2025年高考數學壓軸訓練10

一.選擇題(共13小題)

1.(2024?閔行區(qū)校級模擬)已知函數》=/(x)的定義域為(0,2),則下列條件中，能推出1一定不是、=/(%)

的極小值點的為()

A.存在無窮多個%e(0,2),滿足/(無0)</(1)

B.對任意有理數不€(0,1)U(1,2),均有/(%)</■(1)

C.函數y=f(x)在區(qū)間(0,1)上為嚴格減函數，在區(qū)間(1,2)上為嚴格增函數

D.函數y=/(x)在區(qū)間(0,1)上為嚴格增函數，在區(qū)間(1,2)上為嚴格減函數

2.(2024?新縣校級模擬)已知函數/(x)=e-eT+sin尤-x+2,其中e是自然對數的底數.若/(logl0+/

2

(3)>4,則實數f的取值范圍是()

A.(0,1)B.("，+◎C.(0,8)D.(8,+oo)

3.(2024?江西一模)已知函數/(無)及其導函數1(x)定義域均為R,記g(x)=/(尤+1),且

/(2+x)-/(2-x)=4x,g(3+x)為偶函數，則夕(7)+g(17)=()

A.0B.1C.2D.3

4.(2024?江西模擬)已知函數/(x)=2cos(0x+°)-在x=0處的切線斜率為-。，若

/(x)在(0,%)上只有一個零點尤。,則。的最大值為()

A.-B.—C.2D.-

263

5.(2024?簡陽市校級模擬)若對于任意正數x,y,不等式心).5歷'-W恒成立，則實數。的取值

范圍是()

A.(0,—]B.[―,—]C.[―,+co)D.[―,+co)

eeeee

6.(2024?宿遷模擬)在同一平面直角坐標系內，函數y=/(x)及其導函數丁=/(兀)的圖像如圖所示，已

知兩圖像有且僅有一個公共點，其坐標為(0,1),貝lj()

A.函數y=/(x)?，的最大值為1B.函數y=/(x)?，的最小值為1

C.函數y=3的最大值為1D.函數y=四的最小值為1

exex

7.(2024?邢臺模擬)已知函數/。)=。/-3好在區(qū)間(1,2)上單調遞增，則。的最小值為()

A.eB.1C.e-2D.e-1

8.(2024?梅江區(qū)校級模擬)已知0為函數/(x)=(依+1-a)d-尤-3的極小值點，則”的取值范圍是(

)

A.(―1,+co)B.(—e,+<?)C.(—―,+<?)D.[0,+co)

e

9.(2024?宜賓三模)定義在(0,+oo)上的單調函數/(x),對任意的xe(0,+oo)都有/V(x)-加幻=1,若方

程f(x)?/'(>)=機有兩個不同的實數根，則實數機的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,1]C.(-oo,l)D.(-00,1]

10.(2024?德陽模擬)己知函數/(x)及其導函數廣⑺在定義域均為7?且尸(x)=e、'*2/(無+2)是偶函數，

(x-2)[/Xx)+/(x)]>0,則不等式對■(加Ove?/(3)的解集為()

A.(0,e3)B.(l,e3)C.(e,e3)D.(e3,+oo)

H.(2024?咸陽模擬)已知函數/(x)=cosx+^x2,若x=0是函數/(x)的唯一極小值點，則。的取值范圍

為()

A.[1,+oo)B.(-1,1)C.[-1,+00)D.(-00,1]

71

12.(2024?青羊區(qū)校級模擬)設0=30.21,b=M.21,c=言，則下列大小關系正確的是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

13.(2024?博白縣模擬)已知函數/(x)=e，-±-6,當實數。>0時，對于xeR都有/(元)..0恒成立，貝UA

a

的最大值為()

A.-B.1C.-4D.4

e2e2e1e2

二.多選題(共3小題)

14.(2024?市中區(qū)校級二模)對于具有相同定義域。的函數/(尤)和g(x),若存在函數/?(%)=Ax+b(左，b為

常數)對任給的正數機，

存在相應的天€。使得當xe。且x>x。時，總有無)一'(")<"，則稱直線/:y=依+6為曲線

[0<h(x)-g(x)<m

y=/(x)和y=g(x)的''分漸近線下列定義域均為￡>={x|x>l}的四組函數中，曲線y=/(x)和y=g(x)

存在“分漸近線”的是()

