微專題41綜合與實踐

一、數與式

1.綜合與實踐

【主題】網格中的路線

【素材】如圖①所示：

①在4X3的網格中，記A,B,。三點；

②沿網格線從4點出發到3點，規定必須向北走，或向東走.

【實踐操作】

①如圖②，除點A外其余交點用空圓代替；

②按圖示方式在空圓中，填寫出從A點出發到部分交點的路線數量；

③從點A出發到點。共有3條路線.

【實踐探索】

(1)從A點出發到5點共有多少條路線？并補全圖②中的空圓；

(2)從A點出發到5點，且不經過點C,此時共有多少條路線，并畫圖說明.

.

A^

-1

2

2.(人教七上實驗與探究改編)綜合與實踐

【主題】幻方

【素材】幻方最早源于我國，古人稱之為縱橫圖，如圖①是一個三階幻方.

第1頁共27頁

第2題圖①

【實踐操作】

步驟1：計算每一橫行點數的和；

步驟2：計算每一豎列點數的和；

步驟3：計算兩條斜對角線上的點數的和.

【實踐探索】

(1)每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的點數的和均為;

(2)將一6,-3,0,3,6,9,12,15,18填入圖②，使其構成一個三階幻方;

【拓展延伸】

(3)如圖③，在一個由6個圓圈組成的三角形里，將一7到一2這6個連續整數

分別填入圓圈中，使得三角形的每條邊上的三個數的和S均相等，且求出S的最

大值.

第2題圖

二、方程(組)與不等式(組)

3.(人教七上習題改編)綜合與實踐

【主題】利用天平稱1個乒乓球和1個紙杯的質量

第2頁共27頁

【問題情境】在綜合實踐課上，老師讓同學們利用天平和一些物品探究等式的基

本性質，現有一架天平和一個10克的祛碼，如何稱出1個乒乓球和1個紙杯的

質量？

【操作探究】下面是“智慧小組”的探究過程.

準備物品：①若干個大小相同的乒乓球(質量相同)；

②若干個大小相同的紙杯(質量相同).

探究過程：設每個乒乓球的質量是8克.

乒乓球

天平狀一次性紙

天平左邊天平右邊的

態杯的總質量

總質量

8個乒乓球和

記錄110個一次性紙杯平衡8%

1個10克的祛碼

10個一次性紙杯

記錄216個乒乓球平衡16%

和1個10克的祛碼

【解決問題】

(1)①將表格中的空白部分用含％的式子表示；

②分別求1個乒乓球的質量和1個一次性紙杯的質量.

【拓展設計】

(2)“創新小組”根據“智慧小組”的探究過程提出這樣一個問題：

請你設計一個方案，使得乒乓球的個數為一次性紙杯個數的2倍，并填入下表:

天平左邊天平右邊天平狀態

乒乓球____一_次性紙杯________個+1個10克的祛

記錄3平衡

個碼

第3頁共27頁

4.在綜合與實踐課上，數學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節

約用水策略.

【主題】探索清洗衣物的節約用水策略

【洗衣過程】

步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干.重復操作步驟二，直至

校服上殘留洗衣液濃度達到洗衣目標.

假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%,每次擰干后校服上都殘

留0.5kg水.

濃度關系式：后=.其中前、后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液

4J0.5+Wdd

濃度；取為單次漂洗所加清水量(單位：kg).

【洗衣目標】經過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%.

【動手操作】請按要求完成下列任務：

(1)如果只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要多少清

水？

(2)如果把4kg清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標？

(3)比較(1)和(2)的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法.

