專題03解決角平分線問題的四種途徑

1.如圖，在AB〃CD中，ZAEC=40°,CB平分/DCE,則NABC的度數為（）

C.30D.40°

2.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=4.點P是邊AC上一動點，過點P作PQ〃AB交BC于

點Q,D為線段PQ的中點，當BD平分/ABC時，AP的長度為（）

3.如圖，在正方形ABCD中，AE平分44c交于點E,點尸是邊AB上一點，連接。尸，若

BE=AF,則NCD尸的度數為（）

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

4.如圖，AB〃CD,CB平分/ECD,若NB=26°,則/I的度數是.

5.如圖，在AABC中，AC=4,ZA=60°,ZB=45°,BC邊的垂直平分線DE交AB于點D,連接CD,則

AB的長為

A

ABBD

6.已知，如圖1,若A。是.45C中N54C的內角平分線，通過證明可得一=—,同理，若AE是

ACCD

ABC中44C的外角平分線，通過探究也有類似的性質.請你根據上述信息，求解如下問題：如圖2,

在，ABC中，8。=2,CD=3,4。是，ABC的內角平分線，則ABC的邊上的中線長/的取值范

圍是________

7.如圖，AB與CD相交于點0,0E是/A0C的平分線，且0C恰好平分/E0B,貝|/A0D=度.

7D

8.如圖，是「ABC的角平分線.若/B=90°,BD=6,則點D到AC的距離是—

BDC

9.四邊形ABCD是平行四邊形,AB=6,ZBAD的平分線交直線BC于點E,若CE=2,貝gABCD的周長為.

10.已知菱形ABCD的面積為2?,點E是一邊BC上的中點，點P是對角線BD上的動點.連接AE,若AE

平分/BAC,則線段PE與PC的和的最小值為,最大值為.

11.如題圖，在中，NA=9O。，作3c的垂直平分線交AC于點。，延長AC至點E,使CE=AB.

(1)若AE=1,求的周長；

(2)若AD=工2D,求tanNABC的值.

3

12.如圖，A6c中，A5=AC,D3的平分線交AC于D,AE/ABC交的延長線于點E,A尸，A3

交BE于點F.

(1)若4c=40。，求NAT之的度數；

(2)若AD=DC=2,求AF的長.

13.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC分別相切于點E,F,B0平分NABC

(1)求證：AB是。0的切線；

(2)若BE=AC=3,。。的半徑是1,求圖中陰影部分的面積.

14.在四邊形ABCD中，對角線AC平分NBAD.

【探究發現】

(1)如圖①，若/BAD=120°,ZABC=ZADC=90°.求證：AD+AB=AC；

【拓展遷移】

(2)如圖②，若/BAD=120°,ZABC+ZADC=180".

①猜想AB、AD、AC三條線段的數量關系，并說明理由;

②若AC=10,求四邊形ABCD的面積.

圖①圖0

專題03解決角平分線問題的四種途徑（解析版）

1.如圖，在AB〃CD中，ZAEC=40°,CB平分/DCE,則NABC的度數為（）

【答案】B

【解析】由兩直線平行，內錯角相等得到NECD=40°，由角平分線的定義得到NBCD=20°,最后根據兩直

線平行，內錯角相等即可得解.

VAB/7CD,ZAEC=40°,

.*.ZECD=ZAEC=40o,

VCB平分NDCE,

AZBCD=AZDCE=20°,

2

VAB//CD,

；.NABC=NBCD=20°.

2.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=4.點P是邊AC上一動點，過點P作PQ〃AB交BC于

點Q,D為線段PQ的中點，當BD平分NABC時，AP的長度為（）

k

Jpc

A?*B.IIC.i|D.32

13

【答案】B.

【解析】根據勾股定理求出AC,根據角平分線的定義、平行線的性質得到NQBD=NBDQ,得到QB=QD,

根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可.

