第07講函數與方程

目錄

模擬基礎練.....................................................................2

題型一：求函數的零點或零點所在區間............................................................2

題型二：利用函數的零點確定參數的取值范圍.....................................................3

題型三：方程根的個數與函數零點的存在性問題...................................................5

題型四：嵌套函數的零點問題....................................................................7

題型五：函數的對稱問題.......................................................................10

題型六：函數的零點問題之分段分析法模型......................................................14

題型七：唯一零點求值問題.....................................................................16

題型八：分段函數的零點問題...................................................................18

題型九：零點嵌套問題.........................................................................21

題型十：等高線問題...........................................................................24

題型十一：二分法..............................................................................28

重難創新練....................................................................31

真題實戰練....................................................................45

//

題型一：求函數的零點或零點所在區間

丫2?丫_2丫<

??一‘二’則函數/⑺的零點為

｛-1+lnx,x>0,

【答案】-2,e

【解析】當時，由/（x）=x?+x-2=0,即（x-l）（x+2）=0,解得％=—2或x=l（舍），

當x>0時，由/（x）=-l+Inx=0,解得X=e,

綜上可得，函數/（無）的零點為-2,e.

故答案為：-2,e.

2.（2024?高三?浙江寧波?期末）函數/（彳）=2，+彳3一9的零點所在區間為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】由已知，可知/（X）為增函數，

且7（1）=2+1-9=-6<0,

/（2）=4+8-9=3>0,

根據零點存在定理，函數/（X）在（1,2）有零點，且零點是唯一的.

故選：B

3.函數/（司=以-工的零點所在的大致區間是（）

X

A.B.（1,2）C.（2,e）D.（2,3）

【答案】B

【解析】〃耳=1門-：的定義域為（0,+8）,

又y=Inx與y=-：在（0,+e）上單調遞增，

所以〃x）=lnx-：在（0,+力）上單調遞增，

又/⑴=-l<0,/(2)=ln2-1>0,

所以〃1卜〃2)<0,

根據函數零點存在性定理可得函數/■(x)=lnx-J的零點所在的大致區間為(1,2),

故選：B.

log3x,x>0

4.(2024?高三?江蘇常州?開學考試)已知函數/(%)=1八則函數依%)=/(/(%))-1的所有零點構成

的集合為.

【答案】{。，27}

【解析】函數4x)=/(〃x))-1的零點，即方程了(/(力)=1的所有根，

log3>0

令/=/(x)，根據函數/(x)=Jc,方程/⑺=1的解是r=3,

則方程/(〃力)=1的根，即為方程/(x)=3的根，

當x>0時，/(x)=log3x,由logs尤=3,,-.%=27,

當x<0時，由白■=3,:.x=0,

綜上，函數可力所有零點構成的集合是{0,27}.

故答案為：{0,27}.

題型二：利用函數的零點確定參數的取值范圍

5.(2024?高三.廣東深圳?期末)已知函數在(-1,1)內有零點，則。的取值范圍是()

A.(-5,5)B.(^o,—5)U(5,+<c)C.[—5,5]D.(―e,—5]u[5,+??)

【答案】A

【解析】>=彳5是增函數，y=4無+。也是增函數，所以“X)是R上的增函數.

因為〃x)在(-L1)內有零點，

所以l八?,,解得-5<”5.

/(1)=1+4+〃>0

故選：A

6.(2024嚀夏銀川三模)函數〃力=1鳴》+/+m在區間(2,4)上存在零點，則實數機的取值范圍是()

A.(-oo,-18)B.(5,+co)

C.(5,18)D.(-18,-5)

【答案】D

【解析】若函數“力=摩2%+/+機在區間(2,4)上存在零點，

由函數/(x)在(2,4)的圖象連續不斷，且為增函數，

則根據零點存在定理可知，只需滿足/(2)-/(4)<0,

即(根+5)(根+18)<0,

解得一18〈根〈一5,

所以實數，"的取值范圍是(-18,-5).

故選：D.

7.(2024.高三.內蒙古呼和浩特.開學考試)若函數〃刈=2，-；-。存在1個零點位于(1,2)內，則。的取值

范圍是()

A.(0,3)B.(-3,3)C.[-3,3]D.(-3,0)

【答案】A

【解析】若函數/(可=？一：-。存在1個零點位于(1,2)內，

f(x)=r---a單調遞增，又因為零點存在定理，

X

29

.-./(l)=21-y-a<0,/(2)=22---a>0,

.\0<a<3.

