2025年中考數(shù)學總復習《幾何求解證明之圓中的最值問題》同步測

試題-附答案

學校:班級：姓名:考號：

一.選擇題（共5小題）

1.如圖，O。的圓心。與正方形的中心重合，已知O。的半徑和正方形的邊長

都為4,則圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為（）

A.V2C.4+2V2D.4-2V2

2.如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，=03=33點C為平面內(nèi)一動

點，BC=I，連接AC,點M是線段AC上的一點，且滿足CM：MA=1：2.當

線段OM取最大值時，點M的坐標是（）

O

A（|遮|Vs）

612（3上的）

3.如圖，。。的半徑為4,將劣弧沿弦A3翻折，恰好經(jīng)過圓心。，點C為優(yōu)弧

A3上的一個動點，則△ABC面積的最大值是（）

第1頁共41頁

A.12V3B.12V2C.4V3D.8+8V2

4.平面直角坐標系內(nèi)，已知點A（1,0）,B（5,0）,C(0,力.當t>0時,

若NAC3最大，則/的值為（)

53

A.2V2B.-C.V5D.-

22

5.如圖，在△ABC中,NA=60°,BC=6V3,。是3c邊上一點，CD=2BD,

線段AD的最大值為()

A.12B.6+2V3C.6+V3D.2V21

填空題（共8小題）

6.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,A3=8,點尸是A3邊上的一個動點，以

BP為直徑的圓交CP于點Q,若線段AQ長度的最小值是4,則AABC的面

積為.

7.如圖，OM的半徑為4,圓心M的坐標為（5,12）,點尸是OM上的任意一

點，PA±PB,且必、P3與x軸分別交于A、3兩點，若點A、點3關于原點

。對稱，則A3的最小值為.

第2頁共41頁

8.如圖，在平面直角坐標系中，點A(-1,0),點3(1,0),點/(3,4),

以“為圓心，2為半徑作OM.若點尸是OM上一個動點，則以2+依2的最

大值為-

9.如圖，OO與x軸交于點A,B,與丁軸交于點C,D,P為OO上一動點，Q

為弦AP上一點，AQ=3PQ.若點D的坐標為(0,-4),則CQ的最小值

為.

10.如圖，在平面直角坐標系X0V中，O。的半徑是1.過O。上一點P作等邊

三角形PDE,使點D,E分別落在x軸、y軸上，則PD的取值范圍

第3頁共41頁

11.如圖，o。的半徑為2,定點P在o。上，動點A，3也在O。上，且滿足

ZAPB=30°,C為P3的中點，當點A,3在圓上運動時，線段AC的最大

值為.

B

12.如圖，點A、B、C均在坐標軸上，AO=BO=CO=1,過A、。、C作O。，

E是O。上任意一點，連結(jié)CE,BE,則CE2+BE2的最大值是.

13.如圖，在RtzXABC中，已知NA=90°,AB=6,3c=10,。是線段3c上

的一點，以C為圓心，CD為半徑的半圓交AC邊于點E,交3C的延長線于

點F,射線BE交即于點G,則BE-EG的最大值為.

三.解答題(共6小題)

14.如圖，已知半徑為2的。。與直線/相切于點A,點P是直徑A3左側(cè)半圓

上的動點，過點P作尸C，/,垂足為點C,PC與O。交于點。，連接力，PB,

設PC的長為x(2<x<4).

(1)當x=3時，求弦B4,P3的長度；

(2)用含有x的代數(shù)式表示并求出當x為何值時，的值最

大？最大值是多少？

第4頁共41頁

15.如圖，直線/：y=^x+b與y軸交于點A,與x軸交于點3(-6,0),點C

是線段。4上一動點(0<ACV:).以點A為圓心，AC長為半徑作OA交線

段A3于另一點。，連接。。并延長交OA于點E.

(1)求4。43的面積；

(2)ZACD=ZAOD+ZOAD,求點。的坐標；

(3)若點C在線段。4上運動時，求OD?DE的最大值.

16.如圖，半圓。的直徑A3=4,以長為2的弦尸。為直徑，向點。方向作半

圓時，其中P點在AQ上且不與A點重合，但。點可與3點重合.

(1)計算：劣弧PQ的長；

(2)思考：點”與A3的最大距離為,此時點P,A間

的距離為；點M與A3的最小距離為.

