2025年高考數學二輪復習測試卷01（新高考I卷專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4=,《2卜2V4卜3=則AB=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

【答案】B

【解析】A={xeZ|x2<4}={-2,-1,0,1,2},

由;V2'<2,解得-2?x1,故3={尤|-24x<l},

故4門8={-2,-1,0}.

故選：B

2.已知aeR,i為虛數單位，若復數（2+i/a+i）的實部與虛部相等，則（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】D

【尚軍析】（2+i）3+i）=2a—l+（2+〃）i,

所以2a—1=2+a,解得a=3.

故選：D

3.已知向量1々1=2,〃在，方向上的投影向量為-3〃，則（）

A.-12B.-6C.6D.12

【答案】A

a?h

【解析】依題意，b在〃方向上的投影向量為絲。=-3°,則”=-3,而|。|=2,

|a|21?|2

所以。?匕=—12.

故選：A

1兀5兀

4.已知sin[a+E)=則sin2a

—,aG1，-6~

4A/624^6

A.瓜

【答案】D

【解析】由ae

故選：D.

5.已知雙曲線C:左-丁=1（〃>0）,點以在。上，過點M作C兩條漸近線的垂線，垂足分別為A,B,

3

若=則雙曲線。的離心率為（）

A.逅B.73C.巫D.也

233

【答案】D

【解析】設點Af（與,%）,貝44-尤=1，即片

a

又兩條漸近線方程為y=土工x,即x土沖=0,i^\MA\-\MB\=y

=°l==-,

a4rz7^71cc4

故選:D.

6.如圖，側面展開圖為扇形AOD的圓錐和側面展開圖為扇環ABCD的圓臺的體積相等，且OB=九。4,則萬=

C.272D.2

【答案】D

【解析】設側面展開圖為扇形A8的圓錐的底面半徑為「，高為心則該圓錐的體積匕=：產力.

側面展開圖為扇形BOC的圓錐的底面半徑為力,高為刀2,則該圓錐的體積匕=?〃)2助=萬匕.

由題可知匕=2匕，從而萬=2.

故選：D.

7.已知數列｛%｝的前〃項和為S“，a“M+(-l)"%=sin￡(〃eN*),則邑儂=()

A.-正B.0C.—D.72

22

【答案】C

【解析】當〃為奇數時有4+1+sing,函數y=sin;(〃eN*)的周期為8,

故有*+4+8=。“+1+。”，

44r.7iA/2.3n^2.5兀6.7兀V2

oxa2+%=sin—=2，。4+%=sin+%=sin——，/+%=sin——，

則$8=0,^<S=252x0+—+.

20222222

故選：C.

8.已知“X)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，f(x)=x-a.若則“的取

值范圍為()

A.(-oo,0]u[2,+oo)B.y,2]

C.[0,2]D.(-oo,0]

【答案】A

【解析】當a=0時，/卜-/）4〃力顯然恒成立.

當時，/■1-//了⑴可以理解為將/⑴的圖象向右平移/個單位長度后，得到的/[-/）的圖象

始終在〃x）的圖象的下方（或重合）.

當。＞0時，由/（X）的圖象可知，

-a+a2＞a1貝!J/22a,解得a＞2；

當。＜0時，作出函數/（x）的圖象如下圖所示:

由圖可知，函數/（x）在R上為增函數,

對任意的尤eR且。＜0時，x-cr＜x,f（無一尤）恒成立

綜上所述，。的取值范圍為（y,0]u[2,+o＞）.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.某地發起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識競賽”活動，從參賽選手的答卷中隨機抽取了0份，將得分

（滿分100分）進行適當的分組（每組為左閉右開的區間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，且競賽成績

落在［90,100）內的人數為10,則（）

A.m=O.Ol

B.n=100

C.估計參賽選手得分的平均分低于70分（同組數據用該組區間的中點值作代表）

D.估計參賽選手得分的中位數在［70,80）內

【答案】ABD

【解析】對于A、B,由10x(0.006+0.012+0.02+0.032+0.02+m)=l,

得機=0.01,貝心=迫=100,故A,B正確；

10m

對于C,估計參賽選手得分的平均分為x,

貝i]x=0.06x45+0.12x55+0.2x65+0.32x75+0.2x85+0.1x95=72.8,故C不正確;

對于D,因為0.06+0.12+0.2=0.38<0.5,0.06+0.12+0.2+0.32=0.7>0.5,

所以估計參賽選手得分的中位數在［70,80）內，故D正確.