A.f(x)=x2,g(X)=G

B.f(x)=10'+2,g(無)

X

“、x2+1/、xlnx+\

C.fM=----，gM=———

xInx

/(-V)=-^―>g(x)=2(x-l-eT)

D.

x+1

15.(2024?建陽區(qū)一模)已知函數/(尤)=d-2依2+版+。(。，b,cwR),/'(%)是/(%)的導函數，貝|(

A.“q=c=O”是"/(x)為奇函數”的充要條件

B.“a=b=O”是"/(無)為增函數”的充要條件

C.若不等式/(%)<0的解集為{%|兀<1且XW-1},則/(%)的極小值為-II

D.若玉，/是方程/'(%)=0的兩個不同的根，且'+'=1，則avO或々>3

七%

16.(2024?揚州校級一模)若正數。，b滿足〃+6=1,則()

A.log2a+log2b..-2B.2"+2’..2點

C.a+Inb<0D.sinasinZ?<—

4

三.填空題(共4小題)

17.(2024?淄博一模)設方程，+x+e=0,歷x+%+e=0的根分別為夕，q,函數f(%)=/+(p+q)x,

令a=/(0),人=/(—),c=/(-),則a,b,c的大小關系為

18.(2024?滄縣校級模擬)已知直線/:y=fct是曲線/(%)=〃和g(x)=/加+〃的公切線，則實數〃=

19.(2024?回憶版)若曲線y="+x在點(0,1)處的切線也是曲線丁=歷(％+1)+〃的切線，貝！Ja=.

20.(2024?白云區(qū)校級模擬)已知函數/(x)=a(x-)(x-x2)(x-x3)(a>0),設曲線y=/(%)在點(xz.,/(七))

處切線的斜率為仁。=1,2,3),若玉，x2,冗3均不相等，且左2=-2,則匕+4%的最小值為.

四.解答題(共5小題)

21.(2024?沙河口區(qū)校級二模)已知函數/(%)=(%-1)/+辦+1.

(1)若a=—e，求/(%)的極值；

(2)若x..O,/(x)..2sinx,求〃的取值范圍.

22.(2024?黃州區(qū)校級四模)已知函數/(兀)=(1+1)近￥-0￥+2.

(1)當〃=1時，求/(%)在(1,f(1))處的切線方程；

(2)若函數/(尤)在(L+oo)上單調遞增，求實數。的取值范圍.

23.(2024?天津)設函數/(X)=X/HX.

(1)求，(x)圖像上點(1,f(1))處的切線方程；

(2)若/(x)..a(x-五)在xe(0,+oo)時恒成立，求a的值；

2

(3)若玉，x2e(0,l),證明|/(占)-/0：2)1”I尤i一無2F.

24.(2024?貴州模擬)已知函數f(x)=x/nx.

(1)若函數g(x)=/(x)-a有兩個零點，求實數。的取值范圍；

(2)已知A(X[,%),B(X2,y2),C(x3,%)(其中玉且為，馬,三成等比數列)是曲線V=/(*)

上三個不同的點，判斷直線AC與曲線y=在點3處的切線能否平行？請說明理由.

25.(2024?平羅縣校級三模)設函數/(尤)=-尤2+巾+歷無geR).

(1)若a=l,求函數/(無)的單調區(qū)間；

(2)設函數/(x)在A,e]上有兩個零點，求實數。的取值范圍.(其中e是自然對數的底數)

2025年高考數學壓軸訓練10

參考答案與試題解析

選擇題(共13小題)

1.(2024?閔行區(qū)校級模擬)已知函數y=/(x)的定義域為(0,2),則下列條件中，能推出1一定不是y=/(x)

的極小值點的為()

A.存在無窮多個尤°e(0,2),滿足/'(不小/(1)

B.對任意有理數與e(0,1)U(1,2),均有/(尤o)</(1)

C.函數y=/(x)在區(qū)間(0,1)上為嚴格減函數，在區(qū)間(1,2)上為嚴格增函數

D.函數y=f(尤)在區(qū)間(0,1)上為嚴格增函數，在區(qū)間(1,2)上為嚴格減函數

【答案】D

【考點】利用導數研究函數的極值

【專題】綜合法；綜合題；導數的綜合應用；邏輯推理；函數思想

【分析】根據極值的定義，結合選項，即可得出結果.

