難點07圓的基本性質(zhì)的常考題型

（6大熱考題型）

題型一：圓的基本和最值問題

題型二：垂徑定理及其應(yīng)用

題型三：圓心角、弦、弧之間的關(guān)系

題型四：圓周角定理

題型五：圓周角定理的推論和應(yīng)用

題型六：圓內(nèi)接四邊形

江；、精淮提分

題型一：圓的基本和最值問題

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，矩形/BCD中，AB=5BC=T,動點￡,歹分別從點/,C

同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿向終點。運動，過點￡,歹作直線/,過點/作直線

/的垂線，垂足為G,則NG的最大值為（）

\G

B

A.V3

【典例2】（2023?山東淄博?中考真題）在數(shù)學(xué)綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活

動.

（1）操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成乜”形圖案，如圖①.

試判斷：△ZC尸的形狀為

（2）深入探究

小紅在保持矩形N8C。不動的條件下，將矩形CEPG繞點C旋轉(zhuǎn)，若N3=2,AD=4.

探究一：當(dāng)點尸恰好落在/。的延長線上時，設(shè)CG與D尸相交于點M,如圖②.求ACW的面積.

探究二：連接/E,取NE的中點H,連接DH,如圖③.

求線段長度的最大值和最小值.

EE

圖②圖③

【變式1-1］（2024?江蘇連云港?中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在。點，另一端綁一重物.將此

重物拉到/點后放開，讓此重物由/點擺動到3點.則此重物移動路徑的形狀為（）

A.傾斜直線B.拋物線C.圓弧D.水平直線

【變式1-2］（2023?江蘇宿遷?中考真題）在同一平面內(nèi)，已知。。的半徑為2,圓心。到直線/的距離為3,

點尸為圓上的一個動點，則點P到直線/的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?安徽合肥?三模）如圖，尸為線段上一動點（點P不與點48重合），將線段/P繞點P順時

針旋轉(zhuǎn)45°得到線段CP,將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到線段DP，連接4D,8C,交點為0.若=6,

點〃是線段42的中點，則。打的最小值為（）

2.（2024?浙江嘉興?一模）如圖，在矩形/8C。中，AB=3,E為BC邊上的一個動點，連接/E,點8關(guān)于

/￡的對稱點為B',連接夕。.若夕。的最大值與最小值之比為2,則4D的長為.

3.（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測）如圖，點。是Q/上一動點，8為一定點，。隨著C點移動而移動，EG為BD

的垂直平分線，NCBD=90°,BD=2BC,EG=ABC,若04半徑為2,點3到點/的距離為4,則在C點

4.（2024?河北秦皇島?一模）某校社團實踐活動中，有若干個同學(xué)參加.先到的"個同學(xué)均勻圍成一個以O(shè)

點為圓心，1m為半徑的圓圈，如圖所示（每個同學(xué)對應(yīng)圓周上一個點）.

（1）若"=6,則相鄰兩人間的圓弧長是m.（結(jié)果保留兀）

（2）又來了兩個同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移。米，再左右調(diào)整位置，使這（〃+2）個同學(xué)之

間的圓弧長與原來〃個同學(xué)之間的圓弧長相等.這（〃+2）個同學(xué)排成圓圈后，又有一個同學(xué)要加入隊伍，重

復(fù)前面的操作，則每人須再往后移6米，才能使得這（“+3）個同學(xué)之間的圓弧長與原來〃個同學(xué)之間的圓弧

長相同，則=.

a

5.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，以點/為圓心的圓交數(shù)軸于2,C兩點（點C在點/的左側(cè)，點2在點/

的右側(cè)），若8兩點表示的數(shù)分別為1,百，則點C表示的數(shù)是.

6.（2024?陜西?模擬預(yù)測）如圖，在矩形/BCD中，AB=2,BC=3,M是平面內(nèi)一動點，且倒1=1，則

線段的最大值為.

