高中數學精編資源1/3《導數與函數的極值、最值》專題精講1.求函數極值的步驟求定義域求定義域求導數解方程確定根左右的符號極值求極值知方程根的情況得關于參數的方程(不等式)參數值(范圍)用極值即:(1)確定函數的定義域.(2)求導數.(3)求方程的根.(4)檢查在方程的根的左右兩側的符號,確定極值點(最好通過列表法).如果左正右負,那么在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么在這個根處取得極小值;如果在點的左右兩側符號不變,則不是函數極值.2.可導函數極值存在的條件(1)導函數的極值點一定滿足,但當時,不一定是極值點.如,但不是極值點.(2)導函數在點處取得極值的充要條件是,且在左側與右側的符號不同.3.設函數在上連續,在內可導,求在上的最大值和最小值的步驟(1)求函數在內的極值.(2)將函數的各極值與端點處的函數值比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.(3)根據最值的定義,求在閉區間上連續,開區間內可導的函數的最值時,可將過程簡化,即不用判斷使成立的點是極大值點還是極小值點,直接將極值點與端點的函數值進行比較,就可判定最大(小)值.(4)定義在開區間上的可導函數,如果只有一個極值點,該極值點必為最值點.典例1若是函數的極值點,則的極小值為()A.B.C.D.1解析:本題主要是利用導數解決極值問題,求極值需要嚴格按照求函數極值的步驟進行.由題可得,因為,所以,故,令,解得或1,所以在上單調遞增,在,1)上單調遞減,所以的極小值為.答案:典例2設函數.(1)若曲線在點處的切線與軸平行,求的值;(2)若在處取得極小值,求的取值范圍.思路:本題主要是導數的幾何意義和利用導數解決極值問題.(1)分析利用切線與軸平行,可知,可計算的值.(2)由于中所含的參數對函數的單調性有影響,所以需要按的取值分類討論,再推理確定計算的極值.解析:(1)因為,所以,.由題設知,即,解得.此時.所以的值為1.(2)由(1)得若,則當時,;當時,.所以在處取得極小值.若,則當時,所以.所以2不是的極小值點.綜上可知,的取值范圍是.典例3設函數(為常數,是自然對數的底數).(1)當時,求函數的單調區間;(2)若函數在內存在兩個極值點,求的取值范圍.思路:本題主要是利用導數的極值求參數問題.(1)求出函數的導數,由于,可得,分別令,解出的取值范圍即可.(2)函數在內存在兩個極值點有兩個實數根.化為,因為在內存在兩個實數根.利用導數研究其單調性極值和最值即可.解析:(1)函數的定義域為.由可得,所以當時,,函數單調遞減,所以當時,,函數單調遞增,所以的單調遞減區間為的單調遞增區間為.(2)由(1)知,時,在內單調遞減,故在內不存在極值點;當時,設函數,因此.當時,時,函數單調遞增,故在內不存在兩個極值點;當時,-0+單調遞減單調遞增函數在內存在兩個極值點,當且僅當,解得,綜上,函數在內存在兩個極值點時,的取值范圍為.典例4(2019全國卷III)已知函數.(1)討論的單調性;(2)當時,記在區間的最大值為,最小值為,求的取值范圍.思路:本題主要是利用導數解決最值問題,(1)求出原函數的導函數,得到導函數的零點,對分類求解原函數的單調性;(2)當時,由(1)知,在上單調遞減,在上單調遞增,求得在區間,1]的最小值為,最大值為或.得到,分類求得函數值域,可得的取值范圍.解析:(1).令,得或.若,則當時,;當時,.故在單調遞增,在單調遞減;若在單調遞增;若,則當時,;當時,.故在,單調遞增,在單調遞減.(2)當時,由(