專題強化練（四）圓周運動的臨界極值問題

（40分鐘70分）

一、選擇題

1.（6分）（2024.銀川模擬）如圖所示，某餐桌的水平旋轉餐臺可繞過0點的豎直軸轉動，旋轉餐臺

上放有“、N兩個完全相同的小碟子，碟子M離。點較近。下列說法正確的是（）

A.若碟子M隨餐臺一起勻速轉動，它受重力、支持力和向心力作用

B.若碟子N隨餐臺一起勻速轉動，它所受合力為0

C.若餐臺轉速從零緩慢增大，碟子N先與餐臺發生相對滑動

D.若碟子M、N隨餐臺一起勻速轉動，航比N的線速度大

2.（6分）（2023?重慶模擬）偏心振動輪廣泛應用于生活中的各個領域，如手機振動器、按摩儀、混

凝土平板振動機等。如圖甲，某工人正操作平板振動機進行水泥路面的壓實作業。平板振動機

中偏心振動輪的簡化圖如圖乙所示，輪上有一質量較大的偏心塊。若偏心輪繞轉軸。在豎直面

內轉動則當偏心塊的中心運動到圖中哪一位置時，振動機對路面壓力最大（）

A.PB.QC.MD.N

3.（6分）（體育運動）（多選）（2024.阜新模擬）如圖為杭州亞運會體操賽場場景,“單臂大回環”是體

操運動中的高難度動作，運動員單臂抓杠，以單杠為軸完成圓周運動，不考慮手和單杠之間的摩

擦和空氣阻力，將人視為處于重心的質點，將“單臂大回環”看成豎直平面內的圓周運動,等效半

徑為L,重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.單杠對手臂既可能提供拉力，也可能提供支持力

B.從最高點到最低點的過程中，單杠對人的作用力不做功

C.若運動員恰好能夠完成圓周運動，則運動員在最低點受單杠作用力大小為6mg

D.若運動員恰好能夠完成此圓周運動，則運動員在最高點時，手臂與單杠之間無作用力

4.（6分）（2024.晉中模擬）如圖，一圓盤可以繞其豎直軸在水平面內轉動，圓盤半徑為民甲、乙兩

物體的質量分別為〃和皿〃>加）,它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為正壓力的〃倍，兩物體用

一根長為/（/<R）的輕繩連在一起，若將甲物體放在轉軸的正上方，甲、乙之間連線剛好沿半徑方

向拉直，要使兩物體與轉盤之間不發生相對滑動，則轉盤旋轉的角速度最大值不得超過（）

【加固訓練】

（多選）（2024.西安模擬）某同學用以下方法測量物塊與木板之間的動摩擦因數，在車廂的

底部固定一個木板，一質量為m的木塊放置在木板上，右端連接一條輕彈簧，已知彈簧的勁度系

數為左，彈簧處于伸長狀態，伸長量為私車靜止時，從車尾觀察，車內物塊位置如圖所示。現使該

車在水平路面上沿半徑為R的圓弧彎道上做勻速圓周運動（R遠大于車輛大小），轉彎過程中，測

試車輛不發生側滑，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.若車輛向右轉彎,物塊一定受到向右的摩擦力