故選：A.

2

8.函數/(%)=2尤-一-〃的一個零點在區間(1,2)內，則實數，的取值范圍是()

x

A.0<?<3B.l<a<3

C.l<a<2D.a>2

【答案】A

2

【解析】因為函數y=2",y=-一在(0,+s)上單調遞增，

x

2

所以函數/(X)=2"——a在(0,+⑹上單調遞增，

x

由函數/。)=2，一彳-”的一個零點在區間(1,2)內得/⑴=-a(0,〃2)=3-a)0,

解得0<a<3,

故選：A

x—3

9.已知函數〃無）=8Hnx-I-80的零點位于區間化左+1）內，則整數%=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因為函數y=811nx與>=一心）-80在（0,+8）上均為增函數,

所以函數“X）在（0,+oo）上為增函數，

因為〃2）=8Hn2—83<0,/（3）=811n3-81>0,/（2）-/（3）<0,

所以函數“X）的零點位于區間（2,3）內，故左=2.

故選：B.

題型三：方程根的個數與函數零點的存在性問題

10.函數y=lg|x|-sinx的零點個數為

【答案】6

【解析】lg|x|-sinx=0,故lgW=sinx,

畫出/（x）=lg|x|和g（x）=sinx,兩函數交點個數即為y=lg|H—sinx的零點個數,

由圖象可得，共6個交點，所以y=lgW-sinx的零點個數為6.

故答案為：6

2x,0V尤V，

2

11.已知函數=<則方程/（〃x））=x的解的個數是.

【答案】4

4x,0<x<^

2（l-2x）,：<xwg

【解析】依題意可得，/（/（%））=<

i3

2（2x-l）,—<x<—

3

4（l-x）,-<x<l

當OVxW；時，由/(/(x))=x得x=O；

ii2

當時,由〃/(x))=x,BP2(l-2x)=x,得尤=不

ia7

當時,由〃/(x))=x,即2(2x-l)=x,得尤=§;

當時，由〃/(x))=x,即4(1一x)=x,得尤=+

綜上可得，方程/(〃x))=x有4個實數根，

故答案為：4

12.(2024.青海西寧?二模)記r(x)是不小于尤的最小整數，例如r(1.2)=2,r(2)=2,r(-1.3)=-1,則函數

f(x)=T(尤)-x-+：的零點個數為.

O

【答案】3

【解析】令/(力=0,貝1"(尤)一%=2——：，

O

令g(無)=r(x)_x17(尤)=

O

則g(x)與"(X)的交點個數即為了(X)的零點個數，

當一1<XV0時,g(x)=O—x=-xe[o,l),

又g(x+l)=T(尤+l)_(x+l)=r(x)__x=g(x),

所以g(x)是周期為1的函數，

7

h(x)在R上單調遞減，且〃(-1)>l,A(0)=-,/z(3)=0,

8

所以可作出g(x)與/2(x)的圖象如圖，

所以g⑺與/i(x)有3個交點，故/(x)的零點個數為3,

故答案為：3.

13.函數〃x)=2alog2x+a⑷+3在區間、,1)上有零點，則實數。的取值范圍是()

c3

A.a<——

22

c3

D.a＜——

4

【答案】D

【解析】當“=0時，/(力=3,不合乎題意.

當時，由于函數y=2alog2X、y=。?4*+3在[■』)上均為增函數,

此時函數在[J上為增函數.

當。＜0時，由于函數y=2alog2X、＞=4-4*+3在[3，1)上均為減函數,

此時函數“X)在(別上為減函數.

因為函數/(x)在區間上有零點，則

即3(4。+3)＜0,解得。＜-彳.

故選：D.

題型四：嵌套函數的零點問題

4sinTLX,0<X<1

14.已知函數/(%)=，若關于元的方程[/(X)]2-(2-m)/(%)+1-m=0恰有5個不同的實數解,

2X-1+x,x>l

則實數機的取值集合為()

A.(3,5)B.[3,5]C.(―3,—1)D.[―3,—1]

【答案】C

【解析】作出函數“X)的大致圖象，如圖所示，

令f=貝(2—m)/(x)+l—租=0可化為

貝U%=1或L=1-m，

則關于X的方程［/(切2-(2-m)”x)+l-m=0恰有5個不同的實數解等價于f=〃x)的圖象與直線"4,

的交點個數之和為5個，

由圖可得函數f=/(x)的圖象與直線r=4=1的交點個數為2,

所以f=/(x)的圖象與直線f=G=l-機的交點個數為3個，

即止匕時2<1—用<4,

角軍得-3<m<-1,

故選：C.

