第2講中點的構造

前言：中點是幾何綜合題常見條件之一，對中點的分析思路有三：倍長中線、直角三角形斜邊中線、中位線.

結合具體條件，選擇恰當的方法，必要時合理添加輔助線.

知識導航

倍長中線

當出現中點條件時，可將中線延長一倍，即倍長中線.

作圖分析：

如圖1,在小ABC中，AD是中線.

延長AD至點E使得DE=AD,

貝必ADC^AEDB.

線段關系：AC=BE,AC/7BE.

如圖2,在小ABC中，E是AB邊一點，D是BC中點，連接DE.延長ED至點F使得DF=DE,

貝必BDE^ACDF.

線段關系：BE=FC,BE〃FC.

解讀：倍長中線后可得一組旋轉型全等.轉化為兩條線段平行且相等.即轉移了線段位置，探究幾何圖中線段

間的數量關系，一般需先有位置關系.

引例1：問題探究：

小紅遇到這樣一個問題：如圖1,△ABC中，AB=6,AC=4,AD是中線，求AD的取值范圍.她的做法是：延長A

D至I」E,使DE=AD,連接BE,證明△BEDgACAD,經過推理和計算使問題得到解決.

(1)小紅證明ABED烏ZM2AD的判定定理是：;

(2)AD的取值范圍是;

(3攻口圖2,AD是△ABC的中線，在AD上取一點F,連結BF并延長交AC于點E,使AE=EF.

求證：BF=AC.

A

解析:(1)SAS;

(2)1<AD<5;

⑶延長AD至點M使得DM=DF,連接CM,

在ABDF和4CDM中，

BD=CD

<ZBDF=/CDM,1.4BDF迫叢CDM(SAS),

DF=DM

ABF=CM,ZBFD=ZM,

VAE=EF,AZEFA=ZEAF,

JZBFD=ZEFA=ZEAF,

AZM=ZEAF,???CM=CA,又CM二BF,

ABF=AC.

2斜邊中線

定理：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.

如圖1,點M是RtAABC斜邊AB中點則MC=^AB.

如圖2,點M是AB中點則MA=MB=MC=MD,A、B、C、D四點共圓.

3中位線

(1)中位線定理：三角形中位線平行且等于第三邊的一半.

如圖，在△ABC中，E、F分別是AB、AC邊中點.

貝!IEF||BC,EF=ifiC.

(2)中位線構造

如圖，在4ABC中，點E是AB邊中點.

構造:取AC中點F,連接EF.則EF〃:BC,EF=|BC.

如圖.在^ABC中，點B是AE中點點C是AF中點

構造：連接EF.貝UBC||EF,BC=

如圖，在4ABC中，點B是AE中點

構造延長AC至點F使得CF=AC,連接EF.

貝！IBC〃EF,BC=|EF.

EZ------------1尸

弓例2:如圖，在四邊形ABCD中,NABC=90。，AB=BC=2V2E、F分別是AD、CD的中點，連接BE、BF、E

F.若四邊形ABCD的面積為6貝以BEF的面積為()

解析：連接AC,則ACM,分別過B、D作AC的垂線，垂足分別為M、N，則BM=2,SABCD=SABC+SACD=6

其中，BABC=；x2應x2《=4,，S“8=2,：.DN=1,

在4BEF中，EF==2,EF邊上的高為

15155

BM+-DN=l，.-.SBEF^-x^-,

...選C.

中點四邊形

已知：如圖.E、F、G、H分別是四邊形ABCD中AB、BC、CD、DA邊的中點.

結論：四邊形EFGH是平行四邊形，且^EFGH=5S4BO

特別地，

若AC=BD,則平行四邊形EFGH是菱形；

若AC±BD,則平行四邊形EFGH是矩形.

引例3:如圖，任意四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，對于四邊形EFGH的形

狀，某班學生在一次數學活動課中，通過動手實踐，探索出如下結論，其中錯誤的是（）

A.當E、F、G、H是各邊中點，且AC=BD時，四邊形EFGH為菱形

B.當E、F、G、H是各邊中點，目ACLBD時，四邊形EFGH為矩形

C.當E、F、G、H不是各邊中點時，四邊形EFGH可以為平行四邊形

D.當E、F、G、H不是各邊中點時，四邊形EFGH不可能為菱形

解析：選D.