B.若車輛以速度v向右轉彎，物塊剛好不滑動,則物塊與木板之間的動摩擦因數為〃=總-鬻

C.若車輛以速度v向左轉彎，物塊剛好不滑動,則物塊與木板之間的動摩擦因數為〃=邕-鬻

D.若車輛向左轉彎,物塊仍相對木板靜止，車速越大，則物塊所受摩擦力越大

5.（6分）（多選）（2024.貴陽模擬）如圖甲所示，一輕質桿一端固定在水平轉軸。上,另一端與小球

（可視為質點）連接，小球隨輕桿繞轉軸在豎直平面內做圓周運動（不計一切阻力）,小球運動到最

高點時桿對小球的彈力大小為E小球在最高點的速度大小為%重力加速度取10m/s2,其F-v2

圖像如圖乙所示，則下列說法正確的是（）

A.輕質桿長為0.3m

B.小球的質量為0.75kg

C.當v2=lm2/s2時，小球受到的彈力方向向上，且大小等于2.5N

D.當廿=8m2/s2時，小球受到的彈力方向向下，且大小等于10N

6.（6分）（多選）（2021.河北選擇考）如圖，矩形金屬框MNQP豎直放置，其中MN、PQ足夠長，且

PQ桿光滑。一根輕彈簧一端固定在M點，另一端連接一個質量為m的小球，小球穿過PQ桿。

金屬框繞"N軸分別以角速度①和“勻速轉動時，小球均相對PQ桿靜止。若。、①，則與以co

勻速轉動時相比，以。'勻速轉動時（）

30

N1-----------1Q

A.小球的高度一定降低

B.彈簧彈力的大小一定不變

C.小球對桿壓力的大小一定變大

D.小球所受合外力的大小一定變大

【加固訓練】

如圖所示,洗衣機內的漏斗狀容器可以繞豎直對稱軸。。勻速轉動，質量為m的物塊3放

在容器傾斜側壁上，傾斜側壁的傾角為45。,質量也為m的物塊A貼在豎直側壁上,A、B與容器

側壁間的動摩擦因數均為〃=0.54、3兩物塊到轉軸的距離分別為2廠、「，不計物塊的大小，最大

靜摩擦力等于滑動摩擦力，要使兩物塊均相對于容器靜止，容器轉動的角速度co大小范圍為

()

7.（6分）（多選）（2023?哈爾濱模擬）某裝置如圖所示，兩根輕桿。4、OB與小球及一小滑塊通過光

滑錢鏈連接，桿的A端與固定在豎直光滑桿上的光滑錢鏈相連。小球與小滑塊的質量均為

內輕桿。4、OB長均為/,原長為1的輕質彈簧與滑塊都套在該豎直桿上，彈簧連接在A點與小

滑塊之間。裝置靜止時，彈簧長為L6/,重力加速度為"詁53。=0.8,353。=0.6,以下說法正確的

是（）

<

A.輕桿OA對小球的作用力方向沿。4桿向上，大小為警

B.輕桿OB對小滑塊的作用力方向沿OB桿向下，大小為誓

O

C.彈簧的勁度系數上等

D.若小球繞桿以角速度。=電在水平面內做勻速圓周運動，則彈簧將恢復原長

二、計算題

8.（12分）（2023?江蘇選擇考）“轉碟”是傳統的雜技項目，如圖所示,質量為m的發光物體放在半徑

為r的碟子邊緣，雜技演員用桿頂住碟子中心，使發光物體隨碟子一起在水平面內繞A點做勻速

圓周運動。當角速度為。。時，碟子邊緣看似一個光環。求此時發光物體的速度大小W和受到

的靜摩擦力大小人

【加固訓練】

（2023?南充模擬）如圖是一彈珠游戲機的簡化示意圖。矩形游戲面板ABCD與水平面所成

夾角。=37。,面板右側邊緣的直管道AP與四分之一圓弧軌道PQ相切于P點，面板左側邊緣有

垂直板面的擋板，已知圓弧軌道半徑R=L5m,圓弧軌道最高點。（切線水平）到水平面的高度

h=1.25m。控制手柄K可使彈珠（可視為質點）以不同的速度沿直管道AP發射，彈珠與擋板撞擊

時間極短且不損失機械能，撞擊前后水平速率不變。不計摩擦和空氣阻力。g取10

m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8o

⑴求小球通過Q點的最小速度大小VQ；

⑵若小球以最小速度通過最高點。，與擋板發生一次撞擊,剛好經過面板下邊緣〃點,“、A兩

點相距d=1.5m,求面板AD邊的長度L。

9.（16分）（2023?石景山模擬）如圖1所示，一根長為L不可伸長的輕繩一端固定于。點，另一端系

有一質量為m的小球（可視為質點）,小球在豎直平面內以。點為圓心做圓周運動。已知重力加

速度為g,忽略空氣阻力的影響。

（1）若小球經過圓周最高點A時速度大小3=畫；求此時繩子對小球施加拉力的大小;

⑵若輕繩能承受的最大拉力Fm=9/ng,求小球運動到最低點3點時的速度大小在什么范圍內,

既可以使小球在豎直面內做完整的圓周運動，又可以使繩子不被拉斷;

