項目三截切體與相貫體的投影

任務一截切體投影任務二相貫體投影任務一截切體投影能力目標：1、能用交點法求出平面立體截交線。2、能用交線法求出平面立體的截交線。3、能用素線法、緯圓法和輔助平面法求曲面立體截交線。知識目標：1、了解能熟練使用輔助平面法作圖。2、掌握平面截切體截交線的畫法3、理解曲面截切體的畫法情感目標：1、嚴肅認真的學習態度2、相互合作的團隊精神4．1截切體4．1．1截切體的有關概念及性質4．1．2平面截切體4．1．3曲面截切體返回相關知識4．1．1截切體的有關概念及性質如圖所示，正六棱柱被平面Ｐ截為兩部分，其中用來截切立體的平面稱為截平面；立體被截切后的部分稱為截切體；立體被截切后的斷面稱為截斷面；截平面與立體表面的交線稱為截交線。截交線具有以下基本性質：返回

1.共有性截交線是截平面與立體表面的共有線，既在截平面上，又在立體表面上，是截平面與立體表面共有點的集合。

2.封閉性由于立體表面是有范圍的，所以截交線一般是封閉的平面圖形（平面多邊形或曲線）。由平面立體截切得到的截切體，叫平面截切體作平面立體上的截交線方法：

（1）交點法：即先求出平面立體的各棱線與截平面的交點，然后將各點依次連接起來，即得截交線。連接各交點有一定的原則：只有兩點在同一個表面上時才能連接，可見棱面上的兩點用實線連接，不可見棱面上的兩點用虛線連接。（2）交線法：即求出平面立體的各表面與截平面的交線。4．1．2平面截切體返回棱柱上的截交線【例4-1】如圖a所示，求作五棱柱被正垂面Pv截斷后的投影。分析截平面與五棱柱的五個側棱面均相交，與頂面不相交，故截交線為五邊形ABCDE。作圖，如圖a所示

1）由于截平面為正垂面，故截交線的V面投影a′b′c′d′e′已知；于是截交線的H面投影abcde亦確定；

2）運用交點法，依據“主左視圖高平齊”的投影關系，作出截交線的W面投影a″b″c″d″e″；

3）五棱柱截去左上角，截交線的H和W投影均可見。截去的部分，棱線不再畫出，但有側棱線未被截去的一段，在W投影中應畫為虛線。

4）檢查、整理、描深圖線，完成全圖，如圖b所示。棱錐上的截交線【例4-2】求作正垂面P截切四棱錐S-ABCD所得的截交線。見圖a。分析

1）截平面P與四棱錐的四個棱面都相交，截交線是一個四邊形；

2）截平面P是一個正垂面，其正面投影具有積聚性；

3）截交線的正面投影與截平面的正面投影重合，即截交線的正面投影已確定，只需求出水平投影。作圖,如圖a所示

1）因為PV具有積聚性，所以PV與s′a′、s′b′、s′c′和s′d′的交點1′、2′、3′和4′即為空間點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的正面投影；

2)利用從屬關系，向下引鉛垂線求出相應的點1、2、3和4；

3)四邊形1234為截交線的水平投影。線段1′2′3′4′為截交線的正面投影。各投影均可見。

4）檢查、整理、描深圖線，完成全圖帶缺口的平面立體的投影

【例4-4】如圖a所示，已知帶有缺口的正六棱柱的V面投影，求其H面和W面投影分析

1）從給出的V面投影可知，正六棱柱的缺口是由兩個側平面和一個水平面截割正六棱柱而形成的。只要分別求出三個平面與正六棱柱的截交線以及三個截平面之間的交線即可。

2）這些交線的端點的正面投影為已知，只需補出其余投影。

3）Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ四點是左邊的側平面與立體相交得到的點，Ⅲ、Ⅳ、Ⅸ、Ⅹ是右邊的側平面與立體相交得到的點，Ⅴ、Ⅵ兩點為前后棱線與水平面相交得到上的點，其中直線Ⅶ、Ⅷ和Ⅸ、Ⅹ又分別是左右兩側平面與水平面相交所得的交線。作圖如圖a所示