7.（2023?四川樂山?模擬預(yù)測）【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在練習(xí)簿的橫線上取點。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓,

描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點的位置有一定的規(guī)律.

【提出問題】

小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點，所描的點都在某二次函數(shù)圖象上.

【分析問題】

小明利用已學(xué)知識和經(jīng)驗，以圓心。為原點，過點。的橫線所在直線為x軸，過點。且垂直于橫線的直線

為y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示，當(dāng)所描的點在半徑為5的同

心圓上時，其坐標(biāo)為.

【解決問題】

請幫助小明驗證他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點尸加為正整數(shù)，以0P為直徑畫。是否存在所描的點在。河上，若存在,

求他的值；若不存在，請說明理由.

8.（2024?湖南?模擬預(yù)測）如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點叫做格點.A,8兩點均為格點,

請僅用無刻度直尺找出經(jīng)過4,2兩點的圓的圓心。，并保留作圖痕跡.

9.（2025?湖北十堰?模擬預(yù)測）如圖，O。的直徑48垂直弦CO于點E,尸是圓上一點，。是8尸的中點,

連接CF交OB于點G,連接BC.

⑴求證：GE=BE；

(2)若4G=6,BG=4,求CD的長.

題型二：垂徑定理及其應(yīng)用

【中考母題學(xué)方法】

【典例11（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在。O中，弦NB的長為8,圓心。到的距離OE=4,則。。

B.4cC.5D.572

【變式2-1］（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，圓形拱門最下端在地面上，。為48的中點，C為拱

門最高點，線段CD經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若/8=lm,CD=2.5m,則拱門所在圓的半徑為（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【變式2-2X2024?新疆?中考真題）如圖，48是OO的直徑，CD是。。的弦，,垂足為E.若CD=8,

OD=5,則BE的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式2-3］（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在O。中，直徑48LCD于點E,CD=6,BE=1,貝!］弦

/C的長為

A

【變式2-4］（2024?江西?中考真題）如圖，48是。。的直徑，=2,點C在線段N2上運動，過點C的

肱DELAB,將磁沿DE翻折交直線于點R當(dāng)。E的長為正整數(shù)時，線段必的長為.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2023?廣東東莞?一模）如圖，4B是。O直徑，點C在。。上，CD_L4g垂足為。，點E是。。上動點

（不與C重合），點廠為CE的中點，若4D=3,CD=6,則。/的最大值為.

2.（2025?安徽?模擬預(yù)測汨知QO的半徑為5,48是的弦，尸是弦AB的延長線的一點，若尸/=8,P5=2,

則圓心。到弦48的距離為（）

A.V41B.6C.V30D.4

3.（2024?山西長治?模擬預(yù)測）明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了“筒車”（一種水利灌溉工

具）的工作原理.如圖2,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心。為圓心的圓.已知圓心。在水面上方，且。。

被水面截得弦力B長為8米，OO半徑長為6米，若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦4B所在直線的距

離是（）

C.（6-2班）米D.（6+2石）米

4.（2024?云南怒江?一模）如圖，45是。。的弦，半徑OCJ_Z5,垂足為。，設(shè)45=6,CD=\,則。。的

A.3B.4C.5D.6

5.（2024?四川成都?二模）如圖，45是。。的弦，若。。的半徑04=10,圓心。至U弦45的距離。。=6,

12C.16D.20

6.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，分別是以45,ZC為直徑的兩個半圓，其中4。是半圓。的一條弦,

E是正中點，。是半圓石d中點.若45=6,DE=\,且4。＞3,則4C的長為（）

C.3+V2D.4+V2

7.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）如圖，0/是。。的半徑，弦04于點。，連接08.若。。的半徑為5cm,

BC的長為8cm,則AD的長是cm.

8.（2024?上海嘉定?二模）如圖在圓。中，是直徑，弦CD與交于點￡,如果4E=1,EB=9,ZAEC=45°,

點〃是CD的中點，連接OM,并延長■與圓O交于點N,那么兒W=.

