機械優化設計總復習1第一章機械優化設計的基本概念和理論機械優化設計的定義：

機械優化設計就是把機械設計與優化設計理論及方法相結合，借助電子計算機，自動尋找實現預期目標的最優設計方案和最佳設計參數。2一設計變量在優化設計過程中，要優化選擇的設計參數。設計變量必須是獨立變量，即：在一個優化設計問題中，任意兩個設計變量之間沒有函數關系。二設計空間 在一個優化設計問題中，所有可能的設計方案構成了一個向量集合。可以證明，這個向量集合是一個向量空間，并且是一個歐氏空間。 一個優化設計問題中，設計變量的個數，就是它的設計空間的維數。三目標函數 優化設計中要優化的某個或某幾個設計指標，這些指標是設計變量的函數，稱為目標函數。

3

四設計約束優化設計中設計變量必須滿足的條件，這些條件是設計變量的函數。約束條件的分類（1）根據約束的性質分邊界約束

直接限定設計變量的取值范圍的約束條件，即性能約束

由結構的某種性能或設計要求，推導出來的約束條件。i＝1,2,···

，n4u=1,2,···，mv=1，2，···，p<n（2）根據約束條件的形式分不等式約束

一個n維的優化設計問題中，等式約束的個數必須少于n。顯式約束隱式約束等式約束

5五可行域

可行域

:

在設計空間中，滿足所有約束條件的所構成的空間。

6六優化設計的數學模型（一）優化設計的數學模型7（二）約束優化設計的最優解

約束優化設計的最優解為使的X*、f(X*)。8優化問題的幾何解釋

無約束優化問題就是在沒有限制的條件下，對設計變量求目標函數的極小點。在設計空間內，目標函數是以等值面的形式反映出來的，則無約束優化問題的極小點即為等值面的中心。約束優化問題是在可行域內對設計變量求目標函數的極小點，此極小點在可行域內或在可行域邊界上。910111213§2-1目標函數的基本性質一函數的等值面（線） 函數的等值面（線）是用來描述、研究函數的整體性質的。二函數的最速下降方向梯度X1

點的最速下降方向為局部性質

第二章優化設計的數學基礎1415*用圖解法求解要求掌握16

目標函數等值線是以點（2，0）為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優解是：，約束方程所圍成的可行域是D。圖1-917三函數的近似表達式

f(X)的近似表達式為

H(X(k))

為Hessian矩陣18192021§2-2函數的凸性1.凸集

*

2.凸函數

*如果HESSEN矩陣正定，為凸函數；二次函數

2223幾個常用的梯度公式：24§2-3優化問題的極值條件 *一、無約束優化問題的極值條件1.F(x)在處取得極值，其必要條件是:即在極值點處函數的梯度為n維零向量。252.處取得極值充分條件海色（Hessian）矩陣正定，即各階主子式均大于零，則X*為極小點。海色（Hessian）矩陣負定，即各階主子式負、正相間，則X*為極大點。261、約束優化設計的最優點在可行域D

中最優點是一個內點，其最優解條件與無約束優化設計的最優解條件相同；*二、約束優化問題的極值條件272、約束優化設計的最優點在可行域D

的邊界上設X

(k)

點有適時約束*庫恩—塔克條件（K-T條件必要條件）：

§

不等式約束優化問題的極值條件28同時具有等式和不等式約束的優化問題

29

K-T條件是多元函數取得約束極值的必要條件,可以用來作為約束極值的判斷條件，又可以來直接求解較簡單的約束優化問題。

對于目標函數和約束函數都是凸函數的情況，符合K-T條件的點一定是全局最優點。這種情況K-T條件即為多元函數取得約束極值的充分必要條件。30第三章一維搜索的最優化方法*黃金分割法1、在尋找一個區間[Xa,Xb]，使函數f(X)在該區間的極小點

X*∈[Xa,Xb]。2、用黃金分割法在區間[Xa,Xb]中尋找X*。

[Xa

，X1，X2，Xb]

如何消去子區間？f(X1)<f(X2)，消去[X2，Xb]，保留[Xa，X2]f(X1)>f(X2)，消去[Xa，X1]，保留[X1，Xb]31第三章一維搜索的最優化方法確定最優解所在區間的進退法32要求一元函數的極小點，在確定所在的區間之后，就需要不斷的縮小這個區間，直到確定的近似解。區間消去法原理在搜索區間內任取兩點，并計算函數值。于是將有下列三種可能情形：34一維搜索的插值類方法1、牛頓法2、拋物線法（二次插值法）3536*§4-1梯度法

