I.在某學校的期中考試中，高一、高二、高三年級的參考人數(shù)分別為600,800,600.現(xiàn)用分層抽樣的方法從三個年級

中抽取樣本，經(jīng)計算得高一、高二、高三年級數(shù)學成績的樣本平均數(shù)分別為93,81,99,則全校學生數(shù)學成績的總

樣本平均數(shù)為

A.92B.91C.90D.89

2.己知集合/={尤|2*Vl,xeR},B=若則實數(shù)。的取值范圍是

A.a<\B.a<\C.D.tz<0

3.已知z,?！闏,+2=0,網(wǎng)=1,z=a+bi(a,beR),則

A.a2+b2>IB.a2+b2<\C.a+b>lD.a+b<1

4.如圖，在三棱錐z-z4G中，44,平面4月。］,=90°,4A=2/4=2AG=2,

尸為線段/月的中點，分別為線段4G和線段4G上任意一點則45PM+AW的最小

值為

A,也5

B.一

22

C.V5D.2

5.已知函數(shù)/（無）=Nsin（0x+0）（N>O,0>O，S|〈萬）的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將“X）的

圖像向左平移專個單位長度得到N=g（x）的圖像，則方程2g（尤）=也在［0,2萬］

上實數(shù)解的個數(shù)為

A.5B.6

C.7D.8

22

6.雙曲線C:==15>0/>0）的一條漸近線與函數(shù)了=6以作為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象相切，則雙曲線C的

ab

離心率等于

A.V2B.百C.2D.45

7.在等比數(shù)列何｝中，公比為夕，其前"項積為7；,并且滿足％>1,須900T>0,&4<0,則下列結(jié)論不正確

%ooT

的是

A.0<q<lB.a99-tz101-1<0

C.九。的值是看中最大的D.使，>1成立的最大自然數(shù)〃等于198

8.已知函數(shù)f（x）=：疣：一"a）'：*。，的圖象關(guān)于原點對稱，則下列敘述錯誤的是

bxe+cx,x>0

A.a+b+c=0B./（x）既有最小值也有最大值

C./（x）有3個零點D.〃x）有2個極值點

數(shù)學試題第1頁（共14頁）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6

分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.某展會安排了分別標有序號為“1號”、“2號”、“3號”的三輛車，等可能的隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)

奇想，設(shè)計了兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此

車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為召、P2,則

A.4+巴=；B.々山=!C.Px+P2=|D.PX>P2

754

10.已知動點尸到定點廠（4,0）的距離與到直線/?=亍距離的比是常數(shù);尸點的軌跡稱為曲線C,直線

y=履（左片0）與曲線。交于48兩點.則下列說法正確的是

22

A.曲線C的方程L+匕=1

259

B.|^|+|^|=10

25

C.M為曲線。上不同于48的一點，且直線K4、MB斜率分別為3左2,貝!1桃2=-豆

D.O為坐標原點，|尸。|+尸|的最大值為當

11.若定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足對任意的實數(shù)都有〃。+9=/（。）?/㈤且/。）=2,則下列判斷正確

的有（）

A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱

B./（x）在定義域上單調(diào)遞增

C.當尤e（0,+oo）時，/（%）>1

/（2）+A4）+/（6）+d（2022）1/（2024）一

'/（1）"3）/（5）/（2021）/（2023）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.雙空題第一個空2分，第二個空3分.

12.已知）=（1,2）,力=（-2,2）,貝壯在］方向上的投影向量坐標為

13.如圖，四棱錐P-的底面是邊長為2的正方形，尸工，底面ABCD,尸Z=2.圓柱

的底面在該四棱錐的底面上，當圓柱的側(cè)面積最大時，圓柱的底面半徑為;

當圓柱體積最大時，圓柱的底面半徑為.

14.已知正數(shù)滿足ylnx+ylny=e",若函數(shù)〃x）=x（沖-lnx）+3有且僅有一個極值點，則實

數(shù)m的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

數(shù)學試題第2頁（共14頁）

15.（13分）

----------9

已知拋物線氏/=2/(0>0)的焦點為尸，其中P為E的準線上一點，。是坐標原點，且。尸?。尸=-“

(1)求拋物線E的方程；

(2)過0。,0)的動直線與E交于C,。兩點，問：在x軸上是否存在定點M(/,0)?w0),使得x軸平分/CMD?

若存在，求出點”的坐標；若不存在，請說明理由.

