難點(diǎn)07圓的基本性質(zhì)的常考題型

（6大熱考題型）

麴型盤(pán)點(diǎn)N

題型一：圓的基本和最值問(wèn)題

題型二：垂徑定理及其應(yīng)用

題型三：圓心角'弦、弧之間的關(guān)系

題型四：圓周角定理

題型五：圓周角定理的推論和應(yīng)用

題型六：圓內(nèi)接四邊形

信精淮握分

題型一：圓的基本和最值問(wèn)題

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，矩形ABC￡＞中，AB=y/3,BC=\,動(dòng)點(diǎn)E,尸分別從點(diǎn)A,C

同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB,CO向終點(diǎn)8,。運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E,尸作直線/,過(guò)點(diǎn)A作直線

/的垂線，垂足為G,則AG的最大值為（）

A.V3B.3C.2D.1

2

【答案】D

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)軌跡、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角

三角形斜邊中線的性質(zhì)確定G的軌跡是本題解題的關(guān)鍵.

連接AC,即交于點(diǎn)。，取中點(diǎn)連接G8,根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可以得出G的軌跡,

從而求出AG的最大值.

【詳解】解：連接AC,BD交于點(diǎn)、0,取中點(diǎn)連接G8,如圖所示：

?.?四邊形ABCD是矩形,

AZABC=90°,OA=OC,AB//CD,

...在Rt^ABC中,

：.OA=OC=-AC=\,

2

AB//CD,

:.ZEAO=ZFCO,

在△AOE與ACOP中,

AE=CF

，ZEAO=ZFCO

OA=OC

△AOE也△COP(SAS),

:.ZAOE=ZCOF,

:.E,0,F共線，

vAGLEF,a是OB中點(diǎn)，

...在RtAAGO中，GH=-AO=-,

22

，G的軌跡為以a為圓心，5為半徑即AO為直徑的圓弧.

，AG的最大值為40的長(zhǎng)，即46^=40=1.

故選：D.

【典例2】(2023?山東淄博?中考真題)在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展探究活

動(dòng).

(D操作判斷

小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片A3。和CEFG拼成乜”形圖案，如圖①.

試判斷：△Ab的形狀為.

G

圖①

(2)深入探究

小紅在保持矩形ABC。不動(dòng)的條件下，將矩形CETG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB=2,AD=4.

探究一：當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CG與。/相交于點(diǎn)M,如圖②.求ACMR的面積.

探究二：連接AE,取AE的中點(diǎn)"，連接如圖③.

求線段DH長(zhǎng)度的最大值和最小值.

EE

圖②圖③

【答案】(1)等腰直角三角形

(2)探究一：|；探究二：線段ZW長(zhǎng)度的最大值為若+1,最小值為石-1

【分析】(1)由AC=CF,可知AACF是等腰三角形，再由AABC絲AFGC(SAS),推導(dǎo)出NACF=90。，即

可判斷出AACF是等腰直角三角形,

(2)探究一：證明△CZWZAFGM(AAS),可得=M/，再由等腰三角形的性質(zhì)可得4)=乃尸，在

RMCDAf中，勾股定理列出方程CM2=22+(4-CM)2,解得CM,即可求ACMF的面積；

探究二：連接DE,取DE的中點(diǎn)尸，連接郎，取力。、BC的中點(diǎn)為M、N,連接建V,MH,NH,分別

得出四邊形是平行四邊形，四邊形HNCP是平行四邊形，則/AffiN=90。，可知H點(diǎn)在以MN為直

徑的圓上，設(shè)九W的中點(diǎn)為T(mén),DTf,即可得出。〃的最大值與最小值.

【詳解】(1)解：,?,兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG,

:.AC=CF,

.?.△ACF是等腰三角形，

-.-AB=GF,ZFGC=ZABC=90°.BC=CG,

..△ABC二△FGC(SAS),

:./BAC=/GFC,

?：AB\\CDf

：.ZBAC=ZACGf

：.ZACG=ZGFC,

?/NGCF+NGFC=90°,

.?.ZACG+NGCF=90。,

:.ZACF=90°,

.?.△ACF是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形；

(2)探究一：?.?CD=GF,ZFMG=ZDMC,NG=NCDF=90。,

/.△CDM^AFGM(AAS),

:.CM=MF,

vAC=CF,CD^AF,

:.AD=DF,

?;AB=CD=2,AD=DF=4,

:.DM=4-CM,

在RMCDM中,CM2=CD2+DM2,

CM2=22+(4-CM)2,

解得CM=g,

5

2

:.ACMF的面積=_x2x_=_；

222

探究二：連接OE,取OE的中點(diǎn)P,連接HP,CP,取4。、8C的中點(diǎn)為M、N,連接MN,MH,NH,

?.?”是AE的中點(diǎn),

圖③

LI

MH//DE,且必/=萬(wàn)。￡\

?：CD=CE,

:.CP±DE,DP=PE,

MH//DP,且MH=DP,

，四邊形A/HPD是平行四邊形，

:.MD=HP,MD//HP,

■：AD//BC,MD=CN,

HP//CN,HP=CN,

，四邊形HNCP是平行四邊形，

NH//CP,

:.ZMHN^90°,

.?.8點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，

設(shè)MN的中點(diǎn)為T(mén),

D7'=V12+22=A/5，

的最大值為百+1,最小值為6-1.