（3）某同學作出了小球經過圓周最高點A點時,繩子上的拉力口與小球速度的平方v2的函數圖

像，如圖2所示，

①請寫出圖線的函數表達式。

②若將輕繩換為長為L質量忽略的輕桿，其他保持不變,請在圖3中繪出小球經過圓周最高點A

點時,輕桿對小球的作用力R與小球速度的平方聲的函數圖線，并且注明圖線與坐標軸的交點

坐標。

解析版

一、選擇題

1.（6分）（2024.銀川模擬）如圖所示，某餐桌的水平旋轉餐臺可繞過0點的豎直軸轉動，旋轉餐臺

上放有"、N兩個完全相同的小碟子，碟子〃離。點較近。下列說法正確的是（）

M_N

A.若碟子M隨餐臺一起勻速轉動，它受重力、支持力和向心力作用

B.若碟子N隨餐臺一起勻速轉動，它所受合力為0

c.若餐臺轉速從零緩慢增大，碟子N先與餐臺發生相對滑動

D.若碟子M、N隨餐臺一起勻速轉動,“比N的線速度大

【解析】選C。碟子”、N隨餐臺做勻速圓周運動，受重力、支持力和靜摩擦力作用，三個力的

合力即靜摩擦力提供向心力，故A、B錯誤;碟子M、N隨餐臺做勻速圓周運動時,角速度相同,

由牛頓第二定律可知/靜=也。2「,碟子M、N完全相同，所受最大靜摩擦力相等，由于碟子N離。

點較遠，其所受靜摩擦力先達到最大值，所以碟子N先與餐臺發生相對滑動，故C正確;碟子N離

0點較遠，由公式v=s可知,N比M的線速度大，故D錯誤。

2.（6分）（2023?重慶模擬）偏心振動輪廣泛應用于生活中的各個領域，如手機振動器、按摩儀、混

凝土平板振動機等。如圖甲，某工人正操作平板振動機進行水泥路面的壓實作業。平板振動機

中偏心振動輪的簡化圖如圖乙所示，輪上有一質量較大的偏心塊。若偏心輪繞轉軸。在豎直面

內轉動則當偏心塊的中心運動到圖中哪一位置時，振動機對路面壓力最大（）

甲乙

A.PB.QC.MD.N

【解析】選Ao對偏心輪邊緣的一點，轉到最低點P時滿足「加8=根。2心可得路面對振動機的

支持力療N="g+加g+a①2廠,此時路面對振動機的支持力最大,根據牛頓第三定律可

知振動機對路面壓力最大。故選A。

3.（6分）（體育運動）（多選）（2024.阜新模擬）如圖為杭州亞運會體操賽場場景,“單臂大回環”是體

操運動中的高難度動作，運動員單臂抓杠，以單杠為軸完成圓周運動，不考慮手和單杠之間的摩

擦和空氣阻力，將人視為處于重心的質點，將“單臂大回環”看成豎直平面內的圓周運動,等效半

徑為乙重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.單杠對手臂既可能提供拉力，也可能提供支持力

B.從最高點到最低點的過程中，單杠對人的作用力不做功

C.若運動員恰好能夠完成圓周運動，則運動員在最低點受單杠作用力大小為6mg

D.若運動員恰好能夠完成此圓周運動，則運動員在最高點時，手臂與單杠之間無作用力

【解析】選A、Bo運動員在做圓周運動的過程中，單杠對手臂既可能提供拉力,也可能提供支

持力，如在最高點，當運動員的重力恰好提供向心力時，有mg=r^-

可得尸?瓦當運動員在最高點的速度大于對時，桿對運動員的力為拉力，當運動員在最高點

的速度小于病時，桿對運動員的力為支持力，故A正確;從最高點到最低點的過程中，單杠對人

的作用力一直與速度方向垂直,不做功，故B正確;若運動員恰好能夠完成此圓周運動，則運動員

在最高點的速度為零，此時手臂與單杠之間支持力大小等于運動員的重力大小，故D錯誤;從最

高點到最低點，根據動能定理有mg-2L=^m\r

解得v=2y[gL

?2

在最低點，有F-mg=m—

所以F=5mg

故C錯誤。

4.（6分）（2024.晉中模擬）如圖，一圓盤可以繞其豎直軸在水平面內轉動，圓盤半徑為民甲、乙兩

物體的質量分別為“和加（"＞血）,它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為正壓力的〃倍，兩物體用

一根長為/（/＜火）的輕繩連在一起，若將甲物體放在轉軸的正上方，甲、乙之間連線剛好沿半徑方

向拉直，要使兩物體與轉盤之間不發生相對滑動，則轉盤旋轉的角速度最大值不得超過（）

mRMl

p,(M+m)g

Mlml

【解析】選D。當轉盤旋轉的角速度為最大值時，對甲物體有T=0起

對乙物體有T+/Ltmg=mco2l

解得轉盤旋轉的角速度最大值不得超過

ml

故選D。

【加固訓練】

（多選）（2024.西安模擬）某同學用以下方法測量物塊與木板之間的動摩擦因數，在車廂的

底部固定一個木板，一質量為m的木塊放置在木板上，右端連接一條輕彈簧，已知彈簧的勁度系

數為匕彈簧處于伸長狀態，伸長量為私車靜止時，從車尾觀察，車內物塊位置如圖所示。現使該

車在水平路面上沿半徑為R的圓弧彎道上做勻速圓周運動（R遠大于車輛大小），轉彎過程中，測

試車輛不發生側滑，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.若車輛向右轉彎,物塊一定受到向右的摩擦力