AC

9.（2024?湖南?二模）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點。為圓心的圓的一?部分，如果。是。。中

弦48的中點，CD經(jīng)過圓心。交OO于點。，且N8=8m,OC=3m,則C￡>=______m.

10.（2024?廣東湛江?模擬預(yù)測）如圖，在破殘的圓形殘片上，弦的垂直平分線交弧N8于點C,交弦4B

（1）求作此殘片所在的圓的圓心O（不寫作法，保留作圖痕跡）；

⑵求出（1）中所作圓的半徑.

11.（2024?湖南?模擬預(yù)測）某校組織九年級學(xué)生前往某蔬菜基地參觀學(xué)習(xí)，該蔬菜基地欲修建一頂大棚.如

圖，大棚跨度4B=8m,拱高CD=2m.

同學(xué)們討論出兩種設(shè)計方案:

方案一，設(shè)計成圓弧型，如圖1,已知圓心O,過點。作。CL/3于點。交圓弧于點C.連接。4.

方案二，設(shè)計成拋物線型，如圖2,以所在直線為x軸，線段N8的垂直平分線為y軸建立平面直角坐

標(biāo)系.

（1）求方案一中圓的半徑；

（2）求方案二中拋物線的函數(shù)表達式；

（3）為擴大大概的空間，將大棚用1米高的垂直支架支撐起來，即他=M=lm.在大棚內(nèi)需搭建2m高的

植物攀爬竿，即GW=HN=2m,6屈，/3于點尸，HN，AB于點、Q,G8與OC交于點K.請問哪種設(shè)

計的種植寬度（MV）要大些？（不考慮種植間距等其他問題，且四邊形是矩形）

題型三：圓心角、弦、弧之間的關(guān)系

【中考母題學(xué)方法】

【典例1]（2023?河北?中考真題）如圖,點<?G是。O的八等分點.若APFFI,四邊形的周長分

別為a,b,則下列正確的是（）

Pi

尸5

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,6大小無法比較

【變式3-l]（2022?山東聊城?中考真題）如圖，N8,CD是。。的弦，延長CD相交于點尸.已知/尸=30。,

ZAOC=80°,則說的度數(shù)是（）

A

D

A.30°B.25°C.20°D.10°

【變式3-2］（2023?山東煙臺?中考真題）如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量

角器的外弧分別交于點4B,C,D,連接則的度數(shù)為

【變式3-3］（2021?四川巴中?中考真題）如圖，是。。的弦，且N3=6,點C是弧N3中點，點。是優(yōu)

弧N5上的一點，ZADC=30°,則圓心O到弦N2的距離等于（）

A.3GB.1C.V3D.—

22

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2025?湖北十堰?一模）“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的

形狀示意圖標(biāo)是的一部分，。是就的中點，連接OD,與弦43交于點C,連接CM,OB.已知

AB=24cm,碗深CD=8cm,則。。的半徑。4為（）

圖①圖②

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

2.（2024?云南昆明?一模）如圖，AB是。。的直徑，BC=CD=DE-若NBOC=34。,則乙的度數(shù)是

C.88°D.112°

3.（2023?福建莆田?模擬預(yù)測）如圖,中弱的度數(shù)為60。，/C是。。的直徑，那么NO5C等于（）

B.45°C.60°D.120°

4.（2024?山東青島?中考真題）如圖，A,B,C,。是。。上的點，半徑。4=3,AB=CD^/DBC=25。,

連接ZD,則扇形403的面積為（）

5.（2024?廣東揭陽?三模）如圖，在。。中，AB=2CD,那么（）

D

A.AB>2CDB.AB<2CD

C.=2CDD-々與2麗的大小關(guān)系無法比較

6.（2023?云南大理?一模）如圖，在OO中，48是OO的直徑，AB=8cm,C、。為弧4B的三等分點，M

是2B上一動點,CM+DM的最小值是cm.