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性

質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，能夠確定5點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（2024?江蘇連云港?中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在。點(diǎn)，另一端綁一重物.將此重

物拉到A點(diǎn)后放開(kāi)，讓此重物由A點(diǎn)擺動(dòng)到2點(diǎn).則此重物移動(dòng)路徑的形狀為（）

A.傾斜直線B.拋物線C.圓弧D.水平直線

【答案】C

【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)軌跡，根據(jù)題意，易得重物移動(dòng)的路徑為一段圓弧.

【詳解】解：在移動(dòng)的過(guò)程中木棒的長(zhǎng)度始終不變，故點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，Q4為半徑的一段圓

弧,

故選：c.

【變式1-2］（2023?江蘇宿遷?中考真題）在同一平面內(nèi)，己知。。的半徑為2,圓心。到直線/的距離為3,

點(diǎn)尸為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線/的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)A,連接0尸，判斷出當(dāng)點(diǎn)尸為49的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)尸到直線/的

距離最大，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作Q4，/于點(diǎn)A,連接OP,

:.OA=3,OP=2,

.??當(dāng)點(diǎn)尸為AO的延長(zhǎng)線與。。的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)尸到直線/的距離最大，最大距離為以=3+2=5,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，正確判斷出點(diǎn)尸到直線/的距離最大時(shí)，點(diǎn)尸的位置是解題關(guān)鍵.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?安徽合肥?三模）如圖，尸為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A,8重合），將線段AP繞點(diǎn)尸順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)45。得到線段CP,將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到線段DP,連接AD,BC,交點(diǎn)為。.若=6,

點(diǎn)X是線段4B的中點(diǎn)，則。》的最小值為（）

A.3B.3&-3C.372D.2

【答案】B

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形手拉手問(wèn)題、三角形中位線及四點(diǎn)共圓最小值問(wèn)題，作胡，朋

且E4=54,先證AAPI汪ACPB,結(jié)合旋轉(zhuǎn)角度問(wèn)題得到A、。、B、E四點(diǎn)共圓，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即

可得到答案；

【詳解】解：:.線段AP繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到線段CP,將線段3尸繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到線段上，

：?AP=CP,DP=BP,ZAPC=ZBPD=45°f

：.ZAPD=ZCPB=135°,

在與心中，

AP=CP

?；\AAPD=^CPB,

DP=BP

：.△APDg△CPB(SAS),

???ZC=ZDAPf

?.?ZCKA=ZC+ZCQA=NDAP+ZCPA,

.?.ZCQA=45°f

ZAQB=135°,

作E4_LBA且E4=A4,取屈的中點(diǎn)O,連接OH,Q4,OQ,

VAB=6,EA=BA,

：.AE=6,4=45。，

???點(diǎn)”、。是中點(diǎn)，

OH=—AE=3,OA=OE=OB=—BE=—A/62+62=3\/2,

222

?.?ZE+ZA2B=45°+135°=180°,

???A、Q、B、￡四點(diǎn)共圓，

?；OA=OE=OB,

???A、Q、B、E是在以點(diǎn)。為圓心。4為半徑的圓上，

當(dāng)0、H、。在同一直線時(shí)，

QH=OQ-OH=3y/2-3f

當(dāng)。、H、。不在同一直線時(shí)

QH>OQ-OH=3y/2-3,

則。笈最小值為30-3，

故選：B.

2.（2024?浙江嘉興?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,E為3C邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE,點(diǎn)B關(guān)于

AE的對(duì)稱點(diǎn)為8',連接夕O.若37）的最大值與最小值之比為2,則AD的長(zhǎng)為.

［答案】4±77

【分析】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，由軸

對(duì)稱的性質(zhì)可得AB'=AB=3,則點(diǎn)3'在以A為圓心，半徑為3的圓上運(yùn)動(dòng)，據(jù)此可得當(dāng)A、D、Q三點(diǎn)共

線時(shí)，87）最小，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)2重合時(shí)，最大,據(jù)此表示出87）的最大值和最小值，再由￡￡）的最大值

與最小值之比為2列出方程求解即可.

【詳解】解；如圖所示，連接AB',

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AB'=AB=3,

；?點(diǎn)8'在以A為圓心，半徑為3的圓上運(yùn)動(dòng)，

...當(dāng)A、D、3'三點(diǎn)共線時(shí)，夕。最小，

???B'D^=\AD-3\；

?.,點(diǎn)E在線段3C上，

當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)B重合時(shí)，B，D最大,最大值即為8。的長(zhǎng),

B'D"=VAC2+AB2=VAD2+9,

取人

VBY）的最大值與最小值之比為2,

.,心+9

一|33|'

AD2+9=4(AD-3)2,

/.4。2一84。+9=0,

解得AD=4+近或AD=4-"

故答案為：4±幣.

