專題08數式圖規律型中考問題

1.生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型.在營養和生存空間沒有限制

的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示.即：21=2,爐=4,2，=8,24

=16,25=32,……，請你推算2?儂的個位數字是（）

A.8B.6C.4D.2

2.觀察下列樹枝分杈的規律圖，若第n個圖樹枝數用Y0表示，則丫廠丫4=（）

第1個圖第2個圖力=3第3個圖巧=7第4個圖居=15

A.15X24B.31X24C.33X24D.63X24

3.已知ai為實數，規定運算：a2=l-」ja3=l-a4=l-a5=l-???,a?=l-------按

ala2a3a4an-l

上述方法計算：當&=3時，出必的值等于（）

A.-2B.A.c.-AD.2

3323

4.由12個有公共頂點。的直角三角形拼成的圖形如圖所示，ZA0B=ZB0C=-=ZL0M=30°.若0A=

16,貝ij0G的長為()

c.平D.苧

5.觀察下列各項：1工，21,3」，4工，…，則第n項是

24816

6.一組按規律排列的代數式：a+2b,a2-2b3,a3+2b5,a4-2b7,則第n個式子是

7.有2019個數排成一行，對于任意相鄰的三個數，都有中間的數等于前后兩數的和.如果第一個數是0,

第二個數是1,那么前6個數的和是—，這2019個數的和是.

8.有一列數，按一定規律排列成1,-2,4,-8,16,-32,其中某三個相鄰數的積是4%則這三

個數的和是

9.按規律排列的一組數據：1,旦，□,工，a,紅，…，其中□內應填的數是（）

25172637

A.2B.-Lc.立D.工

31192

10.如圖，NAO5=60。，點耳在射線。4上，且。6=1,過點A作4K］，。4交射線于&,在射

線Q4上截取《鳥，使《￡=《&；過點鳥作EK2，。!交射線于6,在射線Q4上截取鳥月，使

P2P3=P2K2,按照此規律，線段^023^2023的長為—

1L如圖圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規律所組成的，其中第①個圖形中一共有3個菱形，第②個

圖形中一共有7個菱形，第③個圖形中一共有13個菱形，…，按此規律排列下去，第⑦個圖形中菱形的

個數為________

,已知按一定規律排列的一組數：2100,2101,2102,2199,若2吶=01,用含m的代數式表示這組數的和

是.

13.如圖，正方形ABCBi中，AB=、/§,AB與直線1所夾銳角為60°,延長CBi交直線1于點A”作正方形

AIBICIB2,延長CR交直線1于點Az,作正方形A2B2GB3,延長C2B3交直線1于點As,作正方形A3B3C3B4--

依此規律，則線段A2MA2021

14.如圖，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,連接AC,過點D作DC」AC于點Q,以QA,3D為鄰邊作矩

形AA1DQ,連接AC,交AD于點6,過點D作DCz^AC于點C?,交AC于點3,以CMCD為鄰邊作矩形

AIA2DC2,連接A2c2,交A?于點%過點D作DC3，A&于點C3,交AC于點岫；以C3ACJ）為鄰邊作矩形

A人DCs,連接A3c3,交A?D于點O3,過點D作DC」A3c3于點C4,交AzC,于點岫…若四邊形A0￡2Ml的面積為

S1,四邊形AQ2C3岫的面積為SZ,四邊形A203c4M3的面積為S3…四邊形AI0G+1M,的面積為Sn,則Sn=

.（結果用含正整數n的式子表示）

后

15.如圖，在平面直角坐標系中，點耳的坐標,將線段。耳繞點。按順時針方向旋轉45°,再

將其長度伸長為。片的2倍,得到線段。鳥；又將線段?！昀@點。按順時針方向旋轉45。，長度伸長為0Pl

的2倍，得到線段。鳥；如此下去，得到線段。舄、OP5,……，OPn（〃為正整數），則點《020的坐標

16.將一些相同的按如圖所示的規律依次擺放，觀察每個“龜圖”的的個數，則第30個“龜

，

則用,2

,（疊B?線

四，z.折3AB

A2?A為

點上BR

，”

軸A—A至點

形X

點為沿得,若.