16.(15分)

2020年3月24日，習近平總書記主持召開中央政治局會議，通過了《關(guān)于加快推進生態(tài)文明建設(shè)的意見》，正

式把“堅持綠水青山就是金山銀山”的理念寫進中央文件，成為指導(dǎo)中國加快推進生態(tài)文明建設(shè)的重要指導(dǎo)思想.為

響應(yīng)國家號召，某市2022年清明節(jié)期間種植了一批樹苗，兩年后市園林部門從這批樹苗中隨機抽取100棵進行跟

蹤檢測，得到樹高的頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求樹高在225-235cm之間樹苗的棵數(shù)，并求這100棵樹苗樹高的平均值；

(2)若將樹高以等級呈現(xiàn)，規(guī)定：樹高在185-205cm為合格，在205-235為良好，在235-265cm為優(yōu)秀.視

該樣本的頻率分布為總體的頻率分布，若從這批樹苗中隨機抽取3棵，求樹高等級為優(yōu)秀的棵數(shù)J的分布列和數(shù)學

期望；

(3)經(jīng)驗表明樹苗樹高X?用樣本的平均值作為〃的估計值，已知4=305,試求該批樹苗小于

等于255.4cm的概率.

(提供數(shù)據(jù)：V271?16.45,V305?17.45,V340?18.45)

附：①若隨機變量Z月艮從正態(tài)分布,貝!|尸(〃-cr<ZV〃+b)=0.6826,尸(〃-2cr<ZV〃+2(r)=0.9544,

尸(〃-3cr<ZV〃+3cr)=0.9974.

17.(15分)

如圖，在直四棱柱NBC。-481G，中，/4,平面4BC。，AD1AB,8C，，其中=應(yīng)，441=2后,

尸是的中點，。是。2的中點.

(1)求證：〃平面C2?；

(2)若異面直線BC、用。所成角的余弦值為趙，求二面角與-C。-。的余弦值.

3

B

18.(17分)

已知函數(shù)g(M=f{x}+^x2-bx,函數(shù)/(x)=x+alnx在x=l處的切線與直線x+2y=0垂直.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)6的取值范圍；

7

(3)設(shè)%，%(為<%)是函數(shù)g(x)的兩個極值點，^b>-,求g(Xi)-g(%)的最小值.

19.(17分)

設(shè)數(shù)列：A-.ax,a2,L,anB-.bx,b,,L,bn,已知at,e{0,1}(z=1,2,L,n;j=1,2,L,n),定義nxn數(shù)表

再]xl2…X山

1%=bj,

x(4B)=<其中為=

0afwbj,

Xn2...xnn]

(1)若N：l,1,1,0,5:0,1,0,0,寫出X(4B)；

(2)若42是不同的數(shù)列，求證：""數(shù)表X(4B)滿足“4個工二必乙用六壯心爐布廠的充分必要條件為

li,,

ak+bk=l(^==l,2,Z,n);

2

(3)若數(shù)列A與B中的1共有〃個，求證："X〃數(shù)表X(4B)中1的個數(shù)不大于5.

數(shù)學試題第4頁(共14頁)

1.【答案】c

【解析】由題意，總樣本平均數(shù)為黑X93+黑X81+黑x99=90.

故選：C.

2.【答案】D

【解析】由x0,所以/=WxV0},

因為/c8w0,所以aeN,即aVO,

故選：D.

3.【答案】A

【解析】設(shè)0=加+〃i(?i,"eR),由z=a+歷(a,6eR),可得斷=加-疝,z=a-bi，

因為z石+需+2=0，所以(。+bi)(m-m)+(a-bi)(m+m)+2=0,

所以am-am+bmi+bn+am+ani-bmi+bn+2=0,

所以a〃z+加=-1,點(。,6)在直線mx+"y+l=0上，,

_|1|

所以原點。(0,0)至?。菁觴+町+1=0的距禺dJ=/,、,

7nl+n

又網(wǎng)=1,所以歷］7=1,所以〃=哥片=1，

所以加x+〃y+1=0與以0(0,0)為圓心，1為半徑的圓總相切，

2222

a+b=^a+b所以二+從的最小值為1的平方1,

所以故A正確；B錯誤；

當加=0,〃=一1時，。二一3,6=1,則Q+/?=—2<1,故C錯誤；

當加=0,〃=一1時，a=2,b=1,貝!j〃+Z?=321,故D錯誤.

故選：A.

4.【答案】C

【解析】根據(jù)題意44,平面4月G可知，

又4瓦=2/4=25G=2可得AB{=J猛+4k=逐.

