】＜1.

y?x=5

【解析】設繩索長X尺，竿長y尺，根據“用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量

竿，就比竿短5尺”，即可得出關于x,y的二元一次方程組，此題得解.

設繩索長x尺，竿長y尺，

x-y=5

依題意得：,1.

y-]x=5

15.匈牙利著名數學家愛爾特希(P.Erdos,1913-1996)曾提出：在平面內有n個點，其中每三個點都

能構成等腰三角形，人們將具有這樣性質的n個點構成的點集稱為愛爾特希點集.如圖，是由五個點A、B、

C、D、0構成的愛爾特希點集(它們為正五邊形的任意四個頂點及正五邊形的中心構成)，則NAQO的度

數是

D

o

【答案】18°

【解析】先證明AAOB烏△BOC之ZiCOD,得出NOAB=NOBA=NOBC=NOCB=NOCD=NODC,

ZAOB=ZBOC=ZCOD,然后求出正五邊形每個角的度數為108°,

從而可得/0AB=/0BA=/0BC=/0CB=/0CD=/0DC=54°,/A0B=/B0C=/C0D=72°,

可計算出/A0D=144°,根據OA=OD,即可求出NAD0.

【詳解】???這個五邊形由正五邊形的任意四個頂點及正五邊形的中心構成，

根據正五邊形的性質可得OA=OB=OC=OD,AB=BC=CD,

AA0Bg△BOC絲ACOD,

：.ZOAB=ZOBA=ZOBC=ZOCB=ZOCD=ZODC,ZA0B=ZB0C=ZC0D,

?.?正五邊形每個角的度數為：「-2）義180=]08。,

5

N0AB=N0BA=N0BC=/0CB=N0CD=N0DC=54°,

：.ZA0B=ZB0C=ZC0D=（180°-2X54°）=72°,

.\ZA0D=360°-3X72°=144°,

,/OA=OD,

/.ZAD0=—（180°-144°）=18°,

2

故答案為：18。.

【點睛】本題考查了正多邊形的內角，正多邊形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，

求出NA0B=NB0C=/C0D=72°是解題關鍵.

16.《九章算術》中有這樣一個題：“今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十.今將錢三十，得

酒二斗.問醇、行酒各得幾何？”其譯文是：今有醇酒（優質酒）1斗，價值50錢；行酒（劣質酒）1斗,

價值10錢.現有30錢，買得2斗酒.問醇酒、行酒各能買得多少？設醇酒為x斗，行酒為y斗，則可列

二元一次方程組為.

x+y=2

【答案】Lc”

50x+10y=30

【解析】設買美酒X斗，買普通酒y斗，根據“美酒一斗的價格是50錢、買兩種酒2斗共付30錢”列出

方程組.

設買美酒X斗，買普通酒y斗,

x+y=2

依題意得:

50%+10y=30

x+y=2

故答案是：\

50x+10y=30

【點睛】考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適

的等量關系，列方程組.

17.我國傳統數學名著《九章算術》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩.問

牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子，問

每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”

根據以上譯文，提出以下兩個問題：

（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

（2）若某商人準備用19兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請問商人有幾種購

買方法？列出所有的可能.

【答案】（1）每頭牛3兩銀子，每只羊2