角,i3

在BB.）

三形標Q疊3?

都AAQ示

邊角坐

,△折，表

等三的,B,

40將zB…子

的角BAA,

，，3式

上直點沿Q

…氏?,的

軸則BB,

,腰,點QA2n

x3AQ

A等上于與有

在的N△

邊，象O別點含

上將

一4圖線,分用

軸的?,于（

是，）射BH

X0

都A0交點交

在>M線,為

,點O于?

邊xN射B

1

4，O+

斜L」作n

上B】線積

紇是=部A

1象yA射

-都內

oOA圖n數作交

BMN面

△的A函人00,

OOOO，）-點M3B

0n例±N4A

OOOOO…〉A比過B2的

2在,i

OOOO,x△反，A2+

4（，BA

在上作3A

oO42XM?去Q

3都0AP

4,n下,w

=BB點BA

BS,線行A

△y過形

oO…射進與

數M,;邊

,3在法

-OOO函AB上別

-OOO兒,4M作四

例,20分

與2B點此則

比B2”線又,

oO4AB,按

反1射^

△A點…=

在△,°在

9，0；…i

oO都,上3落,A

A1=2上3

個BAM0

OOO用紇1軸N0P

，Ax0點,，

oO。0M,線2

…A在NiP點

△,，B射

，,都A,i中

有3圖,圖A在P

圖8A的

中OOO,△落點B

如如如2

COO.,.….A于A

728,9到

圖3

1B1A1得點交段

M

且4

H

。3

4

20.如圖，點氏在直線1：y=』x上，點Bi的橫坐標為2,過點Bi作BiA」L交x軸于點A”以AB為邊,

2

向右作正方形AiBiB￡”延長B2cl交x軸于點Az；以A2B2為邊，向右作正方形ABB3c2,延長B3c2交x軸于點

A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3,延長B￡s交x軸于點4；…；照這個規律進行下去，則第n個正

方形ABB.）的邊長為（結果用含正整數n的代數式表示）.

21.如圖，直線/：y=/x+月與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,過點B作3C］交x軸于點C-

過點C,作BjQlx軸交/于點與，過點用作4c2交x軸于點C2,過點C2作坊。2，x軸交/于點

B?…,按照如此規律操作下去，則點為022的縱坐標是—

22.如圖，一次函數y=x與反比例函數y=」（x>0）的圖象交于點A,過點A作AB_L0A,交x軸于點B；

x

作BA/0A,交反比例函數圖象于點A］；過點A［作AiBiLAiB交x軸于點B；再作B】A2〃BAI,交反比例函數

圖象于點A2,依次進行下去，…，則點A?⑼的橫坐標為

23.古希臘數學家定義了五邊形數，如下表所示，將點按照表中方式排列成五邊形點陣，圖形中的點的個

512第二行

223551第三行

觀察這個數表，則這個數表中的第八行從左至右第2個數為.

24.如圖，直線1：y=-瓜x-返與x軸交于點R,以OBi為邊向上作等邊AAOBi過

33

點Ai作A1B2平行于x軸，交直線1于點B?以AB為邊向上作等邊△AzAB,過點A2

作A2B3平行于X軸，交直線1于點B3,以A2B3為邊向上作等邊AA3A2B3,…，則Aa的

坐標是（用含正整數n的代數式表示）

25.如圖，點4,4,43在反比例函數丁=工（1>0）的圖象上，點用,32,53—4在3;軸上，且

X

NBQA=ZB2B,A,=NB3B居=…，直線y=x與雙曲線y=1交于點

X

4，4A，。、，與4，54,834，32A2…，則紇（n為正整數）的坐標是（）

A.QG,O）B.（0,7^）c.（0,j2〃5+D）D.（0,2G）

26.如圖，菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=1,延長CD至A”使DAi=CD,以A￡為一邊，在BC的延長

線上作菱形AiCCD,連接AAi,得到△ADA"再延長CD至A?,使1）也=。立，以A2a為一邊，在CQ的延長

線上作麥形A2cle2D2,連接A1A2,得到△A1D1A2…按此規律，得至!]4人2020口2020人2021，記AADAI的面積為Si,△A1D1A2

的面積為S2…，△人2020口2020人2021的面積為$2021,則$2021=.