(3)探究：當半圓〃與A3相切時，求福的長.

(注：結(jié)果保留TT,cos35°=坐，cos55°=第)

4.2BAqBAQB

QQ

圖1備用圖備用圖

17.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點3的坐標分別是(1,0),(7,

0).

(1)對于坐標平面內(nèi)的一點P,給出如下定義：如果NAP3=45°,那么稱

點P為線段A3的“完美點”.

①設A、3、P三點所在圓的圓心為C,則點C的坐標是,

第5頁共41頁

oc的半徑是；

②y軸正半軸上是否有線段A3的“完美點”？如果有，求出“完美點”的坐

標；如果沒有，請說明理由；

(2)若點尸在y軸負半軸上運動，則當NAP3的度數(shù)最大時，點P的坐標

18.如圖，已知A3是O。的直徑，弦CDLAB于點E,點R是線段CD延長線

上的一點，連結(jié)陰交O。于點G,連結(jié)CG交AH于點P,連結(jié)CA.

AA三

!

BB

①②③

(1)求證：ZACG=ZF.

(2)如圖②，若CA=CG,求證：AG=CD.

(3)如圖③，連結(jié)DG,AE=8.BE=2.

①若tan/b=',求AP的長；

②求AG?DG的最大值.

19.如圖，P是y軸負半軸上一動點，坐標為(0,/),其中-4<t<0,以P為

圓心，4為半徑作OP,交y軸于A,B,交x軸正半軸于(1連接PC,BC,

第6頁共41頁

過點3作平行于PC的直線交x軸于。，交OP于E.

(1)當--3時，求0c的長；

(2)當△P3C與△C3D相似時，求/的值；

(3)當尸在y軸負半軸上運動時，

①試問器的值是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；如不發(fā)生變化，求出這

個比值；

②求3E-ED的最大值.

AA\

O

笛用圖

參考答案與試題解析

答案

一.選擇題(共5小題)

1.如圖，O。的圓心。與正方形的中心重合，已知O。的半徑和正方形的邊長

都為4,則圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為()

A.V2C.4+2V2D.4-2V2

【分析】如圖，由三角形三邊關系分析可得當。、A、3三點共線時，圓上任

意一點到正方形邊上任意一點距離有最小值，最小值為-0A,以此即可求

解.

【解答】解：如圖，點3為O。上一點，點。為正方形上一點，連接3D,

0C,0A,AB,

第7頁共41頁

、?—

z、；

由三角形三邊關系可得，OB-ODVBD,

是圓的半徑，為定值，當點。在A時，取得最大值，

???當。、A、3三點共線時，圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離有最小

值，最小值為03-

由題意可得，AC=4,0B=4,

?.?點。為正方形的中心，

：.0A±0C,0A=0C,

???△A0C為等腰直角三角形，

,,6=保=專=2魚,

???圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為OB-OA=4-2V2.

故選：D.

2.如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，。4=。3=3時，點C為平面內(nèi)一動

點，BC=l，連接AC,點M是線段AC上的一點，且滿足CM：MA=1：2.當

線段0M取最大值時，點M的坐標是（）

0\

A.

