考前突破06二次函數(shù)與幾何綜合題（4大必考題型）

題型一：與線段有關(guān)問題

題型二：與面積有關(guān)問題

題型三：與角度有關(guān)問題

題型四：與特殊圖形存在性有關(guān)問題

/

,浦淮理分

題型一：與線段有關(guān)問題

【中考母題學(xué)方法】

1.（2024?山東淄博?中考真題）如圖，拋物線>=加+法+3與x軸相交于4（M,0）,3k,0）兩點（點A在

點8的左側(cè)），其中▲，X?是方程彳2一2%-3=0的兩個根，拋物線與>軸相交于點C.

⑴求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）已知直線/：y=3x+9與x,>軸分別相交于點D,E.

①設(shè)直線與/相交于點F,問在第三象限內(nèi)的拋物線上是否存在點P,使得NPBP=NDFB?若存在,

求出點尸的坐標；若不存在，說明理由；

②過拋物線上一點M作直線BC的平行線.與拋物線相交于另一點N.設(shè)直線MB,NC相交于點。.連接

QD,QE.求線段QD+QE的最小值.

2.(2023嘿龍江綏化?中考真題)如圖，拋物線％=72+法+。的圖象經(jīng)過A(-6,0),B(-2,0),C(0,6)三點,

⑴求拋物線和一次函數(shù)的解析式.

(2)點E,歹為平面內(nèi)兩點，若以E、F、B、C為頂點的四邊形是正方形，且點E在點尸的左側(cè).這樣的E,

產(chǎn)兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標：如果不存在，請說明理由.

(3)將拋物線％=/+6x+c的圖象向右平移8個單位長度得到拋物線內(nèi)，此拋物線的圖象與％軸交于M,N

兩點(M點在N點左側(cè)).點P是拋物線％上的一個動點且在直線NC下方.己知點P的橫坐標為小.過點

「作PDLNC于點。.求機為何值時，CO+gp。有最大值，最大值是多少？

Q

3.(2023遼寧?中考真題)如圖，拋物線y=^+|x+c與無軸交于點A和點3(3.0),與y軸交于點C(0,4),

點尸為第一象限內(nèi)拋物線上的動點過點P作無軸于點E,交2C于點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當?shù)闹荛L是線段PP長度的2倍時，求點P的坐標；

⑶當點尸運動到拋物線頂點時，點。是y軸上的動點，連接8。，過點8作直線連接。尸并延長交

直線/于點M.當=時，請直接寫出點。的坐標.

4.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特,中考真題）探究函數(shù)y=-2|x「+4國的圖象和性質(zhì)，探究過程如下:

⑴自變量》的取值范圍是全體實數(shù)，尤與y的幾組對應(yīng)值列表如下

_523

XL-2_2-1012L

~2~2~2222

_523_23__5

yL0m020L

~22222~2

其中，m=.根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標系中，通過描點畫出了函數(shù)圖象的一部分,

請畫出該函數(shù)圖象的另一部分.觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

（2）點尸是函數(shù)y=-2|x「+4國圖象上的一動點，點4（2,0）,點8（-2,0）,當為皿=3時，請直接寫出所有

滿足條件的點尸的坐標；

⑶在圖2中，當x在一切實數(shù)范圍內(nèi)時，拋物線y=-2/+4x交x軸于0,A兩點（點。在點A的左邊），

點P是點Q（L0）關(guān)于拋物線頂點的對稱點，不平行>軸的直線/分別交線段。尸，"（不含端點）于N

兩點.當直線/與拋物線只有一個公共點時，PAf與PN的和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請

說明理由.

5.（2023?遼寧丹東?中考真題）拋物線y=aY+bx-4與無軸交于點A（y。），B（2,0）,與y軸交于點C.

⑴求拋物線的表達式；

（2）如圖，點。是拋物線上的一個動點，設(shè)點。的橫坐標是根（-4〈加＜2）,過點。作直線DEL龍軸，垂足

為點E,交直線AC于點?當O,E,歹三點中一個點平分另外兩點組成的線段時，求線段。尸的長；

⑶若點P是拋物線上的一個動點（點尸不與頂點重合），點M是拋物線對稱軸上的一個點，點N在坐標平

面內(nèi)，當四邊形CMPN是矩形鄰邊之比為1:2時，請直接寫出點尸的橫坐標.