B.若車輛以速度v向右轉彎，物塊剛好不滑動,則物塊與木板之間的動摩擦因數為《囁

C.若車輛以速度v向左轉彎，物塊剛好不滑動，則物塊與木板之間的動摩擦因數為〃=篇-需

D.若車輛向左轉彎,物塊仍相對木板靜止，車速越大，則物塊所受摩擦力越大

【解析】選B、Do車輛向右轉彎，拉力與摩擦力的合力一定向右，由于不知道速度的大小，摩擦

力的方向可以向右，也可以向左，也可以為0,故A錯誤;車輛以速度n向右轉彎，物塊剛好不滑動,

對物塊有版）+〃《喏=嗜，則〃二故B正確;若車輛速度v向左轉彎，物塊剛好不滑動,對物塊

KgKmg

有刖g-芯產嗒貝I]〃=，故C錯誤;若車輛向左轉彎,對物塊有戶區0=嗒，速度越大/越大，故

KgK771gK

D正確。

5.（6分）（多選）（2024.貴陽模擬）如圖甲所示，一輕質桿一端固定在水平轉軸0上,另一端與小球

（可視為質點）連接，小球隨輕桿繞轉軸在豎直平面內做圓周運動（不計一切阻力）,小球運動到最

高點時桿對小球的彈力大小為E小球在最高點的速度大小為%重力加速度取10m/s2,其F-v2

圖像如圖乙所示，則下列說法正確的是（）

A.輕質桿長為0.3m

B.小球的質量為0.75kg

C.當v2=lm2/s2時，小球受到的彈力方向向上，且大小等于2.5N

D.當聲=8m2/s2時，小球受到的彈力方向向下，且大小等于10N

【解析】選A、Bo由圖乙知,『=3m2/s2時尸=0,有機g=W■測4=m=0.3m,故A正確;當

Lg±u

v2=0時，有F=mg^\lmg=1.5N,則m=0.75kg,故B正確;當v2=lm2/s2<

3小球受到的彈力方向向上，有儂一代珠廁歹=7監帶L=0.75xlON-等尹N

=5N,故C錯誤;當v2=8m2/s2>3n?/s2,小球受到彈力方向向下，有mg+F=^^\F=^--mg=^^-

N-0.75X10N=12.5N,故D錯誤。

6.（6分）（多選）（2021.河北選擇考）如圖，矩形金屬框MNQP豎直放置，其中MN、PQ足夠長，且

PQ桿光滑。一根輕彈簧一端固定在河點，另一端連接一個質量為m的小球，小球穿過PQ桿。

金屬框繞MN軸分別以角速度①和“勻速轉動時，小球均相對PQ桿靜止。若。、①，則與以①

勻速轉動時相比，以①勻速轉動時()