VZC=90°,AB=5,BC=4,

?■?AC=VAB2-BC2=3,

???PQ〃AB,

.\ZABD=ZBDQ,又NABD=NQBD,

AZQBD=ZBDQ,

QB=QD,

???QP=2QB,

VPQ/7AB,

?,.△CPQs/XCAB,

即

ACP=CQ=PQ,CP=4YB=2QB；

CACBAB345

解得，CP=21,

13

:.AP=CA-CP=1L

13

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.

3.如圖，在正方形ABCZ）中，AE平分44c交于點E,點尸是邊AB上一點，連接。尸，若

BE=AF，則NCDE的度數為（）

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

【答案】C

【解析】先利用正方形的性質得到AZ)=A3,ZDAF=ZB=ZADC=90°,4AC=45°,利用角平

分線的定義求得ZBAE,再證得ABEWDAF(SAS),利用全等三角形的性質求得

ZADF=ZBAE=22.5°,最后利用NCW=NAZ)C—NAZ)戶即可求解.

【詳解】：四邊形A3CD是正方形，

.,.AD=AB,ZDAF=ZB=ZADC=90°,ABAC=45°,

,/AE平分/S4c交于點E,

ZBAE=-ABAC=22.5°,

2

在AABE和ADAF中，

AD=AB

<ZDAF=ZB,

BE=AF

.ABE^..DAF（SAS）,

ZADF=ZBAE=22.5°,

：.ZCDF=ZADC-ZADF=90°-22.5°=67.5°,

故選：C

【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質以及角平分線的定義，熟練掌握全等三角形

的判定方法是解題的關鍵.

4.如圖，AB〃CD,CB平分/ECD,若NB=26°,則/I的度數是.

【答案】52°.

【解析】根據平行線的性質得出NB=NBCD=26°,根據角平分線定義求出NNECD=2NBCD=52°,再

根據平行線的性質即可得解.

【解答】解：VAB/7CD,NB=26°,

.\ZBCD=ZB=26°,

VCB平分NECD,

.\ZECD=2ZBCD=52°,

VAB//CD,

.,.Z1=ZECD=52°.

5.如圖，在AABC中，AC=4,NA=60°,NB=45°,BC邊的垂直平分線DE交AB于點D,連接CD,則

AB的長為.

【答案】2+273

【解析】根據線段垂直平分線的性質得到DB=DC,根據三角形的外角性質得到NADC=90°,根據含30。

角的直角三角形的性質求出AD,根據勾股定理求出DC,進而求出AB.

〈DE是BC的垂直平分線,

???DB=DC,

???NDCB=NB=45°,

???NADC=NDCB+NB=90°,

VZA=60°,

???NACD=30°,

1

???AD=—AC=2,

2

由勾股定理得：DC=yjAC2-AD2=V42-22=2^/3,

???DB=DC=25

???AB=AD+DB=2+25

故答案為：2+2出.

【點睛】本題主要考查了三角形外角性質，線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質，勾股定理，熟練

掌握相關知識點是解題的關鍵.

A5BD

6.已知，如圖1,若是.ABC中N54c的內角平分線，通過證明可得一=—,同理，若AE是

ACCD

ABC中44C的外角平分線，通過探究也有類似的性質.請你根據上述信息，求解如下問題：如圖2,

在，ABC中，8。=2,CD=3,4。是，A6C的內角平分線，則A6c的8C邊上的中線長/的取值范

圍是________

【答案】-</<-

22

Afi2

【解析】根據題意得到一=一,反向延長中線AE至尸，使得AE=EF，連接C/,最后根據三角形

AC3

三邊關系解題.

如圖，反向延長中線AE至產，使得AE=M，連接。尸,

BD=2,CD=3,AD^,ABC的內角平分線，

AB2

,AC-3

DE=EC

<ZAEB=ZCEF

AE=EF

.—ABE-FEC(SAS)

:.AB=CF

由三角形三邊關系可知，

AC-CF<AF<AC+CF

:.1<AF<5

【點睛】本題考查角平分線的性質、中線的性質、全等三角形的判定與性質、三角形三邊關系等知識，是

重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵.