真題演練

L如圖.在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,E為BC上一點,CE=5,F為DE的中點.若△CEF的周

長為18,則OF的長為.

2.如圖，在四邊形ABCD中,AB=CD,AC、BD是對角線，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點，連接E

F、FG、GH、HE,則四邊形EFGH的形狀是（）

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.正方形

3.在4ABC中,AB=6,點D是AB的中點，過點D作DE〃BC,交AC于點E,點M在DE上，且ME=：

DM,當AM±BM時,則BC的長為.

4.如圖，已知點E在正方形ABCD的邊AB上，以BE為邊向正方形ABCD外部作正方形BEFG,連接DF,

M、N分別是DC、DF的中點，連接MN.若AB=7,BE=5,則MN=.

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5,BC=8.E是邊BC的中點，F是平行四邊形ABCD內一點且/BFC=9

0°.連接AF并延氏交CD于點G.若EF〃AB,則DG的長為（）

53

A.-B.-C.3D.2

22

6.如圖，矩形紙片ABCD,AB=6cm,BC=8cm,E為邊CD上一點.將△BCE沿BE所在的直線折疊，點C

恰好落在AD邊上的點F處，過點F作FM±BE,垂足為點M,取AF的中點N,連接MN,則MN=

7.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x與雙曲線y=:交于A、B兩點,P是以點C（2,2）為圓心，半徑長1的

圓上一動點，連結AP,Q為AP的中點.若線段0Q長度的最大值為2,則k的值為()

8.如圖，已知二次數y=-4的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,?C的半徑為花，P為。

C上一動點.

(1)點B、C的坐標分別為B()、C();

(2)連接PB,若E為PB的中點，連接0E,則0E的最大值是________.

9如圖，在△ABC中，ZACB=6O°,AC=1,D是邊AB的中點，E是邊BC上一點.若DE平分△ABC的周長，則

DE的長是________.

10.三角形三條邊上的中線交于一點，這個點叫三角形的重心.如圖G是4ABC的重心.

求證：AD=3GD.

如圖1,在△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD,再連接BE(或將△ACD繞著點D逆時針旋轉18

0。得到AEBD),把AB、AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷.

中線AD的取值范圍是.

(2)問題解決:

圖2,在4ABC中，D是BC邊上的中點,DELDF于點D,DE交AB于點E.DF交AC于點F.連接EF.

求證：BE+CF>EF;

(3)問題拓展：

如圖3,在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C為頂點作一個70。角，角的兩邊分別

交AB,AD于&F兩點，連接EF,探索線段BE、DF、EF之間的數量關系，并加以證明.

12.我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.

S1圖2

(1)如圖1,四邊形ABCD中.點E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點.求證：中點四邊形EF

GH是平行四邊形；

(2)如圖2,點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA=PB,PC=PD,NAPB=NCPD,點E、F、G、H分別為邊AB、

BC、CD、DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；

(3)若改變(2)中的條件，使/APB=NCPD=90。，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀.(不必證明)

13.在4ABM中，ZABM=45°,AMLBM,垂足為M,點C是BM延長線上一點，連接AC.

(1)如圖1,若AB=3MBe=5,求AC的長；

(2)如圖2,點D是線段AM上一點MD=MC,點E是△4BC外一點，EC=AC,連接ED并延長交BC于點F,

且點F是線段BC的中點，求證：ZBDF=ZCEF.

14.若△ABCffiAAED均為等腰三角形，且/BAC=NEAD=90。.

⑴如圖1,點B是DE的中點判定四邊形BEAC的形狀，并說明理由；

⑵如圖2,若點G是EC的中點，連接GB并延長至點F，使CF=CD.

求證：①EB=DC,

?ZEBG=ZBFC.

15.在小ABC中，P為邊AB上一點.

⑴如圖1,若/ACP=/B,求證：AC2=AP-AB-,

⑵若M為CP的中點AC=2.

①如圖2,若4PBM=^ACP,AB=3,求BP的長；

②如圖3,^ZABC=45°,ZA=ZBMP=60°,直接寫出BP的長.