1）利用棱柱各側棱面的積聚性、點與直線的從屬性及“主左視圖高平齊”的投影關系依次作出各點的三面投影。

2）連接各點。將在同一棱面又在同一截平面上的相鄰點的同面投影相連。

3）判別可見性。只有7〞8〞、9〞10〞交線不可見，畫成虛線。

4）檢查、整理、描深圖線，完成全圖返回4．1．3曲面截切體由曲面立體截切得到的截切體，叫曲面截切體。1．圓柱上的截交線平面與圓柱面相交，根據截平面與圓柱軸線相對位置的不同，所得的截交線有三種情況

(1)當截平面垂直于圓柱的軸線時，截交線為一個圓；

(2)當截平面傾斜于圓柱的軸線時，截交線為橢圓，此橢圓的短軸平行與圓柱的底圓平面，它的長度等于圓柱的直徑；橢圓長軸與短軸的交點（橢圓中心），落在圓柱的軸線上，長軸的長度隨截平面相對軸線的傾角不同而變化；

(3)當截平面經過圓柱的軸線或平行于軸線時，截交線為兩條素線。【例4-5】如圖a所示，求正垂面與圓柱的截交線。分析

1）圓柱軸線垂直于H面，其水平投影積聚為圓。

2）截平面P為正垂面，與圓柱軸線斜交，交線為橢圓。橢圓的長軸平行于V面，短軸垂直于V面。橢圓的V面投影成為一條直線，與PV重合。橢圓的H面投影，落在圓柱面的同面投影上而成為一個圓，故只需作圖求出截交線的W面投影。作圖,如圖a所示

1）求特殊點。這些點包括輪廓線上的點、特殊素線上的點、極限點以及橢圓長短軸的端點。最左點Ⅰ（也是最低點）、最右點Ⅲ（也是最高點），最前點Ⅱ和最后點Ⅳ，它們分別是輪廓線上的點，又是橢圓長短軸的端點，可以利用投影關系，直接求出其水平投影和側面投影。

2）求一般點。為了作圖準確，在截交線上特殊點之間選取一些一般位置點。圖中選取了Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ四個點，由水平投影5、6、7、8和正面投影5′、6′、7′、8′，求出側面投影5″、6″、7″、8″。