（3口）

【分析】由題意可得點C在以點3為圓心，；3為半徑的03上，在X軸的負半

軸上取點。（-竽，0）,連接3D,分別過C和M作CfUOA,MELOA,垂

第8頁共41頁

足為F、E,先證4Ms△D4C,得—=—=從而當CD取得最大值

CDAD3

時，取得最大值，結(jié)合圖形可知當D,B,C三點共線，且點3在線段DC

上時，CD取得最大值，然后分別證AAEM^AAFC,禾煙

相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：???點C為平面內(nèi)一動點，BD=l，

??.點C在以點3為圓心，］為半徑的03上，

在x軸的負半軸上取點。（-苧，0），

連接3D,分別過C、”作CfUOA,ME10A,垂足為RE,

"：OA=OB=3V5,

：.AD=OD+OA=^,

.OA2

??—―,

AD3

CMtMA=1：2,

.OA2CM

"'AD~3~ACJ

"：ZOAM=ZDAC,

：./\OAM^/\DAC,

.OMOA2

**CD—AD―3’

當CD取得最大值時，OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當。，B,C三點共

線，且點5在線段DC上時，CD取得最大值，

"：OA=OB=3V5,學

,_1q

BD=y/OB2+OD2=2，

：.CD=BC+BD=9,

..0M__2

?——,

CD3

.\OM=6,

軸，x軸，CfUOA,

AZDOB=ZDFC=9Q°,

：ZBDO=ZCDF,

第9頁共41頁

，△BDOS&CDF,

_15

.OBBDRn3V5—

CFCDCF9

解得cR=qi,

同理可得，Z\AE舷

.MEAM2□口ME2

??一=——=一，即—產(chǎn)=一，

CFAC318「3

5

解得ME=喈，

0E=VOM2-ME2=誓

當線段0M取最大值時，點M的坐標是（--X/SJ—Vs

3.如圖，O。的半徑為4,將劣弧沿弦A3翻折，恰好經(jīng)過圓心。，點C為優(yōu)弧

A3上的一個動點，則△ABC面積的最大值是（）

【分析】如圖，過點C作C7UA3于點T,過點0作0HLA3于點H,交。。

于點K,連接A。，AK.解直角三角形求出A3,求出CT的最大值，可得結(jié)

論.

第10頁共41頁

【解答】解：如圖，過點C作C7UAB于點T,過點0作0HLA3于點H,

交O。于點K,連接A。，AK.

由題意AB垂直平分線段0K,

：.AO=AK,

"：OA=OK,

：.OA=OK=AK,

：.ZOAK=ZAOK=6Q°.

/.AH=OA*sin60°=4x.=2技

'JOHLAB,

：.AH=BH,

：.AB=2AH=443,

'：OC+OH^CT,

：.CTW4+2=6,

CT的最大值為6,

AABC的面積的最大值為:x4A/3X6=12V3,

故選：A.

4.平面直角坐標系內(nèi)，已知點A(1,0),B(5,0),C(0,力.當t>0時,

若NACB最大，則/的值為()

C

oABx

第11頁共41頁

L5cL3

A.2V2B.-C.V5D.一

22

【分析】先確定過A、3兩點的OM與y軸相切于點C時/AC3最大，再利

用圓的有關知識求出OC的長即可.

【解答】解：如圖①，作過A、5兩點的OM與y軸相切于點C,

ZACB<ZAPB,

ZAPB=ZACB,

：.ZACB<ZACB,

???OM與y軸相切于點C時，NAC3最大.

如圖②，作連接。M、MA,MB,

:。”與y軸相切于點C,

：.ZOCM=90°,

VA(1,0),B(5,0),

：.AB=4,

'：MH±AB,

：.AH=^AB=2,

：.OH=l+2=3,

：.MC=MA=MB=3,

：.MH=V32-22=V5,

：.OC=V5,

t=V5,

故選：C.

第12頁共41頁

圖①

5.如圖，在△ABC中，ZA=60°,BC=6?。是邊上一點，CD=2BD,

線段AD的最大值為（）

A.12B.6+2V3C.6+V3D.2何

【分析】作△ABC的外接圓，連接OA,OB,OC,0D,過。作OELBC,

利用圓周角定理和垂徑定理，求出利用勾股定理求出根據(jù)AO+OD

^AD,得到當A,0,。三點共線時，AD最大，即可得解.

【解答】解：作△A3C的外接圓，連接。4,OB,OC,0D,過。作。EL3C,

VZA=60°,

AZBOC=120°,

ZBOE=60°,

：.ZOBE=30°,

：.OB=2OE,

'：BC=6V3,CD=2BD

：.BE=3V3,BD=2V3,

第13頁共41頁

"：OB2=OE2+BE2,

：.40￡2=0￡2+21,

'：OE>0,

：.0E=3,

.'.0B=6,

"：DE=BE-BD=痘,

：.OD=VD￡2+OE2=V3T9=2V3,

\'AO+OD^AD,

.?.當A,O,。三點共線時，AD最大，

即：AD=。4+。。=6+2V3；

故選：B.

二.填空題（共8小題）

6.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,A3=8,點P是A3邊上的一個動點，以

BP為直徑的圓交CP于點Q,若線段AQ長度的最小值是4,則△ABC的面

【分析】如圖，取3c的中點T,連接AT,QT.首先證明A,Q,T共線時,

△ABC的面積最大，沒QT=TB=x,利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

【解答】解：如圖，取3C的中點T,連接AT,QT,BQ.