27.如圖，在平面直角坐標系中，AABC的頂點坐標分別為：4（—2,0）,B（l,2）,C（l,-2）.已知

N（—1,0）,作點N關于點A的對稱點N一點N1關于點3的對稱點N2,點N?關于點。的對稱點AG，

點N,關于點A的對稱點N“點N,關于點3的對稱點N5,…，依此類推，則點憶。20的坐標為

y

專題08數式圖規律型中考問題（解析版）

1.生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型.在營養和生存空間沒有限制

的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示.即：21=2,爐=4,2，=8,24

=16,25=32,……，請你推算2?儂的個位數字是（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】利用已知得出數字個位數的變化規律進而得出答案.

V21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…,

尾數每4個一循環，

,.,2022-^4=505....2,

；.22022的個位數字應該是：4.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了尾數特征，根據題意得出數字變化規律是解題關鍵.

2.觀察下列樹枝分杈的規律圖，若第n個圖樹枝數用Y0表示，則丫廠匕=（）

第1個圖力=1第2個圖巧=3第3個圖力=7第4個圖&=15

A.15X24B.31X24C.33X24D.63X24

【答案】B

【解析】根據已知圖中規律可得：Y?=1+2+2Z+23+24+25+26+27+???+2--1,相減可得結論.

由題意得：

第1個圖：Yi=l,

第2個圖：Y2=3=l+2,

2

第3個圖：Y3=7=l+2+2,

第4個圖：丫4=15=1+2+2,23,

Z345678

第9個圖：Y9=1+2+2+2+2+2+2+2+2,

45678423444

.".Ye-￥4=2+2+2+2+2=2(1+2+2+2+2)=2X(3+4+8+16)=2X31.

3.已知ai為實數，規定運算：，a3=l-a4=l-a5=l-???,a?=l-------按

ala2a3a4an-l

上述方法計算：當ai=3時，a2M的值等于（)

A-4B-3c-4"I

【答案】D

【解析】化簡前幾個數，得到a.以三個數為一組，不斷循環,因為2021+3=673...2,所以a“=a2,再

代數求值即可.

解：ai=ai.

a2=]-」-

a1

a3=l--1

1士Ta?-11-a?

al

a4=l-(1-8a)—a，if

.?.a。以三個數為一組，不斷循環,

V20214-3=673...2,

i-工=1-

??a2021

@133

4.由12個有公共頂點0的直角三角形拼成的圖形如圖所示,ZA0B=ZB0CZL0M=30°.若0A=

16,貝0G的長為（

C.竽D.苧

44

【答案】A

【解析】由A0B=ZB0C=-=ZL0M=30°，ZAB0=ZBC0ZLM0=90°，可知AB：OB：OA=BC：

0C：OB=-=FG：0G：0F=l：2,由此可求出0G的長.

解：由圖可知，ZAB0=ZBC0=-=ZLM0=90°,

VA0B=ZB0CZL0M=30°,

.\ZA=Z0BA=ZBCDZ0LM=60°,

.??AB=」OA,OB=V^AB=?)A,

22

同理可得，OC=?ZloB=(返)20A,

22

0D=2Z2oC=(返)30A,

22

OG=2Z1OF=(返)60A=(返)6X16=2.

2224

5.觀察下列各項：12，21,31,4」_,…，則第n項是

24816

【答案】nX.