3）連點。將所求各點的側面投影順次光滑連接，即為橢圓形截交線的W面投影。

4）判別可見性。由圖中可知截交線的側面投影均為可見。

5）檢查、整理、描深圖線，完成全圖2．圓錐上的截交線當平面與圓錐截交時，根據截平面與圓錐軸線相對位置的不同，可產生五種不同形狀的截交線

(1)當截平面垂直于圓錐的軸線時，截交線為一個圓；

(2)當截平面傾斜于圓錐的軸線，并與所有素線相交時，截交線為一個橢圓；

(3)當截平面傾斜于圓錐的軸線，但與一條素線平行時，截交線為拋物線；

(4)當截平面平形于圓錐的軸線，或者傾斜于圓錐的軸線但與兩條素線平行時，截交線為雙曲線；

(5)當截平面通過圓錐的軸線或錐頂時，截交線為兩條素線。表4-2圓錐面上的截交線【例4-6】如圖a所示，已知圓錐的三面投影和正垂面P的投影，求截交線的投影。分析

1）因截平面P是正垂面，P面與圓錐的軸線傾斜并與所有素線相交，故截交線為橢圓；

2）PV面與圓錐最左最右素線的交點，即為橢圓長軸的端點Ⅰ、Ⅳ，即橢圓長軸平行于V面，橢圓短軸Ⅴ、Ⅵ垂直于V面，且平分Ⅰ、Ⅳ。

3）截交線的V面投影重合在PV上，H面投影、W面投影仍為橢圓，橢圓的長、短軸仍投影為橢圓投影的長、短軸。作圖,如圖a所示

1）求長軸端點。在V面上，PV與圓錐的投影輪廓線的交點，即為長軸端點的V面投影1′、4′；Ⅰ、Ⅳ的H面投影1、4在水平中心線上，14就是投影橢圓的長軸；

2）求短軸端點。橢圓短軸Ⅴ、Ⅵ的投影5′(6′)必積聚在1′、4′的中點；過5′(6′)作緯圓求出水平投影5、6，之后求出5〞6〞；

3）求最前、最后素線與P面的交點Ⅱ和Ⅲ。在PV與圓錐正面投影的軸線交點處得2′、（3′），向右得到其側面投影2〞、3〞，向下向左得到2、3；

4）求一般點Ⅶ、Ⅷ。先在V面定出點7′、（8′），再用緯圓法求出7、8，并進一步求出7〞、8〞；

5）連接各點并判別可見性。在H面投影中依次連接各點，即得橢圓的H面投影；同理得出橢圓的W面投影。

6）檢查、整理、描深圖線，完成全圖。【例4-7】如圖4-8a所示，求作側平面Q與圓錐的截交線。作圖,如圖a所示

1）在QV與圓錐正面投影左邊輪廓線的交點處，得到截交線最高點Ⅲ的投影3′，進一步得到3、3″；

2）在QV與圓錐底面正面投影的交點處，得到截交線最低點Ⅰ和Ⅱ的投影1′、（2′），進一步得到1、2、1″、2″；

3）用素線法求出一般點Ⅳ、Ⅴ的各投影；

4）順次連接2″-5″-3″-4″-1″；

5）各面投影均可見。

6）檢查、整理、描深圖線，完成全圖4．帶缺口的曲面立體的投影

【例4-8】如圖a所示，給出圓柱切割體的正面投影和水平投影，補畫出側面投影。作圖,如圖a所示

1）求特殊點。根據截平面和圓柱體的積聚性，截交線的正面投影、水平投影為已知，只需求出截交線的側面投影。其中Ⅰ是橢圓長軸的一個端點，Ⅲ、Ⅵ是橢圓短軸的兩個端點，他們在各輪廓線上，Ⅳ、Ⅴ是素線和橢圓的連接點，利用水平投影求出側面投影。

2）求一般點。Ⅱ、Ⅶ是一般位置的點，用素線法求出其水平投影，進一步求出側面投影。

3)判別可見性并連點。

4）檢查、整理、描深圖線，完成全圖【例4-9】如圖4-11a所示，求切割后圓錐的投影。作圖,如圖a所示

1）求特殊點。Ⅰ、Ⅴ、Ⅵ三點為R與圓錐表面相交的點；Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ三點為P與圓錐表面相交的點；同時，Ⅲ、Ⅳ和Ⅴ、Ⅵ、又分別是為R與Q和P與Q相交的點。根據各點的正面投影先求出其水平投影，再求出其側面投影。

2）本題不需要求一般點。

3）連點并判別可見性。所有點全部可見。

4）檢查、整理、描深圖線，完成全圖返回??……思考題---1

1)什么是截切體？

2)圓錐面上的截交線有哪幾種?

任務二4．2相貫體4．2．1相貫體的有關概念及性質4．2．2立體表面的相貫線返回任務二4．2相貫體能力目標：1、掌握相貫體的有關概念2、熟練掌握相貫體的相貫線畫法知識目標：相貫線的彎向分析和簡易畫法，特殊相貫線的分析和作圖。情感目標：1、嚴肅認真的學習態度2、相互合作的團隊精神兩立體相交得到的立體，叫相貫體，兩立體因相貫表面產生的交線稱為相貫線4．2．1相貫體的有關概念及性質性質:（1）相貫線是相交兩立體表面共有的線，是兩立體表面一系列共有點的集合，同時也是兩立體表面的分界點。。（2）由于立體占有一定的空間范圍，所以相貫線一般是封閉的空間曲線。相貫線可見性的判斷原則是：相貫線同時位于兩個立體的可見表面上時，其投影才是可見的；否則就不可見。返回相關知識4．2．2立體表面的相貫線1．兩曲面立體表面的交線求相貫線的方法通常有以下兩種：第一種：積聚投影法——相交兩曲面體，如果有一個表面投影具有積聚性時，就可利用該曲面體投影的積聚性作出兩曲面的一系列共有點，然后依次連成相貫線。第二種：輔助平面法——根據三面共點原理，作輔助平面與兩曲面相交，求出兩輔助截交線的交點，即為相貫點。選擇輔助平面的原則是：輔助截平面與兩個曲面的截交線（輔助截交線）的投影都應是最簡單易畫的直線或圓。因此在實際應用中往往多采用投影面的平行面作為輔助截平面。【例4-11】如圖a所示，求作兩軸線正交的圓柱體的相貫線。分析兩圓柱相交時，根據兩軸線的相對位置關系，可分為三種情況：正交（兩軸線垂直相交）、斜交（兩軸線傾斜相交）、側交（兩軸線垂直交叉）。