是O。的直徑,

第14頁共41頁

：.ZPQB=ZCQB=90°,

??.。7=義3。=定值，AT是定值，

'：AQ^AT-TQ,

...當A,Q,T共線時，AQ的值最小，設BT=TQ=x,

在Rtz\ABT中，則有（4+x）2=^+82,

解得x=6,

.\BC=2x=12,

.".SAABC^^AB'BC^Ix8X12=48,

故答案為：48.

7.如圖，OM的半徑為4,圓心般的坐標為（5,12）,點P是OM上的任意一

點，PALPB,且以、尸3與》軸分別交于A、3兩點，若點A、點3關于原點

。對稱，則A3的最小值為18.

【分析】由RtAAPB中AB=2OP知要使AB取得最小值，則PO需取得最小

值，連接OM,交OM于點P,當點尸位于P位置時，OP'取得最小值，

據(jù)此求解可得.

【解答】解：連接。P,

'JPALPB,

：.ZAPB=9Q°,

?：AO=BO,

：.AB=2PO,

若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，

連接OM,交O”于點P',當點P位于P位置時，OP'取得最小值，過

點M作MQ.Lx軸于點Q,

則OQ=5,MQ=12,

第15頁共41頁

：.0M=13,

又,：MP'=4,

：.0P'=9,

：.AB=20P'=18,

8.如圖，在平面直角坐標系中，點A(-1,0),點3(1,0),點M(3,4),

以“為圓心，2為半徑作OM.若點尸是OM上一個動點，則以2+0序的最

【分析】設點P(x,y),表示出以2+p§2的值，從而轉(zhuǎn)化為求OP的最值,

畫出圖形后可直觀得出。尸的最值，代入求解即可.

【解答】解：設P(x，y)，

22

VFA2=(X+1)+y,PB2=(x-1)2+y2,

：.P^+PB1==2(召+V)+2,

,.,。產(chǎn)=/+,2,

：.PA1+PB2=2OP2+2,

當點P處于OM與圓的交點P'處時，OP取得最大值，如圖，

第16頁共41頁

.?.OP的最大值為0P=0M+P'M=V42+32+2=7,

??.必2+PB2最大值為2X72+2=100.

故答案為：100.

9.如圖，。。與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,D,P為。。上一動點，Q

為弦AP上一點，AQ=3PQ.若點。的坐標為(0,-4),則CQ的最小值為

V17-3__.

【分析】連接P。，過。作QM〃OP,交A。于以M為圓心，MA為半徑

作圓，連接交O”于Q',得到AM：AO=AQ：AP,求出AM的長，推

出MQ=AM=3,由勾股定理求出CQ'的長即可.

【解答】解：連接P。，過。作QM〃OP,交A。于以“為圓心，為

半徑作圓，連接交OM于。'，

：.AM：AO=AQ：AP,

'：AQ=3PQ,

：.AQ：AP=3：4,

?.?。的坐標是(0,-4),

：.OA=OD=4,

：.AM=IAO=1X4=3,

'：OA=OP,

第17頁共41頁

ZMAQ=ZP,

,JQM//PO,

：.ZMQA=ZP,

：.ZMAQ=ZMQA,

.".MQ=MA=3,

??.Q在OM上，

???當。與Q‘重合時，CQ最小，

OM=AO-AM=4-3=1,OC=4,

MC=y/OM2+OC2=V42+I2=V17,

：.CQ'=CM-MQ'=V17-3,

：.CQ的最小值是g-3.

故答案為：V17-3.

10.如圖，在平面直角坐標系x0y中，。。的半徑是1.過。。上一點P作等邊

三角形PDE,使點D,E分別落在x軸、y軸上，則PD的取值范圍是—遮-1<

PD<43+1—.

【分析】找到最大值與最小值的位置，分別求出取值范圍的臨界值即可解答.