6.（2024?遼寧?中考真題）已知％是自變量x的函數(shù)，當%=盯1時，稱函數(shù)為為函數(shù)為的"升塞函數(shù)".在

平面直角坐標系中，對于函數(shù)％圖象上任意一點4相,"），稱點B（北加〃）為點A"關(guān)于％的升哥點”，點B在

函數(shù)X的"升基函數(shù)"上的圖象上.例如：函數(shù)3=2x,當%=孫|=片2了=2/時，則函數(shù)%=2/是函數(shù)

%=2x的"升幕函數(shù)在平面直角坐標系中，函數(shù)％=2元的圖象上任意一點A（〃z,2機），點2療）為點A

"關(guān)于%的升累點”，點B在函數(shù)％=2x的"升募函數(shù)"y2=2x2的圖象上.

3

（2汝口圖1,點A在函數(shù)弘=—（尤＞0）的圖象上，點A"關(guān)于丹的升幕點"8在點A上方，當筋=2時，求點A的

坐標；

⑶點A在函數(shù)必=r+4的圖象上，點A〃關(guān)于丹的升基點〃為點3,設(shè)點A的橫坐標為加.

①若點8與點A重合，求優(yōu)的值；

②若點B在點A的上方，過點8作無軸的平行線，與函數(shù)外的"升哥函數(shù)"內(nèi)的圖象相交于點C，以A3,BC

為鄰邊構(gòu)造矩形ABCD,設(shè)矩形A3CD的周長為V,求＞關(guān)于〃?的函數(shù)表達式；

③在②的條件下，當直線y=4與函數(shù)y的圖象的交點有3個時，從左到右依次記為E,尸，G,當直線y=L

與函數(shù)y的圖象的交點有2個時，從左到右依次記為M,N,若硬=MN,請直按耳出馬-%的值.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.(2024.廣東.模擬預(yù)測)綜合探究

如圖，在平面直角坐標系中.直線y=kx(kK0)與拋物線丫=以2+。(。H0)交于4(8,6),3兩點，點8的橫

坐標為-2.

“B

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸是直線A3下方拋物線上一動點，過點尸作x軸的平行線，與直線交于點C.連接尸O,設(shè)點尸的

橫坐標為機.

①若點尸在x軸上方，當加為何值時，OC=CP；

②若點尸在x軸下方，求△POC周長的最大值.

2.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）【背景】如圖，二次函數(shù)丫="2+酎+3的圖象經(jīng)過點41,0）和8（3,0）,與丁

軸相交于點C.已知位于點B右側(cè)圖象上有一動點P,并且射線以、尸3分別交y軸于點。、點E.

（1）求二次函數(shù)表達式；

【特例】

（2）當點P的橫坐標為4時，線段。E、CD有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

【思考】

（3）當點尸為點B右側(cè)圖象上任意一點，（2）中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由.

3.（2025?廣東?模擬預(yù)測）如圖在平面直角坐標系中，直線/與無軸交于點A（4,0）,與y軸交于點3（0,T）,

拋物線經(jīng)過點A,B,且對稱軸是直線x=l.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點尸是直線/下方拋物線上的一動點，過點P作尸軸，垂足為C,交直線/于點。，求DP的最大值

及此時P的坐標；

（3）在（2）的條件下，過點P作尸垂足為求的最大值.

2

4.（2024.黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線＞=-§（彳-3）9'+k與x

軸交于點A、B,與y軸的正半軸交于點C,且AB=12.

⑴如圖1,求人的值；

（2）如圖2,點尸在第一象限對稱軸右側(cè)的拋物線上，尸石〃左軸交射線于點E,設(shè)點尸的橫坐標為線

段EP的長為d,求d關(guān)于f的函數(shù)解析式（不要求寫自變量t的取值范圍）；

（3）如圖3,在（2）的條件下，作PZlx軸交無軸于點Z,點尸在線段3D上，且/^=亞刊7,FQ±BC,

10

交直線反于點。，當尸。=8時，R是線段CO上的一點，過點R作RG平行于x軸，與線段P。交于點G,

連接OG、OQ,恰好使NGOQ=45。，延長QR交拋物線于點H,連接A”，求線段A”的長.

5.(2024?山西?模擬預(yù)測)綜合與探究

13

在平面直角坐標系中，已知拋物線丁=5——萬元―2與X軸分別交于A,8兩點(點A在點8的左邊)，與y

(1)求點A和點C的坐標和直線BC的解析式;

DF

(2)如圖1,點。為第四象限拋物線上一點，連接AD,交2C于點E,求益的最大值;

(3)如圖2,連接AC,BC,過點。作直線/〃BC,點P,。分別為直線/和拋物線上的點，試探究：在第一

象限是否存在這樣的點P,Q，使PQBsCAB.若存在，請求出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在,

請說明理由.