由』44G=90°可知，所以可得4G，平面耳，即4

在△/2C中，SABC=lxV5xl=—,

1n”?/“nosinZMPB,

Sc=—x75xPMsm/MPBi=75PMx--------L,

c11sr?八八TCsrsinAMNC.

SAMBG=3義,乂MNsin/MNC[=MNx---------

又S△叫G=S”皿+SAMBG,即

V5憶…sinZMPB,…sinZMNC.

222

所以&=#1PMsinZMPBl+MNsin4MNC、,由sinAMPBX<1,sinZMNC,<1得

V5=45PMsinZMPBl+MNsinAMNCX<45PM+MN,

所以45PM+MN>45,當且僅當sinZMPBt=l,sinZMNCt=1時等號成立,

即NMPB、=90°,NMNC\=900時,此時M,N分別為線段AQ和線段3G的中點，45PM+MN取得最小值出；

綜上可知，石尸M+MN的最小值為6.

故選:C

5.【答案】B

【解析】解:根據(jù)函數(shù)/(x)=/sin(0x+9),(/>0,。>0,|夕|(萬)的部分圖象,

1Q,IT11777TT

可得不---=—~?，口=3.所以/(x)=4sin(3x+9),

2①1212

結(jié)合五點法作圖，3*言+。=2乃+〃肛左6Z,:.(p=^+lk7r,keZ,因為同<〃，「.夕=￡,故/(x)=/sin(3x+

數(shù)學試題第5頁(共14頁)

再把點U，-1J代入，可得-l=/sin今+,即_「_/c吟，力=拒,

所以f(X)=Csin(3x+—).

4

現(xiàn)將的圖象向左平移合個單位長度，

得到函數(shù)y=g(x)=0sm[3(x+.+?=V2cos3x,

I-1rrrr

因2g(x)=-\/2,即cos3x=—,以3x=—+2%冗KG3X=——+2k2wZ,

解得X=1+手AeZ或x=_/+竿/eZ,

因為xi[0,2何，所以x=]或1或等或1或者或等，

故方程2g(x)=也在電2萬]上實數(shù)解的個數(shù)為6個；

故選：B

6.【答案】A

【解析】由雙曲線C：W-A=l(a>0,b>0),可知其漸近線方程為>=2x或>

abaa

只有直線y=與函數(shù)y=elnx的圖象可以相切，設(shè)切點為(X。,%),

a

由歹=6血，得y'=±,切線/的方程為y-elnxo=￡(x-xo),

XX。

e

??,直線/過原點，，O-elnXo=-(0-/)，解得％=e,則切線/方程為〉=x,

工0

所以。=6,則e=；后乙血,所以雙曲線C的離心率為血，

故選:A.

7.【答案】C

【解析】；％9?%00一1>°，,。"切>1，，4>0?

d—1

99<0,(。99一1)(4100一1)<°，即。99，。100一個大于1，一個小于1，

%00_]

???數(shù)列為遞減數(shù)列，故0<夕<1,即〃9>1，。100<1，選項A正確.

。99,%01=doo<1'選項B正確.

100=39%00<T99,選項C錯誤.

北98=〃1〃2…"198=(%。198)(〃2。197)…(。99"10。)=(^99^100)>1,

499=…"198499=("1"199)(。24198)…("99"101)"100="100<1，選項D正確.

故選：C.

8.【答案】B

【解析】設(shè)%>0,-x<0,

因為函數(shù)是奇函數(shù)，則“X)=-/(-、)，

xxx

即bxe~+ex2=-xe~-(-x+=-xe~+x2-2ax+

所以Z)=—1,。=1。=0,所以Q+6+C=0,故A正確;

-xex-x2,x<0,

所以/("=

x

-xe~+x2,x>0

2

當X>0時，/(1)=—沅-"+x,=+2x=+2x,

設(shè)g(x)=/(x),g,(x)=(2-x)e-x+2=^-^+2,

數(shù)學試題第6頁(共14頁)

設(shè)"(x)=g，(x),〃(x)=(x-3)eT=^^=0得x=3,

當尤e(0,3)時，l(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，當xe(3,+I),〃(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，所以當尤=3時，/?(無)取

得最小值"3)=孩+2>0,即g'(x)>0恒成立，

所以g(x)單調(diào)遞增,即以卜)單調(diào)遞增,r(O)=-l,/(1)=2>0,

所以存在為?0,1),使/(%)=0,當xe(O,x0)時，/(x)<0,〃x)單調(diào)遞減,當x<飛,田)時，(力>0,〃x)

單調(diào)遞增，

所以當尤=%時，“X)取得極小值，"0)=0,則/(%)<0,/(1)=--+1>0,所以存在xe(x°,l),使〃x)=0,

Q

且xf+8時，f(X)—>+00,

綜上可知，當x>0時，函數(shù)有一個極小值點，一個零點，無最大值，

因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以x<0時，函數(shù)有一個極大值點，一個零點，無最小值，

且"0)=0,

所以函數(shù)/(x)有3個零點，2個極值點，無最大值也無最小值，所以B錯誤，CD正確.