第4頁共27頁

三、函數

5.（人教八下習題改編）【綜合與實踐】

【主題】探究彈簧的伸長量

【素材】某數學實驗小組在學習了力的知識后，計劃通過實驗探究彈簧在不同伸

長量下對外界的彈力大小，具體過程如下（實驗均在彈簧彈性范圍內進行）：

【實踐操作】

步驟1：記錄實驗數據如下表：

彈簧長度L/cm2223242526272829

彈力BN00.51.01.52.02.53.03.5

步驟2：通過表中的數值，在圖②的平面直角坐標系中描點、連線，畫出彈簧長

度L與彈簧對外界的彈力大小F的圖象.

w

c.l

KI

gx/l

>

0

^

Ju"2223242526272X29u,.m

圖①圖②

第5題圖

【實踐探索】

（1）觀察所畫的圖象，猜測尸與上之間的函數關系，并求出函數關系式；

（2）若彈簧的勁度系數左=/（下為彈簧受到的拉力，尸拉=尸彈，/￡為彈簧伸長

的長度），求上的值；

第5頁共27頁

（3）在（2）的條件下，如圖③，是兩根勁度系數不同的彈簧甲、乙（兩根彈簧

起始長度相同），分別掛上"，N兩物塊，且物塊"的質量大于物塊N的質量

（質量越大，懸掛時對彈簧的拉力越大，彈簧對外界的彈力也越大），觀察圖象,

則k甲,左乙（填或“

甲

第5題圖③

6.項目化學習

【主題】優化大豆種植密度

【項目背景】大豆，俗稱黃豆，屬一年生草本，是我國重要糧食作物之一，已有

五千年栽培歷史，古稱“菽”，某校綜合實踐小組以探究“大豆種植密度優化方

案”為主題展開項目學習

第6題圖

【驅動任務】探究大豆產量與種植密度的關系

【研究步驟】（1）在勞動實踐基地中選定6塊單位面積（1平方米）的地塊作為

試驗田，并選定適宜的大豆品種；

（2）在不同試驗田中種植株數不同的大豆，嚴格控制影響大豆生長的其它變量,

在大豆成熟期，對每株大豆的產量進行統計；

（3）數據分析，形成結論.

第6頁共27頁

【試驗數據】

試驗田編號123456

單位面積試驗田種植株數％（株）304050607080

單株的平均產量y（粒）514641363126

【問題解決】請根據此項目實施的相關材料完成下列任務：

（1）根據表中信息可知，單位面積試驗田中大豆單株的平均產量y（粒）是種植

株數％（株）的函數（選填“一次”“二次”“反比例”），y與％的

函數關系式為（30<x<80）；

（2）若要使單位面積試驗田中大豆的總產量（單位：粒）最大，請通過計算說

明單位面積試驗田中大豆植株種植數量的方案.

7.（人教九下活動改編）

【主題】設計簡易桿秤

【綜合與實踐】

有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”.某興趣小組將利用物

理學中杠桿原理制作簡易桿秤，小組先設計方案，然后動手制作，再結合實際進

行調試，請完成下列方案設計中的任務.

第7頁共27頁

【知識背景】如圖，稱重物時，移動秤泥可使桿秤平衡，根據杠桿原理推導得：

(mo+m)-l=M-(?+y).其中秤盤質量加o克，重物質量加克，秤坨質量M克,

秤紐與秤盤的水平距離為/厘米，秤紐與零刻線的水平距離為。厘米，秤坨與零

刻線的水平距離為y厘米.

【方案設計】

目標：設計簡易桿秤.設定加o=lO,M=50,最大可稱重物質量為1000克，零

刻線與末刻線的距離定為50厘米.

任務一：確定/和。的值；

(1)當秤盤不放重物，秤泥在零刻線時，桿秤平衡，請列出關于/,。的方程；

(2)當秤盤放入質量為1000克的重物，秤坨從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡,

請列出關于/,。的方程；

(3)根據(1)和(2)所列方程，求出/和。的值；

任務二：確定刻線的位置.

(4)根據任務一，求y關于機的函數解析式；

(5)從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應刻線，請寫出相鄰刻線間的

離

距

第8頁共27頁

四、圖形的變化

8.(北師九上做一做改編)綜合與實踐

【主題】探究紙條交叉重疊部分的圖形形狀.

【素材】如圖①，②所示：兩張等寬的紙條.