故選：ABD.

10.已知函數〃x）=Asin（0x+9）（A>O,0>O,O<9<7t）,若〃x）及其導函數尸（x）的部分圖象如圖所示，則

A./(X+7T)=/(X)

B.函數/(X)在[I，蔡]上單調遞減

C.尸(X)的圖象關于點(-/o)中心對稱

D.〃x)+_f(x)的最大值為g

【答案】AB

【解析】因為〃x)=Asin(<yx+0),所以/'(無)=oAcos(a)x+(p),根據圖象可知，當無葭0*J時，/'(x)>。,

[A.—\[A—\

所以/(x)單調遞增，故。=2'從而0=2.

又=所以sin][+e]=l,由0<夕<兀得"=三，

故/'(x)=sin[2x+m],/,(x)=2cos^2x+y^.

選項A：/(x)=sin(2x+^)的最小正周期為1=兀，故小+兀)=/(x),A正確.

7TTT37r7T77r

選項B：令一+2EV2x+—V-----卜2kit,keZ,解得---\-kn<x<----卜kit,keZ,

2321212

故函數〃力在法,高上單調遞減，B正確.

選項C：由于r(x)=2cos(2x+",7[-胃=2cos[j+￡|=2,

故/'(x)的圖象不關于點中心對稱，故C錯誤.

選項D：/(x)+/'(x)=sin[2尤+殳]+2cos[2x+工]=若sin[2x+—+0

其中6為銳角，且tan6>=2,(輔助角公式的應用)，所以/(力+/'(耳的最大值為石，D錯誤.

故選：AB

11.已知平面內一動點與兩定點連線的斜率的乘積為定值時，若該定值為正數，則該動點軌跡是雙曲線(兩

定點除外);若該定值是負數，則該動點軌跡是圓或橢圓(兩定點除外).如圖，給定的矩形"CD中，IAB|=。，

IBC\=b（a>b>0）,E、F、G、H分別是矩形四條邊的中點，M、N分別是直線EG、AB的動點，OM=2OG，

BN=pBE,其中且直線與直線NP交于點P.下列說法正確的是（）

A.若辦=一1,則P的軌跡是雙曲線的一部分

B.若辦=T,則P的軌跡是橢圓的一部分

C.若a=〃，則尸的軌跡是雙曲線的一部分

D.若4+〃=0,則尸的軌跡是橢圓的一部分

【答案】CD

劌a,嗚a，o），《。，-金b，Bab

【解析】由已知可得m-

2222，-2

0，-］可得，M（0,Ab

貝I]由=WG=

2

ab硝一〃）b、

由=可得，ON=OB+/JBE=+〃-利=

2，-222J

’(1b'

所以N

I22J

所以,k

b2

所以,

a]napi~a2,

2b21b-

對于A、B項，因為切=一1,所以%MM*=—2~2―,顯然心酒不是一個常數，所以此時尸

4a〃a

的軌跡既不是雙曲線，也不是橢圓，A、B均錯;

b2

對于C選項，kHM-kNF=,此時％“MNF的結果為一個大于。的定值，所以P的軌跡是雙曲線（頂點除

外），C對;

b2

-彳,此時如“-k的結果為一個小于。的定值，所以P的軌跡為橢圓（頂點除外）,

對于D選項，kHM-kNF=NF

D對.