【解答】解：由極值的定義可知，當函數y=/(x)在x=l處取得極小值時，

在x=l左側的函數圖象存在點比x=l處的函數值小，

在x=l右側的函數圖象存在點比x=l處的函數值小，故排除A,B；

對于C,函數y=/(x)在區(qū)間(0,1)上為嚴格減函數，

在區(qū)間(1,2)上為嚴格增函數，則x=1是函數的極小值點；

對于D,函數y=/(x)在區(qū)間(0,1)上為嚴格增函數，

在區(qū)間(1,2)上為嚴格減函數，則x=l不是函數的極小值點.

故選：D.

【點評】本題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值，屬于中檔題.

2.⑵24?新縣校級模擬)已知函數/(x)=e、+sin尤-x+2,其中e是自然對數的底數.若/(logj)+/

2

(3)>4,則實數f的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,+oo)C.(0,8)D.(8,+oo)

【答案】C

【考點】利用導數研究函數的單調性

【專題】轉化思想；導數的概念及應用；方程思想；綜合法；數學運算；計算題

【分析】根據題意，求出函數/(尤)的導數，分析可得“X)在尺上遞增，設g(尤)=/(*)-2,分析可得g(x)

為奇函數且在R上遞增，原不等式變形可得“10gC)-2>-"(3)-2],結合g(無)的奇偶性、單調性可

2

得關于看的不等式，解可得答案.

【解答】解：根據題意，函數/(%)="-"，+5皿1-％+2,其導數廣(幻="+/“+cos%-1,

易得/(無)=/++cosx-1虐歸X「+COSX-10,貝I]f(x)在R上遞增，

設g(%)=/(元)一2,g(x)=ex-e~x+sinx-x,其定義域為H,

有^(-x)=~(ex-e~x+sinx-x)=-^(x),貝!Jg(x)為奇函數，

易得g(%)在R上遞增，

若/(k)gj)+/(3)>4,即/(logJ)—2〉—"(3)-2],則有g(logj)>—g(3),

222

而g(x)為奇函數，

則有g(logi”g(-3),必有l(wèi)ogJ>-3,解可得0<r<8,則f的取值范圍為(0,8).

22

故選：C.

【點評】本題考查函數的導數與單調性的關系，涉及不等式的解法，屬于中檔題.

3.(2024?江西一模)已知函數/(無)及其導函數r(x)定義域均為R,記g(x)=/(尤+1),且

/(2+x)-/(2-x)=4x,g(3+x)為偶函數，則g'(7)+g(17)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【考點】基本初等函數的導數

【專題】導數的概念及應用；數學運算；轉化思想；轉化法

【分析】對/'(2+x)-〃2-尤)=4x兩邊同時求導，結合函數的周期和偶函數的性質進行求解即可.

【解答】解：因為g(3+x)為偶函數,g(x)=f'(x+l),

所以/'(x+4)=/(-尤+4),

對/(2+w)-/(2-x)=4x兩邊同時求導,得r(2+x)+r(2-x)=4,

所以有r(4+x)+r(-x)=4=r(4-尤)+r(-x)=4=r(4+x)+/(?=4=7‘(8+無)=((尤)，所以函數

f(x)的周期為8,

在r(2+x)+r(2-尤)=4中，令x=0,所以廣(2)=2,

因此g(17)=/(18)=r(2)=2,

因為g(3+x)為偶函數，

所以有g(3+x)=g(3-x)ng，(3+x)=-g，(3-x)ng，(7)=卬(-1)(1),

f'(8+x)=f'(x)=>g(J+x)=g(x-1)=>g'(l+x)=g'(x(7)=g'(—l)(2),

由(1),(2)可得：g'⑺=0,

所以/(7)+g(17)=2,

故選：C.

【點評】本題主要考查導數的運算，考查轉化能力，屬于中檔題.

4.(2024?江西模擬)已知函數/(x)=2cos(。尤+夕)-6(a>>0,0<夕<(0在無=0處的切線斜率為-0,若

/(無)在(0,乃)上只有一個零點尤。,則。的最大值為()

A.-B.—C.2D.-

263

【答案】C

【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程

【專題】綜合法；數學運算；導數的概念及應用；函數思想

【分析】求出函數的導函數，由廣(0)=-。求出9,由X的取值范圍求出0元+工的范圍，再根據/(x)在(0,萬)

6

上只有一個零點/得到小<。萬+工,，也，即可求出。的取值范圍，從而得解.