7.如圖，AB與CD相交于點0,0E是NA0C的平分線，且0C恰好平分/E0B,則/A0D=度.

E

A/OB

4)

【答案】60

【解析】根據角平分線的定義得出NA0E=NC0E,ZC0E=ZB0C,求出NA0E=NC0E=NB0C,根據NA0E+

ZC0E+ZB0C=180°求出NB0C,再根據對頂角相等求出答案即可.

解：?.?0E是NA0C的平分線，0C恰好平分NE0B,

ZAOE=ZCOE,ZCOE=ZBOC,

???NAOE=NCOE=NBOC,

VZA0E+ZC0E+ZB0C=180°,

???NB0C=60°,

.,.ZA0D=ZB0C=60°.

8.如圖，AD是,ABC的角平分線.若/B=90°,BD=C,則點D到AC的距離是.

【答案】g

【解析】根據角平分線的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，即可求得.

如圖，過D作。石，AC,則D到AC的距離為DE

BDC

AD平分NC4B,ZB=90°,3￡)=百，

DE=BD=6

二點D到AC的距離為百.

【點睛】本題考查了角平分線的性質，點到直線的距離等知識，理解點到直線的距離的定義，熟知角平分

線的性質是解題關鍵.

9.四邊形ABCD是平行四邊形,AB=6,ZBAD的平分線交直線BC于點E,若CE=2,貝gABCD的周長為.

故答案為28.

【分析】由平行四邊形的性質知BC〃AD,由平行線的性質即角平分線的定義可得NBEA=/BAE,進而可求

解BE的長，即可求得BC的長，再根據平行四邊形的周長可求解.

【解答】解：如圖：

?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

；.BC〃AD,

...NBEA=NEAD,

：AE平分/BAD,

.\ZBAE=ZEAD,

.\ZBEA=ZBAE,

.?.BE=AB,

VAB=6,

.\BE=6,

：CE=2,

；.BC=BE+CE=6+2=8,

，平行四邊形ABCD的周長為：2義(6+8)=28,

10.已知菱形ABCD的面積為2?,點E是一邊BC上的中點，點P是對角線BD上的動點.連接AE,若AE

平分NBAC,則線段PE與PC的和的最小值為,最大值為.

【答案】V3；2+V7-

【解析】由點E是一邊BC上的中點及AE平分/BAC,可得AABC是等邊三角形，根據菱形ABCD的面積為

2正，可得菱形的邊長為2；求PE+PC的最小值，點E和點C是定點，點P是線段BD上動點，由軸對稱最

值問題，可求出最小值；求和的最大值，觀察圖形可知，當PE和PC的長度最大時，和最大，即點P和點

D重合時，PE+PC的值最大.

解：根據圖形可畫出圖形，如圖所示，

過點B作BF〃AC交AE的延長線于點F,

.\ZF=ZCAE,ZEBF=ZACE,

:點E是BC的中點，

.".△ACE^AFBE(AAS),

；.BF=AC,

：AE平分NBAC,

；.NBAE=/CAE,

.\ZBAE=ZF,

；.AB=BF=AC,

在菱形ABCD中，AB=BC,

；.AB=BC=AC,即aABC是等邊三角形；

AZABC=60°,

設AB=a,則BD=J^a,

，菱形ABCD的面積="|_AOBD=2?,艮口衣.a，A/§a=2?，

：.a=2,即AB=BC=CD=2；

?.?四邊形ABCD是菱形，

二點A和點C關于BD對稱，

；.PE+PC=AP+EP,

當點A,P,E三點共線時，AP+EP的和最小，此時AE=y；

點P和點D重合時，PE+PC的值最大，此時PC=DC=2,

過點D作DGLBC交BC的延長線于點G,連接DE,

VAB/7CD,NABC=60°,

.?.ZDCG=60°,

???CG=1,DG=?,

EG=2,

=22=2

ADEVEG+DG72+(V3)2=77)

此時PE+PC=2+V7;

即線段PE與PC的和的最小值為近；最大值為2+77-

故答案為：V3；2+77-

11.如題20圖，在RtAABC中，NA=90。，作3c的垂直平分線交AC于點D,延長AC至點E,使CE=AB.