故選：CD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.甲、乙、丙等5人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一側，則不同的站法共有種.

【答案】40

【解析】先站甲、乙、丙3人，共有A；=2種不同的站法，

再站剩余2人，先將1人排到甲、乙、丙3人之間的空位中，

最后將剩余的1人排到前面4人之間的空位中，

共有4x5=20種不同的站法，

根據分步乘法計數原理，不同的站法共有2x20=40種.

故答案為：40

13.歐拉函數研”)表示不大于正整數〃且與〃互素(互素：公約數只有1)的正整數的個數.知

1--1-—1--,其中，0是”的所有不重復的質因數(質因數：因數中的質

IR人Pi)IP,)

數).例如9(100)=100*(1-；.1一^=40.若數歹!]{4}是首項為3,公比為2的等比數列，則

。（2+。3）+。3）+,+0（4oo）=.

【答案】2m

【解析】由題意可得%=3X2"T,

貝！]"(q)=P⑶=3x(l_；j=2,

當心2時，夕(%)=3x2"Tx]l-3{1一j=2〃T,

12100

則0(q)+0(%)+°(%)++^(a100)=2+2+2++2"==2.

故答案為：2儂

14.現有質量分別為1,2,3,4,5,7千克的六件貨物，將它們隨機打包裝入三個不同的箱子，每個箱子裝入兩件

貨物，每件貨物只能裝入一個箱子.則第一、二個箱子的總質量均不小于第三個箱子的總質量的概率

是.

2

【答案】y/0.4

【解析】由于六件貨物的質量之和不是3的倍數，因而不可能出現三個箱子的總重量都相同的情況.

設事件A表示存在兩個箱子，它們的總質量相同且同時最小，事件B表示第一、二個箱子的總質量均不小于

第三個箱子的總質量.

9

由對稱性，可得「（2|A）=§.

當A發生時，這兩個箱子的貨物組合只能是｛1,4｝和｛2,3｝,｛1,5｝和｛2,4｝,｛2,5｝和｛3,4｝三種可能，故

r1A21

5C瀉5

當A不發生時，彳表示僅有一個箱子的總質量最小，于是由對稱性，得P僅同=，

故尸（2）=P（B⑶尸網+尸（2團尸?=gxg+gxg=|.

2

故答案為：—.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

△ABC的內角A5,。的對邊分別為〃，"j已知。=1,〃+2以）5區=2々.

（1）求。的值；

（2）求周長的最大值.

【解析】（1）（方法一）因為c=l,Z?+2cos5=2a,所以Z?+2ccos_B=24i,

貝!Jsin5+2sinCeosB=2sinA.

又sinA=sin（8+C）=sin8cosc+cosBsinC,所以sin=2sinBcosC.

因為sin區wO,所以cosC=L.

2

又Ce（O,7i）,所以C=]

^22_,2

（方法二）由余弦定理得cos8="+c，

2ac

因為c=l,所以b+2cosB=b+a——=2〃，貝1Jab="+"一i.

a

22222

廠a+b-ca+b-11

2ablab2

因為Ce（O,7i）,所以C=

(2)由(2)*SJ*彳導c?=/+/—2〃Z?cosC=a?+/?2—=(a+b)—3ab,

從而(a+Z?)2-3ab=1.

因為HW擔p,當且僅當。=6時，等號成立，所以(a+b)2_3一J"；"，

從而a+6V2,則VABC周長的最大值為3.

16.(15分)

某商場為了吸引顧客，邀請顧客憑借消費金額參與抽獎活動.若抽中金獎，則可獲得15元現金；若抽

中銀獎，則可獲得5元現金.已知每位顧客每次抽中金獎和銀獎的概率分別為|■和;，且每次中獎情況相互

獨立.現有甲、乙兩位顧客參與該商場的抽獎活動，其中甲有2次抽獎機會，乙有1次抽獎機會.