666

【解答】解：由題意得，f\x)=-2cosm{cox+cp),則尸(0)=-269sine=Ty,即sin0=g,

又0<0〈工，解得"=工，

26

/(X)=2COS(69X+—)-^,

6

由/(%)=0得cos(s+—)=—,

62

G>0,

CDX-\-y，①兀+與，

666

又cosK=走，/(%)在(0,萬)上只有一個零點元。,

62

11萬兀13%zg5

---<(D7TH----”-----，—<CD”2，

6663

的最大值為2.

故選：C.

【點評】本題考查導數的幾何意義以及三角函數的性質，考查運算求解能力，屬于中檔題.

5.(2024?簡陽市校級模擬)若對于任意正數x,y,不等式尤(1+歷-到恒成立，則實數a的取值

范圍是()

A.(0,—]B.[―,—]C.[—,+℃)D.[―,+co)

【答案】C

【考點】函數恒成立問題；利用導數研究函數的最值

【專題】轉化思想；綜合法；導數的綜合應用；運算求解

【分析】對不等式分離參數得到/一直，令f=構造函數g?)=回二1,re(0,+W),則a.,g⑺…，

yxyxt

通過導數研究g⑺單調性求出最大值即可.

【解答】解：由不等式M1+加).工歷y-效恒成立，且1>0，y>。，

分離參數得：a>—(Iny—Inx)——,即歷2—二，

yyy%y

、幾y4日lnt-\小、

以>t——，a2-----，t￡(0,+oo),

xt

'人/、Int1/八、

設g?)=-----，t￡(0,+oo),

t

則a.g⑺…

gr(t)=2，由g'⑺=0得，=/，

r3

當，w(0,/)時，g，《)>0,g?)單調遞增；當/￡(/,+8)時，g")<0,g⑺單調遞減；

/、/2、2-11

?-g?)s=g(e)=.

QN——?

e

故選：C.

【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性與極值、分離參數法，考查了推理能力與計算能力，屬于

中檔題.

6.(2024?宿遷模擬)在同一平面直角坐標系內，函數y=/(x)及其導函數y=/，(x)的圖像如圖所示，已

知兩圖像有且僅有一個公共點，其坐標為(0,1),貝心)

A.函數y=/(x>e*的最大值為1B.函數y=/(尤)的最小值為1

C.函數y=四的最大值為1D.函數y=似的最小值為1

exex

【答案】C

【考點】基本初等函數的導數；利用導數研究函數的最值

【專題】數學運算；整體思想；綜合題；函數思想；導數的綜合應用

【分析】根據函數的單調性確定虛線部分為y=/(x),再求函數、=幽的單調性可求出最值.

ex

【解答】解：由題意可知，兩個函數圖像都在x軸上方，任何一個為導函數，則另外一個函數應該單調遞

增，判斷可知，虛線部分為丁=/。)，實線部分為y=/(x),則A,5顯然錯誤，

對于C,D而言，曠=/'Of'='(X)T(X),由圖像可知％e(-oo,0),>=單調遞增，尤c(0,+oo),

(ex)exex

y=3單調遞減，所以函數y=3在X=O處取得最大值為1.

exex

故選：C.

【點評】本題主要考查利用導數研究函數的單調性和最值，屬于中檔題.

7.(2024?邢臺模擬)已知函數/。)=。/-3好在區(qū)間(1,2)上單調遞增，則。的最小值為()

A.eB.1C.e-2D.e-1

【答案】D

【考點】利用導數研究函數的單調性

【專題】邏輯推理；導數的綜合應用；綜合題；構造法；轉化思想；數學運算；綜合法

［分析怵導，根據題意可得(⑺=a-乂.0恒成立，xe(1,2),分離參數,可得構造函數g(x)=—,

exex

XG(1,2),求導，利用導數研究g(x)的單調性和最值，即可求出結果.

【解答】解：因為函數〃=在區(qū)間(1,2)上單調遞增，

所以/'(%)=ae“-x..O恒成立，xe(l,2),

即)恒成立，Xw(l,2),

ex

令g(x)=：，尤e(l,2),

e

1—Y

/(%)=一<0，

e

所以g(x)在(1,2)上單調遞減，

所以g(x)<g(1)=-,

e

所以a…1.

e

故選：D.

【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性和最值，屬中檔題.