3.（2024江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)C是。A上一動(dòng)點(diǎn)，B為一定點(diǎn),。隨著C點(diǎn)移動(dòng)而移動(dòng)，EG為BD

的垂直平分線，ZCBD=90°,BD=2BC,EG=4BC,若。A半徑為2,點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離為4,則在C點(diǎn)

【答案】6>/26

【分析】該題主要考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)和判定，垂直平分線的定義，圓中相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題的

關(guān)鍵是找到CE取得最大值時(shí)點(diǎn)C的位置.

過(guò)點(diǎn)C作交GE所在直線于點(diǎn)尸，證明四邊形3C/G是正方形，設(shè)3C=x,貝lj

BD=2x,EG=4x,EF=5x,BG=CF=x,勾股定理得出CE?=26元,，確定出3c=6時(shí)8C最大，求解即可;

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作交GE所在直線于點(diǎn)/，

EG為的垂直平分線，ZCBD=90°,

：.ZCBG=NBGF=NCFG=90°,

BC=BG,

二四邊形3C/G是正方形，

設(shè)BC—x9則BD=2x,EG=4x,EF=5x,BG=CF=x,

在RMCFE中,CE2=CF2+EF2=26x\

故當(dāng)了最大時(shí)，CE最大,

,?BC<AB+AC,

二3C=AB+AC=4+2=6時(shí)BC最大，即尤最大,

此時(shí)CE=j26x2=6后，

故答案為：6^/26.

4.(2024.河北秦皇島.一模)某校社團(tuán)實(shí)踐活動(dòng)中，有若干個(gè)同學(xué)參加.先到的〃個(gè)同學(xué)均勻圍成一個(gè)以。點(diǎn)

為圓心，1m為半徑的圓圈，如圖所示(每個(gè)同學(xué)對(duì)應(yīng)圓周上一個(gè)點(diǎn)).

(1)若〃=6,則相鄰兩人間的圓弧長(zhǎng)是m.(結(jié)果保留兀)

(2)又來(lái)了兩個(gè)同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移。米，再左右調(diào)整位置，使這(〃+2)個(gè)同學(xué)之

間的圓弧長(zhǎng)與原來(lái)〃個(gè)同學(xué)之間的圓弧長(zhǎng)相等.這(〃+2)個(gè)同學(xué)排成圓圈后，又有一個(gè)同學(xué)要加入隊(duì)伍，重

復(fù)前面的操作，則每人須再往后移b米，才能使得這(〃+3)個(gè)同學(xué)之間的圓弧長(zhǎng)與原來(lái)〃個(gè)同學(xué)之間的圓弧

b

長(zhǎng)相同，則_=.

a

【答案】兀L

32

【分析】本題考查圓的周長(zhǎng)和弧長(zhǎng)，

(1)先計(jì)算出圓的周長(zhǎng)，再計(jì)算出圓的弧長(zhǎng)即可;

(2)先計(jì)算出半徑往后移。米的圓的周長(zhǎng)，求出弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)相等建立等式即可求出a,再計(jì)算出b,即

可得到答案.

【詳解】解：(1)當(dāng)〃=6時(shí)，圓的周長(zhǎng)為：2萬(wàn)，

QTTTT

：,相鄰兩人間的圓弧長(zhǎng)是r=￡,

63

故答案為：y；

(2)又來(lái)了兩個(gè)同學(xué)后圓的周長(zhǎng)為：2?(l+a),

.2萬(wàn)(1+4)_71

??-------——

6+23

??-,

3

當(dāng)又有一個(gè)同學(xué)要加入隊(duì)伍后，圓的周長(zhǎng)為：2](1+。+3，

.2萬(wàn)(1+a+Z?)7i

6+2+1

.一

??一——,

a2

故答案為：

5.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))如圖，以點(diǎn)A為圓心的圓交數(shù)軸于8,C兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)8在點(diǎn)A

的右側(cè))，若A,B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為1,6則點(diǎn)C表示的數(shù)是

【答案】2-右/-6+2

【分析】本題主要考查了是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離和圓的性質(zhì).根據(jù)A,8兩點(diǎn)表示的數(shù)可求得。4的半徑

為6-1,再利用8點(diǎn)表示的數(shù)減去QA的直徑即可解題.

【詳解】解：，.<,8兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為1,目,

根據(jù)圓的性質(zhì)可得：

AC=BC=6-1,

.-.OC=A/3-2X(V3-1)=2-A/3,

，點(diǎn)C表示的數(shù)是2-g,

故答案為：2-73.

6.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABC3中，AB=2,BC=3,M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且8M=1，則

線段池的最大值為

【答案】A/13+1/1+V13

【分析】該題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，圓相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是明確點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡.

根據(jù)勾股定理算出2。=拒，再根據(jù)題意確定點(diǎn)M在以1為半徑的。8上運(yùn)動(dòng)，的最大值=應(yīng)＞+氏0,

即可求解；

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形,

ZC=90°,CD=AB=2,

BD=S+于=屈,

,；BM=1，

.?.點(diǎn)M在以1為半徑的。8上運(yùn)動(dòng),

如圖當(dāng)瓦三點(diǎn)共線時(shí)，

DM最大,最大值=3。+8河=8+1.

故答案為：A/13+I.

7.（2023?四川樂(lè)山?模擬預(yù)測(cè)）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫(huà)圓，然后半徑依次增加一個(gè)間距畫(huà)同心圓,

描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)律.