6.(2024?湖北武漢.模擬預(yù)測)拋物線>=女2+如+。交工軸于點4(-1,0),3(3,0),與>軸交于點C(0,-4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖(1),連接BC,。是拋物線第四象限內(nèi)一點，直線A。交8c于尸，交y軸于點。，若CP=CQ,

求。點坐標；

(3)如圖(2),經(jīng)過第四象限的直線":丫二履+,交拋物線于點石，F(xiàn),交V軸于點G,作平行四邊形3FG4,

連接E",若EHLx軸，當點。到跖距離的最大時，求”的值.

7.(2024.山西.一模)拋物線、=混+法-3過點4-1,0),點8(3,0),與y軸交于C點.

(1)求拋物線的表達式及點C的坐標；

⑵如圖1,設(shè)M是拋物線上的一點，若NMAB=45。，求M點的坐標；

(3)如圖2,點尸在直線BC下方的拋物線上，過點尸作軸于點。，交直線2C于點E,過P點作尸尸，BC,

交BC與尸點，！尸跖的周長是否有最大值，若有最大值，求出此時尸點的坐標.若不存在，說明理由.

8.(2024廣東?模擬預(yù)測)如圖，拋物線》=辦2+法+。交軸于點4(-1,0),3(3,0),交>軸于點C,ZCAB=60°,

點E是線段AB上一動點，作EF〃AC交線段2C于點

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,延長線段所交拋物線于點G,點。是AC邊中點，當四邊形ADGF為平行四邊形時，求出G點

坐標；

⑶如圖2,M為射線所上一點，且=將射線所繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60。，交直線AC于點N,連

接MN,P為的中點，連接AP,8P,問：AP+3P是否存在最小值，若存在，請求出這個最小值，若

不存在，請說明理由.

9.(2024?河北張家口?模擬預(yù)測)如圖，二次函數(shù)y=gx2+6x+c的圖象交x軸于A、。兩點，并經(jīng)

過B點，已知A點坐標是(2,0),B點坐標是(&6).求二次函數(shù)的解析式；求函數(shù)圖象的頂點坐標及。點

的坐標；二次函數(shù)的對稱軸上是否存在一點C,使得△CBD的周長最小？若C點存在，求出C點的坐

標；若C點不存在，請說明理由.

10.(2023?湖北黃石?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a?+bx+c與％軸交于兩點

A(—3,0),3(4,0),與y軸交于點C(0,4).

(1)求此拋物線的解析式;

(2)已知拋物線上有一點P6,%),其中為＜。，^ZCAO+ZABP=90°,求為的值;

(3)若點。，E分別是線段AC,A3上的動點，且AE=2CD,求CE+2皿的最小值.

11.(2024?四川南充?模擬預(yù)測)如圖，已知拋物線y=a/+羋x+c與x軸交于A(T,0)、8兩點，與y軸

交于點C,OC=y/3OA.

圖I圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點尸為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接尸C,當NPCB=2NOC4時，求點尸的坐標.

(3)如圖2,過點A作3c交拋物線于點D,已知點M是線段BC上方拋物線上一點，過點M作MN〃y

軸，交AD于N,在線段AC、4。上分別有兩個動點E、F,EF=2,G是跖的中點，當MN+DN取得最

大值時，在線段2C上是否存在一點"，使得“G+HN的值最小？若存在，請求出“G+HN的最小值；若

不存在，請說明理由.

題型二：與面積有關(guān)問題

【中考母題學(xué)方法】

1.(2024?江蘇徐州?中考真題)如圖，A、B為一次函數(shù)＞=-x+5的圖像與二次函數(shù)y=Y+6x+c的圖像的

公共點，點A、8的橫坐標分別為0、4.尸為二次函數(shù)y=f+法+。的圖像上的動點，且位于直線的下

方，連接24、PB.

⑴求b、c的值；

(2)求P4B的面積的最大值.

2.(2024?山東東營?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=W+6無+c與x軸交于A(-1,0),

8(2,0)兩點，與y軸交于點C,點。是拋物線上的一個動點.

⑴求拋物線的表達式；

(2)當點。在直線8C下方的拋物線上時，過點。作y軸的平行線交3C于點E,設(shè)點。的橫坐標為f,DE的

長為/,請寫出/關(guān)于f的函數(shù)表達式，并寫出自變量f的取值范圍；

⑶連接AD,交于點尸，求魯”的最大值.

3.（2024?山東濟南?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，拋物線G：y=犬+6x+c經(jīng)過點A（0,2）,3（2,2）,

頂點為。；拋物線G：丁=彳2-2〃a+1_〃?+2（根71）,頂點為Q.