負梯度方向 是函數最速下降方向。 梯度法就是以負梯度方向作為一維搜索的方向，即

k=1,2,···,n第四章無約束最優化方法37*在最速下降法中，相鄰兩個迭代點上的函數梯度相互垂直。而搜索方向就是負梯度方向，因此相鄰兩個搜索方向互相垂直。圖4-2最速下降法的搜索路徑38§4-2牛頓法牛頓法的迭代公式阻尼牛頓法的迭代公式牛頓方向39

這樣，原來的牛頓法就相當于阻尼牛頓法的步長因子αk

取成固定值1的情況。由于阻尼牛頓法每次迭代都在牛頓方向上進行一維搜索，這就避免了迭代后函數值上升的現象，從而保持了牛頓法二次收斂的特性，而對初始點的選取并沒有苛刻的要求。40§4-3變尺度法(DFP法)

H(0)=I，

變尺度法本質上是共軛方向法。41§4-4共軛方向法共軛方向定義：設A為n×n

階實對稱正定矩陣，有一組非零的n維向量d1、d2

、…、dn，若滿足

diT

Adj

則稱向量系di(i=1,2,…,n)對于矩陣A共軛。42*二鮑威爾(Powell)法

鮑威爾法原理，如何構成共軛方向？能具體運用！43第五章約束優化設計§5-1關于設計約束的若干概念可行域所有滿足全部約束條件的點的集合。

44可行點可行域中的點，即滿足所有約束條件的點。邊界點在可行域邊界上的點。若有點Xk使得

則Xk為一個邊界點。內點除邊界點以外的所有可行點。若有點Xk滿足則Xk

為一個內點。45非可行域可行域以外的區域。非可行點非可行域中的點，即不滿足所有約束條件的點。適時約束若有點X

k

使某個不等式約束gu(X)≤0

的等號成立，即則稱gi(X)≤0

為點X

k

的一個適時約束。等式約束始終是適時約束。46*

可行下降方向可行方向

定義設點，若對于方向d

，存在任意小正數δ>0，使得

則稱d為X(k)

點的一個可行方向。X(k)

為可行域中的一個內點，X(k)

的任何方向均為可行方向。X(k)

為可行域中的一個邊界點，設X(k)

在約束面gi(X)=0上。

472可行下降方向定義設d

是的一個可行方向，即若對于上式中的X(k)

、X(k+1)

存在則稱d為X(k)

點的一個可行下降方向。X(k)

為可行域中的一個內點48X(k)

點是可行域中若干約束面的交點設X(k)

點在約束面gj(X)=0，j=1,2,…,J若d

是X(k)

點的一個可行下降方向，則應有可行：下降：49*§5-2約束優化設計的復合形法對約束優化問題1確定初始復合形選擇（n+1≤K≤2n）頂點，這k

個頂點必須是可行點。2確定搜索方向計算k個頂點的函數值，設記最壞點X

(1)為X

(H)

次壞點X

(2)為X

(SH)

最好點X

(k)為X

(L)50求出X

(2)、X

(3)、…、X

(k-1)、X

(k)

的點集的中心(幾何中心)X

(S)以X

(H)

指向X

(S)

的方向作為尋優的方向，沿此方向尋找一個較好的點X

(R)

。若f(X

(R))<f(X

(H))，則以

X

(R)

代替X

(H)

，構成新的復合形。511內點法構造懲罰項的方法對于約束優化問題內點法的懲罰函數為*§5-3懲罰函數法或522內點法初始點的選擇內點法要求初始點X(0)

是一個內點。3懲罰因子r(k)

的選擇53二外點懲罰函數法

外點法是從可行域的外部構造一個點序列去逼近原約束問題的最優解。外點法可以用來求解含不等式和等式約束的優化問題。

外點懲罰函數的形式為：

r是懲罰因子

,

外點法的迭代過程在可行域之外進行，懲罰項的作用是迫使迭代點逼近約束邊界或等式約束曲面。由懲罰項的形式可知，當迭代點x

不可行時，懲罰項的值大于0。

54三

混合法

混合法是用內點法處理不等式約束，用外點法處理等式約束。可以用來求解含不等式和等式約束的優化問題。

混合懲罰函數的形式為：

r是懲罰因子

,

混合法具有內點法的特點，迭代過程在可行域之內進行，參數的選擇同內點法。

55第七章

多目標和離散變量優化方法機械設計中，同時要求幾項設計指標達到最優的問題