【解答】解：如圖，過點P作尸于點連接

第18頁共41頁

設DP=DE=a,

,.?△PDE為等邊三角形，PM±DE,

：.ZDPE=6Q°,ZDPM=30°,M為DE中點，

DM=a,0M=a,

根據(jù)勾股定理可得PM=7DP2-DM2=Ja2_la2=象,

以此可得PM+OAfNl,

V31

即Hn一a+-a>1,

22

解得：a>V3-1;

如圖，過點P作尸MLDE于點M,連接。M,

設DP=DE=a,

同理可得，OM=a,PM=孚a

根據(jù)圖象可得，PM-OM^l,

V31

BHnJ——a--a<1,

22

解得：a<V3+1；

第19頁共41頁

綜上，V3-l<cz<V3+l,

：.PD的取值范圍是百一1WPD<V3+1.

故答案為：V3-1<PD<V3+1.

11.如圖，O。的半徑為2,定點P在o。上，動點A,3也在o。上，且滿足

NAPB=30：C為P3的中點，當點A,3在圓上運動時，線段AC的最大

值為_遮+1—.

P

【分析】如圖，連接。4,OP,0B,延長3A到使得AH=3A,連接PH.證

明AC=扔求出PH的最大值即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接。4,OP,0B,延長A4到H,使得AH=A4,連接

PH.

"：BA=AH,BC=CP,

J.AC//PH,AC=#H,

?,.當PH的值最大時，AC的值最大，

VZAOB=2ZAPB=6Q°,OA=OB,

：.△A03是等邊三角形，

：.AO=AH=AB,

：.ZH0B=9Q°,

：.OH=V3OB=2V3,

'：PH^OH+OP,

:.PHW2W+2,

.?.當P、0、8共線時，PH最大,PH的最大值為28+2,

1

...AC的最大值為5(2V3+2)=V3+1.

故答案為：V3+1.

第20頁共41頁

H

B

12.如圖，點A、B、C均在坐標軸上，AO=BO=CO=1,過A、0、。作O。,

E是O。上任意一點，連結(jié)CE,BE,則CE2+BE2的最大值是6.

【分析】連接AC,OD,DE,設E(x,y),利用90°的圓周角所對的弦是直

徑可得，AC是O。的直徑，再利用平面直角坐標系中的兩點間距離公式求出

CE2+BE2=2(f+y2)+2,0^=^+^,可得當OE為OD的直徑時，OE最大，

C/+BE2的值最大，然后進行計算即可解答.

【解答】解：連接AC,OD,DE,

設E(x,y),

VZAOC=90°,

?'.AC是。。的直徑，

'：AO=BO=CO=1,

：.A(0,1),C(1,0),B(-1,0),

AC=V2,

CE2=(X-1)2+y2,

5E2=(X+1)-+y2,

2(》

：.CE+BEr=(x-1)2+V+(x+i)2+y2=22+,2)+2,

第21頁共41頁

,：OE2=x1+y2,

當OE為O。的直徑時，OE最大，CE2+BE2的值最大，

：.OE2=AC2=(V2)2=2,

CE2+BE2的最大值=2X2+2=6,

故答案為：6.

13.如圖，在RtZXABC中，已知NA=90°,AB=6,BC=10,。是線段3c上

的一點，以C為圓心，CD為半徑的半圓交AC邊于點E,交的延長線于

點F,射線BE交航于點G,則BE-EG的最大值為32.

【分析】如圖，過點C作CHLEG于點H.利用相似三角形的性質(zhì)證明EB-

EG=2AE*EC,設EC=x,在Rt/XABC中，AC=<BC2-AB2=V102-62=8,

推出EB?EG=2x<8-x)=-2(x-4)2+32,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：如圖，過點C作CHLEG于點H.

■:CHLEG,

：.EH=GH,

VZA=ZCHE=9Q°,ZAEB=ZCEH,

：.AABEsAHCE,

.AE_

??—,

EHCE

：.BE'EH=AE'EC,

:.BE?2EH=2?AE?EC,

：.EB*EG=2AE*EC,

設EC=x,

在RtAABC中，AC=yjBC2-AB2=V102-62=8,

:.EB?EG=2xY8-x)=-2(x-4)2+32,

：-2<0,

第22頁共41頁

?..x=4時，3E?EG的值最大，最大值為32,

故答案為：32.

三.解答題(共6小題)

14.如圖，已知半徑為2的。。與直線/相切于點A,點P是直徑A3左側(cè)半圓

上的動點，過點P作尸C，/,垂足為點C,PC與O。交于點。，連接力，PB,

設PC的長為x(2<x<4).