7.（2024?河南駐馬店?三模）如圖，在扇形403中，403=90。，BO=2,C為30的中點，D為&上

一點，且2筋=茄，連接/GDC,在。C繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)CD取最小值時，的周長

為.

8.（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖，力B是半徑為5的。。的直徑，C是癡的中點，連接CD交2B于點￡,連

接NGAD,OC.

(1)求證：OC_L4D.

(2)若8￡=1,求4D的長.

（3）如圖2,作CFL/3于點H,交4D于點尸，射線CB交力D的延長線于點G,若OH=1,求/G的長.

題型四：圓周角定理

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，是V/BC的外接圓，AO//BC,連接C。并延長交。。于

點、D.分別以點4c為圓心，以大于L/C的長為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點直線0回交BC于

2

點連接4E,下列結(jié)論一定正確的是（）

A.AB=ADB.AB=OE

C.ZAOD=ABACD.四邊形/OCE為菱形

【變式4-1］（2024?海南?中考真題）如圖，4。是半圓。的直徑，點5、。在半圓上，且蕊=四=①,

點尸在也上，若/尸CB=130。，則/P氏4等于（）

D

A.105°B.100°C.90°D.70°

【變式4-2］（2024?北京?中考真題）如圖，。。的直徑平分弦（不是直徑）.若4>=35。，則NC=

AD

【變式4-3］（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，4g是。。的直徑，/E=35。，貝!）

A.80°B.100°C.120°D.110°

【變式4-4］（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，是。。的直徑，是。。的弦，半徑OC_L4B,連接

CD,交08于點E,ZBOC=42°,則的度數(shù)是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【變式4-5］（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于OO,AABC=60°,ABAC=ZCAD=45°,

D.也

【變式4-6］（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，是。。的內(nèi)接正幾邊形的一邊，點。在。。上，ZACB=18°f

則”

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2023?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?一模）如圖，力B是。。的直徑，弦CDL48于點E,NCDB=30°,。。的半徑

為2,則弦CD的長為（）

C.2也D.9

2.（2024?浙江溫州?三模）如圖,AB,DE是。。的直徑，弦CD||/B,連結(jié)3C,BE,若/BCD=a,則

C.900-aD.90°-2a

3.（2025?安徽?模擬預(yù)測）如圖，48是。。的弦，半徑OCL/B,垂足為〃，弦CE與48交于點F連接

AC,BC.

C

⑴求證：NBAC=NE；

(2)若N8=8,DC=2,CE=3M,求CF的長.

4.(2024?貴州?模擬預(yù)測)如圖，等邊V/8C內(nèi)接于OO,P是標(biāo)上任一點(點尸不與點A,8重合)，連

接/P,BP,CP,48與尸C相交于點。，過點C作。W〃8尸交尸N的延長線于點M.

(1)寫出圖中一對相似三角形：;

⑵求證：AACM沿ABCP；

(3)若P/=l,PB=2,求四邊形尸BCM的面積.

5.(2023?四川綿陽?中考真題)如圖，在。。中，點4,B,C,。為圓周的四等分點，/￡為切線，連接ED,

并延長交。。于點R連接8尸交ZC于點G.

(2)求證：^ADE=^ABG；

(3)若/￡=3,ZG=3GC,求cos/C8尸的值.

題型五：圓周角定理的推論和應(yīng)用

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?西藏?中考真題）如圖，NC為。。的直徑，點3,。在。。上，AABD=60°,5=2,則

的長為（）

A.2B.272C.273D.4

【變式5-1］（2024?湖北?中考真題）如圖，是半圓O的直徑，C為半圓。上一點，以點2為圓心，適當(dāng)

長為半徑畫弧，交于點交BC于點、N,分別以點M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧

在//BC的內(nèi)部相交于點。，畫射線連接NC.若/C4B=50。，則/CAD的度數(shù)是（）

C

【變式5-2］（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，N8是O。的直徑，是O。的弦，連接ND、BC、BD.若