8.(2024?梅江區(qū)校級模擬)已知0為函數/(x)=(辦+l-a)e'-尤-3的極小值點，則。的取值范圍是(

)

A.(—1,+co)B.(—e,+co)C.(—,+co)D.[0,+co)

e

【答案】A

【考點】由函數的極值求解函數或參數

【專題】綜合法；綜合題；整體思想；導數的綜合應用；數學運算

【分析】先求出導數，再利用導數的導數找出單調性可得結果.

【解答】解：由題意得尸(x)=/(ax+1)-1,尸(x)的導函數為/"(無)=".(辦+“+1),

若a.0,f'(x)>0,尸(x)在R上單調遞增，因為((0)=0,

所以當xe(0,y)時，f'(x)>0,/(無)單調遞增，當xe(-oo,0)時，f'(x)<0,/(x)單調遞減，成立；

若當xe(-oo,-但)時，/'(x)>0,尸(無)在(-8，-史1)上單調遞增，因為一9里>0,

aaa

所以〃x)在(-oo,0)上單調遞減，在(0,一生1)上單調遞增，成立；

a

若a=-1,當xe(-oo,0)時，f(x)>0,當xe(0,+co)時，f"(x)<0,因為:(0)=0,

所以/''(x),,。，不成立；

若a<T,當xe(—但,+oo)時，f"M<0,一但<0,

aa

易得在(-但,0)遞增，在(0,+00)上單調遞減，不成立；

a

綜上，。的取值范圍是(-1,+00).

故選：A.

【點評】本題主要考查導數的應用和邏輯推理的核心素養(yǎng)以及分類討論的數學思想，屬于中檔題.

9.(2024?宜賓三模)定義在(0,+oo)上的單調函數了(無)，對任意的xe(0,+oo)都有/"(尤)-說c]=l,若方

程/(>)"'(>)=根有兩個不同的實數根，則實數的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,1]C.(-oo,l)D.(-00,1]

【答案】A

【考點】由函數的單調性求解函數或參數

【專題】數形結合；導數的綜合應用；數學運算；綜合法

【分析】根據題意，由單調函數的性質，可得/'(?-log?x為定值，可以設f=/(x)-/nx,則/(x)=/nx+f,

又由〃f)=l,即/加+，=1,解可得f的值，可得/(x)的解析式，對其求導可得r(>)；將y(x)與廣(無)代

人秋x)/(x)=m,求出函數的最大值，即可得答案.

【解答】解：,."(X)是定義在(0,+8)上的單調函數，

:.f(x)-lnx為大于0的常數，

設"f(x)-Inx,貝!!f(x)=Inx+t(t>0)，

又由/(，)=1,即加/+%=1,解得t=1

/W=Inc+1,f\x)=—，

X

“、“、i+lrvc

f(x)?/(x)=-----=m

x

、幾/、1+Inx則g，(x)=-絆

設g(%)=-----

XX

易得函數g(x)在(0,1)上單調遞增，(l,+oo)上單調遞增,

.?.尤=1時，函數g(%)取得最大值1,其大致圖象如圖所示,

?.?方程/(%)?/'(%)=根有兩個不同的實數根，

/.0<m<l.

故選：A.

【點評】本題考查函數零點與方程根的關系的應用，考查導數知識的運用，關鍵點和難點是求出了(%)的解

析式.

10.(2024?德陽模擬)已知函數/(X)及其導函數r(x)在定義域均為人且尸(x)=*2/(無+2)是偶函數,

(x-2)[/Xx)+/(x)]>0,則不等式對'(/?%)<e3/(3)的解集為()

A.(0,e3)B.(l,e3)C.(e,e3)D.(e3,+oo)

【答案】C

【考點】抽象函數的奇偶性；利用導數求解函數的單調性和單調區(qū)間

【專題】綜合法；導數的綜合應用；函數思想；數學運算

【分析】依題意得函數F(幻在(0,+?>)上單調遞增，因為4(勿x)<e3/(3),所以尸(/訴-2)〈尸(1),得

|Znx-21<1,求解即可.

【解答】解:由(無一2)[廣(*)+/。)]>0,得#r(x+2)+/(x+2)]>0,

貝U當x>0時，得r(x+2)+/(x+2)>0,

/(x)=ex+2f{x+2)+ex+2f'(x+2)=ex+\f(x+2)+f\x+2)],

則當x>0時，F(xiàn)(尤)>0,得函數F(x)在(0,+oo)上單調遞增，

因為對■(玩(3),所以尸(配c-2)〈尸(1),

由于網x)=e*+2/(尤+2)是偶函數，則尸(|加c-2|)〈尸(1),

而函數F(x)在(0,+oo)上單調遞增，得|配l21<1,

得—2<1,

得e<x</.