2%+l,x<0

15.已知函數/(x)=，L?_2X+I］>0，方程產(%)-4⑺-。+3=0有6個不同的實數解，則實數。的取

2X一尤+"一

值范圍是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(2,3D.利

【答案】C

令f=/(x),要使原方程有6個不同的實數解，則產-勿-。+3=0有兩個不同實根4名且％<4,

若％=。，貝!］一。+3=0,貝!Ja=3,止匕時/2一3,=0,t?=3,顯然止匕時不合題意，

故由圖知：。<4<1<弓<2,即g(f)=at-a+3的兩個零點分別在區間(0,1)和(1,2)內，

g(0)=3-a>0

7

而g⑺開口向上，故jg⑴=4一2a<0

方(2)=7-3a>0'

故選:C

2cos2x,-7i<x<0

16.(2024?高三?天津濱海新?開學考試)已知函數/(%)=16八，關于x的方程

x+---8o,x>0

、%

2產(%)+(5-2。)/(工)一5〃=0在［一兀,+8)上有四個不同的解罰,尤2，兀3，％4，且石<兀2<兀3<%4，若

x+x112

-12+a--—20恒成立，則實數上的取值范圍是()

/V44

A.［-7T,-H?)B.c.(-co,0)Um,+GO)D.鬼一。

【答案】B

【解析】2/2(x)+(5-2a)/(x)-5a=0整理可得：(/(x)-a)(2/(x)+5)=0,故/(幻=。或/(無)=一|,由于

2|cos2x|<2,故2cos2尤=—無解，由基本不等式，x>0時，尤H———8>2.x--——8=0,故XH----8=—

112xVxx2

無解，依題意，于是在［-71,+8)上有四個解，由余弦函數，對勾函數的圖像，可作出了(X)的圖像如

下：

結合圖像可知，當0<。<2時，/(x)=a在［一兀,依)上有四個解如圖所示，由于x=-］是y=2cos2x

1616

的一條對稱軸，根據對稱性，%+%=-兀，由/(%)=/(匕)，即W+—-8o=%+—-o8,整理可得

*3%

/16、16

(七一%)1-----=°，由于％3<%4，故1------=°，即％3%4=16.

I入3%4J*3工4

%+x1127L7］6

于是^~~+a2-20可以整理為一7+〃-0,又/(%3)=〃=退+----8e(0,2),解得2<退<8,結合

kx3x4kx3x3

Ti99I9-

圖像可知2<w<4,,即-7+七+--8>0,故W+―>2色——=6,當％=3$(2,4)時取得等號，為使

X

化工3%3V3

得一%W十?八°恒成立,只需->640,即當

40，解得左￡一

故選：B

F尤一?**2,若關于龍的方程「(x)+"(x)+C=0恰有5個不同的實數解4,

17.定義域為R的函數〃x)=

1,x—2

巧，x3,x4,x5,貝！|/(&+*2+*3+匕+內)等于()

A.1B.21g2C.31g2D.0

【答案】C

【解析】令"=/(力，作出函數"=/(%)的大致圖象，

當XW2時，/(4-x)=lg|4-j;-2|=lg|2-x|=lg|x-2|=/(x),

故函數f(x)的圖象關于直線x=2對稱，

因為關于x的方程嚴(力+h(力+。=0恰有5個不同的實數根，

則關于比的方程"2+6a+c=0恰有兩根，設為小、的，且必有一根為1，設出=1，

設方程4=/(x)的兩根分別為耳、巧，且玉<%，則4+N="

所以，X3+X4+X5=6,%+%2+%3+%4+%5=10，

因此，/(10)=lg8=31g2.

故選：C.