【提出問(wèn)題】

圖1圖2備用圖

【分析問(wèn)題】

小明利用已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以圓心。為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。的橫線所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)。且垂直于橫線的直線

為y軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示，當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為5的

同心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為.

【解決問(wèn)題】

請(qǐng)幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)尸（0,加），機(jī)為正整數(shù)，以。尸為直徑畫(huà)。“，是否存在所描的點(diǎn)在。/上，若存在，

求機(jī)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】【分析問(wèn)題】（-3,4）或（3,4）,【解決問(wèn)題】見(jiàn)解析，【深度思考】4

【分析】分析問(wèn)題：利用垂徑定理與勾股定理解答即可；

解決問(wèn)題：設(shè)所描的點(diǎn)在半徑為〃（"為正整數(shù)）的同心圓上，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為再進(jìn)一步求解橫坐標(biāo)

即可；

深度思考：設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為（土百方，〃-1）,結(jié)合0"的圓心坐標(biāo)，利用勾股定理，即可用含〃的代數(shù)式表示

出加的值，再結(jié)合優(yōu)，〃均為正整數(shù)，即可得出加，〃的值.

【詳解】解：分析問(wèn)題：根據(jù)題意，可知：所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其縱坐標(biāo)＞=5-1=4,

???點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,4））或（3,4）；

解決問(wèn)題：證明：設(shè)所描的點(diǎn)在半徑為以〃為正整數(shù)）的同心圓上，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為〃-1,

**?該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=+y/2n—l，

J該點(diǎn)的坐標(biāo)為卜\瓦二1,〃-1）或n-1）,

?/（土\/2〃-1）=2n—1,n-1=2n~,

該點(diǎn)在二次函數(shù)y=1（x2-l）=|x2-1的圖象上，

小明的猜想正確；

深度思考：設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為（土而二-1）,。/的圓心坐標(biāo)為

n—1n—1n—1n-1

又?.?加，，均為正整數(shù)，

/.n—1=1,

.,.根=1+2+1=4,

???存在所描的點(diǎn)在0M上，機(jī)的值為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理的應(yīng)用，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及與圓有關(guān)的位置關(guān)系,

解題的關(guān)鍵是找出點(diǎn)在二次函數(shù)y=g/-3的圖象上.

8.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).A,8兩點(diǎn)均為格點(diǎn),

請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺找出經(jīng)過(guò)A,2兩點(diǎn)的圓的圓心。，并保留作圖痕跡.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)圓心確定的條件即弦的垂直平分線的交點(diǎn)，再利用垂徑定理解答即可.

本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，畫(huà)圖如下:

則點(diǎn)。即為所求.

9.（2025?湖北十堰?模擬預(yù)測(cè)）如圖，0。的直徑垂直弦CO于點(diǎn)E,尸是圓上一點(diǎn)，。是叱的中點(diǎn),

連接CF交03于點(diǎn)G,連接BC.

（2）若AG=6,BG=4,求CD的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）8

【分析】（1）利用ASA證明△CEG空即可得到GE=3E；

（2）連接OC,求出直徑A3的長(zhǎng)，即得半徑OC=OB=5,求出OG,由（1）知GE=BE=；BG=2,再

求出0E,利用勾股定理求出CE,根據(jù)垂徑定理即可求出CD.

【詳解】（1）證明：是B歹的中點(diǎn)，

：.ZFCD=ZBCD,BPZGCE=ZBCE,

?.,CD1AB,

???NCEG=NCEB=90。,

又?：CE=CE,

：.△CEG^ACEB(ASA),

：.GE=BE；

*/AG=6,BG=4,

AB=6+4=10,

/.OC=OB=-AB=5,

2

/.OG=OB-BG=5-4=1,

由（1）知GE=BE」BG=2,

2

：.OE=OG+GE=1+2=3,

CE^y/oC2-OE2=4>

?.,直徑AB_LCD,

CD=2CE=2x4=8.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理.熟練掌握?qǐng)A的基本性

質(zhì)、三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵.

題型二：垂徑定理及其應(yīng)用

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024.湖南長(zhǎng)沙?中考真題）如圖，在。。中，弦A3的長(zhǎng)為8,圓心。到A3的距離OE=4,則。。

的半徑長(zhǎng)為（）

A

B.472D.572

【答案】B

【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據(jù)垂徑定理得到AE,再根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：：在。。中，弦A3的長(zhǎng)為8,圓心。到48的距離OE=4,

OELAB,AE=-AB=4,

2

在RtAAOE中，=yjoE2+AE2=742+42=472，

故選：B.