⑴求拋物線G的表達式及頂點D的坐標；

⑵如圖1，連接AD,點E是拋物線G對稱軸右側(cè)圖象上一點，點尸是拋物線G上一點，若四邊形ADEE是

面積為12的平行四邊形，求加的值；

（3）如圖2,連接3。。。，點/是拋物線G對稱軸左側(cè)圖像上的動點（不與點A重合），過點M作“

交x軸于點N,連接BN,DN,求BDN面積的最小值.

4.(2024?海南?中考真題)如圖1,拋物線,=-^+云+4經(jīng)過點4(—4,0)、8(1,0),交y軸于點C(0,4),點

圖I圖2

⑴求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)當點P的坐標為(-2,6)時，求四邊形AOCP的面積；

⑶當NPB4=45。時，求點尸的坐標；

(4)過點A、0、C的圓交拋物線于點E、F,如圖2.連接AE、AF.EF,判斷△?!￡/的形狀，并說明理由.

5.(2024?黑龍江大慶?中考真題)如圖，己知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象與x軸交于A,3兩點.A點坐

標為（TO）,與y軸交于點c（o,3）,點M為拋物線頂點，點E為48中點.

⑴求二次函數(shù)的表達式；

（2）在直線BC上方的拋物線上存在點Q,使得NQCB=2ZABC,求點。的坐標；

⑶已知。，歹為拋物線上不與A,8重合的相異兩點.

①若點尸與點C重合，。（見-12）,且機＞1,求證：D,E,尸三點共線；

②若直線AD,3尸交于點尸，則無論。，下在拋物線上如何運動，只要D,E,尸三點共線，

尸中必存在面積為定值的三角形.請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由.

6.（2024?山東濟寧,中考真題）已知二次函數(shù)＞=加+以+。的圖像經(jīng)過（0,-3）,（也。）兩點，其中a,b,

為常數(shù)，且必＞0.

（1）求a,c的值；

⑵若該二次函數(shù)的最小值是Y,且它的圖像與無軸交于點A,8（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C.

①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點A,2的坐標；

②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動點P,過點尸作x軸的垂線，垂足為與直線AC交于點

E,連接PC,CB,BE.是否存在點P,使白笆=.?若存在，求此時點P的橫坐標；若不存在，請說明

'△CBE"

理由.

7.（2023?山東青島?中考真題）許多數(shù)學(xué)問題源于生活.雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察

撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對象一一拋物線.在如圖②所示的直角坐標系中，傘柄在＞

軸上，坐標原點。為傘骨Q4,08的交點.點C為拋物線的頂點，點A,B在拋物線上，OA,08關(guān)于y

軸對稱.0C=l分米，點A到無軸的距離是0.6分米，A,2兩點之間的距離是4分米.

圖①圖②

⑴求拋物線的表達式;

⑵分別延長A0，3。交拋物線于點凡E,求E,F兩點之間的距離;

⑶以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為跖，將拋物線向右平移加（加〉0）個單位，得到一條

3

新拋物線，以新拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為$2.若S2=[S]，求小的值.

8.（2023?遼寧盤錦?中考真題）如圖，拋物線y=&+法+3與x軸交于點A（-l,0）,B（3,0）,與V軸交于點

C.

⑴求拋物線的解析式.

4

⑵如圖1,點。是X軸上方拋物線上--點，射線軸于點N,若=>tanZMB7V=-,請直

接寫出點。的坐標.

⑶如圖2,點E是第一象限內(nèi)一點，連接AE交>軸于點。，AE的延長線交拋物線于點P,點F在線段CZ)

上，且CF=OD,連接以FE,BE,BP,若5徵科=5“^，求，面積.

9.(2023?湖南張家界?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y=ox2+bx+c的圖象與x軸交

于點力(—2,0)和點3(6,0)兩點，與y軸交于點C(0,6).點。為線段2C上的一動點.

⑴求二次函數(shù)的表達式；

（2）如圖1,求△AOD周長的最小值；

（3）如圖2,過動點。作D尸〃AC交拋物線第一象限部分于點P,連接厚,尸3,記△孫￡＞與△口?￡）的面積和

為S,當S取得最大值時，求點尸的坐標，并求出此時S的最大值.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2025?上海黃浦?一模）已知拋物線y=/+笈+。（。片0）經(jīng)過點A（T6）、鞏1,—2）、C（0,l）.

⑴求該拋物線的表達式及其對稱軸/;

（2）如果點A與點。關(guān)于對稱軸/對稱，聯(lián)結(jié)AB、BD,求的面積.

2.（2025?上海松江?一模）已知一條拋物線的頂點為A。,3）,且經(jīng)過點3（0,2）.