(1)當x=3時，求弦B4,P3的長度；

(2)用含有x的代數(shù)式表示并求出當x為何值時，的值最

大？最大值是多少？

CAI

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得A3，/,則A3〃PC,所以再

根據(jù)A3為。。的直徑得到NAP3=90°,則可判斷4s利用相

似比可計算出AP,然后利用勾股定理可計算出尸3；

(2)如圖，過。作OELPD,垂足為E,根據(jù)垂徑定理得到PE=ED,易得

四邊形OECA為矩形，則CE=Q4=2,所以PE=ED=x-2,接著表示出PD

和8,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答】解：(1):。。與直線/相切于點A,A3為。。的直徑，

：.ABM,

又"CL,

：.AB//PC,

：.ACPA=ZPAB,

?..AB為O。的直徑，

APB=90°,

：.ZPCA=ZAPB,

.'.△PG4s△APB,

:.PC：AP=AP：AB,

第23頁共41頁

'：PC=x=3,

，3：AP=AP：4,

：.AP=2y[3,

在RtAAPB中，PB=7AB2-AP2=2；

(2)如圖，過。作OELPD,垂足為E,

是O。的弦，OE_LPD,

：.PE=ED,

在矩形OECA中，CE=Q4=2,

:?PE=ED=x-2,

：.CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x,

：.PD'PC=2(x-2)*(4-x)=-2^+12%-16=-2(x-3)2+2,

V2<x<4,

??.當x=3時，的值最大，最大值為2.

15.如圖，直線/：y-^x+b與y軸交于點A,與x軸交于點3(-6,0),點C

是線段。4上一動點(0<AC<^).以點A為圓心，AC長為半徑作OA交線

段A3于另一點。，連接。。并延長交OA于點E.

(1)求△。43的面積；

(2)ZACD=ZAOD+ZOAD,求點。的坐標；

(3)若點C在線段上運動時，求的最大值.

第24頁共41頁

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再求出點A坐標即可求解；

(2)利用輔助線先證明利用圓的半徑從而得出。￡),

OC,的關系，即可求解；

(3)利用勾股定理求出A3,再利用輔助線OG證明△DERS^DG。，最后

利用半徑廠表示。D,DE,DR和DG的關系即可求解.

【解答】解：(1)???直線/：y=%+0與x軸交于點3(-6,0),

.?.將(-6,0)代入，得：

4、

-x(-6)+Z?=0,

3

/.Z?=8,

「?y=3+8,

當x=0時，y=8,

AA(0,8),

SAOAB=|XOAXOB=1X8X6=24；

(2)如圖，過點。作于點H,

ZACD=ZAOD+ZOAD,ZACD=ZAOD+ZODC,

：.ZOAD=ZODC,

：.AOCD^AODA,

?OCOD

??—,

ODOA

：.OD2=OC'OA,

設AH=4m，DH=3m,則：

AH=AD=5m,

：.OH=OA-AH=8-4m,OC=8-5m,

第25頁共41頁

/.D(-3m,8-4m),

：.OD1=OH1+DH2=(8-4m)2+(3m)2,

"：OD1=OC'OA,

：.(8-4m)2+(3m)2=(8-5m)?8,

解得：m=

./72104、

??D(—五,)；

2525

(3)如圖，過點。作。G,A3于點G,A3交OA于點。，F(xiàn),連接EE

"：OB=6,OA=8,

：.AB=y/OA2+OB2=10,

.,AGOA

"OA~ABJ

.OA18232

''AG=^B=W=T'

設AC=AD=r,則：

32

DMG=qf

?..DR為直徑，

：.DF=2r,ZDEF=9Q°,

ADEFsADGO,

.ODDG

??—__.,

DFDE

：.OD*DE=DF?DG=2r?q—r)=-23+*=-2(r-^)2+娶,

當廠=當時，OD?DE取得最大值，

最大值為6差12.

第26頁共41頁

16.如圖，半圓。的直徑A3=4,以長為2的弦PQ為直徑，向點。方向作半

圓”，其中P點在AQ上且不與A點重合，但Q點可與3點重合.

(1)計算：劣弧PQ的長；

(2)思考：點〃與A3的最大距離為_舊_,此時點間的距離為2；

點”與A3的最小距離為4.