第8題圖

【實踐操作】

步驟1：取兩張長足夠的，寬為6cm的矩形紙條;

步驟2：如圖③，將一張紙條水平放置不動,另一張紙條與它成45°的角;

步驟3：將呈45°的紙條從右往左平移.

【實踐探索】

(1)寫出在平移過程中，重疊部分可能出現的形狀;

(2)當重疊部分的形狀為如圖④所示的四邊形A5CD時，請判斷四邊形A5CD

的形狀，并說明理由.

第9頁共27頁

9.（人教七上課題學習改編）（2024福建改編）綜合與實踐

【主題】制作底面為正方形的禮品盒.

【素材】一張長方形紙板如圖①所示.

【實踐操作】

步驟1：取出一張長方形紙板；

步驟2：按如圖②所示的方式進行分割、裁剪，其中恰好得到紙盒的

展開圖；

步驟3：利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖③所示.

【實踐探索】

（1）直接寫出黑的值；

AB

（2）如圖④，按要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如

意”，那么應選擇的紙盒展開圖圖樣是（）

第9題圖④

第10頁共27頁

10.(人教八上課題學習改編)綜合與實踐

【主題】研究幾何體的最短路線問題

“轉化”是一種重要的數學思想，將空間問題轉化為平面問題是轉化思想的一個

重要方面.為了讓同學們探究“轉化”思想在數學中的應用，在數學活動課上，

老師帶領學生研究幾何體的最短路線問題.

【實踐操作】

如圖①，一只螞蟻從點A出發沿圓柱側面爬行到點C,其最短路線正是側面展開

圖中的線段AC,若圓柱的高A5為2cm,底面直徑為8cm.

【問題解決】

(1)判斷最短路線的依據是:

(2)求出螞蟻沿圓柱側面爬行的最短路線AC的長(結果保留根號和兀)；

【拓展遷移】

如圖②，。為圓錐的頂點，M為底面圓周上一點，點尸是的中點，母線OM

=8cm,底面圓半徑為2cm,粗線為螞蟻從點尸出發繞圓錐側面爬行回到點尸

時所經過的路徑的痕跡.

(3)請求出螞蟻爬行的最短距離.

二二nC-------—---------

Q-----)沿一切開平飩-------1

圖①

圖②

第10題圖

第11頁共27頁

11.(北師九下習題改編)綜合與實踐

【主題】配置圓形玻璃材料

【素材】有一塊被不小心打碎的圓形玻璃材料的殘片，如圖①，現需重新配置一

片與原材料大小相同的圓形玻璃材料.

【實踐操作】

利用尺規作出該玻璃殘片的圓心，小明的作圖過程如下：

步驟1：在圓形玻璃殘片上任取兩點A,B,如圖②；

步驟2：過點A作一條直線/，使得直線/與圓只有一個交點4；

步驟3：以點A為圓心，任意長為半徑向點4兩側作弧，分別交直線/于V,N

兩點；

步驟4：分別以點N為圓心，大于，^的長為半徑作弧，兩弧分別交于P,

。兩點，作直線尸Q

步驟5：過點5作…，

【實踐探索】

(1)在圖②的基礎上補全尺規作圖，求作圓心0(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)在小明作圖過程中的“步驟4”中，尺規作圖內容是;

(3)除了上述方法外，小明想到還可以利用垂徑定理求出該圓形玻璃殘片的圓

心，如圖③，在圓形玻璃殘片上分別取點4,點5和點C,^AC=BC=a,ZACB

第12頁共27頁

=a.請你結合垂徑定理的知識，利用尺規作出該圓形玻璃殘片的圓心0,并求出

直徑（用含。和a的式子表示）.

第11題圖

12.（北師九上綜合與實踐改編）（2023耀州、|）視力表中蘊含著很多數學知識,

如：每個“三”形圖都是正方形結構，同一行的是全等圖形且對應著同一

個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表.

【主題】探究視力表中視力值與對應的形圖邊長的關系.

素材1國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值”，測

得對應行的”口形圖邊長8（mm）,在平面直角坐標系中描點如圖①.