【變式2-1］（2024?內(nèi)蒙古通遼.中考真題）如圖，圓形拱門(mén)最下端AB在地面上，。為A3的中點(diǎn)，C為拱

門(mén)最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過(guò)拱門(mén)所在圓的圓心，若AB=lm,CD=2.5m,則拱門(mén)所在圓的半徑為（）

DB

A.1.25mC.1.4mD.1.45m

【答案】B

【分析】本題考查的是垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用。勾股定理的應(yīng)用，如圖，連接Q4,先證明

AD=BD=Q.5,再進(jìn)一步的利用勾股定理計(jì)算即可；

【詳解】解：如圖，連接。A,

ADB

為43的中點(diǎn)，C為拱門(mén)最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過(guò)拱門(mén)所在圓的圓心，AB=lm,

CDLAB,AD=BD^0.5,

設(shè)拱門(mén)所在圓的半徑為r,

OA=OC=r,而CD=2.5m,

8=2.5—r,

r2=0.52+（2.5-r）2,

解得：r=1.3,

二拱門(mén)所在圓的半徑為1.3m；

故選B

【變式2-2X2024?新疆?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，CD是。O的弦，ABLCD,垂足為E.若CD=8,

OD=5,則BE的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)垂徑定理求得=；0c=4,再對(duì)RtVOED運(yùn)用勾股定理即可求0E,最后=03-OE即可求解.

【詳解】解：A3是。。的直徑，

Z.DE=-DC=4,ZOED=90°,

2

.?.在RtVOED中，由勾股定理得0石=,如2_即2=3,

BE=OB-OE=5—3=2,

故選：B.

【變式2-3］（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在。。中，直徑ABLCD于點(diǎn)E,CD=6,BE=1,貝l］弦

AC的長(zhǎng)為.

A

【答案】3V10

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

由垂徑定理得CE=m=」CD=3,設(shè)。。的半徑為「，則=-￡?=廠一1,在出AOED中，由勾股定

2

理得出方程，求出r=5,即可得出AE=9,在RhAEC中，由勾股定理即可求解.

【詳解】解：,??AB，C2CD=6,

:.CE=ED=-CD=3,

2

設(shè)。。的半徑為,，則OE=O3—￡B=r—1,

在RQOED中,由勾股定理得：OE2+DE2=OD2,即（—iy+32=產(chǎn)，

解得：r=5,

.-.OA=5,OE=4,

:.AE=OA+OE=9,

在RMAEC中，由勾股定理得：AC=ylcE2+AE2=732+92=3A/10-

故答案為：3A/10.

【變式2-4］（2024?江西?中考真題）如圖，是0。的直徑，鉆=2,點(diǎn)C在線段A3上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C的

弦DE，AB,將D3E沿QE翻折交直線A3于點(diǎn)F當(dāng)。E的長(zhǎng)為正整數(shù)時(shí)，線段期的長(zhǎng)為.

【答案】2-百或2+后或2

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質(zhì)，根據(jù)DEVAB,可得上=1或2,利用勾股定理

進(jìn)行解答即可，進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?M為直徑，DE為弦,

DE<AB,

:?當(dāng)DE的長(zhǎng)為正整數(shù)時(shí)，DE=1或2,

當(dāng)。E=2時(shí)，即。E為直徑，

■.DE-LAB

???將DBE沿OE翻折交直線A3于點(diǎn)F,止匕時(shí)F與點(diǎn)A重合,

故FB=2；

當(dāng)OE=1時(shí)，且在點(diǎn)C在線段。8之間，

如圖，連接

此時(shí)。。=工42=1,

2

DC=—DE=—,

22

OC=yJOD2-DC2=—,

2

2-x/3

BC=OB-OC=——,

2

BF=2BC=2-6;

當(dāng)OE=1時(shí)，且點(diǎn)C在線段CM之間，連接OO,

:.BF=2BC=2+5

綜上，可得線段旗的長(zhǎng)為2-后或2+月或2,

故答案為：2-6或2+括或2.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2023?廣東東莞?一模）如圖，A8是。。直徑，點(diǎn)C在。。上，CD_LAB垂足為。，點(diǎn)E是。。上動(dòng)點(diǎn)

（不與C重合），點(diǎn)廠為CE的中點(diǎn)，若AD=3,CD=6,則。歹的最大值為.

【答案】7.5

【分析】本題考查了垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，延長(zhǎng)CO交。。于點(diǎn)G,連接GE、OC,根

據(jù)垂徑定理得到CD=DG,推出。尸=gGE,得到當(dāng)GE取最大值時(shí)，DF也取得最大值，設(shè)QO的半徑為「,

則8=廠-3,利用勾股定理求出「即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：延長(zhǎng)CD交。。于點(diǎn)G,連接GE、OC,

,：CDYAB,即CGLAB,A3是。。的直徑,

CD=DG,

?.,點(diǎn)尸為CE的中點(diǎn)，

DF=-GE,

2

當(dāng)GE取最大值時(shí)，。廠也取得最大值，

設(shè)。。的半徑為"，則8=r-3,

在RtZM9CD中，0672=0￡>2+0）2,

Ar2=(r-3)2+62,解得：r=7.5,

，GE的最大值為15,

/.Db的最大值為7.5,

故答案為：7.5.

2.（2025?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知。O的半徑為5,A3是。O的弦,P是弦AB的延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，若PA=8,PB=2,

則圓心。到弦的距離為（）

A.741B.6C.730D.4

【答案】D

【分析】本題考查了垂徑定理：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.關(guān)鍵是根據(jù)勾股定

理解答.作OC于C,連接Q4,根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=gA3=；x6=3,然后在RIAAOC中，禾U

用勾股定理計(jì)算OC即可.