故選:B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6

分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】BCD

【解析】按照發(fā)車的序號，列舉基本事件如下：

123,132,213,231,312,321,共6種,

方案一坐到“3號”車，包含的基本事件有：132,213,231,共3種，

所以方案一坐到“3號，，車的概率6=53==1.

62

方案二坐到“3號”車，包含的基本事件有：312,321,共2種,

21

所以方案二坐到“3號”車的概率R=-=-

63

所以々心=:、4+￡==、月>￡，BCD選項正確，A選項錯誤.

o6

故選：BCD.

10.【答案】ABD

收-4)+y4n~~；44

［解析］設(shè)P(x,y)，則25—=??；7(為一4)+N=1-5

X-----

4

即X)+了?—8尤+16=—x~—8x+25,化簡得———11故A對;

,25259

由題意可知，曲線C為橢圓，且a=5,b=3,c=da。-方=4，

設(shè)橢圓另一個焦點為尸'，如圖，

由。為尸戶和NB中點可知四邊形4F8F為平行四邊形，

所以|/戶［=\BF\,所以卜尸|+忸尸|=.尸|+,尸］=2a=10,故B對;

設(shè)點〃r(%,%),/(五,必卜.3(一芯,-%),

22

因為M為曲線。上不同于45的一點，則紅+9=1,=1,

259

可得小9,部才=9(1一小

又直線〃4Ms斜率分別為配質(zhì)

數(shù)學試題第7頁(共14頁)

再%

所以左左二%一%M+%才-%]25259,故C錯;

2~~~T~25

由定義知動點到定點廠與它到定直線/距離d滿足幽=3,

d5

575

所以\PO\+-|PF|=\PO\+d,其中d為點尸到直線/:x=彳的距離,

即求橢圓上一點P到。與到直線/：x==距離和的最大值,

顯然當尸在橢圓左頂點時，|尸。|和d同時取得最大值,

故選：ABD

11.【答案】AC

【解析】取兩個實數(shù)a/,"b,且/⑷*0,

用。替換x,b替換V,有/（仍+/（叫=4（6）+2,①

用6替換x,。替換九有/（M+/（b））="（a）+2,②

假設(shè)=①-②可得（。-6）/（。）=0,

故“=6,這與假設(shè)矛盾，

所以時,/⑷彳/他）,

故若/（。）=/㈤時,必有。=6,

用替換x，b替換九則原式等價于/（〃。）6+/（〃叫=〃。）〃6）+2,

用/伍）替換x，。替換九則原式等價于/（/。）。+/（/優(yōu)））=〃。）〃6）+2,

則〃。）6+/（〃。））=〃6”+/（/（6）），

令0=1,則〃1）6+/（/。））=〃6）+/（〃切；令0=2,則〃2）6+/（〃2））=2/優(yōu)）+/（/伍））,

兩式相減則可得/優(yōu)）=0（2）-〃1）[6+/（〃2））-/（/⑴），

即心）=[/（2）-/⑴]x+

設(shè)〃2）_/（1）=s/0,=t豐0,

則/（X）=SX+/,代入原條件且令尸W解得52%+St+蚱比+2,

故s?=f,t（s+1）=2,解得s=/=l,

即/（x）=x+l,/（X）存在唯一表達式，D錯誤;

因為/（x）=x+l,所以函數(shù)/（x）是單調(diào)函數(shù)，C正確；

由表達式可知/（x）存在無數(shù)條對稱軸，且有無數(shù)個對稱中心，A正確，B錯誤.