2n

【解析】根據題目中數字的特點，可以發現數字的整數部分是連續的整數，從1開始，而分數部分的分母

是2的n次方，n從1開始，分子都是1,然后即可寫出第n項對應的數字.

;一列數為1工，21,3-1,4工，…，、

24816

,這列數可以寫成：2-L,3-L,4-L,…，

21222324

.,.第n項是n—.

2n

6.一組按規律排列的代數式：a+2b,a2-2b3,a3+2b5,a4-2b7,則第n個式子是.

【答案】an+(-D^^b2"-1.

【解析】根據已知的式子可以得到每個式子的第一項中a的次數是式子的序號；第二項的符號：第奇數項

是正號，第偶數項是負號；第二項中b的次數是序號的2倍減1,據此即可寫出.

觀察代數式,得到第n個式子是:a“+(-l)n+1-2b2n-1.

7.有2019個數排成一行，對于任意相鄰的三個數，都有中間的數等于前后兩數的和.如果第一個數是0,

第二個數是1,那么前6個數的和是—，這2019個數的和是—.

【答案】0,2.

【解析】根據題意可以寫出這組數據的前幾個數，從而可以數字的變化規律，本題得以解決.

由題意可得，

這列數為：0,1,1,0,-1,-1,0,1,1,

.??前6個數的和是：0+1+1+0+(-1)+(-1)=0,

V20194-6=336-3,

.?.這2019個數的和是:0X336+(0+1+1)=2.

【點評】本題考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現題目中數字的變化規律，每六個數重

復出現.

8.有一列數，按一定規律排列成1,-2,4,-8,16,-32,其中某三個相鄰數的積是4*則這三

個數的和是.

【答案】-384.

【解析】根據題目中的數字，可以發現它們的變化規律，再根據其中某三個相鄰數的積是4匕可以求得這

三個數，從而可以求得這三個數的和.

;一列數為1,-2,4,-8,16,-32,…，

這列數的第n個數可以表示為(-2)-1,

???其中某三個相鄰數的積是412,

二設這三個相鄰的數為(-2)…、(-2)\(-2)n+1,

則(-2)(-2)"?(-2)n+1=412,

即(-2)3n=(22)12,

(-2)3n=29

；.3n=24,

解得，n=8,

這三個數的和是：

(-2)7+(-2)8+(-2)9=(-2)7X(1-2+4)=(-128)義3=-384,

故答案為：-384.

【點評】考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現題目中數字的變化規律.

9.按規律排列的一組數據：X1,□,工，--9--,-1--1,..?,其中□內應填的數是()

25172637

A.2B.-LC.反D.A

31192

【答案】D

【解析】分子為連續的奇數，分母為序號的平方+1,根據規律即可得到答案.

觀察這排數據發現：分子為連續的奇數，分母為序號的平方+1,

第n個數據為：組工.

n2+l

當n=3時，口的分子為5,分母=341=10,

.,.這個數為巨=工

102

10.如圖，NAOfi=60。，點4在射線Q4上，且。片=1,過點6作交射線于&,在射

線Q4上截取耳舄，使《鳥=《&；過點鳥作鳥(，。4交射線于(，在射線Q4上截取乙巴，使

P2P3=P2K2.按照此規律，線段^023^2023的長為.

【答案】百（1+6廣

【解析】解直角三角形分別求得P2K2,P3K3,……，探究出規律，利用規律即可解決問題.

±OA,

是直角三角形，

在放中，ZAOB=60°,。片=1,

片鳥=耳&=.tan60。=G,

詠±OA,P1K21OA,

P}KX//P2K2,

:.AOP2K,s△ORK[,

.1K2OP1

OP,,

P2K2_1+73

丁’

同理可得：鳥（=6（1+0J,舄犬4=行（1+月……,

???2與=頻+可,

；,Eo23K2023=>

故答案為：73（1+A/3）2<）22.

【點睛】本題考查了圖形的規律，解直角三角形，平行線的判定，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵

是學會探究規律的方法.