探究1檢測距離為5米時，歸納〃與〃的關系式，并求視力值1.2所對應行的

“巨”形圖邊長.

令口二二:E

第12題圖

第13頁共27頁

素材2圖②為視網膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小形圖

所成的角叫做分辨視角e.視力值n與分辨視角e（分）的對應關系近似滿足T

（0.5<6?<10）.

探究2當〃21.0時，屬于正常視力，根據函數增減性寫出對應的分辨視角。

的范圍.

素材3如圖③，當夕確定時，在A處用邊長為"的/號“a”測得的視力與在

5處用邊長為左的〃號測得的視力相同.

探究3若檢測距離為3米，求視力值1.2所對應行的“之”形圖邊長.

五、圖形與坐標

13.（北師八上做一做改編）綜合與實踐

【主題】坐標與示意圖

【素材】如圖①是某校的平面示意圖.

北

第13題圖①

【實踐操作】

第14頁共27頁

步驟1:如圖②，根據示意圖中的位置，將部分建筑放入合適的網格中，

步驟2：以正東為％軸正方向，正北為y軸正方向建立平面直角坐標系后，得到

部分信息如下：

①初中樓的坐標是(一4,2)；

②實驗樓的坐標是(一4,0).

第13題圖②

【實踐探索】

(1)在圖②中補全平面直角坐標系，并直接寫出“操場”和“圖書館”位置的

坐標；

(2)已知“校門”和“宿舍”位置的坐標分別為(1,—3),(-3,4).

①請在圖②中表示出來，并標明文字；

②該校平面示意圖的比例尺為1：50(1個單位長度表示50米)，求出“高中樓”

與“宿舍”的實際距離.

六、統計與概率

14.【主題】了解學生對球類項目的選擇情況

第15頁共27頁

七年級陽光體育鍛煉活動項目選擇情況的調查報告

某校計劃在七年級開展陽光體育鍛煉活動，開設以下五個球類項目：A

（羽毛球），B（乒乓球），C（籃球），D（排球），E（足球），要

調查背

求每位學生必須參加，且只能選擇其中一個項目.為了了解學生對這五

景

"個項目的選擇情況，學校從七年級全體學生中隨機抽取部分學生進行問

卷調查.

調查方

抽樣調查

式

陽光體育鍛煉活動項目選擇情況的調查問卷

在下面五個球類項目中，你選擇的是（）（單選）

A.羽毛球B.乒乓球C.籃球D.排球E.足球

為保證調查數據的全面性，應選擇的樣本選取方式為.

A.隨機抽取七年級60名女生

樣本選

B.隨機抽取七年級60名男生

取

C.隨機抽取七年級60名學生

D.隨機抽取七年級30名男生，30名女生

學校用合理的方式抽取了60名學生，對調查所得到的數據進行整理、

數據的

獸項目速攝人K扇形娥計網

收集、

整理與

描述

第14題圖

調查結

論

第16頁共27頁

根據以上信息，解決下列問題：

(1)圖表中樣本選取方式為(填字母)；

(2)將圖①中的條形統計圖補充完整(畫圖并標注相應數據)；

(3)圖②中項目E對應的圓心角的度數為°;

(4)根據抽樣調查結果，請估計本校七年級800名學生中選擇項目6(乒乓球)

的人數.

第17頁共27頁

一、數與式

1.解：(1)二.從4點到5點必須向北走，或向東走，

???到達4點以外的任意交點的路線數量只能是與其相鄰的南邊交點和西邊交點

的數字之和，

，補全從4點到達其余各交點的路線數如解圖①，

???從A點出發到5點共有35條路線；

第i題解圖①

(2)二?從A點出發到5點，且不經過點。，

???可刪除與。點緊相連的網格線，

如解圖②，依次寫出到達4點以外的任意交點的路線數量，

???從4點出發到5點，且不經過點C,此時共有17條路線.

to<M>

JL-_

(—p-?XD依-Xi)

第1題解圖②

2.解：(1)15；

【解法提示】任取兩組數據，由題圖可知4+9+2=8+5+2=15.