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12?【答案】已』

a-br-2+4,、…（10

【解析】a在B方向上的投影向量為百心=下一（-2,2）=「5，酎，

故答案為：鳥,口

12

13.【答案】；；I

數(shù)學試題第8頁（共14頁）

【解析】如圖，在四棱錐尸-48c。內(nèi)作正四棱柱/跖區(qū)-HEFG,

其中瓦廠,G,瓦M,K分別在棱尸8,尸C,PD,PA,AB,AD±.,

要使圓柱體側(cè)面積最大和體積最大，則需其底面圓為正四棱柱/MAK-HEFG的內(nèi)切圓,

連接以尸，設(shè)圓柱的底面圓半徑為，，高為〃，

則處'=2&r，AH=h,連接NC,則N點在NC上，

在平面尸/C內(nèi)，尸段平行/C,貝1臉=襄，即呼=上心，

ACPA2V22

h

解得r=1—，h=2-2r,

2

圓柱側(cè)面積為S=2jirh=2兀/(2—2尸)=-4ji(r2一尸)=-4兀卜一+兀，

故當r=g時，圓柱側(cè)面積最大，

圓柱體積V=w2h=兀11-gJ/=-助？+助)，0<h<2,

貝！J'=；(3/_8'+4)=：小一2)(3為一2),

當0<〃<|■時，r>0,憶=：(/_4〃2+4.單調(diào)遞增,

當2<〃<2時，r<o,V=色(肥一4/+4〃)單調(diào)遞減,

故當〃=：2時，圓柱體體積最大，此h時〃2=1-g=

323

1?

故答案為：

14.【答案】0

【解析】因為ylnx+〉lny=e",即V皿孫)=仁所以(中)ln(犯)=xe",所以皿町)建⑺=xe",

令s(x)=xe”(x〉0),則/(x)=(x+l)e*〉0,所以s(x)=xe"在(0,+。)上單調(diào)遞增，

所以In(盯)=x,即盯=/,所以/(x)=mex-xlnx+3,故/'(x)=^e“—lnx—1,

若函數(shù)/(X)有且僅有一個極值點，則/'(X)在(0,+8)上有且僅有一個變號零點，

令g(x)=me",/z(x)=lnx+l,則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)與〃(x)的圖象在(0,+動上只有一個交點，且交點左右

/(x)=g(x)-〃(%)的符號不同，

①當加=0時，/z(x)=-lnx-l,令/'(x)>0,得令/'(%)<0,x>-,

ee

所以/(X)在［0,：］上單調(diào)遞增，在+s］上單調(diào)遞減，

所以x=1是“X)的極大值點，符合題意；

e

②當機>0時，若函數(shù)g(M，“X)的圖象在(0,+司上只有一個交點，

則函數(shù)g(x),//(x)的圖象相切，

作出函數(shù)g(M和”x)的大致圖象，如圖(1)所示，

數(shù)形結(jié)合可得交點左右/''(x)=g(x)-〃(x)的符號相同，不符合題意；

③當加<0時，無論正為何值，函數(shù)g(x)和/z(x)的圖象在(0,+8)上都有且只有一個交點,

作出函數(shù)g(x)和力(力的大致圖象,如圖(2)所示,

數(shù)形結(jié)合可得交點左右r(x)=g(x)-/!(x)的符號不同，符合題意.

綜上，實數(shù)機的最大值為0.

故答案為：0.

數(shù)學試題第9頁(共14頁)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【答案】⑴/=6尤；

(2)存在，

【解答】

(1)拋物線無必=28(°>0)的焦點為尸goJ

設(shè)尸]//J，則麗=(多0)，而=(小外)

—?—?9

因為。9?。尸=——,

4

所以一二=一2,得0=3.

44

所以拋物線￡的方程為j/=6x;

(2)假設(shè)在x軸上存在定點0)(^0),使得x軸平分NCMD.

設(shè)動直線的方程為x=my+l，點Ca，%),。1,力),

,、fx=my+1,.

聯(lián)W2r>可得_/-6叼-6=0.

yy=6x

?.?△=36療+24>0恒成立，

.%=6根,弘％=-6

設(shè)直線的斜率分別為七卷,則

，_yI,%_必優(yōu)—)+%")

—

旬十隧2—十/\/\

xx-tx2-t(芭T)&-/)

二%(旭%+1-。+%(町+1—)2孫％+?！?(％+%)

(國一)(9—)(占一)(馬一)

由定點M&O^wO),使得x軸平分NC〃O,則/+左2=0,

所以2myxy2+(1-/)(乂+%)=0.把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得加+M=0,

得f=-1.

故存在t——\滿足題意.

綜上所述，在x軸上存在定點M(-1,0),使得x軸平分NCW.

16.【答案】(1)15,220.5

(2)分布列見解析，0.6

(3)0.9772

【解答】

(1)樹高在225-235cm之間的棵數(shù)為：100x1-(Q005x3+0.015+Q020+0.025+0.01)xl0]=15.