(1)求甲抽獎獲得的現金金額大于乙抽獎獲得的現金金額的概率；

(2)記甲、乙兩人抽獎獲得的現金總金額為X,求X的分布列與期望.

【解析】(1)若甲抽中2次銀獎，則由甲抽獎獲得的現金金額大于乙抽獎獲得的現金金額，可知乙也

得抽中銀獎，此時概率qJUxLL

⑶327

若甲至少抽中1次金獎，則甲抽獎獲得的現金金額一定大于乙抽獎獲得的現金金額，此時概率

故甲抽獎獲得的現金金額大于乙抽獎獲得的現金金額的概率尸=4+6=房25

(2)記甲、乙兩人抽獎獲得的現金金額分別為y,Z,則乂=/+2.

由題可知尸(y=io)=mP(y=20)=C^x|x|=^p(y=30)=||j=：

i2

尸(Z=5)=§,P(Z=15)=-,

貝ljP(X=15)=！x』=A,P(X=25)=-X-+-X-=-,P(X=35)=-x-+-xl=-

'79327'793939'793939

p(X=45)=-x-=—.

'79327

X的分布列為

5555

18

2727

i248

E（X）=15x—+25x-+35x-+45x—=35.

''279927

17.（15分）

如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB=BC=AC=PC=4,PA=PB=2丘,M是線段PC上的點.

5^--------

(1)求證：平面2平面4BC；

(2)若直線尸河與平面所成角的正弦值為諉，求PAf的長；

4

(3)若M2,平面ABC,。為垂足，直線P。與平面ABN的交點為N,當三棱錐河-A3。體積最大時,

求PN的長.

【解析】(1)取AB的中點。，連接OC、OP,

因為AB=4,PA=PB=2A/2.則尸O_LAB,

所以尸矛+尸^=.2,所以上4_LPB,所以P0=；AB=2,

又因為AB=3C=AC=4,所以OBJ_OC,則CO=JsC：-BO?=依-22=2代,

又因為P(?2+CO2=pcL所以尸O_LOC,

又因為POJ_AB,ABoOC=Q,AB,COu平面ABC,所以尸O_L平面ABC,

又因為POu平面APB,所以平面ABP1平面ABC.

(2)因為OP_L平面ABC,OC±AB,

以點0為坐標原點，OB、OC、。尸所在直線分別為x、丁、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

P/^M

8y

x

則人（一2,0,0）、3（2,0,0）、C（0,273,0）,P（0,0,2）,所以，5P=（-2,0,2）,

因為M為棱尸C上的點，設尸M=XPC=X（0,26,-2）=（0,2j^,—22）,其中0W4W1,

所以，BM=BP+PM=（-2,0,2）+（0,2732,-2A）=（-2,2^2,2-22）,且AB=（4,0,0）,

設平面ABM的法向量為方=（西,y”Z］）,

m-AB=4%=0

rn?BM-—2%+,2y/3Ay+（2—2X）z1=0

不妨取％=彳-1，可得根=（0"-1,&）,

因為線PM與平面ABM所成角的正弦值為好,

4

2

則廠2,i=L化簡可得：4萬—24—1=0,

4萬一2；1+1

解得：4=上5或X=上避（舍去）.

44

所以PM=；lPC=l+5

（3）設M（Xo，%,Zo）,因為尸加=2尸。=僅,2百4—22）=（%,%，2（）-2）,其中0v4vl,

%=0%=°

所以，＜%=2布%,可得，%=2后，即點皿0,2⑨,2-2/Q,

ZQ—2——2XZQ=2—2Z

因為MQL平面ABC,則點以0,2履,0）,SAABQ=^-AB-y0=2y0=4y/3A,

^M-ABQ

當且僅當4=1一4（。<2<1）時，即當2時，等號成立，

故當點M為線段PC的中點時，三棱錐V-ABQ的體積取最大值正,

3

此時，點。倒,也,0）,

z」

X

由(2)可知，此時，平面ABM的一個法向量為右)，

設PN=〃尸Q=〃(0,也,一2)=(0,島,一2〃)，其中O4〃W1,

則3N=8尸+PN=(-2,0,2)+(0,-2〃)=卜2,圓,2-2〃)，

因為BNu平面ABM,則BNJ_a，

所以，BN-it=—y/3/j+2-\/3(1—//^=>/3(2—3/z^=0,解得〃=§,

所以，PN=0,^-,--,

、33J

所以,N卜平.即PN的長為手.