(1)若AE=1,求"50的周長；

(2)若=求tanZABC的值.

3

【答案】見解析。

【解析】(1)如圖，連接即，設3c垂直平分線交3c于點

QDP為3c垂直平分線,

BD=CD,

、ABD=AB+AD+BD

=AB+AD+DC

=AB+AC,

QAB=CE,

^/\ABD=AC+CE=AE=1.

(2)設=:.BD=3x,

又QBD=CD,.\AC=AD+CD=4x,

在Rt/XABD中，AB=^BUr-AD1=^xf-x2=242x.

tanZABC=-=^^^72.

AB2缶

12.如圖，A6c中，A5=AC,E>3的平分線交AC于D,AE/ABC交友）的延長線于點E,A尸，A3

交BE于點F.

(1)若NB4C=40。，求NAFE的度數;

(2)若AD=DC=2,求AF的長.

4/~

【答案】(1)ZAFE=125°；(2)AF=-V3.

3

【解析】（1）先根據等腰三角形的性質及角平分線的性質求出NABC,ZABD，再根據垂直與外角的性

質即可求出NAFE；

（2）根據題意證明_ADEZ_CD3,再得到AA6C為等邊三角形，故可得到NASD=30。，可根據三

角函數的性質即可求出AF.

【詳解】(1)VAB=AC,ZBAC=4Q°,

???45C=%<=7。。.

???3。平分NABC，

ZABD=ZDBC=L70°=35°,

2

9：AF±AB,

，ZBAF=90°，

：.ZAFE=ZBAF+ZABD^9Q°+35°=125°.

(2)-：AE//BC,

：.NE=NDBC,

又ZADE=/CDB,AD=CD

.ADE^CDB,

AE=CB,

?：NE=ZDBC,ZABD=ZDBC

/.ZE=ZABD,

AB=AE，

AB-CB=AC,

二，ABC為等邊三角形，

ZABC=60°,

AZABD=30°,

AD^DC=2,

AB=4，

在RtABE中，AF=AB-tan30°=4x^-=-73

33

【點睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關鍵是熟知等腰三角形、等邊三角形的判定與性質、三角函

數的應用.

13.如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC分別相切于點E,F,B0平分NABC

(1)求證：AB是。0的切線；

(2)若BE=AC=3,。。的半徑是1,求圖中陰影部分的面積.

【答案】見解析。

【解析】(1)有切點則連圓心，證明垂直關系；無切點則作垂線，證明等于半徑;

(2)將不規則圖形轉化為規則圖形間的換算.

【解答】(1)證明：

連接OE,OF,

；B0是NABC的平分線，

.,.OD—OE,0E是圓的一條半徑，

；.AB是。0的切線，

故：AB是。0的切線.

(2)VBC,AC與圓分別相切于點E,

.\OE±BC,0FXAC,

四邊形OECF是正方形，

.\OE=OF=EC=FC=1,

ABC—BE+EC—4,又AC—3,

=

S陰影=—(SAABC-S正方形OECF-優弧所對的S扇形EOF)

2

2

=8.xf127QXnxl)

~2-2360

一3一3萬

24-

故圖中陰影部分的面積是：區-”.

28

14.在四邊形ABCD中，對角線AC平分NBAD.

【探究發現】

(1)如圖①，若/BAD=120°,ZABC=ZADC=90°.求證：AD+AB=AC；

【拓展遷移】

(2)如圖②，若/BAD=120°,ZABC+ZADC=180°.

①猜想AB、AD、AC三條線段的數量關系，并說明理由;

②若AC=10,求四