(2)V(-6-3+0+3+6+9+12+15+18)4-3=18,

...在三階幻方中，每行、每列、每條對角線上的三個數之和都等于18,

根據幻方的特點可知，從小到大的排列的9個數中，居于中間位置的數填在幻方

的正中心的格子中，且這列數中最大的數與最小的數必在一起，

第18頁共27頁

???構成的三階幻方如解圖①（答案不唯一）;

第2題解圖①

（3）將一7、一6、一5、一4、一3、一2分別填入圓圈中，具體如下：

如解圖②，將一2、一3、一4填入三角形的三個頂點處；一2與一3之間填一7,

—2與一4之間填一6,—3與一4之間填一5,

則三角形的每條邊上的三個數的和都相等，且和最大，

止匕時，一2-3—7=—2-4-6=-3—4-5=-12,

??.S的最大值為一12.

&

第2題解圖②

二、方程（組）與不等式（組）

3.解：（1）①8%+10；16%—10；

【解法提示】根據題意可得：記錄1中的一次性紙杯的總質量為8%+10；記錄2

中的一次性紙杯的總質量為16%—10.

②由題意得8x+10=16%-10,

解得％=2.5,

?8x+104%+5c

..------=-----=3,

105

答：一個乒乓球的質量為2.5克，一個一次性紙杯的質量為3克；

（2）10,5【解法提示】設一次性紙杯個數為m則乒乓球個數為2a,由題意得

2.5X（2a）=3a+10,解得a=5,2a=10..?.將天平左邊放置10個乒乓球，天平

右邊放置5個一次性紙杯和1個10克的磋碼，使得天平平衡.

第19頁共27頁

4.解：(1)令d后=0.01%,

得喀￡出=。01%,解得.=9.5,

0.5+w

檢驗：當w=9.5時，0.5+w=10#0,符合題意，

：.w=9.5是原分式方程的根，

答：如果只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg

清水；

⑵易知每次使用清水2kg,第一次漂洗之后洗衣液濃度為d第一次后=嘿子=

0.04%,

第二次漂洗之后洗衣液濃度為d第二次后=詈:曹軍=Q008%,

V0.008%<0.01%,

...把4kg清水均分，進行兩次漂洗，是可以達到洗衣目標的；

(3)從節約用水角度對這兩種洗衣用水策略的想法：對于只經過一次漂洗需要9.5

kg清水能達標的方法，雖然操作相對簡單，但用水量較大.而將4kg水分兩次漂

洗也能達標的策略，在節約用水方面表現更優.我們更注重節約用水，應優先選

擇分兩次漂洗的策略.因為它在達到洗衣目標的前提下，減少了總用水量(答案不

唯一，合理即可).

三、函數

5.解：(1)觀察題圖②可得，尸與上之間為一次函數關系,

設函數關系式為產="+￡>(40),

將(22,0),(24,1.0)兩點代入尸=“￡+》中，

a=-

(24a+b=1[b=-11

尸與￡之間的函數關系式為尸=乜一11；

(2)觀察表格可得，當彈簧伸長1cm時，彈力增加0.5N,

第20頁共27頁

.?.A￡=lcm時，/拉=尸彈=0.5N,

???彈簧的勁度系數上=5=。.5N/cm；

△L

⑶〉.

【解法提示】???物塊M的質量大于物塊N的質量(質量越大，懸掛時對彈簧的拉

力越大，彈簧對外界的彈力也越大)，J尸甲〉尸乙.觀察題圖③可知，彈簧甲的伸

長量小于彈簧乙的伸長量，即/上甲</￡乙.???由(2)中公式％=4,得上甲>女乙.

6.解：(1)一'、次,y=-0.5%+66；

【解法提示】根據表中數據，單位面積試驗田種植株數每增加10株，單株的平

均產量減少5粒，.,?丁是％的一次函數；設y與％的函數關系式為y=fcr+Z?(晨》

為常數，且左W0).將％=30,y=51和X=40,y=46分別代入y=H+b,得

30/c+b=51,解得"=—0.5,.力與％的函數關系式為了=—o.5%+

、40k+b=465=66

66(3080).