故選：C.

【點評】本題考查導數的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

11.(2024?咸陽模擬)已知函數"X)=cosx+￡f,若x=0是函數/(x)的唯一極小值點，則。的取值范圍

為()

A.[1,+00)B.(-1,1)C.[-1,+oo)D.(-00,1]

【答案】A

【考點】由函數的極值求解函數或參數

【專題】導數的綜合應用；數學運算；轉化思想；綜合法

【分析】求導分析/''(X)的符號，"X)單調性，進而可得極值點，判斷是否符合題意，即可得出答案.

【解答】解：/(x)=cosx+-1x2,

f'(x)=—sinx+<xv,J!Lf'(0)=0,

令g(x)=f'(x),貝！Ig'(x)=-cosx+a,

當a..l時，g，(x)..0,g(x)單調遞增，

當x>0時，g(x)=r(x)>g(0)=0,/(無)單調遞增，

當x<0時，g(x)=f'(x)<g(0)=0,/(元)單調遞減，

所以x=0是函數/(尤)唯一的極小值點，

當a<l時，g,(0)=-l+a<0,

所以存在J>0使得xe(0?),g(x)=f'(x)在(0,5)單調遞減，

所以當xe(0,5)時，/(方</(0)=0,

所以/(%)在(0,5)上單調遞減，與0是函數f(x)的極小值點矛盾，

綜上所述，a.A,

所以。的取值范圍為口，+00).

故選：A.

【點評】本題考查導數的綜合應用，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

71

12.(2024?青羊區(qū)校級模擬)設。=30.21,。=優(yōu)1.21,c=—,則下列大小關系正確的是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】c

【考點】利用導數研究函數的單調性

【專題】轉化法；轉化思想；數學運算；函數的性質及應用

【分析】首先通過構造函數得到當0<時，tanx>x,再通過構造函數/(x)=x-/〃(l+x),0<進

一步得到x>/"(l+x),XG[0,-],由此即可比較。，b,通過構造函數g(x)=/〃(l+x)--匚,尤>0即可比

21+x

較c,6,由此即可得解.

【解答】解：設〃(x)=tan尤r,0<x〈工，則〃⑺=~上空二土組一1=」—1>。,0<*<三，

2cosxcosx2

所以h(x)=tanX-X在(0,胃)上單調遞增，

所以/?(%)=tanx—g(0)=0,即tanx>x,0<x<g,

■JT1jr

令f(x)=x—ln(l+x),0<x<—貝！!ff(x)=1--------=------->0，

2>1+x1+x

所以/(x)=x-山(1+X)在(0,g)上單調遞增，

.-JT

從而f(x)=x-ln(l+x)>/(0)=0,即x>ln(l+x),xe(0,—),

所以tanx>%>ln(l+x),xe(0,—),

從而當x=0.21時，a=tan0.21>0=/〃L21,

令g(X)=歷(1+%)———,x>0,貝!Igr(x)=------Q+x)'=>o,

1+x1+x(1+x)2(1+x)2

所以g(x)=ln(l+x)———在(0,+oo)上單調遞增，

1+x

21?1

所以g(0.21)=加1.21------>g(0)=0,^b=lnl.21>c=——，

121121

、21

綜上所述：a-tan0.21>b—lnl.21>c=.

121

故選：C.

【點評】本題主要考查數值大小的比較，屬于中檔題.

13.(2024?博白縣模擬)已知函數〃x)=eX-±-6,當實數a>0時，對于xeR都有〃尤)..0恒成立，則

a

的最大值為()

A.-B.3C.-4D.4

e2e2后e2

【答案】A

【考點】利用導數研究函數的單調性

【專題】數學運算；綜合法；導數的綜合應用；轉化思想

【分析】通過求導分析于⑺的單調性得到/(x)的最小值，由/(元)..0恒成立得到/(x)m,,..O,得到

a+alna,構造函數g(a)=a+alna,由g(a)的最小值得到"人的最大值.