N'----------'Q

A.小球的高度一定降低

B.彈簧彈力的大小一定不變

C.小球對桿壓力的大小一定變大

D.小球所受合外力的大小一定變大

【解題指南】(1)小球在水平面內做勻速圓周運動，由合外力提供向心力,根據小球在豎直方向

受力平衡,分析小球的高度和彈簧的彈力如何變化。

⑵由向心力公式列式分析桿對小球的作用力如何變化，即可由牛頓第三定律分析小球對桿的

壓力變化情況。

2

(3)由向心力公式Fn=mcor分析小球所受合外力變化情況。

【解析】選B、Do設彈簧的原長為h伸長量為羽與豎直方向的夾角為0,

則:(/o+x)sine=MP,fkose="zg,若小球轉動的角速度增大，小球的高度降低，則Fk增大,cos。增

大,BcosQmg,所以小球的高度不會降低，同理可知小球的高度不會升高,X、。、氏均不變，故A

錯誤,B正確;由圓周運動規律得以sinews/麗，所以小球轉動的角速度增大,小球對桿壓力

的大小一定先變小，故C錯誤;由圓周運動規律得萬合=3/麗，小球轉動的角速度增大,小球所

受合外力的大小一定變大，故D正確。

【加固訓練】

如圖所示,洗衣機內的漏斗狀容器可以繞豎直對稱軸。。勻速轉動，質量為m的物塊3放

在容器傾斜側壁上，傾斜側壁的傾角為45。,質量也為m的物塊A貼在豎直側壁上,A、B與容器

側壁間的動摩擦因數均為〃=0.54、3兩物塊到轉軸的距離分別為2h廠,不計物塊的大小，最大

靜摩擦力等于滑動摩擦力，要使兩物塊均相對于容器靜止，容器轉動的角速度0大小范圍為

【解析】選B。對于物塊A剛好不下滑時

Ni=m?2r3：小Ni=mg,求得coig

T

當物塊5剛好不下滑時

2

A^2sin450-/nN2cos45°=mr32

N2cos450+〃Msin45°二帆g

求得①2唔

當物塊§剛好不上滑時

N3sin45°+〃N3cos45°二機/必

N3cos45°=〃N3sin45°+加g

求得①3=舟，要使A、3均不滑動廁轉動的角速度必須滿足舊好舊，故選B。

7.（6分）（多選）（2023?哈爾濱模擬）某裝置如圖所示，兩根輕桿。4、0B與小球及一小滑塊通過光

滑較鏈連接，桿。4的A端與固定在豎直光滑桿上的光滑銃鏈相連。小球與小滑塊的質量均為

"輕桿。4、0B長均為/,原長為I的輕質彈簧與滑塊都套在該豎直桿上，彈簧連接在A點與小

滑塊之間。裝置靜止時，彈簧長為L6/,重力加速度為g,sin53o=0.8,cos53*0.6,以下說法正確的

是（）

A

o

亍8

A.輕桿OA對小球的作用力方向沿桿向上，大小為誓

B.輕桿0B對小滑塊的作用力方向沿0B桿向下，大小為誓

O

C.彈簧的勁度系數上誓

D.若小球繞桿以角速度。=/在水平面內做勻速圓周運動，則彈簧將恢復原長

【解析】選B、Co對球受力分析，受重力，桿。3對球的支持力(沿著桿的方向)，根據平行

1.61

四邊形定則，結合幾何關系與三角知識，則有:。4與豎直方向夾角為仇即cos6=^，解得6=37。,

mg

輕桿與0B對小球的作用力大小入=劉=；^=當，選項A錯誤,B正確；

COSo/o

對于小滑塊,根據平衡條件，則有

T=mg+乎cos37°,解得T=|mg

oZ

再由胡克定律，則有上高=等，選項C正確;當小球在水平面內做勻速圓周運動時，若彈簧處于

l.Ol-lZI

原長，則二者受力分析如圖,對滑塊列平衡方程/2‘cos6()o=Mg。對小球有:b2360。+加g二尸1COS60。

產2sin60°+尸isin60°二加①2/sin60°,且FI=F2'

解得。=占，故D錯誤。

mg

二、計算題

8.（12分）（2023?江蘇選擇考）“轉碟”是傳統的雜技項目，如圖所示,質量為m的發光物體放在半徑

為r的碟子邊緣，雜技演員用桿頂住碟子中心，使發光物體隨碟子一起在水平面內繞A點做勻速

圓周運動。當角速度為①。時，碟子邊緣看似一個光環。求此時發光物體的速度大小w和受到

的靜摩擦力大小人

答案:①orma）lro

【解析】發光物體的速度丫。=四廠,發光物體做勻速圓周運動，則靜摩擦力充當圓周運動的向心力,

則靜摩擦力大小為人m或ro

【加固訓練】

（2023?南充模擬）如圖是一彈珠游戲機的簡化示意圖。矩形游戲面板ABCD與水平面所成

夾角0=37。,面板右側邊緣的直管道AP與四分之一圓弧軌道PQ相切于P點，面板左側邊緣有

垂直板面的擋板，已知圓弧軌道半徑R=1.5m,圓弧軌道最高點。（切線水平）到水平面的高度

h=1.25m。控制手柄K可使彈珠（可視為質點）以不同的速度沿直管道AP發射，彈珠與擋板撞擊

時間極短且不損失機械能，撞擊前后水平速率不變。不計摩擦和空氣阻力。g取10

m/s2,sin37o=0.6,cos37°=0.8o

（1）求小球通過。點的最小速度大小VQ；

答案:(1)3m/s

【解析】（1）小球恰好過。點，有

v2

MgsinO=加工解得m/s

RVQ=3

⑵若小球以最小速度通過最高點。，與擋板發生一次撞擊,剛好經過面板下邊緣”點,M、A兩

點相距d=1.5m,求面板AD邊的長度L。

答案:（2）2.75m

【解析】（2）。一陷沿斜面向卜，小球做勻加速直線運動，有y^-a^,y=-^—,a=gsmd

z