(2)設單位面積試驗田中大豆的總產量為卬粒，則w=xy=x(-0.5x+66)=-|(x

-66)2+2178,

1

V--<0,30<x<80,

2

當％=66時,W的值最大,

.?.單位面積試驗田中種植66株大豆時，可使單位面積試驗田中大豆的總產量最

大.

7.解：(1)根據題意，得加=0,y=0,

將加=0,y=0,mo=lO,Al=50代入Oo+M/=Af(a+y),得10/=50Q,

?.l=5a；

(2)根據題意，得加=1000,y=50,將加=1000,y=5Q,mo=10,M=50代入

(mo+zw)/=M(a+y),

得(10+1000)/=50(。+50),

第21頁共27頁

.?.101Z=5a+250；

(3)聯立(1),(2)中的兩個方程，

得《蕾°解得尸受；

(101Z=5a+250(a=0.5

(4)把/=2.5,a=0.5,恤=10,M=50,代入Oo+機)/=M(a+y),得2.5(10+

m)=5O(O.5+y),化簡，得產治

???y關于m的函數解析式為T；

(5)由(4)知尸會將加=100代入尸條得尸5,

將冽=200代入y=為，得y=10,

V10-5=5,

???從零刻度線開始，每隔100克重量在秤桿上找到對應刻度線，相鄰兩刻度線的

距離為5厘米.

圖形的變化

8.解：(1)在平移過程中，重疊部分的形狀分別為三角形，梯形，五邊形，菱形;

(2)四邊形ABCD是菱形.理由如下：

如解圖，分別過點5,。作于點E,O/UCfi于點尸，

：.ZBEC=ZDFC=90°

???兩張紙條等寬，

：.BE=DF=6.

在△5CE和△/中，NBCE=/DCF=45°,

...△BCE和^DCF都為等腰直角三角形，

：.BC=DC=,62+62=6近,

???兩張紙條都是矩形，

：.AB//CD,BC//AD.

：.四邊形ABCD是平行四邊形，

第22頁共27頁

又,：BC=DC,

，四邊形A5CD是菱形.

第8題解圖

9.解：(1)2；

【解法提示】如解圖，由折疊和題意可知，GH=AE+FB,,四邊形

是正方形，：.EM=EF,即AG=ERGH+AG=AE+FB+EF,即A"

=AB,\'AH=DH,.?.些="±空=2,.?.生的值為2.

ABABAB

第9題解圖

⑵C.

【解法提示】根據幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對應面上，“祥”和

“意”在對應面上，而對應面上的字中間相隔一個幾何圖形，且字體相反，...C

選項符合題意.

10.解：(1)兩點之間線段最短；

(2)剪開后，AB=2cm,

1

50=5X871=4兀(cm),

：.AC=^AB2+BC2=J22+(4TT)2=V4+16TT2=2V1+4TT2(cm),

最短路線AC的長為

2A/1+4TT2cm；

(3)二?圓錐的底面周長為27iX2=4兀(cm),

第23頁共27頁

設側面展開圖的圓心角度數為1,

解得n=90,

??.如解圖，該圓錐的側面展開圖是圓心角為90°的扇形,

線段PP的長為螞蟻爬行的最短距離，

在RtAMOM'^,

MM'=JoM2+OM'2=心+82=8或(cm),

?.?點尸為OM中點，

.'.PP'^AOW的中位線，

：.PP'=-2MM'=4y/2cm,

???螞蟻爬行的最短距離為4魚cm.

0

Vv：-r■；：＞1/,

第10題解圖

11.解：(1)補全尺規作圖如解圖①所示；

第11題解圖①

(2)過已知直線上一點作其垂線；

(3)作出圓形玻璃殘片的圓心0如解圖②所示；

設4。的垂直平分線為0E,5。的垂直平分線為0尸，連接40,BO,CO,

,：AC=BC=a,

：

.EC=FC=~2,

'：CE±OE,CF±OF,