圖3

第2講中點的構造

解析：；F點是DE中點，.?.￡1?=，￡)￡1=DF,；Z\CEF的周長為18,CE=5,；.CF+EF=13,即DE=13,.\CD=12,

BC=12,.*.BE=7,OF=1,gpOF的長為!

2.C.

3.8.

解析：由題意得：DM=|AB=3,ME=1,DE=4,BC=8.

13

44.—

12

解析：連接CF,則MN為4CDF中CF邊所對的中位線，

解析：如圖,延長BF與CD延長線交于點M,易證△AFBgAGFM,；.GM=AB=5,BF=MF,又/BFC=90。,

；.MC=BC=8,；.CG=3,DG=2,故選D.

6.解析：取BF中點P,連接PM、PN,貝!JPM=PB=4cm,.,./PMB=NPBM=/CBM,.^.PM〃BC,：點N是AF中

點,ABF中AB邊中位線，PN||AB,PN=^AB=3cm,，PM_LPN,MN=V32+42=5cm,?(MN=5cm.

解析：連接PC、CB、PB,???OQ最大值為2,

；.PB最大值為4,；.PC+CB=4,又PC=1,；.CB=3,設點B坐標為(m,-m)(m>0),兩點間距離公式可得:

(2-m)2+(2+m)2=9'

解得：山=:，點8坐標為(亭―丹…丹故選A.

8.解析:⑴點B坐標為(3,0),點C坐標為(0,-4);

⑵連接AP,則OE=豺P,當AP過點C時，AP取到最大值5+V5,OE的最大值為竽.

9.”

2

解析：延長BC至點F使得CF=CA,DE平分△ABC的周長,，點E是BF中點又點D是AB中點,DE=

AF,ZACB=60°,AZACF=120°,又AC=1,；.AF=A/3:.DE

10.解析:取AD中點F,連接EE則EF〃BC,EF=：BD,又.BD=CD,，EF=第D「.?EF〃BC,???Z^EGFsZ\CGD,???

FGPP-1-1O-1

-=-,.：DG^-.-.AD=-AD^AD=3GD.

DG

H.解析：⑴2<AD<8;

⑵延長FD至點G使得DG=DF,連接EG、BG,VDE垂直平分FG,/.EF=EG,在4CDF和4BDG中.

；.CF=BG,：BE+BG>EG,，BE+CF>EF.

(3)BE+DF=EF.延長AB至點M使得BM=DF,；NABC+ND=180。,；.CDF和ACBM中,(L

ORN,ZCHM,ACDR^AGBM(SAS)0

ZDCF=ZBCM,VZBCD=140°,ZECF=70°,

/.ZDCF+ZBCE=70°,BPZECM=70°,^ACEFCEM中，

CE=CE

?ZECF=ZECM,:△CEFWACEM(SAS),

CF=CM

12.解析：⑴連接AC,F分別是BA、BC的中點,；.EF是△ABC中AC邊的中位線，EFB&EF=

同理可證HG〃AC,HG=JAC,AEF^HG,EF=HG,.?.中點四邊形EFGH是平行四邊形.

⑵菱形.

連接AC、BD,VZAPB=ZCPD,.\ZAPB+ZAPD=ZCPD+ZAPD,即NAPC=NBPD,在△APC和△BPD中,

LACCOZBPD,.,.△APC^ABPD,.\ACBBD,

???EF=\AC,EH=}B。,...平行四邊形EFGH是菱形.

(3)正方形.

13.解析：(1)由題意得△ABM是等腰直角三角形,：AB=3V2,.\MA=MB=3,又BC=5,；.MC=2,二"=

732+22=g,即AC的長為V13.

(2)延長EF至點G使得FG=FE,連接86.在4CFE和4BFG中，

CF=BF

ZCFE=ZBFG,:ACFE必BFG(.SAS'),

FE=FG

/.CE=BG,ZCEF=ZBGF.

/.ABMD^AAANC(SAS).

；.BD=AC,

又：CE=AC,，BG=BD,.*./BDG=/BGD,，NBDF=/CEF.

14.解析：⑴平行四邊形.

丁點B是DE中點,；.AB=1DE=BEZBAE=ZE=45°,ZABE=90°,/.ZBAE=ZABC,；.AE〃BC,ZBAC

=90