【解答】解：令((無)=。得當了>勿工時，/’(尤)>o,當了<//時，/(無)<o,

aaaa

所以/(x)在(/M-,+oo)上單調遞增，在(-00,/?-)上單調遞減，

aa

故了(尤)而“=/(^-)=-+—~b>0,

aaa

2

所以工+^^2b，則"反Q+Q勿〃恒成立，則ab?(a+alna)min,

aa

令g(a)=a+alna,gr(a)—2+Ina,

令g'(a)>0得a〉1,令g'(a)vO得0<Q<4,

ee

所以g(a)在(5,+oo)上單調遞增,

所以g(a),?“=g(J)=-g-

故"b的最大值為-3.

e

故選：A.

【點評】本題考查導數在函數恒成立問題中的應用，屬于中檔題.

二.多選題(共3小題)

14.(2024?市中區(qū)校級二模)對于具有相同定義域。的函數/(尤)和g(x),若存在函數/z(x)=履+仇左，b為

常數)對任給的正數機，

存在相應的天€。使得當xeO且x>x。時，總有一"")<"，則稱直線/:y=履+6為曲線

[0<h(x)-g(x)<m

y=f(x)和y=g(x)的“分漸近線”.下列定義域均為￡>={%|%>1}的四組函數中，曲線y=f(x)和y=g(%)

存在“分漸近線”的是()

A./(x)=x2,g(x)=a

B./(x)=10-+2,g(%)=^2元一^3

x

一“、x2+1/、xlnx+1

C?f(x)=-------,g(x)=———

xInx

x

D./(x)=蕓，g(X)=2(x-l-e)

【考點】6F：極限及其運算

【分析】本題從大學數列極限定義的角度出發(fā)，仿造構造了分漸近線函數，目的是考查學生分析問題、解

決問題的能力，考生需要抓住本質：存在分漸近線的充要條件是xfoo時，/(x)-g(x)->0進行作答，是

一道好題，思維靈活，要透過現(xiàn)象看本質.

【解答】解：/(X)和g(x)存在分漸近線的充要條件是尤―8時，/(x)-g(x)f0.

f(x)=x2,g(x)=\[x,當X>1時便不符合，所以A不存在；

，丫一3

對于8,/?=10-'+2,g(x)=二」肯定存在分漸近線，因為當時，f(.r)-g(x)->0;

X

開工=，/、/+1/、xbvc+1，/、/、11

對于C，/(無)=，g(無)=~;----'/(x)—g(x)=,

xImxInx

設A(x)=x-Im,(x)=」>0,且lux<x,

x~

所以當尤—8時x-仇x越來愈大，從而/(尤)-g(尤)會越來越小，不會趨近于0,

所以不存在分漸近線；

.2比2-22

對于￡),/(%)=---,g(x)=2(x-l-ex),當x->+co時，/(x)-g(x)=------+2+----->0,

尤+]1+J_e

x

故選：BD.

【點評】本題較難，涉及到部分大學內容，屬于拓展類題目

15.(2024?建陽區(qū)一模)已知函數/(x)=丁-2辦2+fcv+c(a,b,ceR),/'(x)是/(x)的導函數，貝!J(

)

A.“q=c=0”是“/(x)為奇函數”的充要條件

B.“a=b=O”是"/(無)為增函數”的充要條件

C.若不等式/?(x)<0的解集為{x|x<l且x*T},則/(元)的極小值為-/

D.若王，x,是方程尸(x)=0的兩個不同的根，且,+-!_=1,則。<0或。>3

-X,x2

【答案】ACD

【考點】函數的奇偶性；基本初等函數的導數；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值

【專題】計算題；轉化思想；導數的綜合應用；運算求解；綜合法

【分析】根據奇函數的定義域與性質及充分必要條件的定義可判斷A；由導函數與單調性的關系及充分必

要條件的定義可判斷3;由不等式的解集可得了(尤)的單調性與極值及函數的零點，從而可得“，b,c的

值，求出了(尤)解析式，由導數判斷函數的單調性，從而可得函數的極小值，即可判斷C；由△>?及根與

系數的關系可求出“的取值范圍，即可判斷。.