1）軸線確定相貫線的空間形狀。由圖可知，兩個直徑不同的圓柱垂直相交，大圓柱為鉛垂位置，小圓柱為水平位置，由左至右完全貫入大圓柱，所得相貫線為一組封閉的空間曲線。

2）根據兩立體與投影面的相對位置確定相貫線的投影。相貫線的水平投影積聚在大圓柱的水平投影上（即小圓柱水平投影輪廓之間的一段大圓弧），相貫線的側面投影積聚在小圓柱的側面投影上（整個圓）。因此，余下的問題只是根據相貫線的已知兩投影求出它的正面投影。作圖,如圖a所示

1）求特殊點正面投影中兩圓柱投影輪廓相交處的1′、5′兩點分別是相貫線上的最左、最右點（同時也是最高點），它們的水平投影落在小圓柱的最左最右兩邊素線的水平投影上，1″、5″重影。

3、7兩點分別位于小圓柱的水平投影的圓周上，它們是相貫線上的最前點和最后點，也是相貫線上最低位置的點。可先在小圓柱和大圓柱側面投影輪廓的交點處定出3″和7″，然后再在正面投影中找到3′和7′（前、后重影）。

2）求一般點在小圓柱側面投影（圓）上的幾個特殊點之間，選擇適當的位置取幾個一般點的投影，如：2″、4″、6″、8″等，再按投影關系找出各點的水平投影2、4、6、8，最后作出它們的正面投影2′、4′、6′、8′。

3）連點并判別可見性連接各點時，應沿著相貫線所在的某一曲面上相鄰排列的素線（或緯圓）順序光滑連接。例題中相貫線的正面投影可根據側面投影中小圓柱的各素線排列順序依次連接1′、2′、

3′、

4′、

5′、

（6）′、

（7′）、

（8′），1′各點。由于兩圓柱前、后完全對稱，故相貫線前、后相同的兩部分在正面投影中重影（可見者為前半段）。

4）檢查、整理、描深圖線，完成全圖，如圖所示。【例4-12】如圖a所示，求圓柱與圓錐的相貫線。作圖，如圖a所示1）求特殊點①求最低點直接在正面投影中找出兩回轉體輪廓素線的交點1′，同時，該點也是最左點，并作出它們的水平投影和側面投影。②求最高點直接在正面投影中找出兩回轉體輪廓素線的交點4′，并作出它們的水平投影和側面投影。③求最前、最后點在水平投影中，圓柱面的最前素線與圓錐面的交點是相貫線的最前點3，最后素線與圓錐面的交點是相貫線的最后點5，過3、5直接向上作豎直線交圓柱的軸線于3′（5′）得其正面投影，它們是重影點，再作出其側面投影。④求最右點，在側面投影中，過錐頂作圓柱的切線，得切點7〃，并作水平投影7和正側面投影7′2）求一般點作水平輔助面Rv，與兩立體的截交線的側面投影相交于點2″、6″，進一步用輔助圓法（緯圓法）求出其水平投影，進一步求出其正面投影。應用此法，可求出其它的一般位置點。3）連線并判別可見性。在水平投影中，3、5兩點是可見部分與不可見部分的分界點，1、2、6不可見，4、7可見，順序用虛線連接各點5、

6、

1、

2、

3，用實線連接各點5、

4、

3，得其水平投影。