【詳解】解：作OCLAB于C,連接。4,如圖，

AB=PA-AB=8-2=6,

'：OCLAB,

：.AC=BC=-AB=-x6=3,

22

在Rt^AOC中，04=5,

OC=V（M2-AC2=J52-32=4，

即圓心。到弦AB的距離為4.

故選：D.

3.（2024.山西長(zhǎng)治.模擬預(yù)測(cè)）明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了“筒車(chē)”（一種水利灌溉工

具）的工作原理.如圖2,筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為圓心的圓.已知圓心。在水面上方，且0。

被水面截得弦力B長(zhǎng)為8米，。。半徑長(zhǎng)為6米，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距

離是（）

圖1圖2

A.2米B.4米C.（6-2君）米D.（6+2君）米

【答案】C

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是垂徑定理、勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理.

連接0C交4B于點(diǎn)根據(jù)垂徑定理得到AH===4米，OCLAB,再根據(jù)勾股定理得到

OH2+AH2=OA2即可得解.

【詳解】解：連接0c交于點(diǎn)打，

設(shè)O"=x,即CW=6—尤，

Rt^AOH中，OH2+AH2=OA2,

即X2+42=62,

解得x=2A/5,

即OH=26米，

.?.CH=（6-2⑹米，

即點(diǎn)C到弦所在直線的距離是（6-2君）米.

故選：C.

4.（2024?云南怒江.一模）如圖，A3是0。的弦，半徑OCLAB,垂足為。，設(shè)AB=6,CD=1,則。。的

半徑長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，連接。4,由垂徑定理可得==設(shè)6M=OC=廠，則

OD=OC-CD=r-l,再由勾股定理計(jì)算即可得解.

：A3是。。的弦，半徑OC_LAB,垂足為D,

AD=-AB=3,

2

設(shè)。A=OC=r,貝iJOD=OC-CD=—l,

由勾股定理可得：O^=OD2+AD2,即/=（一1）2+32,

解得：r=5,

故選：C.

5.（2024?四川成都?二模）如圖，A8是。。的弦，若。。的半徑。4=10,圓心。到弦A3的距離0c=6,

【答案】C

【分析】根據(jù)垂徑定理，得AC=BC=gAB,且4。=辰二次7:后才=8,解答即可.

本題考查了勾股定理，垂徑定理，熟練掌握兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)垂徑定理，得AC=BC=gAB,

根據(jù)勾股定理，得AC=7（M2-（9C2=7102-62=8，

故AB=2AC=16.

故選：C.

6.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，分別是以AB,AC為直徑的兩個(gè)半圓，其中AC是半圓。的一條弦，E

是AC中點(diǎn)，。是半圓AOC中點(diǎn).若AB=6,DE=1,且AC>3,則AC的長(zhǎng)為（）

A.3+73B.4+73C.3+忘D.4+0

【答案】D

【分析】本題考查圓的垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，作出合理的輔助線證明。、E、R。在

同一條直線上是解題的關(guān)鍵.連接D4,DC,EO,BC.E是AC中點(diǎn)，推OE垂直平分AC,。是半圓ADC

中點(diǎn)，推FD垂直平分AC,D、E、F、O在同一條直線上，尸是AC的中點(diǎn)，。是中點(diǎn)，推OP是VABC

的中位線，在Rt^ABC中，根據(jù)勾股定理得AC長(zhǎng).

【詳解】解：連接D4,DC,EO,BC,OE交AC于點(diǎn)E

E是AC中點(diǎn)，

垂直平分AC,

是AC的中點(diǎn).

?.?AC為。尸的直徑,

:.ZADC=90°,

￡）是半圓ADC中點(diǎn),

田垂直平分AC,

.:D、E、尸、。在同一條直線上，DA=DC,ZDFA=9Q°,

:.ZDAF=45°,

:.DF=AF,

設(shè)EF=x,DF=AF=CF=x+l,OF=-x6-x=3-x

2f

/.AC=2x+2,

,「■F是AC的中點(diǎn)，。是AB中點(diǎn)，

.?.O歹是VABC的中位線，

\BC=2OF=6-2%,

?「AB為。。直徑，

.-.ZACB=90°,

在Rt^ABC中，根據(jù)勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

.-.62=（2+2X）2+（6-2X）2,

:.x=l土也,

2

-AO3,

..X=1H-----,

2

\AC=2尤+2=4+也.

故選：D.

7.（2024?湖南長(zhǎng)沙模擬預(yù)測(cè)）如圖，是。。的半徑，弦3CLQ4于點(diǎn)。，連接02.若。。的半徑為5cm,

BC的長(zhǎng)為8cm,則AD的長(zhǎng)是cm.

【答案】2

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AO的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：由題意，OA=OB=5cm,

是。。的半徑，弦BCLQ4于點(diǎn)。，

BD=—BC=4cm,

2

OD=\!OB2-Blf=3cm，

AD=OA—OD=2cm：

故答案為：2.

8.（2024.上海嘉定?二模）如圖在圓。中，48是直徑，弦CD與48交于點(diǎn)E,如果A￡=l,EB=9,ZAEC=45°,

點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，連接OM,并延長(zhǎng)Q0與圓。交于點(diǎn)N,那么.