18.(17分)

已知函數"x)=em.-x-L

⑴當°=1時，求函數〃x)的極值；

(2)求函數〃x)的單調區間；

(3)若對任意的實數左，b,曲線y=〃x)+丘+b與直線y=^+6總相切，則稱函數“X)是“A函數”,

當。=1時，若函數g(x)=e*"(x)-x+l]+根是“A函數”，求機.

【解析】(1)函數”x)=>—x—1,/'(力=枇"-1,

當a=l時，r(x)=e'-1,.(0)=0,

當XW(F,0)時，/(x)<0,/■(%)單調遞減，

當X?O,4W)時，尸⑺>0,/(%)單調遞增，

故〃尤)有極小值/(0)=0,無極大值.

(2)由(1)可知：當a?0時，/'(%)=ae"'—1W—1,/(無)在(—8,+8)單調遞減；

1In—

當。>0時，令ae6—1=0,得e^=—,_〃Ina,

ax=

aa

Ina

所以廣=0,且r(x)=ae"-l為增函數,

a

In”

當X<-野時,f'(x)<0,/(x)在—oo,---單----調遞減;

a

當x>-也時，尸(x)>0,Intz

,+8單調遞增;

aa

綜上,

當aWO時，/(%)的單調遞減區間為(―,+e),無遞增區間;

ln〃ln〃)

當。>0時，“X)的單調遞減區間為—oo,---,----單調遞增區間為

ak；

(3)當。=1時，函數g(x)=e[〃x)-x+l]+m=e*(e*-2x)+機是“A函數”,

求導得g'(無)=2e，(e-x—l),

設曲線〉=8(3)+區+6與直線>=丘+6切點(%,%),

2x)+根=0

y=g(xo)+kxo+b=kxo+b..g(x0)=O0

則0即

=。'

g'(x0)+k=kg'(xo)2e為-%-1)=0

設易知”(。)=0,且〃(x)=e，-1是增函數,

當xe(0,+co)時，〃(尤)>0,/?(%)單調遞增，當xe(-oo,0)時,//(%)<0,/?(%)單調遞減,

所以//⑺血小奴。^。，所以升=0是方程”-毛-1=0的根，且唯一,

19.(17分)

在平面直角坐標系xOy中，重新定義兩點A(X],必),3(%,%)之間的“距離”為|=|x2-x1|+|y2-y1|,我

們把到兩定點耳(-。,0),巴(c,O)(c>0)的“距離”之和為常數2agc)的點的軌跡叫“橢圓”.

⑴求“橢圓”的方程;

⑵根據“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由;

(3)設c=l,a=2,作出“橢圓”的圖形，設此“橢圓”的外接橢圓為CC的左頂點為A,過F?作直線交C于

M,N兩點,AMN的外心為。，求證：直線。。與MN的斜率之積為定值.

【解析】(1)設“橢圓”上任意一點為P(%y),則歸[+歸閶=2%

即|x+c|+|^|+|x-c|+|^|=,gp|x+c|+|x-c|+2|y|=2?(?>c>0),

所以“橢圓”的方程為歸+d+卜-4+2|y|=2a(a>c>0)；

(2)由方程+2H=2a,得2M=2Q_|x+d_歸一C|,

因為|y|20,所以2"-卜+4—|%—4NO,即2〃之,+4+,一4,

[x<-c\-c<x<c[x>c

所以「或「或C，

\-x-c-x+c<2a[x+c-x+c<2a[x+