【變式5-3］（2024?山東泰安?中考真題）如圖，是。。的直徑，C,。是。。上兩點，BA平分NCBD,

若￡）/。。=50°,則//的度數(shù)為（）

A.65°B.55°C.50°D.75°

【變式5-4］（2024?湖北?中考真題）48為半圓。的直徑，點C為半圓上一點，且/C4B=50。.①以點3為

圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交AB,BC于D,E；②分別以DE為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點P；

③作射線BP,則乙42P=（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

【變式5-5］（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，V4BC內(nèi)接于O。，4。是直徑，若4=25。，則NCW

【變式5-6］（2023?浙江紹興?中考真題）如圖是6x7的網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,半圓NCB上的點

A,B,C,。均落在格點上.請按下列要求完成作圖：要求一：僅用無刻度的直尺，且不能用直尺中的直角;

（1）在圖中作出弧8c的中點D

（2）連結(jié)NC,作出/A4c的角平分線.

（3）在48上作出點P,使得4P=/C.

【變式5-7］（2024?寧夏?中考真題）如圖，在V48c中，點。是邊8C的中點，以N8為直徑的。。經(jīng)過點。,

點p是邊/c上一點（不與點4c重合）.請僅用無刻度直尺按要求作圖，保留作圖痕跡，不寫作法.

（1）過點A作一條直線，將V/BC分成面積相等的兩部分；

⑵在邊AB上找一點P',使得BP=CP.

【變式5-8］（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，N5是。。的直徑，BC,AD是。。的兩條弦，點C與點。

（2）如圖2,若BD=2OE,求證：BD//OC.（請用兩種證法解答）

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2025?湖北黃石?一模）如圖，四邊形內(nèi)接于OO,4C,為對角線，經(jīng)過圓心。若/胡。=44。,

則3c的度數(shù)為（）

A.44°B.46°C.48°D.56°

2.（2024?浙江寧波?二模）如圖，己知鈍角V/5C內(nèi)接于。。，過點。作CEL/C交48于點￡,若

CE=3,BC=4,AC=9,則。。的半徑為（）

VwC.6D.8

3.（2024?甘肅?模擬預(yù)測）如圖，V/BC內(nèi)接于。O,48是O。的直徑，。是O。上一點，若C是礪的中

則44C￡):

4.（2024?江蘇徐州?三模）如圖，以V/8C的邊BC為直徑的OO分別交/2、/C于點。、E,連接O。、

OE.若4=62。，貝IJ/￡>OE=

5.（2024?山西?模擬預(yù)測）如圖，是。。的直徑，點C,。在上，連接NC,AD,C。，若4DC=38。,

則/瓦（C的度數(shù)為

題型六：圓內(nèi)接四邊形

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，四邊形48co是OO的內(nèi)接四邊形，是OO的直徑,

若/BEC=2Q°,則N4DC的度數(shù)為（

C.120°D.130°

【變式6-1］（2024?山東濟寧?中考真題）如圖，分別延長圓內(nèi)接四邊形/BCD的兩組對邊，延長線相交于點

E,F.若/￡=54。41',/尸=43。19',則/N的度數(shù)為（）

41°20'C.41°D.40°20'

【變式6-3］（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知四邊形/BCD是。。的內(nèi)接四邊形，￡為/。延長線上

則/C0E等于（)

A.64°B.60°C.54°D.52°

【變式6-4］（2024?吉林?中考真題）如圖,四邊形ABC。內(nèi)接于O。，過點8作成〃4D,交CD于點E.若

ZBEC=50°,則N/2C的度數(shù)是（）

D

B.100°C.130°D.150°

【變式6-5］（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，45是OO的直徑，ANC。內(nèi)接于O。，CD^DB，AB,CD

的延長線相交于點E,且。￡=4D.

⑴求證：ACADSACEA；

⑵求N4DC的度數(shù).

【變式6-6］（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，A4BC為O。的內(nèi)接三角形，4B為的直徑，將“BC沿

直線翻折至IJA/BD,點。在。。上.連接CD,