【答案】5-2四/一20+5

【分析】本題主要考查圓有關(guān)性質(zhì).熟練掌握垂徑定理推論，等腰直角三角形性質(zhì)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

由題意可知AB=10,貝UON=Q4=5,根據(jù)垂徑定理推論得到。MLCD,結(jié)合NAEC=45。可得AEOM是

等腰直角三角形，求得PM=^OE=2也,即可求得MN=5-20.

2

【詳解】解：：在圓。中，43是直徑，AE=1,EB=9,

AB=10,

OA—5,

：.。石=4,

???點(diǎn)M是8的中點(diǎn)，

：?OMLCD,

???ZAEC=45°,

??.△EOM是等腰直角三角形，

二PM=~OE=2y/2,

2

:.MN=ON-OM=5-2及,

故答案為：5-2志.

9.（2024?湖南?二模）如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)。為圓心的圓的一部分，如果C是。。中

弦A8的中點(diǎn)，CZ）經(jīng)過(guò)圓心。交。。于點(diǎn)D,且AB=8m,OC=3m,則8=m.

【答案】8

【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理.連接。4,先根據(jù)垂徑定理、線段中點(diǎn)的定義可得OC^AB,

AC=4m,設(shè)。。的半徑長(zhǎng)為小，再在R/AOC中，利用勾股定理即可得。。的半徑，進(jìn)一步計(jì)算即可求

解.

【詳解】解：如圖，連接Q4,

設(shè)。。的半徑長(zhǎng)為小，則。4=OD=rm,

22

在RIAAOC中，r=73+4=5>

則8=OD+OC=8（m）,

故答案為：8.

10.（2024?廣東湛江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在破殘的圓形殘片上，弦的垂直平分線交弧于點(diǎn)C,交弦A5

于點(diǎn)。，已知AB=8cm,CD=2cm.

（1）求作此殘片所在的圓的圓心0（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）;

⑵求出（1）中所作圓的半徑.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)5cm

【分析】本題考查了垂經(jīng)定理的應(yīng)用和基本作圖，用到的知識(shí)點(diǎn)是線段垂直平分線的作法與性質(zhì)、垂徑定

理、勾股定理的應(yīng)用，基本作圖需要熟練掌握.

(1)在圓形殘片上作弦8E的垂直平分線交C￡>于點(diǎn)P,連接轉(zhuǎn)，以尸為圓心，轉(zhuǎn)為半徑的圓為所

求殘片的圓.

(2)先設(shè)圓P的半徑為r,根據(jù)45，。0和已知條件求出4￡>=；48,PD=(r-2)cm,在少中，

根據(jù)”2=")2+。尸，得出/2=42+上一2『，求出r即可.

【詳解】(1)解：作圖如下，

(2)解：設(shè)圓尸的半徑為r,

VAB1.CD,AB=8cm,CD=2cm,

AD=AB=4cm,PD=(r-2)cm

在Rt44尸。中，AP2=AD2+DP2>

：.戶=42+(-2?，

解得r=5,

QP的半徑為5cm.

11.(2024?湖南?模擬預(yù)測(cè))某校組織九年級(jí)學(xué)生前往某蔬菜基地參觀學(xué)習(xí)，該蔬菜基地欲修建一頂大棚.如

圖，大棚跨度AB=8m,拱高CD=2m.

同學(xué)們討論出兩種設(shè)計(jì)方案：

方案一，設(shè)計(jì)成圓弧型，如圖1,已知圓心。，過(guò)點(diǎn)。作OCAB于點(diǎn)。交圓弧于點(diǎn)C.連接。4.

方案二，設(shè)計(jì)成拋物線型，如圖2,以A8所在直線為x軸，線段A3的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)

系.

(1)求方案一中圓的半徑；

(2)求方案二中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(3)為擴(kuò)大大概的空間，將大棚用1米高的垂直支架支撐起來(lái)，即AE=M=lm.在大棚內(nèi)需搭建2m高的

植物攀爬竿，即GM=EW=2m,60，45于點(diǎn)2，HN上AB于點(diǎn)、Q,GH與OC交于點(diǎn)、K.請(qǐng)問(wèn)哪種設(shè)

計(jì)的種植寬度(AW)要大些？(不考慮種植間距等其他問(wèn)題，且四邊形GMMf是矩形)

【答案】(l)5m

1,一

(2)y=--x+2

O

(3)方案一中的種植寬度(MN)要大些

【分析】本題考查二次函數(shù)與圓的綜合，涉及垂徑定理、勾股定理、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求

得拋物線的函數(shù)表達(dá)式是解答的關(guān)系.