題型五：函數的對稱問題

18.(2024?河南洛陽?一模)已知函數y=a-21nx,dw尤We)的圖象上存在點函數y=Y+1的圖象上存

e

在點N,且/,N關于x軸對稱，則。的取值范圍是()

【答案】A

【解析】因為函數y=/+l與函數-1的圖象關于x軸對稱,

根據已知得函數了=。-21!1瓶(工4工46)的圖象與函數y=-/-1的圖象有交點，

e

即方程〃一2111%=-%2-1在不￡一,e上有解，

e_

即a=21nx-爐一1在龍￡-,e上有解.

e

令g(x)=21nx-x2-i,xe-,e,

則g'(x)=2-2x==2(13),

XXX

可知g(x)在1,1上單調遞增，在[l,e]上單調遞減，

故當x=l時，g(>0m?=義⑴=-2，

由于g[J=-3-J,g(e)=l-e2,且一3-\>l-e2,

所以l-e?VaV-2.

故選：A.

19.(2024?內蒙古赤峰?二模)已知函數y=l+21nx(xe:e]]的圖象上存在點V,函數,=-無2+。的圖象上

存在點N,且點M,N關于原點對稱，則實數。的取值范圍是()

A.0/+'B.[0,e2-3]C.1+^,?2-3D.1+^,+^

【答案】B

【解析】原題等價于函數y=l+21nx[eJe]的圖象與函數y=/-a的圖象有交點，即方程

l+2kix=x2-a^x&」,e])有解，即a=V-l-21n_(尤e，,e][有解，/(x)=x2-l-21nx,利用導數法求

出函數的值域，即可求得答案函數>=-爐+。的圖象與函數>=/-a的圖象關于原點對稱，

則原題等價于函數y=l+21n,xe的圖象與函數y=f-。的圖象有交點，

即方程l+21nx=f-a]尤e有解，

即a=x?-l-21nx]xeLe]]有解，

令"X)=”2—1—21nJxe—,e|,

則f'(x)=2X—2=2(XT),

XX

當xej,l時，/(x)<0,

當f\x)>0,故〃”*=〃1)=0,

由y(j=7+i,/(^)=^2-3,

故當x=e時，〃x)1mx=e?-3

故。的取值范圍為[04-3].

故選：B.

20.(2024?高三.湖北鄂州?期末)若不同兩點尸、。均在函數y=〃x)的圖象上，且點P、。關于原點對稱,

則稱(RQ)是函數y=〃x)的一個“匹配點對”(點對(RQ)與x=0視為同一個'匹配點對").已知

*x>0

〃x)=e、’一恰有兩個'匹配點對"，則。的取值范圍是()

2ax2,x<0

【答案】B

【解析】函數y=(尤<0)的圖象關于原點對稱的圖象所對應的函數為>=-2ax2(尤>0),

/(x)的圖象上恰好有兩個'匹配點對”等價于函數y=E(x20)與函數y=-2/(X>0)有兩個交點,

e

即方程-2以2=二(x>0)有兩個不等式的正實數根，

ex

X

即-2〃==。>0)有兩個不等式的正實數根，

e

X

即轉化為函數g(%)=-7(%>0)圖象與函數y=-2〃圖象有2個交點.

e

當0<彳<1時，g'(x)>0,g(x)單調遞增.

當x>l時，g<x)<0,g(x)單調遞減.且xfO時，g(x)fO,xf+8時，g(x)3o

所以g(x)4g6=」

e

Y

所以gQ)=土(x>0)圖象與函數y=-2a圖象有2個交點.

貝（J0<—la<—,解得---<iz<0.

e2e

故選：B

21.(2024?江西?一模)己知函數=與函數g")=FJ,若“力與g(x)的圖象上分別存

在點M,N,使得MN關于直線y=x對稱，則實數左的取值范圍是

-11「2](2、「3一

A.一,eB.——,2eC.一,2eD.一,3e

LeJ\_eJVe)\_e]

【答案】B

【解析】由題設問題可化為函數y=g(x)的反函數y=-2歷X的圖像與“X)=區在區間1,e2上有解的問題.

"14??

即方程履=-2加x在區間上有解，由此可得即--4左4—,所以-一〃42e.

_eJxxe

22.(2024?江西.模擬預測)函數/(x)=履，g(x)=21nx+6(l<x<4),若與g(x)的圖象上分別

存在點M,N關于直線y=3對稱，則實數上的取值范圍是()

<21「2一

A.——,-ln2B.——,0

Ie」e」

C.[-In2,0]D.-1,-ln2

【答案】B

【解析】設M(r,Q)為函數〃x)="上一點，則”&公)關于片3對稱的點為N(r,6-股)，

且在函數g(x)=21n%+6(14x44)圖象上，所以21n,+6=6—H,

得人一手(14V4),當iw時，k'<0,左⑺單調遞減，

2

當e</W4時，k'>0,所以左⑺單調遞增，所以上⑺在ye有最小值為-工，

%(1)=0,可4)=一個，所以-：vMr)wo,故-：VkV0.