11.如圖圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規律所組成的，其中第①個圖形中一共有3個菱形，第②個

圖形中一共有7個菱形，第③個圖形中一共有13個菱形，…，按此規律排列下去，第⑦個圖形中菱形的

個數為.

BB（DEB②BB④

【答案】57

【解析】根據題意得出第n個圖形中菱形的個數為"+〃+1；由此代入求得第⑦個圖形中菱形的個數.

【詳解】解：第①個圖形中一共有3個菱形，3=F+2；

第②個圖形中共有7個菱形，7=2?+3;

第③個圖形中共有13個菱形，13=3?+4；

第n個圖形中菱形的個數為：/+“+1；

則第⑦個圖形中菱形的個數為7?+7+1=57.

【點撥】本題考查了整式加減的探究規律一圖形類找規律，其關鍵是根據已知圖形找出規律.

12.觀察等式：2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=25-2,已知按一定規律排列的一組數：2嗎

2叱2號…，2叱若2^=!!!,用含m的代數式表示這組數的和是.

【答案】m2-m.

【解析】歸納出數字的變化規律，給已知數列求和，并用含m的代數式表示出來即可.

由題意得：

(2+22+23+--+2199)-(2+22+23+---+299)，

ZQ100\2_QIOO

=m-m

13.如圖，正方形ABCBi中，AB=“，AB與直線1所夾銳角為60°,延長CBi交直線1于點A”作正方形

AIBICIB2,延長ABz交直線1于點A2,作正方形ABC2B3,延長交直線1于點As,作正方形A3B3C3B4--

依此規律，則線段A2020A2021=_______________.

【解析】根據題意可知圖中斜邊在直線1上的直角三角形都是含30度角的直角三角形，根據其性質得出

三邊的長度，以此類推可找到規律：A?B?=（返）A…A0=2AB=2義（返）….

33

解：根據題意可知AB尸AB=夷，ZBiAAi=90°-60°=30°,

tanZBiAAi=-^—5-=^?.,

AB13

.\AiBi=ABiX-^=V3X-^=1,AAi=2AA=2,

33__

A2B2=A1B2XY%=A1B1X返=返，A!A2=2A2B2=2X運，

3333_

22

A3B3=A2B3x=A2B2X=V3_X=（返）,A2A3=2A3B3=2X（返）,

333

2020

2020,A020A0l=2A021B0l=2X(返)

??A2021B2021=A2020B2021x222222

3

14.如圖，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,連接AC,過點D作DG^AC于點3,以QA,3D為鄰邊作矩

形AAiDQ,連接AC,交AD于點6,過點D作DCzLAC于點C2,交AC于點岫，以GA1,C?D為鄰邊作矩形

A1A2DC2＞連接A2c2,交AD于點O2,過點D作DCsLA2c2于點Cs,交AQ于點M?；以CMCQ為鄰邊作矩形

A人DCs,連接A3c3,交A?D于點O3,過點D作DC」A3c3于點C&,交A?C?于點岫…若四邊形A0G山的面積為

Su四邊形AQC3M2的面積為S2,四邊形A203aM3的面積為Ss…四邊形A.Q蠢+M的面積為S?,則Sn=

（結果用含正整數n的式子表示）

9x4"-1

【答案】

5，田

ABBC正，進而得出D&

【解析】根據四邊形ABCD是矩形，可得AC=J?,運用面積法可得DC1

AC5

o999X4”T

得出S尸一。C；,……，S?=—DC,>—

2020205n+1

【詳解】:?四邊形ABCD是矩形,

AZB=90°,AD〃BC,AD=BC=2,CD=AB=L

2222

，AC=7AB+BC=Vl+2=A/5，

：DCjAC=AB?BC,

AB-BC1x22J5

二?DC尸--------=F=2,

ACJ55

同理，DCz=^DCi=（也）2,

55

DC3=（拽）3,

5

DQ=（亭）n,

D