產(chǎn)

5-

4-

3-

2-

1-

-3-2-1O123%

-1

-2

⑴求該拋物線的表達式;

⑵若點。（3/）在該拋物線上，求VABC的面積.

3.（2024?青海西寧?一模）如圖，拋物線＞=-/+法與x軸交于A,B兩點,與V軸交于。點，直線5c

方程為y=%—3.

⑴求拋物線的解析式；

⑵點尸為拋物線上一點，若SAPBA=|SAABC，求點P的坐標；

⑶直線BC上方的拋物線上有一點Q,當△BC。的面積最大時，點。的坐標是什么？△BC。的最大面積是

多少？

4.（2024?云南昆明?一模）如圖，拋物線與x軸交于A（-l,0）,8兩點，與y軸交于點C,且滿足OB=OC=3OA.

⑴求拋物線的解析式；

⑵M是線段BC上的一點（不與點8,C重合），過點M作M0，軸交拋物線于點M交x軸于點。，連接

NB,NC,若點M的橫坐標為相，是否存在點使的面積最大？若存在，求相的值；若不存在，

請說明理由.

5.（2024,江蘇鹽城?三模）如圖,拋物線y=-V+打+。與軸交于點A,與無軸交于點8、C,已知A（0,4）,B（4,0）.

⑴求拋物線的表達式，并求出點C的坐標.

⑵點M是拋物線（第一象限內(nèi)）上的一個動點，連接當面積最大時，求M點的坐標.

⑶若點M坐標固定為（1,6）,。是拋物線上除M點之外的一個動點，當，與aABQ的面積相等求出點。

的坐標.

3

6.（2024?四川眉山?二模）如圖，二次函數(shù)y=G2+bx（aw0）的圖象經(jīng)過A（l,4）,對稱軸是直線了=-天線

段A￡＞平行于X軸，交拋物線于點。.在y軸上取一點C（o,2）,直線AC交拋物線于點B，連結(jié)OA.OB.OD,

BD.

⑴求該二次函數(shù)的解析式及點B的坐標;

⑵坐標平面內(nèi)一點E,使，求點E的坐標；

⑶設(shè)點尸是的中點，點P是線段上的動點，問尸￡＞為何值時，將^BPF沿邊PF翻折，使SBPF與ADPF

重疊部分的面積恰好是ABZ）尸面積的;，并說明理由.

7.（2024?甘肅?模擬預(yù)測）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=V+6x+c與x軸交于A,8（3,0）兩點,

與y軸交于點C（0,-3）,P是直線3C下方拋物線上一動點.

⑴求拋物線y=/+bx+c的表達式;

（2）如圖2,連接PO,PC,并把△POC沿CO翻折，得到四邊形尸OPC,當四邊形尸OPC為菱形時，求出

點尸的坐標;

⑶當點尸運動到什么位置時，四邊形43PC的面積最大？求出此時點P的坐標及此時線段鰭的長.

8.（2025,安徽?模擬預(yù)測）如圖，拋物線、=以2+以與直線y=-尤+6交于AB兩點，點8在x軸上，過點A

作AC_Lx軸于點C,且OC:3c=1:2.

⑴求拋物線的解析式.

(2)將△AOC沿A3方向平移到二

S

①如圖2,若尸M經(jīng)過點C,PN與x軸交于點Q,求于絲的值.

DAAnr

②如圖3,直線y=gx與拋物線A3段交于點。，與直線AB交于點E,當頂點尸在線段AE上移動時，求

4MPN與、QBD公共部分面積的最大值.

題型三：與角度有關(guān)問題

【中考母題學(xué)方法】

4

L（2023?四川自貢?中考真題）如圖，拋物線，=-§/+6尤+4與天軸交于4（-3,0）,B兩點，與V軸交于點C.

⑴求拋物線解析式及8,C兩點坐標；

⑵以A,B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，求點。坐標；

⑶該拋物線對稱軸上是否存在點E,使得ZACE=45。，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

2.（2023糊南岳陽?中考真題）已知拋物線。|：,=--+云+°與戈軸交于4（_3,0）,5兩點，交》軸于點。（0,3）.

⑴請求出拋物線Qi的表達式.

(2)如圖1,在y軸上有一點。(0,-1),點E在拋物線0上，點b為坐標平面內(nèi)一點，是否存在點E,尸使得

四邊形為正方形？若存在，請求出點瓦尸的坐標；若不存在，請說明理由.