(1)根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解即可；

(2)利用待定系數(shù)法求解拋物線的函數(shù)表達(dá)式即可；

(3)根據(jù)題意，分別求得兩個(gè)方案中的G"長(zhǎng)，然后比較大小可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖1,設(shè)圓的半徑為mi,

VOC.LAB,AB=8m,

AD=—AB=4m,

2

在Rt^AQD中，OD=OC-CD=(r-2)m,

由勾股定理得r=42+(—2)一，解得r=5,

即圓的半徑為5m；

(2)解：根據(jù)題意，4(—4,0),8(4,0),C(0,2),

設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax1+2,

將點(diǎn)B(4,0)代入y=o^+2中，得16。+2=0,解得。=一：,

,該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=二必+2；

O

(3)解：如圖1,連接OH,

ov

圖3

由題意，GH=MN,KD=lm,GK=KH,ZOKH=90°,

在Rt^OHK中，OH=5m,OK=OD+KD=5—2+l=4m,

由勾股定理得KH=yjOH--OK2=V52-42=3m-

MN=GH=1KH=6m-,

如圖4,由題意，點(diǎn)H和點(diǎn)G的縱坐標(biāo)均為1,

圖4

將y=l代入，=-：Y+2得1=-。/+2,解得X=±2點(diǎn),

OO

:.MN=GH=4叵,

4^2<6,

方案一中的種植寬度(肱V)要大些.

題型三：圓心角'弦'弧之間的關(guān)系

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023?河北?中考真題）如圖，點(diǎn)月是00的八等分點(diǎn).若邛A，四邊形月舄片鳥(niǎo)的周長(zhǎng)分

別為a,b,則下列正確的是（）

a

P5

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,b大小無(wú)法比較

【答案】A

【分析】連接62,8A,依題意得［鳥(niǎo)=P2P3=P3P4=P6PJtP4P6=PtP7,AP禺招的周長(zhǎng)為。=P￡+P退+罵巴,

四邊形月的周長(zhǎng)為6=鳥(niǎo)乙+B乙+乙2+AB，故6-a=6鳥(niǎo)+2A-6A，根據(jù)的三邊關(guān)系即可

得解.

【詳解】連接肥,鳥(niǎo)舄，

P\

尸5

?；點(diǎn)：~耳是QO的八等分點(diǎn)，即<旦=舄居=PiP4=P^=^=P6PJ=’尸8=44

片鳥(niǎo)=2A=月舄=心片，p4p6=p4p5+p5p6=肛+p^=pfi

AP』6=用

又；APR片的周長(zhǎng)為。=片月+片片+心片,

四邊形A舄片片的周長(zhǎng)為人=乙乙+乙乙+片片+鳥(niǎo)鳥(niǎo),

:.b-a=（月A+P4^6+穌舄+86）—（46+44+月4）=（42+K片+66+6￡）—（4G+42+月￡）

=ptp2+p2p3-p,p3

在A枕月中有6鳥(niǎo)+鳥(niǎo)鳥(niǎo)>66

'.b—a=P}P2+P^Pi—P}P3>0

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查等弧所對(duì)的弦相等，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，利用作差比較法比較周長(zhǎng)大小是解題的

關(guān)鍵.

【變式3-1］（2022?山東聊城.中考真題）如圖,人2,。是。。的弦，延長(zhǎng)48,。相交于點(diǎn)2.已知N尸=30。,

NAOC=80。，則80的度數(shù)是（）

C.20°D.10°

【答案】C

【分析】如圖,連接08,OD,AC,先求解NQ4C+NOG4=100。，再求解NPAO+NPCO=50。，從而可

得NBOA+ZCOD=260°,再利用周角的含義可得ZBOD=360°-80°-260°=20°,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接。8,OD,AC,

?：ZAOC=80°,

ZOAC+ZOCA^100°,

■：ZP=30°,

：.ZPAO+ZPCO=50°,

VOA=OB,OC=OD,

：.ZOBA^ZOAB,/OCD=/ODC,

：.ZOBA+ZODC=50°,

/.ZBOA+ZCOD^260°,

：.NBOD=360°-80°-260°=20°.

8。的度數(shù)20°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角與弧的度數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握“圓

心角與弧的度數(shù)的關(guān)系”是解本題的關(guān)鍵.

【變式3-2](2023?山東煙臺(tái)?中考真題)如圖，將一個(gè)量角器與一把無(wú)刻度直尺水平擺放，直尺的長(zhǎng)邊與量

角器的外弧分別交于點(diǎn)A,B,C,D,連接AB,則一54。的度數(shù)為.

O

【答案】52.5°

【分析】方法一：如圖：連接0A由題意可得：OA=OB=OC=OD,

=50°-25°=25°,然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得鉆=65。、ZOAD25°,最后根據(jù)角的和

差即可解答.

方法二：連接。8,8,由題意可得：ZBAD=105°,然后根據(jù)圓周角定理即可求解.

【詳解】方法一：解：如圖：連接0Ao氏。C,0r),AD,A3,

由題意可得：OA=OB=OC=OD,408=50。-25。=25。，ZAOD=155°—25°=130°,

ZOAB=1(180°-ZAOB)=77.5°,ZOAD=1(180°-ZAOB)=25°,

：.NBAD=Z.OAB-ZOAD=52.5°.

故答案為52.5。.

方法二：解：連接O3,OD,

由題意可得：ZB4Z）=155°-50°=105°,

根據(jù)圓周角定理，知ZBAD=|NBOD=1xlO5°=52.5°.

故答案為52.5。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的度量、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握?qǐng)A周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度

數(shù)的一半是解答本題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2021?四川巴中?中考真題）如圖，是。。的弦，且AB=6,點(diǎn)C是弧中點(diǎn)，點(diǎn)。是優(yōu)

弧AB上的一點(diǎn)，/A￡）C=30。，則圓心。到