(3)探究：當半圓M與相切時，求成的長.

(注：結(jié)果保留71,cos35°=亭，cos55°=*)

圖1備用圖備用圖

【分析】(1)連接。P,0Q,得△OPQ為等邊三角形，根據(jù)圓心角的度數(shù)求

出弧長即可；

(2)過點M作于點C,當C點與。點重合時，〃與A3的距離最

大，當。點與3點重合時，〃與A3的距離最小，分別求出所需數(shù)據(jù)即可；

(3)當半圓M與A3相切時，此時MC=1,且分以下兩種情況討論，當C

點在線段上和C點在上，分別計算出而即可.

【解答】解：(1)連接。尸，OQ,

"：AB=4,

：.OP=OQ=2,

,:PQ=2,

??.△OPQ是等邊三角形,

：.ZPOQ=60°,

?pn-60°兀x2_2

,,PQ-180°-3K,

第27頁共41頁

(2)過點M作MCLA3于點C,連接。M,AP,

由C點的位置可知，當C點與。點重合時點”與A3的距離最大，如圖:

A0(C)B

此時AP=2,PM=1,

0M=7Ap2—PM?=V3,

?;OM±AB,

：.ZAOP=6Q°,

"：OA=OP,

：.△AOP是等邊三角形，

：.AP=2,

由C點的位置可知，當Q點與3點重合時，M與A3的距離最小，如圖:

AOcB(Q)

,：ZOBP=60°,BM=1,

：.MC=BM*sm60°=孚，

故答案為：V3,2,—；

2

(3)當半圓“與A3相切時，此時MC=1,且分以下兩種情況討論:

①當C點在線段。4上時，

ACOB

O-------

在Rt^OCM中，由勾股定理得,

OC=70M2_CM2=V2,

?,.cosNAOM=^=亭,

第28頁共41頁

/.ZAOM=35°,

"：ZPOM=30°,

AZAOP=ZAOM-ZPOM=35°-30°=5°,

?%n_507TX2_TT

=^80s-=18,

當點C在線段03上時，此時N3OM=35°,

,：ZPOM=3Q°,

AZAOP=180°-ZPOM-ZBOM=115°,

.亦115°TTX223

''AP=1800=187r；

綜上，當半圓M與A3相切時，成的長為二TT或至22兀.

1818

17.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點3的坐標分別是(1,0),(7,

0).

(1)對于坐標平面內(nèi)的一點P,給出如下定義：如果NAP3=45°,那么稱

點P為線段A3的“完美點”.

①設A、B、尸三點所在圓的圓心為C,則點C的坐標是(4,3)或(4,

-3),QC的半徑是3V2；

②y軸正半軸上是否有線段A3的“完美點”？如果有，求出“完美點”的坐

標；如果沒有，請說明理由；

(2)若點P在y軸負半軸上運動，則當NAPB的度數(shù)最大時，點P的坐標為

(0,-V7)

第29頁共41頁

【分析】（1）①過點C作CDLA3于點D,利用圓周角定理和垂徑定理計算

CD,AD的長度，進而得到線段的長度即可得到點C坐標；利用勾股定

理即可求得AC的長度，則OC的半徑可求；

②設OC交y軸于點D,E,連接CD,CE,過點C作CGLCD于點G,CF

LAB于點F,利用（1）①的結(jié)論和垂徑定理計算線段EG的長度，則線段

0E,的長度可求，結(jié)論可得；

（2）設OC與y軸切于點P,在y軸上任取一點Q（與點P不重合），連接

BQ,AQ,3Q與OC交于點。，連接AD,利用圓周角定理和三角形的外角大

于任何一個不相鄰的內(nèi)角，得到當點P為OC與y軸的切點時，當NAPB的

度數(shù)最大，利用切割線定理求出線段0P的長即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）①???點A與點3的坐標分別是（1,0）,（7,0）,

.?.04=1,OB=1.

.".AB=6.

過點C作CDLAB于點。，如圖,

第30頁共41頁

：.0D=A0+AD=4.

'：ZAPS=45°,

AZACB=2ZAPB=9Q°,.

'JCDLAB,CA=CB,

：.CD^^AB=3.

：.C（4,3）.

同理：根據(jù)對稱性，在第四象限也存在符合條件的點（4,-3）.