⑶如圖2,將拋物線0向右平移2個單位，得到拋物線。2,拋物線。2的頂點為K,與無軸正半軸交于點

拋物線2上是否存在點P,使得NCPK=NCHK?若存在，請求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

3.(2023?湖南郴州?中考真題)已知拋物線y=a/+bx+4與x軸相交于點4(1,0),B(4,0),與>軸相交于

點c.

⑴求拋物線的表達式；

pA

（2）如圖1,點尸是拋物線的對稱軸/上的一個動點，當24c的周長最小時，求^的值；

⑶如圖2,取線段OC的中點。，在拋物線上是否存在點Q,使tan/QDB=；?若存在，求出點。的坐標;

若不存在，請說明理由.

4.（2023,江蘇無錫?中考真題）已知二次函數(shù)y=,且經(jīng)過點8（4,立）

和點C(-1,0).

⑴請直接寫出b,c的值；

(2)直線BC交>軸于點D，點E是二次函數(shù)y=^(x2+bx+c)圖像上位于直線4B下方的動點，過點E作直

線48的垂線，垂足為

①求EF的最大值；

②若尸中有一個內(nèi)角是的兩倍，求點E的橫坐標.

5.(2023?遼寧營口?中考真題)如圖，拋物線廣加+桁-1(。W0)與x軸交于點4(1,0)和點5,與>軸交于

點C,拋物線的對稱軸交x軸于點0(3,0),過點5作直線軸，過點。作。E1CO,交直線/于點E.

⑴求拋物線的解析式;

(2)如圖，點P為第三象限內(nèi)拋物線上的點，連接CE和3P交于點Q,當。|=5時.求點P的坐標;

⑶在(2)的條件下，連接AC,在直線8P上是否存在點尸，使得ZDEF=ZACD+NBED?若存在，請直

接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

6.(2024?重慶?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=#+Zu-3與x軸交于A(-L,0),8兩點,

交y軸于點c,拋物線的對稱軸是直線xg

⑴求拋物線的表達式；

（2）點P是直線2C下方對稱軸右側(cè)拋物線上一動點，過點尸作軸交拋物線于點。，作PE，3c于點E,

求PD+好PE的最大值及此時點P的坐標;

2

⑶將拋物線沿射線BC方向平移6個單位，在尸。+包%取得最大值的條件下，點/為點尸平移后的對應(yīng)

2

點，連接AF交y軸于點點N為平移后的拋物線上一點，若ZNMF-ZABC=45。,請直接寫出所有符

合條件的點N的坐標.

7.（2024?重慶?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=o^+桁+4（。片0）經(jīng)過點（-1,6）,與y軸

交于點C,與無軸交于A3兩點（A在8的左側(cè)），連接AC,BC,tan，C54=4.

⑴求拋物線的表達式;

⑵點尸是射線C4上方拋物線上的一動點，過點尸作軸，垂足為E,交AC于點。.點M是線段DE

上一動點，MNLy軸，垂足為N,點尸為線段BC的中點，連接AM,NF.當線段尸。長度取得最大值時,

求AM+M2V+NR的最小值;

⑶將該拋物線沿射線C4方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段長度取得最大值時的點。，且與直

線AC相交于另一點K.點。為新拋物線上的一個動點，當=時，直接寫出所有符合條件的

點。的坐標.

2

8.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，拋物線y=—與％軸交于人，⑶兩點，與>軸交于點。，點

A坐標為（T,。），點5坐標為（3,0）.

⑴求此拋物線的函數(shù)解析式.

（2）點P是直線2C上方拋物線上一個動點，過點尸作x軸的垂線交直線2C于點。，過點尸作y軸的垂線，

垂足為點E,請?zhí)骄?尸/）+尸石是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時尸點的坐標；若沒有最大值,

請說明理由.

⑶點M為該拋物線上的點，當NMCB=45。時，請直接寫出所有滿足條件的點"的坐標.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?陜西?模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，拋物線L過A（l,0）,B（0,-2）,C（c,0）三點，ZABC=90°.

⑴求拋物線L的函數(shù)表達式；

（2）在x軸下半部分的拋物線L上有一點連接MC,腸4,當/AMC為銳角時，設(shè)點M的橫坐標為相，求

m的取值范圍.

2.（2025?陜西西安?一模）在直角坐標平面xOy中，直線y=-；尤+2沿y軸向下平移；5個單位后，正好

經(jīng)過拋物線y=。必+8以+2的頂點C,拋物線與y軸交于點B.

J___

o

(1)求點C的坐標；

(2)點M在拋物線對稱軸上，且位于C點下方，當=時，求點M的坐標.

3.(2024?上海嘉定?三模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=；/+如:+，2經(jīng)過點2(6,1),C(5,0),

且與y軸交于點A.