樹高的平均值為：

0.05x190+0.15x200+0.2x210+0.25x220+0.15x230+0.1x240+0.05x250+0.05x260=220.5,

(2)由(1)可知，樹高為優(yōu)秀的概率為：0.1+0.05+0.05=0.2,由題意可知J的所有可能取值為0,1,2,3,

p(^=0)=Cf0.83=0.512,P(^=l)=C'0.82x0.2=0.384,

P(^=2)=C^0.8x0.22=0.096,P(^=3)=C/0.23=0.008,故J的分布列為：

數(shù)學試題第10頁(共14頁)

J0123

P0.5120.3840.0960.008

所以￡(J)=3x0.2=0.6

(3)由(1)的結(jié)果，結(jié)合參考數(shù)據(jù)，可知"=220.5,。=17.45

1-0QS44

所以尸(XW255.4)二尸(X?"+2。)=1---------——=0.9772.

17.【答案】(1)證明見解析

⑵一①

19

【解答】

(1)取4c中點w，連接M。、PM,

在直四棱柱力2。。-4片G2中，因為。是。2中點，則〃O〃CG且〃Q=gcG，

因為P是片G的中點，則尸例〃CG且尸W=gcG，所以，D\Q〃PM且D\Q=PM,

所以，四邊形尸是平行四邊形，所以，PDJ/QM,

因為尸平面C40,Wu平面C耳。，所以，尸4〃平面C40.

(2)連接C9,設(shè)8C=用G=a,連接BQ,

因為8月//CG且Bq=CG，所以，四邊形為平行四邊形，

所以，BCHB\C\,

所以，異面直線8C、區(qū)0所成余弦值即直線耳。、4G所成余弦值，

在直四棱柱ABCD-4片G2中，，面44GA,

因為qQu平面4埒21。，所以，B^ID.Q,

在Rtv—e，中，44=42=力，且則耳:=]4哥+4.；=2,

因為。為。2的中點，豆DD1=2舊,

所以，在RtVBQi。中，BR=2,20=石，則40=歷外匚5談=3,

因為eq±平面4月GA，4Gu平面4月GA,則cqiqq,

因為用G，G。，CQnQDj=c1；cq、C.u平面CCRD,

所以，用G，平面ccQQ，

又因為GQU平面CCQ。，則

在Rt△鳥℃中，cos/C4Q=§2=?=g,則八百，

4。33

連接AD,取其中點。，連接NO、OC,取401的中點。|,

因為/8=4D,。為5D的中點，則

以點。為坐標原點，CM、OB、OG\所在直線分別為x、了、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

貝10(0,0,0)、4(1,0,。)、8(0,1,0)、0(0,-1,0)、4(L。，2石)、鳥(0」,2斯)、

設(shè)平面BCQ的法向量記=（x,y,z）,8?=（0,-2,-6），B、C=--—,-2A/5

ttI22

m-BXQ=—2y-#>z=0

則，_--733r取了=而，可得比=[厲,厲,-2百），

m-BxC=-----x——y-2d5z=0

、22

數(shù)學試題第11頁(共14頁)

易知面r?c。的一個法向量方=-孚屬=-孚

_im-n8^^90

cosm,n=..,,=-；=——=-----

\m\-\n\2738x219

由圖可知，二面角及-。。-。為鈍角，因此，二面角瓦-C。-。的余弦值為一'畫.

19

18.【答案】（1）。=1;

（2）(3,+Q0)?

(3)--21n2.

8

【解答】

(1)V/(x)=x+?lnx,/*(x)=1+—.

x

1

與直線x+2>=0垂直，k=y\x=i=l+a=2,a=\.

(2)*.*g(x)=InxH—x2—(b—V)x,g*(x)=--+x—(6—1)=——―—D'+1

2xx

由題知g'(%)<0在(0,+8)上有解，

*.*x>0,設(shè)〃(x)=%2一(6一1)工+1,貝|〃(0)=1>0,所以只需

—>0b>\

{2={,?

A=(/7-l)2-4>06>3或6<-11

故6的取值范圍是(3,+8).

(3):g3△+X_3_1)=1--一1八+1.

XX

令g'(x)=0，得%2-(6-1)1+1=0.

由題為+%2=6-1,占馬=1，

1212

g(x1)-g(x2)=[lnx1+-x1-(Z>-l)x1]-[lnx2+-x2-(Z?-l)x2]

v-1y-1

22

=In—+—(xj-%2