AC=VXD2+CD2-3V2,

???OC的半徑是3V2.

故答案為：（4,3）或（4,-3）；3V2；

②y軸正半軸上有線段A3的“完美點”，理由：

設OC交y軸于點D,E,連接CD,CE,過點C作CGLCD于點G,CF±

A3于點R如圖，

則ZAEB=ZADB=ZAPB=45°.

：.D,E為y軸正半軸上線段A3的“完美點”.

第31頁共41頁

'：CG±DE,CF±AB,ZO=90°,

??.四邊形ORCG為矩形.

：.CG=OF=4,OG=CF=3.

在RtACGE中，

'：EG2=CE2-CG2,

:.EG=VCE2-CG2=V2.

：.GE=DG=V2.

：.OE=OG-GE=3-V2,OD=OG+DG=3+V2.

：.E(0,3-V2),D(0,3+V2).

?”軸正半軸上有線段AB的“完美點”，“完美點”的坐標為(0,3+V2)或

(0,3-V2)；

(2)設OC與y軸負半軸切于點P,在y軸負半軸上任取一點Q(與點P不

重合)，

連接3Q,AQ,3Q與OC交于點。，連接AD,如圖，

第32頁共41頁

,?ZADB>ZAQB,

：.ZAPB>ZAQB.

???當尸運動到OC與y軸相切時，/APB的度數(shù)最大.

連接尸C并延長交OC于點E,連接AE,如圖，

：.CP±OP,

：.ZOPA+ZABE=9Q°.

?..PE為OC的直徑，

：.ZPAE=9Q°,

ZAPE+ZE=9Q°,

：.ZOFA=ZE,

：.ZE=ZOBP,

：.ZOFA=ZOPB,

,：ZAOP=ZPOB=90°,

第33頁共41頁

:?叢OAPs叢OPB,

.OAOP

??—,

OPOB

：.OP-=OA*OB.

：.0P=Vox-OB=VT3?7=V7.

：.P(0,-V7).

解法二：過點。作。于點H,如圖,

'：C(4,-3),

：.CP=CA=4,AH=3,

C'H=V42-32=V7,

：.OP=CH=中,

：.P(0,-V7).

故答案為(0,-V7).

18.如圖，已知AB是OO的直徑，弦CDLAB于點E,點R是線段CD延長線

上的一點，連結(jié)剛交O。于點G,連結(jié)CG交AH于點P,連結(jié)C4.

(1)求證：ZACG=ZF.

第34頁共41頁

(2)如圖②，若CA=CG,求證：AG=CD.

(3)如圖③，連結(jié)DG,AE=8.BE=2.

①若tanN/^T，求AP的長；

②求AG?DG的最大值.

【分析】(1)連接BG,利用垂徑定理和圓周角定理解答即可；

(2)連接AD利用垂徑定理和在同圓或等圓中等弦對等弧，等弧對等弦解

答即可；

(3)①過點P作于點連接3C,0C,利用勾股定理和直角三角

形的邊角關系求得tan/C4E=器另；設PH=3k,貝I]CH=4左，利用垂徑定

理求得AH的長度，再利用平行線的性質(zhì)得出比例式即可求得結(jié)論；

②利用AG-DG與AADG的面積的關系，當△ADG的面積取最大值時，AG-

DG最大;利用△ADG的面積的值解答即可求得結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接3G,如圖，

?.?A3是O。的直徑，

AZAGB=90°.

：.ZABG+ZBAG=90°.

?弦CDLAB于點E,

：.ZF+ZBAG=9Q°.

：.ZABG=ZF.

'：ZACG=ZABG,

：.ZACG=ZF.

(2)證明：連接AD,如圖,

第35頁共41頁

,?.AB是O。的直徑，弦CDLA5,

：.AC^AD.

'：CA=CG,

：.AC=CG.

：.AD=CG.

：.AD-DG^CG-DG.

即前=AG.

：.AG=CD.

(3)解：①過點P作尸HLAC于點H,連接3C,OC,如圖,

VAE=8,BE=2,

：.0A=0C=5,0E=3.

CE=VOC2—OE2=4.

?弦CDLA3于點E,

：.DE=CE=4.

AC=yJCE2+AE2—4y/5,tanCAE=罪=g.

由(1)得