⑴求拋物線的表達式及點A的坐標；

（2）點P是y軸右側(cè)拋物線上的一點，過點尸作PQ_L,交線段OA的延長線于點Q,如果ZPAB=45。.求：

點尸坐標

⑶若點歹是線段A8（不包含端點）上的一點，且點/關(guān)于AC的對稱點尸恰好在上述拋物線上，求"'的

長.

4.（2024?河南?模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁=/+/+。與x軸交于A,g兩點點在

B點左側(cè)），與y軸交于點C（0,—3）,對稱軸是直線x=l,直線>=區(qū)+加經(jīng)過點2,C.

⑴求拋物線和A,B兩點坐標；

⑵點M為y軸上一點，是否存在點使得國MBC與回ABC相似？若存在，請求出點"的坐標；若不存在,

請說明理由；

⑶點P為拋物線上一點（點P與點8不重合），且使得P4c中有一個角是45。，請直接寫出點P的坐標.

5.（2024?四川瀘州?模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=/+桁+。經(jīng)過4（-1,0）,3（3,0）兩點，與y軸交于點C,P

為第四象限拋物線上的動點，連接AGBC.

備用圖

⑴求拋物線的解析式；

(2)連接尸C,過點尸作無軸的垂線交直線BC于點D若以C,P,。為頂點的三角形與.H9C相似，請求出

所有滿足條件的點尸的坐標；

⑶是否存在點尸，使得/PBC+NACO=45。？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

6.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A,B,

與y軸交于點C,其對稱軸為x=-l,點A的坐標為(2,0),點在拋物線上.

⑴求該拋物線的解析式；

(2)如圖1,點尸在y軸上，且點尸在C的下方，若NPDC=45°,求點尸的坐標；

MN

⑶如圖2,￡為線段上的動點，射線與線段4)交于點與拋物線交于點N,求當三取最大值

OM

時，點AD,N圍成的三角形的面積.

7.(2025?上海青浦?一模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線丫=依2.<0)經(jīng)過直線丁=-”上的點人，已知

OA=2及.

斗

I1III______11111A

O~_X

⑴求該拋物線的表達式；

（2）將拋物線丁=也2（。＜0）先向右平移1個單位，再向上平移％（%＞（））個單位后，所得新拋物線與y軸相交

4

于點C,如果tan/OC4=—.

9

①求上的值；

②設(shè)新拋物線的頂點為點。，新拋物線上的點8是點A的對應(yīng)點.聯(lián)結(jié)8、CD,在新拋物線的對稱軸上

存在點尸，使得NOPB=NODC,求點尸的坐標.

8.（2025?上海虹口?一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，己知拋物線了=-爐+桁+3與x軸交于點A、B

（點A在點8的左側(cè)），與y軸交于點C,聯(lián)結(jié)AC,tanZC4＜9=3,拋物線的頂點為點。.

⑴求6的值和點。的坐標；

（2）點P是拋物線上一點（不與點B重合），點P關(guān)于無軸的對稱點恰好在直線上.

①求點P的坐標；

②點M是拋物線上一點且在對稱軸左側(cè)，連接如果=求點”的坐標.

9.（2025?上海普陀?一模）在平面直角坐標系xOy中（如圖）.已知拋物線y=o?+笈-3（。N0）的頂點A的

坐標為（1，-2）,與y軸交于點8將拋物線沿射線W方向平移，平移后拋物線的頂點記作其橫坐標為

m.平移后的拋物線與原拋物線交于點N,且設(shè)點N位于原拋物線對稱軸的右側(cè)，其橫坐標為

⑴求原拋物線的表達式；

（2）求小關(guān)于n的函數(shù)解析式；

⑶在拋物線平移過程中，如果4碗是銳角，求平移距離的取值范圍.

3

10.（2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=1/+6x+c與無軸交于點A,8（4,0）,

與y軸交于點C（0,—3）.

⑴求拋物線的表達式;

(2)點P是直線BC下方拋物線上且位于拋物線的對稱軸右側(cè)的一動點，過點P作x軸的平行線交拋物線的對

稱軸于點D過點P作于點E,求［PO+PE的最大值及此時點尸的坐標；

⑶在(2)中g(shù)pO+PE取得最大值的條件下，將該地物線沿射線方向平移!■個單位長度，點F為點P

平移后的對應(yīng)點，連接點M為平移后的拋物線上一點，若ZMPF=ZABC,寫出所有符合條件的點〃

的坐標，并寫出求解點M的坐標的其中一種情況的過程.