故選：B.

題型六：函數的零點問題之分段分析法模型

23.(2024?浙江寧波?高三統考期末)若函數=一？"?+〃zx-ln.三至少存在一個零點,則用的取值范

X

圍為()

(211

A.[-8,￡+-B,e2+-,+ooC.-oo,e+—D.e+—,+oo

eee

【答案】A

【解析】因為函數/(X)=X：2ex-+〃?x]nx至少存在一個零點

X

所以V—2夕2+如一如“=0有解

x

即m=-x2+2ex+電二有解

x

人，/、7Inx

hyXj——x+2ex------,

貝I]//(%)=-2x+2e+--

“("_2x+2e+、[="3x+*n_3x2lnx13…「向因為x>0,且由圖

IX)XXX

象可知V>如X,所以川(x)<0

所以“(X)在(0,+8)上單調遞減，令〃(x)=0得X=e

當0<x<e時〃(x)>0,/z(x)單調遞增

當x>e時〃(%)<0,/?(%)單調遞減

所以MHmax=〃("="+-

且當L+CO時力⑴―>-00

所以加的取值范圍為函數人⑺的值域，即,雙/+1

故選：A

24.已知函數/(x)=2x-4+】的圖象上存在三個不同點，且這三個點關于原點的對稱點在函數

e

85)=(-尤2一2》+°)^的圖象上，其中e為自然對數的底數，則實數。的取值范圍為()

A.(F,3)B.(3,2e-2)C.(2e-2,+co)D.(3,+co)

【答案】B

【解析】4/Z(x)=-g(-X)=-[-(-x)2-2(-x)+?]e-=x2~^~a,則由題意可得函數/(x)的圖象與函數

力⑺的圖象有三個交點，即方程〃x)=Mx)有三個不同的實數根.由/(x)=Mx)可得

2x-4+—BPo=x2-2x-(2x-4)e'-l,令。(尤)=Y—2尤一(2x—4)e'-l,貝U直線'與函

exe》

數P(X)的圖象有三個交點，易得p'(x)=2(x-l)(l-e)當x<0或X>1時"(x)<0,當0<x<l時//(x)>0,

所以函數p(x)在(3,0)上單調遞減，在(0」)上單調遞增，在。,內)上單調遞減，所以函數p(x)的極小值

為0(。)=3,極大值為p(l)=2e-2.又p(-i)=2+?>p⑴，p(2)=-l<p(0),所以當3<a<2e_2時，

直線y與函數p(x)的圖象有三個交點，故實數。的取值范圍為(3,2e-2).故選B.

25.(2024?全國?高三假期作業)若存在兩個正實數無、使得等式3*+。(2，-44)(111丫-1113=0成立，

其中e為自然對數的底數，則實數。的取值范圍是().

A.(-co,0)

3

B.(—8,0)U[—,+8)

2e

3

C.(0,—]

2e

_3

D.[—,+oo)

2e

【答案】B

【解析】由3x+a(2y-4e%)(lny-ln%)=。得3+2〃("-2e)ln)=。,設？=z>0,

xxx

3

則3+a(24e)ln"0,則?-2e)ln￡=-----有解，設g?)=Q-2e)ln/,

2a

g'?)=Inr+1-1為增函數,gr(e)=lne+l--=0,

te

當"e時g'?)>0,g?)遞增，當0</<e時g'?)<0,g?)遞減，

所以當1=e時函數g⑺取極小值，g(e)=(e-2e)lne=-ef即g(t)>g(e)=-e,

333

若?_26)1!1.=一丁有解，則一丁之一6,即hWe,

2a2a2a

3

所以a<0或〃之——,

2e

故選：B.