【解答】解：當。=。=0時，f(x)=x3+bx,/(-%)=-/-to=-/(%),所以/(尤)為奇函數，充分性成立；

若f(x)為奇函數，貝！If(-x)=-x3-2ax2-bx+c=-f{x)=-x3+2ax2-bx-c,

則Are?-2c=0恒成立，所以a=c=O,必要性成立，故A項正確；

當4=人=0時，/(x)=x3+C,f'(x)=3x2..O,所以/(x)為增函數；

由題意得尸(x)=3*2-4亦+6,當/(元)為增函數時，△=1642-12",0,

所以“。=%=0”是"/(x)為增函數”的充分不必要條件，故3項錯誤；

f\x)=3x2-4ax+b,若不等式/(x)<0的解集為{x|x<l且xr-1},

則/(x)在尺上先增后減再增，則((-1)=0,f(1)=/(-1)=0,解得2a=6=c=-l,

故f(x)=x3+x2-x-1=(x+1)2(x—1),

fXx)=3尤2+2無一1=(3無一l)(x+1),

令廣(X)=0,解得X=-1或X=g,

所以在區(qū)間(-00,-1)內，-(x)>0,八>)單調遞增，

在區(qū)間內，f'(x)<0,/(無)單調遞減，

在區(qū)間(：,+<?)內，/f(x)>0,/(X)單調遞增，

11139

所以/(.X)的極小值為/(-)=(-+l)2x(--l)=--,故C項正確；

f'(x)=3x2-4ajc+b,因為王，%是方程/'(x)=0的兩個不同的根，

所以△=16/一12b>0,即4/-36>0①，

4ab

%)+%=9芯%2=g，

,1I14曰

田---1----1,玉+%=玉％'

玉x2

所以即6=4。②，

33

由①②得/一34>0,解得a<0或a>3,故。項正確.

故選：ACD.

【點評】本題主要考查利用導數研究函數的極值，函數單調性與奇偶性的判斷，充分必要條件的定義，考

查邏輯推理與運算求解能力，屬于中檔題.

16.(2024?揚州校級一模)若正數a,6滿足a+b=l,貝1J()

A.log2a+log,b...-2B.2"+2”..20

C.a+Inb<0D.sintzsinZ?<—

4

【答案】BCD

【考點】利用導數研究函數的單調性

【專題】構造法；導數的綜合應用；函數思想；不等式；數學運算

【分析】結合基本不等式可求必的范圍，然后結合基本不等式及指數，對數的運算性質檢驗選項A,B,

結合選項中不等式的特點，合理的構造函數，結合導數與單調性關系檢驗選項C,D.

【解答】解：因為正數。滿足

所以她,(小)2=工，當且僅當a=b=」時取等號，

242

貝!]log?a+log2b=log2ab,,log2—=_2,A錯誤；

2。+2b..2yl2a*2。=2后丁=2后,當且僅當a=b=」時取等號，5正確；

2

因為a+Inb=Inb一>+1,Ovbvl,

令/(%)=加一%+1,0v無<1,

則/f(x)=--l>0,即/(%)在(0,1)上單調遞增，

X

所以/(%)</(1)=0,即加一％+1<0,

所以Inb<Z?—1=—Q,

所以a+/肪v0,。正確；

因為sinasin/?=sinasin(l—a),

令=sinxsin(l-x),0v%v1,

貝U/'(%)=cosxsin(l-x)-sinxcos(l-x)=sin(l-2x),

當0<x<：時，/,(x)>0,/(無)單調遞增，當;<尤<1時，f'(x)<0,/(x)單調遞減，

故fix)…=f(1)=sin21<sin2D正確.

故選：BCD.

【點評】本題主要考查了基本不等式及函數的性質在不等關系的判斷中的應用，屬于中檔題.

三.填空題(共4小題)

17.(2024?淄博一模)設方程e"+X+e=0,阮r+x+e=0的根分另ll為夕，q,函數/(尤)=/+(p+q)%，

令a=/(0),b=/(—),c=/(—),貝！Ja,b,。的大小關系為_a>c>b_.

【答案】a>c>b.

【考點】利用導數研究函數的單調性

【專題】數學運算；轉化思想；轉化法；導數的綜合應用

【分析】先利用方程的根與圖象的交點的關系，及互為反函數的兩個函數圖象關系推得p+q=-e,由此

得到f{x)=ex-ex,再結合函數的單調性判斷即可.

【解答1解：由/+彳+6=0,得e'=—x—e,由Iwc+x+e=0,得hvc=—x—e,

因為方程e*+x+e=O的根為p,所以函數>=0*與y=-x-e的圖象交點P的橫坐標為p,

同理函數y=與y=的圖象交點Q的橫坐標為q,

因為y=靖與y=互為反函數，所以兩函數圖象關于y=x對稱，

易知直線y=x與直線y=-x-e