11.(2024?重慶九龍坡?模擬預(yù)測)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線;)；=以2-彳+。與;(:軸交于4

3(2,0)兩點，與y軸交于點C,如圖所示.點。為拋物線的頂點，點后［1,￡|是拋物線上的一點.

⑴求拋物線的解析式；

(2)點P是直線AE上方拋物線上一動點，過點P分別作尸河〃3C交無軸于點M,小〃了軸交直線AE于點

N.求拽PM+PN的最大值及此時點P的坐標；

5

⑶將拋物線沿AE方向平移遞個單位長度得到新拋物線，點M是新拋物線的頂點，點p是點￡平移后的

2

對應(yīng)點，點G是新拋物線上一動點，連接當NO'Bb+NFBG=90。時，請直接寫出所有符合條件的點G

的坐標.

12.(2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=依2+法-2過點且交x軸

于點4(1,0),點8,交y軸于點C,頂點為。，連接AC,BC.

⑴求拋物線的表達式.

（2）點P是直線2C下方拋物線上的一動點，過點P作尸河AC交x軸于點尸打〃彳軸交BC于點X,求

—PM+PH的最大值，以及此時點P的坐標.

5

⑶連接A4,把原拋物線沿射線D4方向平移g個單位長度后交x軸于A,笈兩點（A在夕右側(cè)），在新拋

物線上是否存在一點G,使得NG4'B'=45。，若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由.

13-（2。25?上海奉賢?一模）在直角坐標平面中,直線丁=-《、+2向下平移5個單位后,正好經(jīng)過拋物

線y=以2+8〃X+2的頂點c,拋物線與y軸交于點8.

⑴求點C的坐標；

（2）點M在拋物線對稱軸上，且位于C點下方，當=時，求點M的坐標;

⑶將原拋物線頂點C平移到直線y=-：x+2上，記作點G，新拋物線與>軸的交點記作點用，當

/叫G=45。時，求明的長.

14.（2025?湖南婁底?模擬預(yù)測）已知拋物線丁=依2+法+。（。>。）與工軸左、右交點分別為A、B,與y軸負

半軸交于點C,坐標原點為。，若。B=OC=3OA,5ABe=6,點尸是拋物線上的動點（點尸在y軸右側(cè)）.

⑴求拋物線的解析式；

（2）。是線段OC的中點，①當NOPC=45。時，請求出點尸的坐標；②當NOPC=NQW時，請求出點P

的坐標.

題型四：與特殊圖形存在性有關(guān)問題

【中考母題學(xué)方法】

1.（2023?四川雅安,中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線y=/+法+。過點A（0,2）,對稱軸是直線

⑴求此拋物線的函數(shù)表達式及頂點M的坐標；

（2）若點2在拋物線上，過點B作x軸的平行線交拋物線于點C、當是等邊三角形時，求出此三角形

的邊長；

⑶已知點E在拋物線的對稱軸上，點。的坐標為（1,-1）,是否存在點R使以點A,D,E,F為頂點的四

邊形為菱形？若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

2.（2023?山東淄博,中考真題）如圖，一條拋物線y=經(jīng)過△Q4B的三個頂點，其中0為坐標原點,

點A(3,-3),點B在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線％=且△OAB的面積為18

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(2)求點8的坐標；

⑶設(shè)C為線段A3的中點，尸為直線OB上的一個動點，連接AP,CP,將△入"沿CP翻折，點A的對應(yīng)

點為4.問是否存在點尸，使得以A，P,C,B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條

件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

3.(2023糊北隨州?中考真題)如圖1,平面直角坐標系xOy中，拋物線產(chǎn)++fox+c過點4-1,0),5(2,0)

和C(0.2),連接BC,點、P(m,ri)(m>0)為拋物線上一動點,過點P作尸軸交直線于點交x軸

（圖1）

⑴邕談軍中拋物線和直線BC的解析式;

(2)如圖2,連接OM,當—OCM為等腰三角形時，求加的值;

⑶當尸點在運動過程中，在>軸上是否存在點Q,使得以0,P,。為頂點的三角形與以B,C,N為頂

點的三角形相似(其中點尸與點C相對應(yīng))，若存在，直接寫出點尸和點。的坐標；若不存在，請說明理由.

4.(2023?四川內(nèi)江?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=辦2+公+。與彳軸交于3(4,0)"(—2,0)

兩點.與y軸交于點A（0,-2）.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點P是直線A3下方拋物線上的一動點，過點尸作x軸的平行線交A3于點K,過點P作y軸的平行線

交x軸于點D,求與gpK+PD的最大值及此時點P的坐標；

⑶在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得△MA3是以AB為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求

出點〃的坐標，若不存在，請說明理由.

5.（2023?湖南