題型七：唯一零點求值問題

，X_1_x+l、

26.已知函數“x)=〃2+d-x有唯一零點，則加的值為()

\7

A.--B.-C.-D.-

2328

【答案】D

【解析】，(x)有零點，則加[26+2*[=-犬+彳=一卜一￡|+；,

11

令;X-5,則上式可化為加(2'+2一。=-r+"

—f2-I----1-

因為2+2T>0恒成立，所以4，

m=-----

2+2一，

212121

一,+4，則H+--r+-

令2)=4______4=/#)'

2'+2To=2-'+2'2'+2T

故耳⑺為偶函數，

因為f(x)有唯一零點，所以函數〃⑺的圖象與、=加有唯一交點,

結合〃⑺為偶函數，可得此交點的橫坐標為0,

故加=Mo)=j=(

/十/O

故選：D

27.(2024.全國.模擬預測)若函數7'(x)=|x-3|+/-3+e3T+/n有唯一零點，則實數加的值為()

A.0B.-2C.2D.-1

【答案】B

【解析】設g(x)=/(x+3)=|x|+e*+er+〃z,

g(-x)=|-xI+e^x+ex+m=\x|+ex+ex+m=g(x)

故函數g(x)為偶函數，則函數/(尤+3)的圖像關于y軸對稱，故函數/(X)的圖像關于直線x=3對稱,

,/〃幻有唯一零點

/./(3)=0,即祖=-2,

經檢驗，/(x)=|x-31+eL3+e3T-2僅有1個零點x=3.

故選：B.

28.已知函數/。)=/一2工+。("7+""|)+<：0$0—1)一1有唯一零點，貝!|。=()

A.1B.—C.—D.—

332

【答案】D

【解析】把函數等價轉化為偶函數且")=*+〃(3+97)+以)51-2,利用偶函數性質，g?)有唯一零點，由

g(0)=0得角軍.因為/(x)=(x—I)?+Q(e*1+e口)+cos(x—1)—2,

令％—1=1則g(t)=t2+a(e'+e-z)+cost-2,

因為函數/(%)=%2-2x+a(e"T+eT+i)+cos(x-l)-1有唯一零點，

所以g⑺也有唯一零點，且g⑺為偶函數，圖象關于V軸對稱，由偶函數對稱性得g(0)=0,所以2a+l-2=0,

解得。=:,

故選：D.

29.(2024.廣東茂名二模)已知函數8(6，力(力分別是定義在區上的偶函數和奇函數,且8(力+/2(司=爐+了,

若函數〃0=尹"+公(彳-1)-2萬有唯一零點，則正實數幾的值為()

A.-B.士C.1D.2

32

【答案】C

xxx

￡(x)+/z(x)=e+xe+e-

【解析】由題設，\\tZ.,ZV可得：gX=3^^,

g(-x)+h[-x)=e-x=g(x)-h(x)v72

由〃尤)=」曰+.(%一1)一2萬，易知：/(尤)關于x=l對稱.

當X21時，/(尤)=e~+((產+e1-v)-222,則/'(x)=——e』)>0,

所以單調遞增，故x<l時/(x)單調遞減，且當x趨向于正負無窮大時Ax)都趨向于正無窮大，

所以Ax)僅有一個極小值點1，則要使函數只有一個零點，即/。)=0,解得2=1.

故選：C

30.已知關于x的函數/(力=加一22式+|工一1|+爐+6-4有唯一零點x=。，貝｝|a+b=()

A.-1B.3C.-1或3D.4

【答案】B

【解析】/(X)=^(X-1)2+|X-1|+^2-4,令仁尤-I,

則有g(/)=/+M+從-4是偶函數,

若只有唯一零點，則必過原點，即g(0)=0,從而b=攵.

當b=-2時，有3個零點，舍去.

故b=2,止匕時?=a—1=0,貝!Ja=l,故a+Z?=3.

故選：B

題型八：分段函數的零點問題

d+3%2-2,九<0,

31.(2024.河南開封.模擬預測)已知〃%)=inx若函數g(%)=〃%)-小有兩個零點，貝奧的

----,x>0,

、x

取值范圍為()

A.[JB.(-2,0)C.(-?,-2)UQ,2^|D.gd]

【答案】C

【解析】當xWO時，““=丁+3/_2,

則/(%)=3f+6x=3x(x+2),

當2)時，函數〃x)單調遞增；

當xe(-2,0)時,/(力<0,函數“X)單調遞減.

32

所以xWO時，1MX=/(-2)=(-2)+3X(-2)-2=2.

當x>。時，〃x)=T^,

貝八)=w^,

當xe(O,e)時,r(x)>0,函數/(%)單調遞增；

當xe(e,+8)時，/'(x)<0,函數/(x)單調遞減.

所以x>0時,=〃e)=『=]

畫出函數/(x)的圖象如圖所示：

-2

I-勺

因為函數8(力=/(力-加、有兩個零點，

所以>=機與y=/(x)的圖象有兩個交點,

由圖可知機<-2或工<加<2.

e

所以機的取值范圍為(-雙-2)U[J,2].

故選:C.

"2

.一，/、ax+lax+1,x<0、

32.(2024?全國?模擬預測)若函數=1、八恰有2個零點，則實數。的取值范圍為()

'ln(x+l)+<7,x>0

A.(-oo,0)u(l,+co)B.(0,1)C.(-oo,l)D.(0,+oo)

【答案】A

l,x<0

【解析】①當a=0時，〃司=1111(尤+1)彳>()則〃》)只有一個零點°，不符合題意；

②當a<0時，作出函數“X)的大致圖象，如圖1,在(-甩0)和[0,”)上各有一個零點，符合題意；

③當。>0時，作出函數“X)的大致圖象，如圖2,“X)在[(),+◎上沒有零點.

則〃x)在(-8,0)上有兩個零點，此時必須滿足了(-1)=1-。<0,解得

綜上，得a<0或a>l.

33.函數=="+4”2。的零點個數為()

\2'-3,x<0

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】當時，令2*+4-3=0，MW^=-4+log23；

當x>0時，令2尤2-7x+4—lnx=0,貝U2爐—7x+4=lnx,

在同一直角坐標系中分別作出y=2/-7工+4,y=lnx的大致圖像如圖所示，

觀察可知，它們有2個交點，即函數/(x)有2個零點；

綜上所述，函數f(x)的零點個數為3.

故選：C.

e"x20

34.(2024.高三.陜西西安.期末)已知函數"X='一若函數g(x)=〃f)-〃x),則函數g(x)

-3x,x<0

的零點個數為()

A.1B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】當x>0時，-x<0,f[-x)=3x

當xvO時，一%>0,f（-%）=e-x

3x-e%,x>0

g（尤）=/（一元）一/（尤）=<o,X=o

e-x+3x,x<0

g(-x)=f(x)-f(-x)=-g(x),且定義域為R,關于原點對稱，故g(x)為奇函數,

所以我們求出尤>0時零點個數即可,

g（x）=3x-e*,x>0,g'（尤）=3-e*>0,令g'（尤）=3-e*>0,解得0<x<ln3,

故g(x)在(0,ln3)上單調遞增，在也13,一)單調遞減,

且g（ln3）=3如3—3>0,而g（2）=6—e?<0,故g（x）在（ln3,2）有1零點,

,圖像大致如圖所示:

故g(x)在(0,+動上有2個零點，又因為其為奇函數，則其在(一”,0)上也有2個零點，且g(0)=0,故g(x)

共5個零點,

故選：D.

Inx-2x,x>0

35.若函數〃x）=,0/八有且只有2個零點，則實數a的取值范圍為()

x+2x+tz,x<0

A.0<?<1B.0<?<1C.0<?<1D.Q<a<\

【答案】D

【解析】根據題意，x>。時，/(x)=lnx-2x(x>0),止匕時尸(x)=5一2

尸(彳)=4一2>0時，0<%<工；—(無)=!一2<0時，x>~,

x2%2

所以“X）在上單調遞增，在6,+j上單調遞減

》>0時，"XL"1卜-也2-1<0

所以“可在（0,+。）上無零點

從而無<。時，〃%）有2個零點，根據二次函數的性質可得

[△=4-4。>0

《[*八0/、）20/.0<tz<l

故選：D.

題型九：零點嵌套問題

36.（2024?遼寧?二模）已知函數〃尤）=9（ln尤y+（a-3）xln尤+3（3-〃）/有三個不同的零點七，瑪，/，

【解析】把/（x）的零點轉化為a-3=9（mx）一令=3-g,?e（0,4w）,可得方程

3x-x\nxX

9/_（51+ak+81=0有兩實根％,%由判別式大于0解得a的范圍，再由根與系數的關系可得

%+芍=51：°>513=6,不2=9,進一步得至1">3,芍=1<3,結合百<1</<X3,可得31>3,

99%為

3_皿<3,3-^0,則可知